Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Jerzy Marzec BAYEOWKI MODEL TOBITOWY Z ROZKŁADEM TUDENTA W ANALIZIE NIEPŁACALNOŚCI KREDYTÓW 1 1. Wrowadzenie Głównym celem niniejszego arykułu jes rezenacja i rakyczne wykorzysanie modelu obiowego z użyciem odejścia bayesowskiego w analizie niesłacalności kredyów dealicznych. W szczególności, rzedsawiony zosanie model obiowy z rozkładem udena, będący uogólnieniem sandardowego modelu obiowego (z rozkładem normalnym), kóry jes najczęściej wykorzysywany w rakyce. Modele regresji dla ograniczonych zmiennych endogenicznych, dla zw. zmiennych ucięych lub cenzurowanych (ang. runcaed or censored daa), znane są już od ięćdziesięciu la. Po raz ierwszy na gruncie ekonomii cenzurowany model regresji zosał zaroonowany rzez Jamesa Tobina w ionierskiej racy z 1958 roku, sąd w lieraurze rzyjęła się nazwa modelu obiowego. Za omocą modelu regresji analizował on zależność między wydakami na dobra rwałego użyku gosodarsw domowych a ich dochodami neo, zgromadzonymi oszczędnościami oraz wiekiem głowy rodziny. Nowaorswo badań Tobina olegało na uwzględnieniu dużej gruy gosodarsw, sanowiących 30% liczebności róby, kórych wydaki na wsomniane dobra z konieczności wynosiły zero. Modele regresji cenzurowanej sosowane są zarówno w ekonomii, socjologii jak i na gruncie nauk rzyrodniczych oraz inżynieryjnych. Przykłady zasosowań w ekonomii zosały rzedsawione m.in. w racach: McDonald, Moffi [1980], Amemiya [1985] oraz Gruszczyński [1997]. Laa siedemdziesiąe i osiemdziesiąe orzedniego sulecia rzyniosły inensywny rozwój meodologiczny modeli ej klasy. Amemiya [1985] wyróżnia ięć yów modeli obiowych, mających orócz najrosszego (sandardowego modelu obiowego) srukurę modelu wielorównaniowego, składającego się z równań osaci regresji dla endogenicznych zmiennych cenzurowanych lub dychoomicznych. Naomias odsawowy rzegląd modeli obiowych dla danych anelowych rezenuje m.in. Gruszczyński [1997]. Główną cechą wyróżniającą klasyczne modele obiowe jes rzyjęcie założenia o rozkładzie normalnym, co umożliwiło m.in. na zasosowanie meody największej wiarygodności (MNW). W racach Arabmazar, chmid [198] oraz Goldberger [1983] zbadano własności esymaora największej wiarygodności w rzyadku, gdy rawdziwy rozkład jes inny niż normalny. Meodą symulacji wykazano 1 Arykuł osał w ramach badań sauowych finansowanych rzez Akademię Ekonomiczną w Krakowie w roku 004 r. Auor dziękuję Profesorowi Jackowi Osiewalskiemu za cenne uwagi meryoryczne i dyskusje. Hisorycznie ierwszą racą doyczącą modelu dla zmiennej o rozkładzie ucięym był arykuł A. Halda z 1949 roku. Maximum Likelihood Esimaion of he Parameers of a Normal Disribuion Which is Truncaed a a Known Poin w kandinavisk Akuarieidskrif (nr 3, s. 119-134). 1
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie obciążenie esymaora największej wiarygodności w rzyadku rozkładu logisycznego, Lalace a i rozkładu udena o znanej liczbie soni swobody. Zaem, z meodologicznego unku widzenia, ineresujące jes rozważanie modelu obiowego rzy założeniu szerszej klasy rozkładów. Auor roonuje rozkład udena z nieznaną liczbą soni swobody oraz wnioskowanie bayesowskie jako meodę esymacji i weryfikacji modelu. Ta klasa rozkładów obejmuje rozkład normalny jako rzyadek graniczny, więc w nauralny sosób isnieje możliwość saysycznego esowania wrowadzonego uogólnienia. Ponado waro wsomnieć, że w badaniach emirycznych z zakresu analizy ryzyka kredyowego, sośród modeli ekonomerycznych, najczęściej sosuje się modele dla danych jakościowych (dwumianowe, wielomianowe). Wówczas zmienna endogeniczna mierzona jes na skali nauralnej lub orządkowej (w rzyadku modeli wielomianowych dla kaegorii uorządkowanych). Zasosowanie modelu obiowego ozwala na uwzględnienie ełniejszej informacji o zmiennej endogenicznej, kórej warości są cenzurowane, ale mierzone na skali mocniejszej ilorazowej.. andardowy model obiowy andardowy model obiowy dla ciągłej zmiennej y, kórej warości są ograniczone od dołu rzez zero, ma osać: y = 0 gdy y = z gdy z = xβ + ε, z 0 z > 0 gdzie (, σ ) R k (0, + ) dla = 1,, T, dla = T 0 0 + 1,, T, β są aramerami modelu, x jes wekorem-wierszem k zmiennych egzogenicznych i n. x 1 1, zaś składniki losowe ε są niezależne o rozkładzie normalnym z zerową średnią i nieznaną wariancją σ. W owyższej secyfikacji zmienna