Teoria popytu konsumpcyjnego

Wykład 1 Teoria popytu konsumpcyjnego 1.1 Podstawowe pojęcia teorii popytu konsumpcyjnego Ekonomia jest studium racjonalnego wyboru(economics is the study of rational choice.) Analiza ekonomiczna wychodzi z założenia, że podmioty ekonomiii(economic agents) poszukują najlepszego elementu w odpowiednim zbiorze dostępnych możliwości. Konsumenci wybierają najlepszy plan konsumpcji spośród tych, na które ich stać. Każdy producent wybiera najbardziej zyskowny plan produkcji w obrębie swojej przestrzeni produkcyjnej.... W konsekwencji analiza ekonomiczna wymaga, aby badacz był w stanie uszeregować alternatywy i wskazać najlepszy element w rozmaitych zbiorach wyboru.(m. Carter, Mathematical Economics.) 1.1.1 Przestrzeń towarów i przestrzeń cen W analizie i modelowaniu zjawiska popytu konsumenta zasadniczą rolę odgrywają następujace obiekty: Dobra(towary) i przestrzeń towarów tą ostatnią nazwą określa się zbiór X, którego elementy reprezentują plany konsumpcji, lub inaczej wiązki(koszyki) dóbr(lub towarów). Zakładając, że mamy do czynienia ze skończoną liczbą wzajemnie rozróżnialnych i ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi 1,..., n dóbr, przyjmujemy, że wektory przestrzeni R n reprezentująwiązki(koszyki)dóbr(towarów)(ang.bundleofcommodities).przyjmujesięnajczęściej, że X= R n + ={(x 1,x 2,...,x n ) x i 0dlai=1,...,n}, czasem,żejesttojakiśwłaściwypodzbiórwypukłyzawartywr n +.Tutajnoznaczaliczbęrozważanychtowarów w realnych warunkach n może być bardzo duże, więc dla uproszczenia operuje się wielkościami zagregowanymi, reprezentującymiokreślonegrupytowarów.każdawspółrzędnax i,i=1,...,nwyznaczazatemilośćtowaruidentyfikowanegonumeremskładowej.dlaporównywaniawiązektowarówwyrażonychwpostaciwektorówx,y R n stosujemy następującą konwencję notacyjną: x y x j y j, j {1,2,...}; x>y x y i j 0 {1,2,...}, żex j0 >y j0 ; x y x j >y j, j {1,2,...}. Trzebazauważyć,żedlaprzypadkun>1,wodróżnieniuodprzypadkun=1dotyczącegoosiliczbowej,żadnaztych relacji nie jest relacją porządkującą, bo nie jest zupełna(nie każde dwa elementy są w relacji). 1.1.2 Relacja preferencji konsumenta Przyjmujemy, że w odniesieniu do wiązek towarów konsument wykazuje pewne preferencje postrzegając te wiązki towarów jako możliwe plany konsumpcji preferuje jeden z nich od drugiego(przedkłada jeden nad drugi), a wobec innych jest indyferentny jednakowo ceni każdy z danych dwóch planów konsumpcji. Modelując tę sytuację w języku matematyki wygodnie wyjść od opisu sytuacji, w której preferencje są nieostre, to jest gdy konsument ocenia jeden z planów konsumpcji jako nie gorszy od drugiego. W tym przypadku mówi się o słabej relacji preferencji i wymaga się od niej spełnienia następujących naturalnych własności. 2

3 Definicja 1.1(Relacja Preferencji Konsumenta) Relację x y określoną w przestrzeni towarów X nazywamy relacją preferencji, jeśli jest zwrotna, zupełna i przechodnia. (a) Zwrotność x X x x, (b) Zupełność x,y X x y lub y x, (1.1) (c) Przechodniość x,y,z X x y i y z = x y. Jeślidladwóchelementówx,y Xspełnionesąobawarunkix yiy x,tomówimy,żeteelementysądla konsumenta indyferentne, tj. konsument jest indyferentny wobec wyboru między jednym a drugim i tę sytuację oznaczamy symbolicznie x y. A zatem x y oraz y x x y Natomiastjeślizachodzix yiniezachodziy x,tomówimyżexjest ściśle preferowanywzględemy,co symbolicznie zapisujemy x y. Zakładamy dalej, że relacja preferencji jest spójna(konsystentna), tzn. że spełnia zwykłe warunki relacji słabego porządku: x y oraz y z = x z x y oraz y z = x z. Następnezałożenieorelacjipreferencjiwymaga,abyprzestrzeńtowarówX R n +byławypukłympodzbioremzbioru R n + wektorówonieujemnychwspółrzędnych.przyjęciezałożenia,żekonsument preferujeśredniewporównaniuze skrajnościami prowadzi do żądania, aby relacja preferencji była wypukła w następującym sensie. Wypukłość preferencji: x X V(x)={y X y x} jestwypukły. (1.2) Jeśli towary w wiązce są przez konsumenta pożądane(są bardziej dobrami niż szkodami ) relacja preferencji wiąże się z wielkością zasobu towaru w wiązce: x y = x y. Zazwyczaj przyjmujemy silniejsze założenie( im więcej, tym lepiej ), znane jako Postulat niedosytu: x>y = x y, (1.3) przynajmniejwtedy,gdyy 0. Ciągłość relacji preferencji: Przyjmujemy, że przestrzeń towarów X jest wyposażona w topologię jeśli nie będzie wyraźnie podana inna topologia, będzietotopologiaindukowanaprzeznormęwr n.ciągłośćrelacjipreferencjioznacza,żedlakażdegox Xoba zbiory{y X x y}i{y X y x}sądomknięte.azatemzbiory{y X x y}i{y X y x}są otwarte. Zadanie 1.1.1(Pewne relacje preferencji) WzbiorzeX= R 2 +reprezentującymkoszykidwóchdóbrrozważamynastępującerelacje: (a) (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) wtedyitylkowtedy,gdy min(x 1,x 2 ) min(y 1,y 2 ); (b) (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) wtedyitylkowtedy,gdy max(x 1,x 2 ) max(y 1,y 2 ); (c) (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) wtedyitylkowtedy,gdy x 1 >y 1 lub (x 1 =y 1 i x 2 y 2 ). Zbadać, które z własności wymienionych w tekście powyżej przysługują zdefiniowanym wyżej relacjom.

