Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY
Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 5 7 8 9 0 3 4 5 7 8 9 0 Odp. D B A B C B A B D B C D C A A C B D C B A D Zadaie 3. ( pkt) Rozwiąż ierówość Schemat oceiaia do zadań otwartych x + x+ 4 0. Rozwiązaie Rozwiązaie ierówości kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap może być realizoway a sposoby: I sposób rozwiązaia (realizacja pierwszego etapu) Zajdujemy pierwiastki trójmiau kwadratowego x + x+ 4 obliczamy wyróżik tego trójmiau: 4 + 4 Δ= 4 + 9 = 9 i stąd x = = 4 oraz x = = 3 4 4 stosujemy wzory Viète a: x+ x = oraz x x = i stąd x = 4 oraz x = 3 podajemy je bezpośredio (explicite lub zapisując postać iloczyową trójmiau lub zazaczając a wykresie) x = 4, x = 3 lub ( x 4)( x+ 3) 0 lub y 3 4 x 0-09-4
Poziom podstawowy czerwiec 0 II sposób rozwiązaia (realizacja pierwszego etapu) Wyzaczamy postać kaoiczą trójmiau kwadratowego 49 x + 0 a astępie przekształcamy ierówość, tak by jej lewa stroa była zapisaa w postaci iloczyowej 7 7 x x + 0 x 4 x+ 3 0 ( ) ( ) Drugi etap rozwiązaia: Podajemy zbiór rozwiązań ierówości 3, 4. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązaia i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości, p. o obliczy lub poda pierwiastki trójmiau kwadratowego x = 4, x = 3 i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości o zazaczy a wykresie miejsca zerowe fukcji f ( x) = x + x+ 4 i a tym poprzestaie lub błędie zapisze zbiór rozwiązań ierówości o rozłoży trójmia kwadratowy a czyiki liiowe, p. ( x 4) ( x+ 3) i a tym poprzestaie lub błędie rozwiąże ierówość realizując pierwszy etap popełi błąd (ale otrzyma dwa róże pierwiastki) i kosekwetie do tego rozwiąże ierówość, p. o popełi błąd rachukowy przy obliczaiu wyróżika lub pierwiastków trójmiau kwadratowego i kosekwetie do popełioego błędu rozwiąże ierówość o błędie zapisze rówaia wyikające ze wzorów Viète a: x+ x = i x x = lub x + x = i x x = i kosekwetie do tego rozwiąże ierówość, Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań ierówości : 3, 4 lub x 3, 4 lub 3 x 4, sporządzi ilustrację geometryczą (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań ierówości w postaci x 3, x 4, poda zbiór rozwiązań ierówości w postaci graficzej z poprawie zazaczoymi końcami przedziałów 0-09-4 3
Poziom podstawowy czerwiec 0 3 4 Uwagi. Jeżeli zdający poprawie obliczy pierwiastki trójmiau x = 3 i x = 4 i zapisze x 3, 4, popełiając tym samym błąd przy przepisywaiu jedego z pierwiastków, to za takie rozwiązaie otrzymuje pukty.. W związku z rozbieżością w rozumieiu i używaiu spójików w języku potoczym i formalym języku matematyczym akceptujemy zapis x 3, x 4. 3. Jeżeli błąd zdającego w obliczeiu pierwiastków trójmiau ie wyika z wykoywaych przez iego czyości (zdający rozwiązuje swoje zadaie ), to otrzymuje 0 puktów za całe zadaie. Zadaie 4. ( pkt) Fukcja f jest określoa wzorem f ( x) współczyik b. x b =, dla 9 x 9 x oraz ( ) f 4 = 5. Oblicz Rozwiązaie Waruek f ( 4) = 5 zapisujemy w postaci rówaia z iewiadomą b: Rozwiązujemy to rówaie i obliczamy współczyik b: b = 3. 4 b 5 =. 4 9 Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt 4 b gdy poprawie zapisze rówaie z iewiadomą b, p. 5 = 4 9 lub 5 5= 8 b. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczyik b = 3. 0-09-4 4
Poziom podstawowy czerwiec 0 Zadaie 5. ( pkt) Na poiższym rysuku trójkąt ABC jest rówoboczy, a pukty B, C, N są współliiowe. Na boku AC wybrao pukt M, tak że AM = CN. Udowodij, że BM = MN. N C M A B I sposób rozwiązaia N C M D A B Rysujemy odciek MD rówoległy do odcika AB. Uzasadiamy, że trójkąty BDM i MCN są przystające a podstawie cechy bkb: BD = CN, bo BD = AM MD = CM, bo trójkąt MDC jest rówoboczy BDM = 0 = NCM. Zatem BM = MN. 0-09-4 5