z jes zmienną ukryą, kórej realizacje decydują o ym, jakie obserwujemy warości zmiennej zależnej y. Na gruncie klasycznym do esymacji modelu (1) sosuje się rzede wszyskim meodę największej wiarygodności, co było roozycją Halda, Cohena i Tobina. Znaczący wkład w rozwój i eoreyczne uzasadnienie ej meody w sandardowym modelu obiowym miał m.in. Amemiya [1973] i Olsen [1978]. Amemiya udowodnił, że esymaor MNW w modelu (1) jes esymaorem zgodnym i osiada asymoyczny rozkład normalny. Naomias Olsen wykazał, że esymaor MNW jes jednoznacznie określony, gdy rzyjmie się arameryzację osaci: c = β/σ i h = 1/σ. W chwili obecnej isnieje bogaa lieraura monograficzna na ema modeli obiowych, n. Maddala [1983] lub Gourieroux [000]. Z uwagi na asymoyczne obciążenie esymaora MNW w sandardowym modelu obiowym, gdy założenie o rozkładzie normalnym dla składnika ε nie jes sełnione, isnieje orzeba uchylenia założenia m.in. o normalności i wrowadzenia exlicie rozkładu z szerszej klasy. W niniejszym arykule roonuje się zasosowanie rozkładu udena o nieznanej liczbie soni swobody. Wymaga o jednak wykorzysania innej meody esymacji niż MNW, onieważ jej własności, nawe w modelu regresji liniowej ze składnikiem losowym o rozkładzie udena z nieznanym aramerem soni swobody, nie są oznane. Ten osani wniosek sał się moywem do wykorzysania odejścia bayesowskiego. (1) 3. Model obiowy z rozkładem udena i jego bayesowska secyfikacja Rozważmy model danych cenzurowanych określony wzorem (1), gdzie składnik losowy ε ma jednowymiarowy rozkład udena z ν soniami swobody, z aramerem niecenralności (modalną) równym zero i recyzją τ (ν > 0 i τ > 0). Wrowadzenie dodakowego arameru ν umożliwia nauralne uwzględnienie modelu sandardowego jako rzyadku granicznego, gdy ν +. Ponado, jak sugerują
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Alber i Chib [1993], rozkład logisyczny, kóry częso sosuje się w rzyadku danych jakościowych, można aroksymować rozkładem udena o około 7 9 soniach swobody. 3 Zaem w ramach modelu udena isnieje rosa możliwość esowania emirycznej adekwaność dwóch wsomnianych secyfikacji. Ponado rzyomnijmy, że zmienna ε osiada rozkład udena z ν soniami swobody, z modalną µ (równą zero) i recyzją τ, jeżeli funkcja gęsości jej rozkładu ma osać: 1 0.5 0.5( ν + 1) ν 1 τ τ f ( ε µ, ν, τ ) = B, 1+ ( ε µ ), () 1 1 gdzie ( ν, ) ν ν B jes funkcją bea. Zauważmy, że rozkład róbkowy dla obserwacji y jes rozkładem dyskreno ciągłym ( y θ ) = Pr( z 0θ ) = Pr( ε xβ θ ) = F ( xβ θ ) ( y θ ) = f ( y x β, ν, τ ) dla y > 0 dla y gdzie F (a θ) jes dysrybuaną rozkładu udena zmiennej ε obliczoną w unkcie a, zaś wekor θ oznacza wekor nieznanych aramerów modelu. W modelu z rozkładem udena warunkowa warość oczekiwana y względem obserwacji cenzurowanych wyraża się wzorem (zakładamy ν > 1) E ( y, y > 0) f ( c ) 1 ν + c τ c ( c ) τ ν 1 = 0 θ =, (4) 1 F naomias bezwarunkowa warość oczekiwana ma osać ( y ) [ 1 F ( c )] E( y y > 0) E θ, (5) = gdzie f ( c ) jes funkcją gęsości zmiennej ε w unkcie c = x β. Zauważmy, że obie e wielkości są skomlikowanymi funkcjami oryginalnych aramerów. Przedmioem szczególnego zaineresowania są akże efeky krańcowe, kóre określają siłę i kierunek wływu zmiany o małą jednoskę j ej zmiennej egzogenicznej na warości zmiennej objaśnianej (zał. ν > 1): E E ( y θ, y > 0) f ( c ) j ( y θ ) j = β j = β j 1 1 F [ 1 F ( c )] ( c ) E ( y y > 0) (3), (6). (7) Przy szczegółowej inerreacji efeku krańcowego użyeczna będzie dekomozycja McDonalda i Moffia [1980]. Zauważyli oni, że na całkowią zmianę warości y, określoną formułą (7), składają się dwa składniki. Pierwszy wyraża zmiany warości y owyżej rogu (y > 0) ważone rawdoodobieńswem zaobserwowania ych warości, drugi zaś informuje o zmianach rawdoodobieńswa wysąienia obserwacji y > 0 sowodowanych zmianą x j ważonych warością oczekiwaną dla y > 0. Powyższa dekomozycja ma osać E ( y ) E( y y > 0) j = j Pr ( y > 0) Pr + ( y > 0) j E ( y y > 0), (8) gdzie Pr(y >0) = 1 F (c ). Zaem udział wływu zmian warości y owyżej rogu ważonych rawdoodobieńswem wysąienia obserwacji owyżej rogu, Pr(y > 0), w zmianach całkowiych y jes równy 3 Podobne wnioski na odsawie badań symulacyjnych sformułowali Arabmazar i chmid [198]. 3