4 1.1.3 Funkcjaużyteczności Wygodny w użyciu, bo otwierający możliwość stosowania metod analitycznych sposób opisu preferencji opiera się o koncepcję miernika preferencji konsumenta. Przyjmuje się, że porównując ze sobą dowolne dwa różne koszyki towarów, konsument może określić przez odniesienie do pewnej liczbowej skali swój własny stopień użyteczności każdego z nich. A zatem konsument przyporządkowuje każdemu koszykowi x pewną liczbę rzeczywistą u(x) w taki sposób, że x y u(x) u(y). (1.4) A zatem konsument definiuje na swój własny użytek pewną funkcję określoną na przestrzeni towarów X odpowiadającą używanej przez niego relacji słabej preferencji. Tak określoną funkcję u: X R nazywa się funkcją użyteczności konsumenta odpowiadającą danej relacji preferencji(ang. utility function). Zbiory punktów(koszyków towarów), które mają jednakową użyteczność nazywa się zbiorami(powierzchniami) obojętności(indyferencji) konsumenta w języku matematyki są to poziomice funkcji użyteczności, tj. zbiory postaci O(α)={x X u(x)=α} dlaustalonegoα R.Natomiast przekrój wykresufunkcjiużytecznościudwu-wymiarowąpłaszczyzną(u,x i ),powstającąprzezustaleniewartościwszystkichpozai-tązmienną,jestwykresemfunkcjix i u i (x i )=u(x 0 1,...,x i,...x 0 n) nazywanej krzywą użyteczności i-tego towaru. Szczegółowe założenia o funkcji użyteczności. Dla umożliwienia stosowania metod analitycznych żąda się, aby funkcja użyteczności była odpowiednio gładka zazwyczaj wystarcza założenie ciągłości pierwszych i drugich pochodnych cząstkowych funkcji u. To założenie ma charakter techniczny i nie wynika z przesłanek ekonomicznych. Natomiast w oparciu o badania empiryczne żąda się od funkcji użyteczności szeregu innych własności, które odpowiadają obserwowanym prawidłowościom ekonomicznym. Najważniejszymi są: Postulatniedosytu.Dlakażdejzezmiennychx i,przywszystkichpozostałychzmiennychustalonych,funkcja x i u(x 0 1,...,x i,...x 0 n)jestrosnąca.stosującterminologięużywanąw(mikro-)ekonomiimożnatęwłasność (dziekizałożonejgładkościfunkcjiu)wypowiedziećwnastępującysposób( 1 ): Dladowolnegokoszykax 0 Xkrańcowastopaużytecznościi-tegotowaruwkoszykux 0 jestdodatnia.analitycznie u x i (x 0 )>0, dlakażdego i=1,...,n. Czasem osłabia się to założenie dopuszczając, żeby krańcowa stopa użyteczności towaru była nieujemna. Postulat lokalnego niedosytu. Postulat niedosytu stanowi zbyt daleko idące uproszczenie rzeczywistości w stosunku do każdego dobra istnieją granice jego użyteczności czy możliwości wykorzystania(por. mit o królu Midasie). Dlatego czasem używa się słabszego, lecz nieco bardziej złożonego matematycznie założenia o następującejformie:wkażdymotoczeniudowolnegopunktux Xistniejetakipunktx,żeu(x )>u(x).inaczej mówiąc, funkcja użyteczności nie ma lokalnych maksimów. PrawoGossena:( 2 )Krańcowaużytecznośćkażdegotowarumalejewmiaręjakwzrastajegospożycie.Analitycznym wyrażeniem tego prawa są nierówności 2 u x 2 (x)<0, dlakażdego i=1,...,n. (1.5) i Wypukłośćzbiorupreferowanychkoszyków.Ustalmykoszykx 0 irozważmyzbiórv(x 0 )wszystkichkoszyków o niemniejszej od niego użyteczności, por.(1.2). Oznaczając przez α użyteczność referencyjnego koszyka x 0,α=u(x 0 ),zbiórtenmożemyzapisaćjakozbiórnadpoziomicowyfunkcjiużyteczności V(x 0 )=G(α)={x X u(x) α}=u 1 ([α, [). (1.6) Azatemrelacjapreferencjijestwypukławtedyitylkowtedy,gdyzbiór(1.6)jestwypukłydlakażdegox 0 X, lub,comówitosamo,żedlakażdejliczbyα Rzbiórkoszykówoużytecznościniemniejszejniżαjestwypukły. Pokażemy poniżej, jak własność tę opisać bezpośrednio za pomocą funkcji użyteczności. 1 Wekonomiitermin krańcowy oznaczapoprostupochodną.(varian,loc.cit.str.98.) 2 HermannHeinrichGossen,niemieckiekonomistaXIXwieku.

Teoria popytu konsumpcyjnego 5 Zadanie 1.1.2(Funkcje użyteczności dla wybranych relacji preferencji c.d. Zadania 1.1.1) (d) Dla podanych funkcji (a) u(x 1,x 2 )=min(x 1,x 2 ) (b) u(x 1,x 2 )=max(x 1,x 2 ) naszkicowaćprzebiegkilkupoziomic(np.dlawartościu(x 1,x 2 )=1, 2,5).Wykazać,żezapomocąwzoru(1.4) odpowiadają one relacjom preferencji(a) i(b) z Zadania 1.1.1. (e) Których z postulowanych własności funkcji użyteczności nie spełniają te funkcje? (f) Wykazać, że relacji(c) z Zadania 1.1.1 nie odpowiada żadna ciągła funkcja użyteczności.

Wykład 2 Teoria popytu II 2.1 Wypukłość funkcji i jej uogólnienia Funkcje wypukłe, funkcje wklęsłe,..., i jakie jeszcze bywają funkcje? Przypomnijmy pojęcie wypukłości funkcji. Definicja2.1(Wypukłośćfunkcji)Funkcjęf:K RokreślonąnaniepustympodzbiorzewypukłymK R n nazywamy funkcją wypukłą, jeśli zbiór E(f)={(x,t) K R f(x) t} jestzbioremwypukłym.funkcjęf:k Rnazywamyfunkcjąwklęsłą,jeślifunkcja( f)jestwypukła. Stwierdzenie2.1NiechK R n będziejakwyżej.funkcjaf:k Rjestfunkcjąwypukłąwtedyitylkowtedy,gdy dlakażdejparyx 1,x 2 Kikażdejliczbyλ [0,1]zachodzinierówność f(λx 1 +(1 λ)x 2 ) λf(x 1 )+(1 λ)f(x 2 ) (2.1) a jest funkcją wklęsłą wtedy i tylko wtedy, gdy w analogicznych warunkach zachodzi nierówność odwrotna. Mówimyteż,żefjestściślewypukła,jeśliwpowyższymwarunkuspełnionajestnierównośćostradlaλ 0iλ 1. W analogiczny sposób określamy funkcje ściśle wklęsłe. 8 6 4 2-3 -2-1 1 2 3 Położenie siecznej względem wykresu funkcji: wypukłość po prawej, wklęsłość po lewej Do badania wypukłości(wklęsłości) funkcji wielu zmiennych wykorzystuje się najczęściej następujący rezultat znany z wykładów analizy matematycznej. Stwierdzenie2.2NiechW R n będzieotwartyiwypukłyiniechf:w RbędziefunkcjąklasyC 2.Oznaczmy przez Hf(x)(symetryczną) macierz jej drugich pochodnych cząstkowych w p-cie x,(macierz Hessego funkcji f), ( 2 ) f(x) Hf(x)=. x i x j 6

