Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Transkrypt

1 Krzysztof Rykaczewski

2 Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13

3 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a n ). Sumę a p + a p a q, (p q) oznaczamy przez q n=p a n. Ciągowi (a n ) odpowiada ciąg (s n ), gdzie s n = n k=1 a k. Symbol a 1 + a 2 + a , bądź krócej n=1 a n nazywamy szeregiem nieskończonym. Liczby s n nazywamy sumami częściowymi tego szeregu. Suma szeregu Jeśli ciąg (s n ) jest zbieżny do s, to mówimy, że szereg jest zbieżny. Oznaczamy to n=1 a n = s. Liczbę s nazywamy sumą szeregu (Uwaga: s jest granicą ciągu sum, a nie wynikiem zwykłego dodawania). 2 / 13

4 Rodzaje szeregów Ważnymi rodzajami szeregów są: szereg geometryczny, złożony z wyrazów ciągu geometrycznego; jest on zbieżny, jeśli moduł ilorazu q jest mniejszy od 1, wtedy a 1 q n = a 1 n=0 1 q, szereg harmoniczny rzędu α, czyli 1 n α, zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α 1. 3 / 13

5 Przykłady szeregów / 13

6 Zbieżność szeregu Definicja Szereg n=1 a n nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli n=1 a n jest zbieżny. Twierdzenie Jeśli szereg jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. Krótkie uzasadnienie faktu: wystarczy szacować sumy częściowe z nierówności trójkąta i zastosować warunek Cauchy ego s n s m = n k=m a k n k=m a k. Jeśli jest zbieżny, a nie jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny warunkowo. Przykład Szereg n=1 ( 1) n n jest zbieżny z kryterium Leibniza, ale ( 1)n n = n 1, a szereg n=1 n 1 jest rozbieżny. Stąd szereg n=1 ( 1) n n jezt zbieżny warunkowo. 5 / 13

7 Przykład do tw. Leibniza / 13

8 Zbieżność bezwzględna a warunkowa Twierdzenie Szereg n=1 a n jest zbieżny bezwzględnie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej bijekcji σ : N N zbieżny jest szereg n=1 a σ(n). W takim przypadku n=1 a σ(n) = n=1 a n. Twierdzenie (Riemanna) Załóżmy, że n=1 a n jest warunkowo zbieżny. Niech M będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Wtedy istnieje permutacja σ(n) ciągu taka, że n=1 a σ(n) = M. Istnieje również permutacja σ(n) taka, że n=1 a σ(n) = ±. 7 / 13

9 Twierdzenia arytmetyczne Twierdzenie Jeśli szeregi n=1 a n i n=1 b n są zbieżne, to zbieżne są szeregi n=1 c a n, n=1(a n + b n ), n=1(a n b n ) oraz zachodzą równości: 1 n=1 c a n = c n=1 a n, 2 n=1(a n + b n ) = n=1 a n + n=1 b n, 3 n=1(a n b n ) = n=1 a n n=1 b n. Twierdzenie Dwa szeregi różniące się skończoną liczbą wyrazów są albo oba zbieżne, albo oba rozbieżne. 8 / 13

10 Kryteria zbieżności szeregów Twierdzenie (warunek konieczny) Jeśli szereg n=1 a n jest zbieżny, to lim n a n = 0. Równoważnie: jeśli lim n a n = 0, to szereg n=1 a n jest rozbieżny. Twierdzenie (kryterium porównawcze) Jeżeli istnieje liczba n 0 taka, że a n b n dla n n 0, to zbieżność szeregu n=1 b n implikuje zbieżność szeregu n=1 a n, a rozbieżność szeregu n=1 a n implikuje rozbieżność szeregu n=1 b n. 9 / 13

11 Kryteria zbieżności szeregów Twierdzenie (kryterium d Alemberta) Zakladamy, że a n = 0 dla n N. Jeżeli lim sup a n+1 a n n < 1, to szereg n=1 a n jest zbieżny. Jeżeli lim inf a n+1 n a n > 1, to szereg n=1 a n jest rozbieżny. Twierdzenie (kryterium Cauchy ego) Jeżeli λ = lim sup n n a n, to szereg n=1 a n jest zbieżny, gdy λ < 1 i rozbieżny gdy λ > 1. Twierdzenie (kryterium Leibniza) Jeżeli ciąg (a n ) jest nierosnący i zbieżny do zera, to szereg n=1( 1) n 1 a n jest zbieżny. 10 / 13

12 Kryteria zbieżności szeregów Następujące proste kryterium również pochodzi od Cauchy ego. Twierdzenie (kryterium kondensacyjne) Załóżmy, że szereg n=1 a n jest taki, że ciąg ( a n ) jest monotonicznie malejący, a p jest liczbą naturalną większą od 1. Jeżeli zbieżny jest szereg n=1 p n a p n, to zbieżny jest szereg n=1 a n. Twierdzenie (kryterium Dirichleta) Jeżeli mamy dany szereg postaci n=1 a n b n, gdzie ciąg (a n ) jest monotoniczny i zbieżny do 0, zaś ciąg sum częściowych szeregu n=1 b n jest ograniczony, to szereg n=1 a n b n jest zbieżny. 11 / 13

13 Iloczyn Cauchy ego szeregów Mając dane dwa szeregi n=0 a n oraz n=0 b n definiuje się szereg n=0 c n, w którym wyrazy są dane następująco n c n = a n k b k = a 0 b n + a 1 b n a n 1 b 1 + a n b 0. (1) k=0 Szereg o takich wyrazach nazywamy iloczynem Cauchy ego szeregów. Twierdzenie (Mertensa) Jeżeli szeregi n=0 a n oraz n=0 b n są zbieżne i co najmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to zbieżny jest ich iloczyn (Cauchy ego) i wtedy jego suma wynosi ( n=0 a n ) ( n=0 b n ). 12 / 13

14 Bibliografia Grigorij M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, PWN, 2007 Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, 1947 Ostatnia wersja z dnia 13 lutego 2011 o godzinie 11: / 13