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie j= 1K k E ( y y > 0) j Pr ( y > 0) E ( y ) f ( c ) = 1 x 1 F ( c ) j E ( y y > 0). (9) Zauważmy, że w równaniu (1) z jes liniową funkcją zmiennych egzogenicznych x j (dla j=1,,k). Powoduje o, że efeky krańcowe (6) i (7) względem x j rzyjmują dla każdej obserwacji idenyczny znak odowiadający znakowi j ego arameru. Ponado udział wływu zmian warości y owyżej rogu (y > 0) w zmianach całkowiych y, dany wzorem (9), jes idenyczny dla każdej zmiennej objaśniającej. Jednym z rosszych sosobów na uwolnienie się od ego założenia jes rzyjęcie, iż z jes kwadraową funkcją zmiennych x j. Wówczas z jes wciąż liniową funkcją β, co uławia esymację ego modelu. Takie rozszerzenie będzie rzedmioem dalszych badań auora. Na gruncie bayesowskim ogólne zasady konsrukcji modelu saysycznego srowadzają się do określenia łącznego rozkładu rawdoodobieńswa wekora obserwacji y i aramerów θ (oraz innych wielkości nieobserwowalnych), (y, θ) = (y θ) (θ), jako iloczynu rozkładu warunkowego dla y i brzegowego rozkładu dla aramerów, j. rozkładu a riori. Esymacja aramerów olega na wyznaczeniu z rozkładu łącznego (y, θ) warunkowej gęsości dla wekora aramerów θ, rzy zaobserwowanym wekorze y, czyli funkcji gęsości zw. rozkładu a oseriori osaci ( θ y) = ( y, θ ) ( y) = Θ ( yθ ) ( θ ) ( yθ ) ( θ ) dθ ( yθ ) ( θ ). (10) Łączna uogólniona funkcja gęsości T-wymiarowego wekora obserwacji y = (y 1,,y T ) jes iloczynem gęsości udena i dysrybuany ego rozkładu ( y ) = F ( x β θ ) f ( y x β, ν, τ ) θ. (11) : y = 0 : y > 0 Podejście bayesowskie wymaga określenia rozkładu a riori na rzesrzeni nieznanych aramerów (β ν τ) R k R + R +. W ym modelu dogodnie jes dla β i τ rzyjąć nieinformacyjny rozkład a riori osaci (β, τ ) = (β) (τ ) (τ) 1. Odowiada on rzyjęciu reguły Jeffreysa w modelu dla obserwacji owyżej rogu ( {T 0 +1,,T}), rzy dodakowym założeniu rozkładu normalnego; zob. akże Chib [199]. Bezośrednie zasosowanie reguły Jeffreysa nie jes możliwe. W efekcie rozkłady a riori dla obu aramerów są rozkładami niewłaściwymi. Naomias dla arameru ν rzyjęo rozkład informacyjny, j. rozkład wykładniczy o warości oczekiwanej i odchyleniu sandardowym równym r, gdzie r jes sałą określaną rzez badacza, n. r = 10, zob. akże Alber i Chib [1993], Osiewalski i Marzec [004]. Jednakże wygodnie jes ze względów numerycznych wrowadzić aką arameryzację, aby zbiory douszczalnych warości dla wszyskich aramerów były zbiorami liczb rzeczywisych. Przyjęcie arameryzacji θ = [β θ k+1 θ k+ ], gdzie θ k+1 = ln(τ) zaś θ k+ = ln(ν/r), rowadzi do rozkładu Gumbela dla θ k+ (zob. Osiewalski i Marzec [004]) oraz niewłaściwego rozkładu (β, θ k+1 ) cons dla ozosałych aramerów. Nasęnie, korzysając z wzoru Bayesa, gęsość łącznego rozkładu a oseriori możemy zaisać nasęująco ν 1 τ τ ( θ y) ( θ ) F ( x β θ ) B, 1 + ( y x β ) 0.5( ν + 1) 1 0.5 = > (1) : y 0 : y 0 ν ν, gdzie ( ) ( θ ) ex( ( θ )) θ ex k+ ex k+. komlikowana srukura jądra gęsości (1) nie ozwala na analiyczne wyznaczenie osaci rozkładu a oseriori bądź odsawowych momenów ego rozkładu, zarówno dla oryginalnych aramerów, jak i innych ineresujących wielkości n. warości oczekiwanych zmiennej y czy efeków krańcowych. W ego yu zagadnieniach zasosowanie mają meody Mone Carlo, kóre sosując ewien mechanizm losowania z rzesrzeni aramerów, umożliwiają uzyskanie róbki z rozkładu a oseriori. W ym rzyadku, odobnie jak w racy Osiewalski i Marzec [004], wykorzysano algorym Meroolisa i Hasingsa. zczegółowe 4
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie omówienie ych echnik numerycznych można znaleźć w racach O Hagan [1994], Tierney [1994], Geweke [1996], Gamerman [1997], Pajor [003]. Isoą algorymu Meroolisa i Hasingsa jes wykorzysanie gęsości omocniczej q(θ * ; θ (i-1) ), wg kórej generujemy zw. warości wsęne, kóre zaś o filracji funkcją akceacji worzą łańcuch Markowa (θ (1),,θ (i), ). Rozkładem sacjonarnym ego łańcucha jes rozkład a oseriori (θ y). Zais q(θ * ;θ (i-1) ) rzedsawia funkcję gęsości zmiennej losowej θ * o wekorze aramerów θ (i-1). Niech π(θ y) oznacza jądro gęsości a oseriori (θ y), czyli rawą sronę wzoru (1). Algorym Meroolisa i Hasingsa składa się z nasęujących kroków: 1. Przyjmujemy arbiralnie wekor warości ocząkowych θ (0) oraz i =1.. Generujemy θ * z rozkładu q(θ * ;θ (i-1) ), zaś u z rozkładu jednosajnego U(0;1). 