Teoria popytu konsumpcyjnego 7 (a)nato,abyfbyławypukłanawpotrzebaiwystarcza,abyjejmacierzhessegohf(x)byładodatniopółokreślona wkażdympunkciex W.JeśliHf(x)jestwkażdympunkciedodatniookreślona,tofjestściślewypukła. (b)nato,abyfbyławklęsłanawpotrzebaiwystarcza,abyjejmacierzhessegohf(x)byłaujemniepółokreślona wkażdympunkciex W.JeśliHf(x)jestwkażdympunkcieujemnieokreślona,tofjestściślewklęsła. Stąd jako natychmiastowy wniosek otrzymujemy prawo Gossena. Wniosek2.1(PrawoGossena)JeślifunkcjaużytecznościujestściślewklęsławwypukłymzbiorzeX R n +,to nierówności(1.5) 2 u x 2 (x)<0, dlakażdego i=1,...,n. i są spełnione. Dowód. Rzeczywiście,jeślie i =(0,...,0,1,0,...,0) t oznaczajakzwyklei-tywektorbazystandardowejwr n, to 2 u ( x 2 (x)=e t 2 u ) i (x) e i = i x i x j 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u x 2 (x)... (x) (x) (x)... (x) 1 x 1 x i 1 x 1 x i x 1 x i+1 x 1 x 0 n........ ( ) 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 0 = 0...010...0 (x)... (x) x i x 1 x i x i 1 x 2 (x) (x)... (x) i x i x i+1 x i x n 1 <0... 0... 2 u 2 u 2 u 2 u 2. u (x)... (x) (x) (x)... x n x 1 x n x i 1 x n x i x n x i+1 x 2 (x) 0 n 2.1.1 PRZYPOMNIENIE Formy kwadratowe określone lub półokreślone Definicja2.2(Określonośćformkwadratowych)FormękwadratowąQ A (x)nazywamyformądodatnio(odpowiednio,ujemnie)określoną,jeślidlakażdegowektora R n x 0mamyQ A (x)>0(odpowiednioq A (x)<0). JeśliformakwadratowaQ A (x)przyjmujenakażdymwektorzewartościnieujemne,tzn.dlakażdegowektorax R n mamyq A (x) 0,tonazywamyjąformądodatniopółokreśloną.Analogicznieokreślamyformyujemniepółokreślone. Formy, nie będące określonymi ani półokreślonymi nazywają się formami nieokreślonymi. MacierzsymetrycznąA M s n (R)będziemynazywaćmacierządodatnio(odpowiednio,ujemnie)określoną(półokreśloną),jeśliodpowiadającajejformakwadratowaQ A (x)matęwłasność. Zgodnie z powyższymi określeniemi forma określona dodatnio(odpow. ujemnie) jest także formą półokreśloną dodatnio(odpow. ujemnie). Jednakże forma półokreślona może przyjmować wartość równą 0 dla różnych od zera wektorówprzestrzeni R n,coniemożemiećmiejscawprzypadkuformyokreślonej. Można nietrudno wykazać, że forma nieokreślona przyjmuje na niezerowych wektorach wartości różnych znaków, tj.istniejątakieniezerowex,y R n,żeq A (x)>0iq A (y)<0,azciągłościwynika,żemusiprzyjmowaćteżwartość 0 dla jakiegoś niezerowego wektora. Jestjasne,żeformakwadratowaQ A (x)omacierzya Mn s(r)jestdodatnio(odpowiednio,ujemnie)określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy A są dodatnie(odpowiednio, ujemne). Półokreślona formamożemieć0jakowartośćwłasną,alejejróżneodzerawartościwłasnemusząmiećtensamznak. W algebrze dowodzi się następującego ogólnego kryterium określoności form kwadratowych. Stwierdzenie2.3NiechQ A (x)= n a ij x i x j będzieformąkwadratowąomacierzya Mn s(r).dlaj=1,...,n i,j=1 oznaczmyprzezd j =det[a kl ] 1 k,l j minorgłównystopniajmacierzya. FormaQ A (x)jest: dodatniookreślona d j >0dlaj=1,...,n; ujemnieokreślona ( 1) j d j >0dlaj=1,...,n.

Teoria popytu konsumpcyjnego 8 Przypomnijmy, że minorem głównym stopnia j macierzy kwadratowej A(niekoniecznie symetrycznej) nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia j powstającej z macierzy A przez wykreślenie z niej ostatnich n j wierszy in jkolumn. Naprzykład,minoramigłównymistopni1,2i3macierzyA=[a ij ] M n (R)są: 2.1.2 Formy kwadratowe półokreślone d 1 =a 11, (2.2) a 11 a 12 d 2 = a 21 a 22 =a 11a 22 a 12 a 21, (2.3) a 11 a 12 a 13 d 3 = a 21 a 22 a 23 =a 11 a 22 a 33 +... a 13 a 22 a 31... (2.4) a 31 a 32 a 33 Przedstawimy przykład pokazujący, że podanego w Stwierdzeniu 2.3 kryterium określoności macierzy(dodatniej lub ujemnej) nie można rozszerzyć na przypadek form półokreślonych przez prostą zamianę nierówności ostrej na nieostrą. Przykłady 2.1.1(Znaki form kwadratowych dla n = 3) Wszystkieponiższemacierzespełniajątensamwarunek( 1) j d j 0dlaj=1,2,3: 1 0 0 macierz ujemnie półokreślona: A = 0 1 0, d1 0,d 2 0,d 3 0, (2.5) 0 0 0 1 0 0 macierz nieokreślona: A = 0 0 0, d1 0,d 2 0,d 3 0, (2.6) macierz dodatnio półokreślona: A = 0 0 1 0 0 0 0 1 0, d1 0,d 2 0,d 3 0. (2.7) 0 0 1 (2.8) 2.1.3 Półokreśloność form kwadratowych dwóch zmiennych Dla przypadku n = 2 można sformułować prostą i pełną charakteryzację półokreśloności form kwadratowych w następującej postaci. NiechAbędzieniezerowąmacierząsymetrycznąstopnia2owspółczynnikachrzeczywistych,A=( a11a12 a 12a 22 ).Przypomnijmy,żewyznacznikiśladmacierzyAsądanewzoramidetA=a 11 a 22 (a 12 ) 2,trA=a 11 +a 22. Stwierdzenie 2.4 Na to by forma kwadratowa Q A (x)=a 11 x 2 1 +2a 12x 1 x 2 +a 22 x 2 2 (2.9) omacierzya=( a11a12 a 12a 22 )byłapółokreślonapotrzebaiwystarcza,bydeta 0.WtakimprzypadkuformaQ A (x)jest dodatniopółokreślona,gdytra>0,aujemniepółokreślona,gdytra<0. Zbierając razem powyższe warunki dostajemy następującą pełną charakteryzację form kwadratowych dwóch zmiennych: Stwierdzenie2.5FormakwadratowaQ A (x)zadanawzorem(2.9)jest: Określonawtedyitylkowtedy,gdydetA>0, aprzytymokreślonadodatnio,gdytra>0 określonaujemnie,gdytra<0. Półokreślona,alenieokreślona,wtedyitylkowtedy,gdydetA=0, aprzytympółokreślonadodatnio,gdytra>0 półokreślonaujemnie,gdytra<0. W zastosowaniach ekonomicznych często wykorzystywane są poniższe funkcje.

Teoria popytu konsumpcyjnego 9 Wniosek2.2Następującefunkcjeokreślonena R n + sąwklęsłe: (a) u(x 1,x 2,...,x n )=ax α1 1 xα2 2...xαn n, 0<a,0<α j, (b) u(x 1,x 2,...,x n )=a (c) u(x 1,x 2,...,x n )= n α j lnx j, 0<a,0<α j, j=1 n j=1 n α j <1, FunkcjaCobba-Douglasa (2.10) j=1 n α j <1, (2.11) j=1 α j x βj j, 0<α j,0<β j <1. (2.12) Wykresy funkcji Cobba-Douglasa z różnych punktów widzenia 2.1.4 Uzupełnienie uogólnienia wypukłości Definicja 2.3(Funkcje quasi-wypukłe lub quasi-wklęsłe) Funkcję f: X R określoną na zbiorze wypukłym X R n będziemynazywaćfunkcjąquasi-wypukłąnax,jeślidlakażdychx,y Xikażdegoλ [0,1]zachodzi f(λx+(1 λ)y) max{f(x),f(y)}, i odpowiednio funkcją quasi-wklęsłą na X, jeśli przy tych samych założeniach spełniona jest nierówność f(λx+(1 λ)y) min{f(x),f(y)}, Innymi słowy, funkcja jest quasi-wklęsła, jeśli na odcinku łączącym punkty x, y przyjmuje wartości nie mniejsze od mniejszej z wartości na krańcach tego odcinka(tj. minimum funkcji jest przyjmowane na jednym z krańców odcinka), a quasi-wypukła, jeśli na odcinku łączącym punkty x, y przyjmuje wartości nie większe od większej z wartości na krańcach tego odcinka.