3. Jeżeli α(θ * ; θ (i-1) ) u, o θ (i) = θ * albo θ (i) = θ (i-1) w rzeciwnym rzyadku, gdzie rawdoodobieńswo akceacji wylosowanego wsęnie θ *, czyli zw. funkcja akceacji wyraża się formułą * ( i 1) * ( θ y) q( θ ; θ ),1 ( ) ( ) ( m 1) * ( i 1 θ y q θ ; θ * ( i 1) π α ( θ, θ ) = min. (13) ) π 4. Powarzamy k. i 3, rzy czym i = i +1. * ( i 1) * ( i 1) 1 W naszym rzyadku q( θ ; θ ) = f ( θ θ,3,3c ), czyli za gęsość rozkładu losowań wsęnych rzyjęo wielowymiarowy rozkład udena o 3 soniach swobody, modalnej równej orzedniemu sanowi łańcucha oraz macierzy recyzji 3 C 1 akiej, że C jes macierzą kowariancji (równą wsęnej ocenie macierzy kowariancji rozkładu a oseriori). Zauważmy, że ak sarameryzowana gęsość q() jes symeryczna względem modalnej i wekora θ *, więc rawdoodobieńswo akceacji zależy jedynie od ilorazu gęsości a oseriori * ( θ y), 1 ( m 1 ( ) θ y π * ( i 1) α ( θ, θ ) = min. (14) ) π Funkcja akceacji osaci (14) była użya w oryginalnej wersji algorymu Meroolisa z 1953 roku. W rakyce, o wykonaniu dosaecznej liczby cykli wsęnych (n 0 ) gwaranujących uzyskanie zbieżności (1) ( n) rocedury, orzymujemy róbę z ineresujących nas rozkładów a oseriori θ, K, θ. Na jej odsawie liczymy odsawowe charakerysyki ych rozkładów jak n. warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a oseriori dla oszczególnych aramerów (θ) lub ich funkcji g(θ), wg formuł 1 n ( h) [ g( θ ) y] g( θ ) = ~ n zaś D g( ) E µ n h= 1 [ y] E g( θ ) [ y] ( ~ µ n ) = σ n θ ~. (15) Podsawowym roblemem związanym z wykorzysaniem meod Mone Carlo jes ocena zbieżności sosowanego algorymu. Zgodnie z inuicją, sabilizacja w kolejnych cyklach warości oczekiwanych i odchyleń sandardowych a oseriori o odrzuceniu odowiedniej liczby ocząkowych losowań, wskazuje na osiągnięcie zbieżności sosowanej meody. Problem badania zbieżności rzedsawiony jes m.in. w racach Cowles, Carlin [1996] i Gamerman [1997]. W niniejszym arykule wykorzysujemy warości sandaryzowanych saysyk Cuum i ~ µ i µ ~ n Cuumi = ~ σ n dla ( h) ( θ ) 1 i i = 1, K, n, gdzie ~ µ i = g, (16) i h= 1 kóre ozwalają na graficzne moniorowanie zbieżności różnych łańcuchów. Jeżeli warości Cuum i oscylują w aśmie ( δ ; δ) dla każdego i > n 0, wówczas rzyjmuje się, że rocedura jes zbieżna o n 0 cyklach salonych, z względnym błędem równym δ 100%, gdzie n. δ = 0,05 lub 0,1. Rysunek 1 rzedsawia szybkość zbieżności generowanych łańcuchów dla składowych wekora θ oraz dla rzecięnych warości E(y θ, y >0) i E(y θ ). Obserwujemy, iż dla δ = 0,05 zbieżność skumulowanych sum nasęuje o około 5
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie 100 ys. cykli. Wcześniej wykonano milion losowań w celu oszacowania macierzy recyzji gęsości omocniczej q(). osując rzedsawiony mechanizm losowania, onad % sośród 400 ys. losowań kandydackich z gęsości q() worzy łańcuch Markowa, na odsawie kórego uzyskano wyniki a oseriori, rezenowane w nasęnej części arykułu. Rysunek 1. Badanie zbieżności za omocą saysyk Cuum i. 0.15 0.1 0.05 0-0.05-0.1-0.15 cykle salone 0 50 100 150 00 50 300 350 400 450 500 Liczba losowań 10 3 4. Wyniki esymacji Omówiony owyżej bayesowski model obiowy z symerycznym rozkładem udena wykorzysano do badania sonia słacalności kredyów dealicznych udzielonych rzez ewien olski bank komercyjny. Wcześniej e dane zosały częściowo wykorzysane w racach Marzec (003a,b,c,d,e) oraz Osiewalski i Marzec (004) w rzyadku modeli dwumianowych i modelu wielomianowego dla kaegorii uorządkowanych. Na orzeby modelu obiowego rzyjęliśmy, iż zmienna endogeniczna rerezenuje okres oóźnienia słay ra kaiałowo odsekowych rzez kredyobiorców, jaki zaobserwowano na dzień 30.09.00 r. Wielkość oóźnień wyraziliśmy w dniach, zaś rzedmioem badania objęliśmy gruę 39040 kredyów udzielonych w okresie 01.01.000 30.09.001. Okres oóźnienia definiujemy jako różnicę między daą 30.09.00 r. a usaloną w harmonogramie słay kredyu daą osaniej niesłaconej w całości ray kaiałowo odsekowej. W rzyadku kredyów słaconych w całości rzyjęliśmy, że oóźnienie wynosi zero. Zaem warość rogowa dla zmiennej endogenicznej równa jes zero. Jako oencjalne zmienne wyjaśniające ryzyko ojedynczej umowy kredyowej wrowadziliśmy (jak we wcześniejszych racach): łeć (zmienna rzyjmuje warość 1, jeżeli klienem jes mężczyzna, 0 w rzyadku kobiey), wiek kredyobiorcy (w sekach la), wływy, zn. wielkość kwaralnych wływów w laach 000-001 (w sekach ys. zł) na rachunki yu ROR kredyobiorcy w badanym banku, osiadanie rachunku ROR w analizowanym banku (1 osiada, 0 nie osiada), informację o ym, czy kredyobiorca osiada kary łanicze lub kredyowe wydane rzez en bank (1 osiada choć jedną karę łaniczą, 0 nie osiada), sosób udzielenia kredyu (1 orzez ośrednika kredyowego, 0 bezośrednio rzez rozważany bank), 6