Teoria popytu konsumpcyjnego 10 Pozostawiamy do samodzielnego sprawdzenia, że funkcje wypukłe(odpowiednio, wklęsłe) są quasi-wypukłe,(odpowiednio, quasi-wklęsłe). Stwierdzenie2.6Funkcjaf:X RokreślonanazbiorzewypukłymX R n jestquasi-wypukłanaxwtedyitylko wtedy,gdydlakażdejliczbyα Rzbiór{x X f(x) α}jestwypukły. Analogicznie,fjestfunkcjąquasi-wklęsłąnaXwtedyitylkowtedy,gdyzbiór{x X f(x) α}jestwypukły dlakażdejliczbyα R. D o w ó d. Wykażemy tylko podaną charakteryzację funkcji quasi-wklęsłosłych dowód w drugim przypadku jest wpełnianalogiczny.niechα Rbędziedowolne.Załóżymynajpierw,żefjestquasiwklęsłainiechx,y G(α)= {x X f(x) α}.dladowolnegoλ [0,1]mamyzatem f(λx+(1 λ)y) min{f(x),f(y)} α gdyżobiewartościf(x),f(y)funkcjifsąniemniejszeniżα.azatemλx+(1 λ)y G(α).Odwrotnie,jeślizbiórG(α) jestwypukłydlakażdegoza R,toobrawszydowolniepunktyx,y Xprzyjmiemyα=min{f(x),f(y)}iutworzymy zbiórg(α).jestonwypukłyioczywiściex,y G(α),więctakżeλx+(1 λ)y G(α),czylif(λx+(1 λ)y) min{f(x), f(y)}, co trzeba było wykazać. A więc, zgodnie z określemiem wypukłości relacji preferencji konsumenta(por.(1.6)), relacja preferencji jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja użyteczności odpowiadająca tej relacji jest quasi wklęsła. Do uzupełnienia: Przykłady funkcje quasi-wklęsłe i nie wklęsłe, i tp. Podamy jeszcze jedną definicję. Definicja 2.4(Funkcje pseudo-wypukłe lub pseudo-wklęsłe) Funkcja różniczkowalna f: X R nazywa się funkcjąpseudo-wypukłą,gdydlakażdegox 0 Xidowolnegoh R n,takiegożex 0 +h Xspełnionajestimplikacja h f(x 0 )=h gradf(x 0 ) 0= f(x 0 +h) f(x 0 ). Jeśli spełniona jest implikacja z odwróconymi nierównościami po obu stronach, to mówimy, że funkcja jest pseudowklęsła. Podobnie jak poprzednia, powyższa definicja jest rozszerzeniem definicji wypukłości, gdyż różniczkowalne funkcje wypukłe są pseudo-wypukłe(ale nie na odwrót), a nadto funkcje pseudo-wypukłe są quasi-wypukłe. Hiperpłaszczyzna podpierająca wykres funkcji wypukłej Przypomnijmy, że hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór wypukły F jest taka hiperpłaszczyzna, która ma przynajmniej jeden punkt wspólny z F oraz F jest zawarty w półprzestrzeni wyznaczonej przez tę hiperpłaszczyznę inaczej mówiąc F leży po jednej stronie tej hiperpłaszczyzny. Stwierdzenie2.7NiechD R n będzieotwartymzbioremwypukłymif:d Rróżniczkowalnąfunkcjąwypukłą.W każdympunkcie(x,f(x)) R n+1 wykresupłaszczyznastycznadowykresujesthiperpłaszczyznąpodpierającąnadwykres funkcjif. Ponieważrównaniehiperpłaszczyznystycznejdowykresufwpunkciex 0 Dmapostać więc dla każdego x D zachodzą nierówności y f(x 0 )=gradf(x 0 ) (x x 0 )=0 f(x) f(x 0 )+gradf(x 0 ) (x x 0 ), fwypukła (2.13) f(x) f(x 0 )+gradf(x 0 ) (x x 0 ), fwklęsła (2.14)

Teoria popytu konsumpcyjnego 11 2.2 Zagadnienie wyboru optymalnego planu konsumpcji 2.2.1 Ceny i zbiór budżetowy Definicja2.5(Zbiórbudżetowy)Przypisująci-temutowarowijednostkowącenęp i wyrażonąliczbądodatniąmożemyzbiór R n + traktowaćjakozbiórwektorówcen.wartościąkoszykax Xnazywamyliczbęp x= n p i x i.jeślii jest liczbą nieujemną, to zbiór koszyków o wartości nie przekraczającej I nazywamy zbiorem dopuszczalnych planów konsumpcji przy dochodzie I, lub krótko zbiorem budżetowym i oznaczamy B(p,I)={x X p x I}. Zauważmy,żeB(p,I)jestzwartympodzbioremwypukłymwR n. Przyjmujemy( 1 ),żekażdykonsumentdysponujeustalonymdochodemi,któregoniemożeprzekraczać(wliczamy więc w to rozsądnej wielkości kredyty) i jego postępowanie jest podporządkowane następującemu celowi: jak przy danym wektorze cen p wybrać plan konsumpcji o maksymalnej użyteczności w zbiorze budżetowym B(p, I). Mamy więc: Zagadnienie Maksymalizacji Użyteczności Konsumenta ZMUK: Taknazywasięzagadnieniewyznaczeniapunktux X,dlaktóregozachodzi u(x )=maxu(x), przywarunku p x I. (2.15) Prosty argument pokazuje, że dla funkcji użyteczności, która ma własność lokalnego niedosytu, nierówność w(2.15) musi być wysycona w punkcie optymalnym, tj. jeśli x jest rozwiązaniem ZMUK, to p x=i. (2.16) Dla wyznaczenie maksimum funkcji użyteczności możemy zatem użyć klasycznej metody poszukiwania ekstremum warunkowego z więzami w formie równości, czyli metody opartej na użyciu funkcji Lagrange a. Funkcję L(x, λ) = u(x) λ(i p x)nazywamyfunkcjąlagrange aproblemu2.15. Przykład(O.Z.) Piwo i kebab. Zakładamy, że konsument(student) jest racjonalny, a jego preferencje są gładkie i spełniają postulat lokalnego niedosytu (naprzykładsądaneprzezfunkcjęc D).Szukanajest maksymalnaużyteczność wiązki(x 1,x 2),gdziex 1,x 2sąilościami skonsumowanegodobra(x 1 piwa,x 2 kebabu) maxu(x 1,x 2) i=1 pod warunkiem p 1x 1+p 2x 2 I ap 1,p 2sącenamijednostkowymipiwaikebabu,zaśI wysokośćstypendium. Badania są w toku, czy są to dobra substytucyjne, czy komplementarne prawdopodobnie ten podział ma charakter lokalny (jak w postulacie niedosytu). Dla sformułowania warunku optymalności(pierwszego rzędu) używamy funkcji Lagrange a L=u(x 1,x 2) λ(i p 1x 1 p 2x 2) (2.17) Z wykładu analizy matematycznej wiadomo, że warunkiem koniecznym ekstremum jest spełnienie równań = u (x) λp 1=0 x 1 x 1 = u (x) λp 2=0, x 2 x 2 λ =I p1x1 p2x2=0. 1 Jaksięwydaje,koncepcjatapochodziodAlfredaMarshalla,(Principlesofeconomics,1898)

Teoria popytu konsumpcyjnego 12 Z pierwszych dwóch równań wyprowadzamy równości u (x u ): (x )=p 1:p 2 x 1 x 2 oraz 1 u (x )=λ, i=1,2. p i x i Mnożnik Lagrange a cena cień mówi o tym, co się stanie, jeśli ograniczenie zmieni się o jedną jednostkę pieniężną, czyli jaki jest wzrost użyteczności z dodatkowej złotówki w budżecie. 2.2.2 Interpretacjeekonomiczne Podamy ogólne rozwiązanie zagadnienia maksymalizacji użyteczności konsumenta. Stwierdzenie 2.8 Przy odpowiednich założeniach o funkcji użyteczności u rozwiązania zagadnienia optymalizacji planu konsumpcji(2.15) są rozwiązaniami układu równań w postaci warunku z mnożnikiem Lagrange a λ > 0, gradl=gradu(x) λp=0; λ =I p x=0. (2.18) Zastępując wektorową postać równania(2.18) przez układ równań skalarnych otrzymujemy równoważne sformułowanie = u (x) λp i =0, dla i=1,2,...n, (2.19) x i x i zwarunkiem p x=i. (2.20) Rozwiązanie takie jest jedyne, na przykład wtedy, gdy funkcja użyteczności u jest ściśle wklęsła lub nawet quasi-wklęsła. Jest ono nazywane optymalnym planem konsumpcji. Użyteczność optymalnego planu konsumpcji(zależna od układu cen p i wielkości budżetu I) jest wartością maksymalną funkcji użyteczności w zbiorze budżetowym B(p, I), inaczej v(p,i)=maxu(x), podwarunkiem p x I. (2.21) W ten sposób powstaje jedna z podstawowych funkcji teorii nazywana pośrednią funkcją użyteczności funkcja (p, I) v(p, I) R, której wartość jest równa użyteczności optymalnego planu konsumpcji. 2.2.3 Sformułowania i wnioski ekonomiczne Geometryczna interpretacja równań(2.18) określających optymalny plan konsumpcji pozwoli nam również na wyciągnięcie pewnych wniosków o charakterze ekonomicznym. Najpierw wprowadzimy definicję o charakterze czysto matematycznym Definicja 2.6(Płaszczyzna styczna do poziomicy funkcji) Jeśli x u(x) jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągływotwartymobszarzeω R n iξ Ω,tozbiórpunktówspełniającychrównanie u x 1 (ξ)(x 1 ξ 1 )+ u x 2 (ξ)(x 2 ξ 2 )+...+ u x n (ξ)(x n ξ n )=0 (2.22) nazywa się płaszczyzną styczną w punkcie ξ do poziomicy u(x) = u(ξ). Przykład 2.2.1(Poziomice funkcji Cobba-Douglasa) Optymalny plan konsumpcji x leży na płaszczyźnie budżetowej w punkcie styczności tej płaszczyzny do powierzchni obojętności.azatemzzależnościi p x=0wynika,żeniemamożliwościoszczędzania(całydochódzostajezużyty dokonsumpcji).płaszczyznabudżetowajestpłaszczyznąpodpierającądlazbioru{x X u(x) u(x)}wpunkcie x, a w przypadku, gdy funkcja użyteczności jest gładka, styczną do powierzchni obojętności przechodzącej przez ten punkt. Czasami tę obserwację formułuje się następująco: Budżet należy tak rozkładać, aby płaszczyzna budżetu była styczna do powierzchni obojętności. Ponadto wektor grad u(x), który, jak wiemy, jest prostopadły do powierzchni obojętności w tym punkcie i wskazuje

Teoria popytu konsumpcyjnego 13 wkierunkunajszybszegowzrostuużyteczności,makierunekizwrotwektoracenp(gradu(x)=λp,dlaλ>0).ato oznacza, że spełnione są następujące warunki u u (x): (x)=p i :p j dlai j. (2.23) x i x j O lewej stronie tego równania, która jest znana jako krańcowa stopa substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w optymalnym koszyku, więcej powiemy w dalszym ciągu. W tym miejscu zauważymy tylko, że warunki(2.23) stwierdzają, że przy realizacji optymalnego planu konsumpcji podział budżetu między poszczególne towary jest taki, że dla każdego dobra proporcja między jego użytecznością krańcową a ceną jest taka sama. Wartość tej proporcji jest mierzona wartością mnożnika Lagrange a λ: 1 u (x)=λ, dlai=1,...,n. (2.24) p i x i Na koniec zauważmy, że otrzymane rozwiązanie zagadnienia optymalizacji nie zmienia się przy zmianie cen i dochodu w jednakowych proporcjach, tzn. gdy wszystkie ceny oraz dochód pomnożyć przez stały czynnik dodatni. Ekonomiści nazywają to zachowanie brakiem iluzji pieniądza ze strony konsumenta. Przykład 2.2.2(Funkcja użyteczności Rubina Kleina) Przyjmijmy u(x 1,x 2 )=α 1 ln(x 1 q 1 )+α 2 ln(x 2 q 2 ), dla x 1 q 1,x 2 q 2 iα 1,α 2 sądodatnie.możnazałożyć,żeα 1 +α 2 =1 wskaźnikipodziałukonsumpcji.natomiastq 1,q 2 są minimalnymi poziomami konsumpcji danego dobra. Równania(2.19) mają postać Po rozwiązaniu otrzymujemy funkcję popytu = u (x) λp 1 = α 1 λp 1 =0 x 1 x 1 x 1 q 1 = u (x) λp 2 = α 2 λp 2 =0, x 2 x 2 x 2 q 2 λ =I p 1x 1 p 2 x 2 =0. x 1 =q 1 + α 1 p 1 (I p 1 q 1 p 2 q 2 ) (2.25) x 2 =q 2 + α 2 p 2 (I p 1 q 1 p 2 q 2 ) (2.26) z oczywistą interpretacją nadwyżka ponad minimalny poziom powstaje z podziału reszty dochodu ponad wydatek na minimum. Wydatki konsumenta na poszczególne dobra przy zakupie optymalnego koszyka wyrażają wzory p 1 x 1 =p 1 q 1 +α 1 (I p 1 q 1 p 2 q 2 ) p 2 x 2 =p 2 q 2 +α 2 (I p 1 q 1 p 2 q 2 ) 2.3 Minimalizacja wydatków na uzyskanie oczekiwanej użyteczności Wykorzystywanejestrównieżinnespojrzenienakształtowaniesiępopytu,wiązaneznazwiskiemJohnaHicksa( 2 ),a mianowicie jako wynik dążenia konsumenta do minimalizacji wydatków na zakup koszyka o pożądanej użyteczności (lepiej,użytecznościniemniejszejniżpożądanyjejpoziom).kosztkoszykax=(x 1,...,x n )przedstawialiczba n p j x j =p x,azatemfunkcję j=1 X x k(x)=p x R + możemy nazwać funkcją kosztu koszyka. To prowadzi do następującego sformułowania. Zagadnienie Minimalizacji Wydatków na Zakup Koszyka ZMWZK Szukane jest minimum funkcji kosztu koszyka k(x)=p x min, przywarunku u(x) u 0, (2.27) 2 JohnHicks,Sir,8.04.1904-20.05.1989.Nagrodaim.A.Noblawdziedzinieekonomiiw1972