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie y kredyu (1 kredy konsumcyjny, 0 kredy hioeczny), okres rwania umowy kredyowej (w dziesiąkach la), kwoa rzyznanego kredyu (w sekach ys. zł), walua kredyu (1 EUR, DEM lub UD, 0 PLN), odsawowe źródło dochodu uzyskiwanego rzez kredyobiorcę (zmienne zrdoch), j. umowa o racę, albo rena lub emeryura, albo własna działalność, umowa o dzieło lub umowa zlecenie, albo inne źródło (n. syendium). Osania zmienna może rzyjmować czery różne warości. Chcąc ją uwzględnić w równaniu regresji z wyrazem wolnym, wrowadziliśmy rzy zmienne zerojedynkowe, rzy czym za kaegorię referencyjną rzyjęliśmy umowę o racę (zrdoch1 = zrdoch = zrdoch3 = 0); w ozosałych rzyadkach: zrdoch1 = 1, gdy źródłem dochodu kredyobiorcy jes rena lub emeryura, zrdoch = 1, gdy źródłem dochodu kredyobiorcy jes własna działalność, umowa o dzieło lub umowa zlecenie, zrdoch3 = 1 w rzyadku innego źródła dochodu, n. syendium. Liczba kredyów, kóre na dzień 30.09.00 r. były słacane w erminie (y = 0) wynosiła 857, więc udział obserwacji owyżej rogu (y >0) wynosi rawie 7%. Przecięna zaobserwowana długość oóźnienia słay kredyu od warunkiem, że wynosi rzynajmniej jeden dzień, wynosi 67 dni, rzy odchyleniu sandardowym równym 03 dni. Rysunek rezenuje ilościowy udział kredyów ze względu na czas oóźnienia w słacie ra kaiałowo-odsekowych, gdy o oóźnienie wynosi nie mniej niż jeden dzień. Rysunek. Częsość obserwacji zmiennej y owyżej rogu (y >0). 16% 14% 1% 10% Częsość 8% 6% 4% % 0% 30 90 150 10 70 330 390 450 510 570 630 690 750 810 870 943 Oóźnienie w dniach W dalszej części racy rezenowane będą bayesowskie wyniki a oseriori zarówno dla odsawowego modelu, j. secyfikacji z rozkładem udena, jak i najczęściej sosowanego sandardowego modelu obiowego. 4 zczegółowo omówione zosaną wyniki ego ierwszego modelu. Tabela 1 zawiera warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a oseriori dla aramerów obu modeli. Z unku widzenia orzeby uzasadnienia modelu udena, najbardziej ineresującym aramerem jes liczba soni swobody ν. Warość oczekiwana a oseriori dla ego arameru wynosi rawie 9,4 rzy niewielkim odchyleniu sandardowym rzędu 0,6. Zaem w badanym rzyadku wrowadzenie ego 4 Isnieje równoważność wyników bayesowskich i ocen MNW w sandardowym modelu (1), onieważ e osanie, w rzyadku ak dużej liczby obserwacji, można rakować jako aroksymację warości oczekiwanych rozkładu a oseriori aramerów ego modelu. 7
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie uogólnienia jes uzasadnione, zaś oieranie się na wynikach sandardowego modelu obiowego może rowadzić do błędnych wniosków. Prezenowane w abelach wyniki a oseriori uzyskano dla r = 10, co oznacza, że rozkład a riori dla ν charakeryzuje się warością oczekiwaną i odchyleniem sandardowym równym akże 10. Można aki rozkład a riori uznać za mało informacyjny. Przyjmując za r = 40 orzymaliśmy warość oczekiwaną a oseriori dla ν równą 9,409 (±0,579) i saysycznie nie różni się isonie od warości uzyskanej dla r = 10. Zaem orzymane wyniki nie są wrażliwe na dobór arameru r charakeryzującego rozkład a riori dla ν, zaś dane wyraźnie oowiadają się za modelem z rozkładem udena. Tabela 1. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a oseriori aramerów modelu obiowego z rozkładem udena; ε ~ (0, τ, ν), zał. r = 10. ε ~ (0, τ, ν) ε ~ (0, τ, ν = + ) Zmienna (aramer) E( y) D( y) E( y) D( y) ała -41,396 9,636-435,11 3,311 Płeć 7,065 4,91 1,001 4,954 Wiek -190,09 3,486-195,037 3,367 Wływy -170,367 3,881-160,463,891 ROR -119,116 11,487-111,31 10,464 Kary -19,987 10,079-30,46 8,713 Pośrednik 449,13 9,855 438,386 9,560 Ty Kredyu 85,95 5,479 109,508 18,5 Okres kredyu 138,663 13,45 13,047 11,349 Kwoa 7,047 6,756 8,895 5,884 Walua 1,870 9,111 7,996 5,93 Zrdoch1-33,906 7,979-35,68 8,051 Zrdoch 77,74 11,445 90,063 10,968 Zrdoch3-8,376 1,137-9,476 0,679 τ 0,0000114 0,000000 0,0000087 0,0000001 ν 9,399 0,578 W celu wnioskowania o zmiennej endogenicznej y, rerezenującej oóźnienie słay ra kaiałowoodsekowych w dniach, obliczyliśmy jej