Teoria popytu konsumpcyjnego 14 tojestminimalnywydateknazakupkoszykaoużytecznościniemniejszejodzadanejwartościu 0. Podobnie jak przy wyznaczaniu rozwiązania Zagadnienia Maksymalizacji Użyteczności Konsumenta(ZMUK) prosty argument wykorzystujący monotoniczność funkcji kosztu i własność lokalnego niedosytu funkcji użyteczności pozwala ograniczyć poszukiwanie rozwiązania zagadnienia(2.27) do punktów leżących na powierzchni obojętności u(x)=u 0.Możemyzatemposłużyćsięstandardowąmetodąwyznaczeniaekstremumwarunkowegozwarunkiemw postaci równości metodą mnożników Lagrange a. Przy odpowiednich założeniach na funkcję użyteczności, rozwiązanie tego zagadnienia przy danych cenach wyrażonychwektorempizadanympoziomieużytecznościu=u 0 jestjedyne.będziemyjeoznaczaćsymbolemh(p,u) i nazywać Hicksowską funkcją popytu konsumenta. Rozwiązanie to konstruowane jest w analogii do konstrukcji funkcji popytu Marshalla. Rozwiązaniem zagadnienia(2.27) jest punkt stacjonarny funkcji Lagrange a wyznaczony jako rozwiązanie równań(pierwszego rzędu) L H (x,λ)=p x λ(u 0 u(x)), H =p i λ u (x)=0, dla i=1,...,n, x i x i (2.28) H λ =u 0 u(x)=0, czyliwarunek u 0 u(x)=0. (2.29) Można zauważyć, że znaczenie tych równań jest analogiczne do równań wyprowadzonych dla Marshallowskiej funkcji popytu. W szczególności w punkcie x będącym rozwiązaniem tych równań mamy, podobnie jak poprzednio, Znaczenie mnożnika Lagrange a jest inne u u (x): (x)=p i :p j dlai j. x i x j 1 u (x)= 1, dlai=1,...,n. (2.30) p i x i λ Podanie jawnego rozwiązania dla funkcji popytu zależy od możliwości rozwiązania równania odpowiadającego warunkowi(2.29). Na szczęście, jak to pokażemy poniżej, przy dość ogólnych założeniach o funkcji użyteczności oba te podejścia prowadzą do tych samych rezultatów. Przykład 2.3.1(Hicksowska funkcja popytu dla funkcji użyteczności Rubina Kleina) Przypomnijmy, że ta funkcja określona jest wzorem u(x 1,x 2 )=α 1 ln(x 1 q 1 )+α 2 ln(x 2 q 2 ), dla x 1 q 1,x 2 q 2, przyczymwspółczynnikiα 1,α 2 spełniająα 1 +α 2 =1.Równania(2.28)mająpostać Z dwóch pierwszych równań otrzymujemy =p 1 λ u (x)=p 1 λα 1 =0 x 1 x 1 x 1 q 1 =p 2 λ u (x)=p 2 λα 2 =0, x 2 x 2 x 2 q 2 λ =u 0 α 1 ln(x 1 q 1 ) α 2 ln(x 2 q 2 )=0. α 1 p 2 α 2 p 1 = x 1 q 1 x 2 q 2, (2.31) aostatnie,pouwzględnieniuwłasnościlogarytmównaturalnychizależnościα 1 +α 2 =1,prowadzidowyrażenia ( x1 q ) α1 e u0 1 = (x2 q 2 ). x 2 q 2 Stąd x 2 q 2 = ( α2 p 1 α 1 p 2 ) α1 e u 0

Teoria popytu konsumpcyjnego 15 Z równania(2.31) dostajemy x 1 q 1 = α 1p 2 α 2 p 1 (x 2 q 2 )= α 1p 2 α 2 p 1 ( α2 p 1 α 1 p 2 ) α1 e u 0 Stąd ostatecznie otrzymujemy wzór dla Hicksowskiej funkcji popytu ( α1 p ) α2 2 x 1 =q 1 + e u 0 (2.32) α 2 p 1 ( α2 p ) α1 1 x 2 =q 2 + e u 0. (2.33) α 1 p 2 W ogólności zależność między funkcjami popytu otrzymanymi na wskazanych drogach daje następujące Twierdzenie. Stwierdzenie2.9(a)Jeślifunkcjaużytecznościuspełnia postulatlokalnegoniedosytu,toprzydowolnychp 0 0,I 0 0zp 0 0punktx 0 maksymalizującyuwzbiorzebudżetowymb(p 0,I 0 )jestjednocześniepunktemminimalizującymwydatkiwzbiorzeg(u(x 0 )). (b)jeślifunkcjaużytecznościujestciągła,p 0 0,p 0 0,punktx 0 minimalizujekosztkoszykawzbiorzeg(u(x 0 ))i jeślii 0 =p 0 x 0 0spełniawarunekI 0 >inf{p 0 x x X},tox 0 maksymalizujefunkcjęuwzbiorzebudżetowym B(p 0,I 0 ). Warunek sformułowany w punkcie(b) powyższego twierdzenia nazywamy założeniem o istnieniu tańszego koszyka. D o w ó d. Dowód obu punktów przeprowadzimy przez sprowadzenie do niedorzeczności. Dladowodupunktu(a)zauważmynajpierw,żezbiórkoszykówxomniejszymkoszcieniżkosztkoszykax 0,tj. zbiór{x X p 0 x<p0 x0 },jestotwarty.jeśliwięcwzbiorzeg(u(x 0 ))znalazłbysiępunktx omniejszymodx 0 koszcie,tokorzystajączwarunkulokalnegoniedosytumożemyrównieżwybraćtakipunktx,dlaktóregospełnione sąobienierównościp 0 x <p 0 x0 iu(x )>u(x ).Azatemx maściślewiększąużytecznośćniżx 0 inależydozbioru budżetowego,więcx 0 niebyłbyelementemmaksymalizującymużytecznośćwtymzbiorze.tasprzecznośćdowodzi, żezbiórg(u(x 0 ))niezawierakoszykówokoszciemniejszymniżkosztx 0. Dladowodu(b)załóżmy,żewzbiorzebudżetowymznajdziemypunktx B(p 0,I 0 )owiększejużytecznościod x 0,tj.u(x )>u(x 0 ).Wykorzystujączałożenieoistnieniutańszegokoszykaobierzmytakix,żep 0 x <I 0 =p 0 x0. Gdybyzachodziłanierównośću(x ) u(x 0 ),tox byłbypunktemomniejszymodx 0 koszcienależącymdozbioru G(u(x 0 )),wbrewzałożeniu.zkoleijeśliu(x )<u(x 0 ),todlaciągłejfunkcjiuznaleźliśmypunktyx 0,x,x,dla którychu(x )<u(x 0 )<u(x ),awtedynaodcinkułączącymx zx będzieleżałpunktotejsamejużytecznościco x 0 imniejszymodniegokoszcie,atorównieżprzeczyzałożeniu. Zadanie 2.3.1(Funkcje popytu dla modelu Rubina Kleina) Wykorzystując obliczenia z Przykładów 2.2.2 i 2.3.1 sprawdzić tezę powyższego Stwierdzenia dla funkcji użyteczności Rubina Kleina. 2.4 Funkcja popytu konsumpcyjnego i jej własności Powyżej wyznaczyliśmy optymalny plan konsumpcji dla danych cen reprezentowanych wektorem p i danego dochodu I, a teraz przechodzimy do badania zależności planu optymalnego od wielkości cen i dochodu. Definicja 2.7(Funkcja popytu konsumpcyjnego i pośrednia funkcja użyteczności) Niechdladanegoukładucenp R n +idochodui R + wektorx R n +reprezentujeoptymalnyplankonsumpcji w zbiorze budżetowym B(p, I) wyznaczony jako rozwiązanie zagadnienia optymalizacji planu konsumpcji danego równaniami(2.15). Funkcjęϕ:R n + R + R n +, R n + R + (p,i) ϕ(p,i)=x R n (2.34) przedstawiającą zależność planu optymalnego od poziomu cen i dochodu konsumenta nazywa się funkcją popytu konsumpcyjnego. Złożenie funkcji użyteczności z funkcją popytu konsumpcyjnego, tj. funkcję R n + R + (p,i) ν(p,i)=u(ϕ(p,i)) R (2.35)