warunkowe i bezwarunkowe warości oczekiwane. Dla uroszczenia Tabela rezenuje sodziewane oóźnienie słay kredyu dla rzecięnego kredyobiorcy, kóre obliczyliśmy jako średnią arymeyczną oóźnień dla wszyskich kredyobiorców. Na odsawie modelu udena wnioskujemy, iż sodziewane rzecięne oóźnienie w słacie kredyu, bez względu na rzebieg słay, wynosi 7,5 dnia, czyli onad miesiące. Naomias, jeżeli klien oóźniałby słaę ra kaiałowo-odsekowych, o sodziewamy się, iż o oóźnienie wyniesie,5 dnia, czyli onad 7 miesięcy. Przyomnijmy, że zgodnie z uchwałami Komisji Nadzoru Bankowego, gdy oóźnienie w słacie ra kaiałowo-odsekowych kredyu konsumcyjnego rzekracza 6 miesięcy, o bank zobowiązany jes do worzenia rezerw celowych w kwocie równej warości kredyu ozosającego do słay (omniejszonej o ewenualne zabezieczenia). Zaem, z unku widzenia zarządzania ryzykiem kredyowym w banku, ineresującym zagadnieniem jes określenie siły i kierunku oddziaływania czynników egzogenicznych wływających na kszałowanie się wielkości oóźnienia słay kredyu. Tabela. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a oseriori dla rzecięnych: E(y θ, y >0) oraz E(y θ ). Model ε ~ (0, τ, ν) ε ~ (0, τ, ν =+ ) E( y) D( y) E( y) D( y) E( y y >0),58,50 05,34 1,4 E( y ) 7,56 0,75 7,03 0,71 8
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Tabele 3 i 4 rzedsawiają wływ zmian zmiennych x j na bezwarunkową i warunkową oczekiwaną warość y. Z uwagi na rzyjęą różniczkową definicję efeków krańcowych, szczegółowo omówimy rolę ciągłych zmiennych egzogenicznych, naomias w rzyadku zmiennych zerojedynkowych ograniczymy się do oceny jakościowej, zwracając uwagę jedynie na znak. Wzros wieku kredyobiorcy o 10 la owoduje sadek bezwarunkowej warości oczekiwanej zmiennej y o 5 dni i obniżenie warości oczekiwanej niezerowych warości y o onad 3 dni. Analogicznie, wzros kwaralnych wływów o 10 ysięcy złoych ociąga za sobą sadek hioeycznego oóźnienia o 4,5 dnia oraz sadek już isniejącego oóźnienia (y >0) o 3 dni. Jeżeli zaś okres słay kredyu wydłużyłby się o 1 rok, o okres oóźnienia słay kredyu wzrósłby średnio o rawie 4 dni albo o onad dni od warunkiem, że obserwujemy rzynajmniej jednodniowe oóźnienie. Wływ zmiany wielkości rzyznanego kredyu jes akże saysycznie isoy (jak ozosałych wsomnianych zmiennych), aczkolwiek z unku widzenia zarządzania orfelem wływ en jes mało znaczący. ośród zmiennych zerojedynkowych, srzedaż kredyu orzez ośrednika oraz udzielenie kredyu konsumcyjnego a nie hioecznego, są okolicznościami owodującymi wzros sodziewanego oóźnienia. Posiadanie rachunku ROR oraz kar łaniczych lub kredyowych zmniejsza ewenualne oóźnienie słay kredyu. Ponado, udzielenie kredyu klienom rowadzącym własną działalność gosodarczą (zrdoch) owoduje wzros oóźnienia słay w sosunku do osób zarudnionych na umowę o racę. Naomias rena i emeryura (zrdoch) lub syendium (zrdoch) są źródłami dochodu charakeryzującymi się najmniejszym ryzykiem kredyowym. Z unku widzenia rakycznego, orzymane wyniki doyczące efeków krańcowych, uzyskane na odsawie obu rozważanych modeli, wydają się być odobne. Znaki i rzędy wielkości efeków krańcowych są zgodne i orównywalne. Wyraźne różnice miedzy modelami doyczą efeków krańcowych warunkowej warości oczekiwanej y >0, kóre rzedsawia Tabela 4. Warości bezwzględne ych efeków krańcowych w modelu udena są mniejsze niż w modelu sandardowym. Innymi słowy, w ierwszym modelu udział wływu zmian warości y > 0 (sowodowanych zmianami x j ) ważonych rawdoodobieńswem wysąienia obserwacji owyżej rogu w zmianach całkowiych y wynosi 17%, zaś w drugim modelu jes on większy i kszałuje się na oziomie 5%. Tabela 3. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a oseriori uśrednionych efeków krańcowych: ( ) T 1 E y j. Model ε ~ (0, τ, ν) ε ~ (0, τ, ν =+ ) E( y) D( y) E( y) D( y) Płeć 1,89 0,84 3,17 1,4 Wiek -50,75 4,17-51,53 5,84 Wływy -45,50 5,69-4,40 5,7 ROR -31,81,04-9,41,61 Kary -5,34 1,73-8,05,17 Pośrednik 119,95,93 115,8,39 Ty Kredyu,78 4,39 8,93 4,6 Okres kredyu 37,03,39 34,89,83 Kwoa 7, 1,17 7,63 1,47 Walua 0,50 4,98,11 6,31 Zrdoch1-9,05 1,38-9,41,01 Zrdoch 0,76,0 3,79,74 Zrdoch3 -,00 3,64-4,43 5,16 9