Teoria popytu konsumpcyjnego 16 nazywa się pośrednią funkcją użyteczności. Inaczej mówiąc, ν(p,i)= max u(x). (2.36) x B(p,I) Zgodnie z tą definicją funkcja popytu konsumpcyjnego spełnia tożsamościowo(względem p, I) następujące równości (gradu)(ϕ(p,i)) λp=0; I p ϕ(p,i)=0. (2.37) Odnotujmy, że na mocy obserwacji odnotowanej powyżej funkcja popytu konsumpcyjnego jest dodatnio jednorodna stopnia 0, tj. spełnia tożsamość ϕ(αp,αi)=ϕ(p,i), dlawszystkich α>0,(p,i) R n + R +. (2.38) Jest to wyrażenie faktu, że popyt zależy od struktury cen i dochodów, a nie od ich bezwzględnego poziomu. Zauważmy dalej, że przez różniczkowanie drugiej z tożsamości(2.37) otrzymujemy 1= n j=1 p j ϕ j I (p,i) skąd dalej przez zastosowanie równań(2.24) dochodzimy do nowej interpretacji mnożnika Lagrange a λ, a mianowicie n ν I (p,i)= j=1 u (ϕ(p,i)) ϕ j (p,i)=λ (2.39) x j I λ jest równy krańcowej użyteczności dochodu. Jedną z ważniejszych własności pośredniej funkcji użyteczności jest możliwość wyrażenia funkcji popytu w terminach pośredniej funkcji użyteczności. Stwierdzenie 2.10(Tożsamość Roya) Funkcja popytu(p, I) ϕ(p, I) wyraża się wzorami; ν (p,i) p j ϕ j (p,i)=, j=1,...,n ν j I (p,i) Blisko związana z poprzednimi jest funkcja wydatków(expenditure function), która podaje minimalny koszt osiągnięcia zadanego poziomu użyteczności. Jest ona dana wzorem Definicja 2.8(Funkcja wydatków konsumenta) Funkcją wydatków(kosztów) konsumenta nazywa się funkcję(p, u) e(p, u) określoną wzorem krócej e(p,u)=min x p x, przywarunku u(x) u (2.40) Mamy e(p,u)= min p x. (2.40 ) {x u(x) u} Stwierdzenie 2.11(Lemat Shepharda) Jeśli e(p, u) jest funkcją wydatków konsumenta, to(hicksowska) funkcja popytu(p, u) h(p, u) określona jako wiązka minimalizująca wydatek na uzyskanie poziomu użyteczności u przy zadanym poziomie cen p jest dana wzorem h i (p,u)= e p i (p,u), i=1,...,n.

Teoria popytu konsumpcyjnego 17 2.4.1 Elastyczność popytu cenowa i dochodowa Ważnymi wskaźnikami własności funkcji popytu są tak zwane elastyczności. Elastyczności cenowe funkcji popytu definiujemy wzorami: ǫ 11 = p 1 x 1 ϕ 1 p 1 (p,i); elastycznośćprosta(popytunadobro1względemjegoceny) (2.41) ǫ 21 = p 1 x 2 ϕ 2 p 1 (p,i); elastycznośćkrzyżowa(popytunadobro1względemcenydobra2) (2.42) Analogiczniedefiniujemyǫ 22 iǫ 12.Czasem,dlaodróżnieniaodelastycznościdochodowych,którezdefiniujemyponiżej, dodajesięindekscpiszącǫ c 11,ǫc 21 itd. Jesttoróżniczkowy(infinitezymalny)odpowiednikstosunkuwzględnegoprzyrostupopytuprzyzmianiecenyp 1 o 1 p,określonegojakostosunekprzyrostu (ϕ 1 )=ϕ 1 (p+ 1 p,i) ϕ 1 (p,i)dowartościϕ 1 (p,i)dowzględnego przyrostuceny 1 p/p 1,tj. ϕ 1 (p+ 1 p,i) ϕ 1 (p,i) ϕ 1 (p,i) : 1p p 1 = (ϕ 1)p 1 1 pϕ 1 (p,i). Jesttoważnywskaźnikprzyanaliziezmianywydatkównaskutekzmianycen.Wydatkinazakuptowaru1woptymalnymkoszykuwynosząp 1 ϕ 1 (p,i),apozmianiecenypnap+ 1 p(notacja 1 pwskazuje,zewwektorzecenp zmienia się tylko pierwsza współrzędna) możemy je szacować za pomocą elastyczności funkcji popytu (p 1 ϕ 1 (p,i)) 1 p (p 1ϕ 1 ) p 1 =ϕ 1 +p 1 ϕ 1 p 1 =ϕ 1 (1+ǫ 11 ). A zatem wydatki na pierwszy towar: wzrosnązewzrostemp 1,gdyǫ 11 > 1, pozostanąnatymsamympoziomie,gdyǫ 11 = 1 zmaleją,gdyǫ 11 < 1. Podobną interpretację ma krzyżowa elastyczność funkcji popytu. Rozważa się także elastyczność dochodową popytu, zdefiniowaną dla każdego z dóbr wzorem: ε d i (p,i)= φ i(p,i) I I, i=1,...,n. (2.43) φ i (p,i) Interpretacja tej wielkości jest analogiczna do interpretacji elastyczności cenowej popytu(na i-te dobro). Do uzupełnienia: Klasyfikacja towarów towary wyższego i niższego rzędu, dobra normalne i dobra Giffena Klasyfikacja towarów ze względu na elastyczność cenową i dochodową popytu Elastyczność Towary wyższego rzędu ε d j >0 Towary niższego rzędu ε d j <0 Towary normalne ε c jj <0 TowaryGiffena ε c jj >0

Teoria popytu konsumpcyjnego 18 2.5 Substytucjatowarów 2.5.1 Dobra substytucyjne i dobra komplementarne W ogólności terminem substytucja towarów określamy możliwość zastępowania w planie konsumpcji jednego z towarów przez inny bez zmiany użyteczności tego planu. Podstawowym zagadnieniem przy badaniu tego zjawiska jest określenie, kiedy i które towary podlegają substytucji i w jakim ilościowym stosunku taka substytucja może zachodzić. Podkreślmy, że podstawą substytucji nie musi być wcale ten sam zakres zastosowania danych towarów(jak na przykład w przypadku zastępowania margaryny przez masło), ale niezmienność użyteczności koszyka pojęciem substytucji posłużymy się opisując na przykład zachowanie studenta, który postanawia ograniczyć ilość jedzonych lodów, aby kupić nowy podręcznik do ekonomii matematycznej. Dla objaśnienia i korespondencji z wykładem mikroekonomii podamy parę przykładów stosując terminologię zaczerpniętą z podręcznika mikroekonomii H. Variana. Przykłady 2.5.1(Substytuty doskonałe i towary doskonale komplementarne.) (a) Wg. Variana dwa dobra są substytutami doskonałymi, jeśli konsument chce zastępować jedno dobro drugim wg. stałej stopy, niezależnej od ilości towarów w koszyku. Odpowiada to żądaniu, aby ich funkcja użyteczności była funkcją postaci u(x 1,x 2)=ϕ(ax 1+bx 2),gdziea,b 0iϕjestrosnącą(iróżniczkowalną)funkcjąna R +.Mamywówczas S u u 12= (x): (x)= a x 1 x 2 b (b) Dobra, które zawsze konsumowane są razem w stałej proporcji, Varian nazywa towarami doskonale komplementarnymi. W takiej sytuacji substytucja nie jest możliwa zwiększenie ilości tylko jednego z komplementarnych towarów zachowuje niezmienioną użyteczność wyjściowej wiązki towarów, nie prowadząc do zmiany drugiego z nich. Tutaj jako funkcją użyteczności można przyjąć { } x1 u(x 1,x 2)=min a,x2 b a,b>0 dla której krzywe obojętności mają postać łamanej o dwóch ramionach równoległych do osi współrzędnych i wierzchołku w punkcie(as,bs),gdzies>0.naponiższymrysunkupokazanesąkrzyweobojętnościdlaprzypadkua=1,b=2wrazzprostą łączącą wierzchołki krzywych. 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Odpowiada to sytuacji, w której konsument wykorzystuje towary w proporcji dwóch jednostek drugiego towaru na jedną jednostkę pierwszego i wszelkie zachwianie tej proporcji w wiązce towarów nie zmienia jej użyteczności. Miarą ilościową możliwości substytucji towarów jest wspomniana powyżej krańcowa stopa substytucji jednego towaru przez drugi, która wskazuje, jak zmiany ilości jednego towaru w koszyku sterują zmianami drugiego towaru dzięki zachowaniu stałej użyteczności koszyka. Dla kompletności wykładu przytoczymy definicję tej wielkości in extenso. Definicja 2.9(Krańcowa stopa substytucji) Jeśli u jest zadana funkcją użyteczności i x X ustalonym planem konsumpcji, to krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w odniesieniu do planu x nazywa się wielkość S ij = u u (x): (x), i j. (2.44) x i x j

Teoria popytu konsumpcyjnego 19 Elastycznością substytucji i-tego towaru przez j-ty towar względem planu x nazywa się ( ) x i u u xi ǫ ij =S ij = (x): (x), i j. (2.45) x j x i x j x j 2.5.2 Twierdzenie o substytucji dóbr w optymalnym koszyku RozważmyzwiązanązfunkcjąużytecznościpowierzchnięobojętnościpostaciO(α)={x X u(x)=α}.przy wskazanych powyżej założeniach dla każdego wektora cen istnieje jedyny punkt na powierzchni obojętności, dla którego kosztkoszykaosiągaminimum.obierzmyzatemdwawektorycenp 0 p,aodpowiadającetymwektoromcen koszykiominimalnejcenieoznaczymyprzezz 0 iz.własnośćminimalnościoznacza,żedlakażdegoz O(α)mamy p 0 z p 0 z 0 ianalogicznie,p z p z.podstawiającdopierwszejznichz=z,adodrugiejz=z 0 otrzymamy p 0 z p 0 z 0, p z 0 p z Po przeniesieniu na jedną stronę i dodaniu stronami otrzymujemy następujące Stwierdzenie 2.12(Twierdzenie o substytucji) Przy wprowadzonych powyżej oznaczeniach spełniona jest nierówność (p 0 p )(z 0 z ) 0. W szczególności, popyt na dany towar jest malejącą funkcją jego ceny ϕ p i (p,i)<0, i=1,...,n. Rzeczywiście,jeśliwektorycenróżniąsiętylkocenąjednegotowaruizachodzip 0 1 >p 1,p0 j =p j dlaj>1,tomusibyć spełnionanierównośćz 0 1 z 1.Oznaczato,żewzrost(ogólniej,zmiana)cenyjednegotowaruprzyustalonychcenach pozostałych wymaga dla zachowania niezmienionej użyteczności koszyka zmniejszenia ilości tego towaru w koszyku (ogólniej, zmiany ilości towaru w przeciwnym kierunku do zmiany ceny). 2.5.3 Substytucja raz jeszcze Rozważamy problem rozkładu towarów w różnych koszykach, w szczególności zagadnienie, jak(ew. czym) można zrekompensować stratę(ogólniej zmianę) ilości jednego z towarów w koszyku, aby zachować niezmieniony poziom satysfakcji konsumenta. Odwołując się do pojęcia funkcji użyteczności możemy nasz problem wypowiedzieć jako badanie zależności ilości jednego wybranego towaru od ilości innych towarów dla punktów powierzchni obojętności określonej równaniem O(α)={x X u(x)=α}, gdzieα Rjestustalone. A zatem pytamy, jak związane są ilości dwóch wybranych towarów, powiedzmy i-tego i j-tego,(przy utrzymaniu niezmiennych ilości pozostałych towarów) jeśli użyteczność koszyków pozostaje niezmieniona. Z powyższych rozważań wynika następujący wniosek: u Jeśli krańcowa stopa użyteczności j-tego towaru względem planu konsumpcji x jest różna od zera, (x) 0,todla x j planów konsumpcji niewiele różniących się od planu x zmianę ilości tego towaru można kompensować zmianą ilości każdego z pozostałych towarów bez zmiany użyteczności, w stosunku 1 = u u (x): (x) S ij x j x i jednostek i-tego towaru na jednostkę j-tego. Innymi słowy, dla takiego towaru substytutem jest każdy z pozostałych towarów.

Zarys zagadnień teorii produkcji 20 Funkcje teorii popytu i ich liczbowe charakterystyki: Funkcjaużyteczności u:r n + x=(x 1,...,x n ) u(x) R Funkcjapopytu φ:r n + R + (p,i) φ(p,i)=(φ 1 (p,i),...,φ n (p,i)) R n + Funkcjapośredniejużyteczności ν=u φ;ν: R n + R + (p,i) ν(p,i) R Krańcowa użyteczność i-tego towaru w koszyku x Krańcowastopasubstytucjitowarui-tegoprzezj-ty u(x) x i s ij (x)= u(x) x i : u(x) x j Elastycznośćsubstytucjitowarui-tegoprzezj-ty Krańcowa użyteczność dochodu dla zadanych(p, I) Popytkrańcowynai-tytowarwzględemcenyj-tego ε ij (x)=s ij (x) x i x j ν(p, I) I P c ij(p,i)= φ i(p,i) p j Elastycznośćpopytunai-tytowarwzględemcenyj-tego ε c ij (p,i)= φ i(p,i) p j Popytkrańcowynai-tytowarwzględemdochodu p j φ i (p,i) P d i (p,i)= φ i(p,i) I Elastycznośćpopytunai-tytowarwzględemdochodu ε d i(p,i)= φ i(p,i) I I φ i (p,i)