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Tabela 4. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a oseriori uśrednionych efeków krańcowych: ( y, y > ) 1 T E 0 θ. Model ε ~ (0, τ, ν) ε ~ (0, τ, ν =+ ) E( y) D( y) E( y) D( y) Płeć 1,1 1,31 3,00 1,31 Wiek -3,47 6,7-48,69 6,18 Wływy -9,11 8,78-40,06 6,06 ROR -0,35 3,07-7,79,76 Kary -3,4,69-7,60,30 Pośrednik 76,74,64 109,43,56 Ty Kredyu 14,58 6,80 7,34 4,89 Okres kredyu 3,69 3,59 3,96,99 Kwoa 4,6 1,80 7,1 1,55 Walua 0,3 7,77,00 6,68 Zrdoch1-5,79,13-8,89,13 Zrdoch 13,9 3,05,48,90 Zrdoch3-14,08 5,64-3,08 5,46 j Innym sosobem rakycznego wykorzysania modelu obiowego jes rognozowanie okresu oóźnienia słay kredyu dla wybranych klienów. Rozważmy czery hioeyczne sylweki kredyobiorców: dwóch o cechach najczęsszych (doyczy zmiennych jakościowych) lub rzecięnych (dla zmiennych ciągłych) w badanej zbiorowości, różniących się jedynie sosobem udzielenia kredyu konsumcyjnego oraz dwóch innych o cechach ak rzeciwsawnie skonsruowanych, że charakeryzują się oni najmniejszym i największym ryzykiem kredyowym. 5 W rzyadku yowego kredyobiorcy udzielenie mu kredyu orzez ośrednika zamias bezośrednio rzez bank skukuje wzrosem oczekiwanego oóźnienia z 1 do 108 dni, czyli o 96 dni (rzy miesiące). Pojawienie się jakichkolwiek roblemów ze słaą kredyu (y > 0) oznacza, że nawe w syuacji udzielenia kredyu bezośrednio w banku oóźnienie wyniesie aż 18 dni (6 miesięcy) i będzie jeszcze wyższe (o 4 dni), gdy kredy srzedany zosanie z omocą ośrednika. W rzyadku młodych klienów rowadzących działalność gosodarczą, kórzy biorąc kredy konsumcyjny nie osiadają kar łaniczych ani rachunku ROR, sodziewane oóźnienie słay kredyu wynosi rawie 59 dni, a w syuacji, gdy ojawiają się roblemy z jego słaą (y > 0) wzrasa ono do 346 dni. ośród wybranych kredyobiorców najmniejszym ryzykiem charakeryzuje się sześćdziesięciolenia klienka banku, urzymująca się z emeryury i korzysająca z szerokiej ofery roduków banku, kóra słaca kredy hioeczny. Aczkolwiek w syuacji, gdy zarówno ona jak i yowy kredyobiorca słacają nieregularnie ray kredyowo-odsekowe, sodziewamy się około ółrocznego oóźnienia w słacie, co owoduje, że bank jes zobowiązany do worzenia 100% rezerw od należności rzeerminowanych. Tabela 5. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a oseriori dla E(y θ ) w rzyadku wybranych klienów. Model ε ~ (0, τ, ν) ε ~ (0, τ, ν =+ ) Kredyobiorca E( y) D( y) E( y) D( y) Tyowy (ośrednik = 1) 107,98 5,19 114,37 4,97 Tyowy (ośrednik = 0) 11,76 0,57 11,77 0,58 Młody biznesmen 58,68 9, 66,38 8,78 arsza ani 4,69 0,69,55 0,4 5 zczegółowa charakerysyka hioeycznych kredyobiorców rzedsawiona zosała w innych racach, zob. Marzec (003c,e) oraz Osiewalski i Marzec (004). 10
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Tabela 6. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe a oseriori dla E(y θ, y >0) w rzyadku wybranych klienów. Model ε ~ (0, τ, ν) ε ~ (0, τ, ν =+ ) Kredyobiorca E( y) D( y) E( y) D( y) Tyowy (ośrednik = 1) 44,30 3,76 54,80 4,01 Tyowy (ośrednik = 0) 18,43 3,3 15,39 1,61 Młody biznesmen 345,76 6,89 36,89 6,49 arsza ani 180,81 4,54 14,47,41 5. Podsumowanie W niniejszym arykule zarezenowano secyfikację i bayesowską esymację modelu obiowego z rozkładem udena, będącego uogólnieniem najczęściej sosowanego w rakyce sandardowego modelu z rozkładem normalnym. W ramach odejścia bayesowskiego zasosowana meoda numeryczna, j. algorym Meroolisa i Hasingsa, okazała się skuecznym narzędziem umożliwiającym uzyskanie róbek z rozkładu a oseriori. Omówione analiza bayesowska jes szczególnie olecana w rzyadku skończonych rób z uwagi na małoróbkowy charaker ego odejścia, naomias esymaor MNW ma własności asymoyczne, kóre udowodniono jedynie dla sandardowego modelu obiowego. Wyniki emiryczne wyraźnie wskazują na model udena z dziewięcioma soniami swobody, a zaem zasosowanie ego uogólnienia wydaje się być isone z unku widzenia wnioskowania saysycznego. Naomias z unku widzenia zarządzania ryzykiem kredyowym, uzyskano nowe i ineresujące rezulay. anowią one uzuełnienie wyników, rezenowanych we wcześniejszych racach auora, a uzyskanych na odsawie modeli dla danych jakościowych, dwumianowych i wielomianowych. Zarezenowane w orzednim rozdziale wyniki zawierają m.in. informacje o sodziewanym oóźnieniu słay kredyu rzez wybranych kredyobiorców oraz informacje o sile i kierunku oddziaływania wybranych czynników egzogenicznych na badaną wielkość oóźnienia. Wiek kredyobiorcy i jego wływy na rachunek ROR są ymi czynnikami, kórych wzros owoduje skrócenie okresu oóźnienia słay kredyu. Innymi czynnikami ozyywnie wływającymi na słaę kredyu jes osiadanie rzez kliena kar łaniczych lub kredyowych lub rachunku ROR. Naomias im większa kwoa kredyu lub im dłuższy okres, na jaki zosał udzielony kredy, ym można się sodziewać dłuższego oóźnienia jego słay. Udzielenie kredyu konsumcyjnego (a nie hioecznego) lub udzielenie go orzez ośrednika (a nie bezośrednio rzez bank) zwiększają ewenualne ryzyko kredyowe związane z niedorzymywaniem rzez kredyobiorcę usalonych w umowie kredyowej erminów sła oszczególnych ra kaiałowo-odsekowych. Bibliografia Alber J.,. Chib [1993], Bayesian Analysis of Binary and Polychoomous Resonse Daa, Journal of he American aisical Associaion, vol. 88, s. 669-679. Amemiya T. [1973], Regression Analysis when he Deenden Variable is Truncaed Normal, Economerica, vol. 41, nr 6, s. 997-1016. Amemiya T. [1985], Advanced Economerics, Harvard Universiy Press, Cambridge Massachuses. Arabmazar A., P. chmid [198], An Invesigaion of he Robusness of he Tobi Esimaor o Non-Normaliy, Economerica, vol. 50, nr 4, s. 1055-1063. Chib., [199], Bayes Inference in he Tobi Censored Regression Model, Journal of Economerics, 51, s. 77-99. Cohen A. C. [1950], Esimaing he Mean and Variance of Normal Poulaions from ingly Truncaed and Doubly Truncaed amles, Annals of Mahemaical aisics, 1, s. 557-569. Cowles M.K., B.P. Carlin [1996], Markov Chain Mone Carlo Covergence Diagnosic: A Comaraive Review, Journal of he American aisical Associaion, 91, s. 883-904. 11
Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Gamerman D. [1997], Markov Chain Mone Carlo. ochasic imulaion for Bayesian Inference, Chaman and Hall, London. Geweke J. [1996], Mone Carlo imulaion and Numerical Inegraion: in H. Amman, D. Kendrick and J. Rus (eds.), Handbook of Comuaional Economics, Amserdam: Norh-Holland. Goldberger A.. [1983], Abnormal elecion Bias, [in:]. Karlin, T. Amemiya, L. Goodman, udies in Economerics, Time eries, and Mulivariae aisics, s. 67-84, New York, Academic Press. Gourieroux C. [000], Economerics of Qualiaive Deenden Variables, Cambridge Universiy Press, Cambridge. Greene W. H. [1993], Economeric Analysis, Macmillan Publishing Comany, New York. Gruszczyński M., [1997], Dynamiczne modele obiowe, Przegląd aysyczny, om 44, nr 4, s. 499-513. Gruszczyński M. [001], Modele i rognozy zmiennych jakościowych w finansach i bankowości, Monografie i Oracowania GH, Warszawa, nr 6. Maddala G.. [1983], Limied-deenden and Qualiaive Variables in Economerics, Cambridge Universiy Press, Cambridge. Marzec J. [003a], Badanie niewyłacalności kredyobiorcy na odsawie modeli logiowych i robiowych, Zeszyy Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków, nr 68, s. 103-117. Marzec J., [003b], Badanie niesłacalności kredyów za omocą bayesowskich modeli dychoomicznych - założenia i wyniki, Meody ilościowe w naukach ekonomicznych (red. A. Welfe), Wydawnicwo GH w Warszawie, s. 73-86. Marzec J., [003c], Bayesowska analiza modeli dyskrenego wyboru (dwumianowych), Przegląd aysyczny. 50, s. 19-146. Marzec, [003d], Modele wielomianowe dla kaegorii uorządkowanych w badaniu niesłacalności kredyów konsumcyjnych, w: Prognozowanie w zarządzaniu firmą (red. P. Dimann), Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 1001, s.143-15. Marzec J., [003e], Bayesowska analiza wielomianowego modelu robiowego dla kaegorii uorządkowanych, Folia Oeconomica Cracoviensia, vol. 43-44. s. 63-80. McDonald J.F., R. A. Moffi [1980], The Uses of Tobi Analysis, The Review of Economics and aisic, vol. 6, s. 318-31. O Hagan A. [1994], Bayesian Inference, J. Wiley, New York. Olsen R. J. [1978], Noe on he Uniqueness of he Maximum Likelihood Esimaor for he Tobi Model, Economerica, vol. 46, nr 5, s. 111-109. Osiewalski J., J. Marzec [004], Uogólnienie dychoomicznego modelu robiowego z wykorzysaniem skośnego rozkładu udena, maszynois. Pajor A. [003], Procesy zmienności sochasycznej V w bayesowskiej analizie finansowych szeregów czasowych, Monografie: Prace Dokorskie, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, nr. Tierney L. [1994], Markov chains for exloring oserior disribuions (wih discussion), Annals of aisics,, s. 1701-176. Tobin J. [1958], Esimaion of relaionshis for limied deenden variables, Economerica, 6, s. 4-36. 1