Poziom podstawowy czerwiec 0 Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy apisze, że trójkąty BDM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wiosek, że BM = MN Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, że trójkąty ACD i BCE są przystające i wyprowadzi stąd wiosek, że BM = MN. Uwaga Zdający może też dorysować odciek MD BC i aalogiczie pokazać, że trójkąty BMD i MNC są przystające. II sposób rozwiązaia Z twierdzeia cosiusów dla trójkąta ABM obliczamy BM = AM + AB AM AB cos 0 = = AM + AB AM AB = = AM + AB AM AB. Z twierdzeia cosiusów dla trójkąta MCN obliczamy MN = MC + CN MC CN cos0 = = MC + CN MC CN =. = MC + CN + MC CN Poieważ AM = CN i MC = AB AM, więc ( ) ( ) MN = AB AM + AM + AB AM AM = BM : MN : = AB + AM AB AM + AM + AB AM AM = Zatem BM = MN, czyli BM = MN Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia AB + AM AB AM Zdający otrzymuje... pkt gdy korzystając z twierdzeia cosiusów obliczy kwadraty długości odcików BM i MN. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, że BM = MN. 0-09-4
Zadaie. ( pkt) Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych Poziom podstawowy czerwiec 0 3 Dae są wielomiay P ( x) = x + 3x, Q ( x) = x x oraz W ( x) ax + b współczyiki a i b tak, by wielomia P( x ) był rówy iloczyowi W ( x) Q( x). =. Wyzacz I sposób rozwiązaia Wyzaczamy iloczy W ( x) Q( x) : W ( x) Q( x) = ( x x )( ax+ b) 3 W ( x) Q( x) = ax + bx ax bx ax b 3 W ( x) Q( x) = ax + ( b a) x ( a+ b) x b Porówujemy współczyiki wielomiaów P( x ) i W ( x) Q( x) i zapisujemy układ rówań: a = b a= 3 a + b = 0 b = Z pierwszego rówaia otrzymujemy a =, z ostatiego b =. Sprawdzamy, że obliczoe a oraz b spełiają pozostałe dwa rówaia. Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt 3 gdy zapisze wielomia W ( x) Q( x) w postaci ( ) ( ) ax + b a x a + b x b i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy a = i b = W x = x+ zapisze ( ) II sposób rozwiązaia 3 Sprawdzamy, że liczba jest jedym z miejsc zerowych wielomiau P ( x) = x + 3x i dzielimy wielomia ( ) + = + + 3 ( x 3x ): x x x x x 3 x + x x x x + = = 3 x + 3x przez dwumia x. 0-09-4 7
Poziom podstawowy czerwiec 0 Następie zapisujemy P( x) = ( x + x+ ) ( x ), czyli P( x) ( x x ) ( x ) Porówując współczyiki wielomiaów W ( x) ax + b a =, b=. = +. = oraz x + otrzymujemy Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt 3 gdy podzieli wielomia ( x) = x + 3x ( ) ( ) ( ) P x x x x P przez dwumia x i zapisze = + + lub P( x) = ( x ) x+ ( x ) i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy a = i b = zapisze W ( x) = x+. Uwaga Jeżeli zdający sprawdzi, że liczba P 3 ( x) = x + 3x ( ) ( 4 ), podzieli wielomia jest jedym z miejsc zerowych wielomiau 3 x + 3x przez dwumia lub ( ) ( ) ( ) x + i zapisze P x = x + x x+ P x = x x x+ i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy, to otrzymuje pukt. III sposób rozwiązaia 3 Dzielimy wielomia P ( x) = x + 3x przez wielomia Q ( x) = x x ( ) + = + 3 ( x 3x ): x x x 3 x x x = x x x + x+ = = = i zapisujemy P( x) ( x x ) ( x ) = +. Z porówaia odpowiedich współczyików, otrzymujemy a =, b=. 0-09-4 8
Poziom podstawowy czerwiec 0 Schemat oceiaia III sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt 3 gdy podzieli wielomia P ( x) = x + 3x przez wielomia Q ( x) = x x i zapisze = + lub P( x) = ( x ) x+ ( x ) w postaci P( x) ( x x ) ( x ) poprzestaie lub dalej popełia błędy i a tym Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy a = i b = W x = x+ zapisze ( ) Zadaie 7. ( pkt) Uzasadij, że dla każdej dodatiej liczby całkowitej liczba wielokrotością liczby 0. 3 + + + 3 jest Rozwiązaie + + Liczbę 3 + 3 przedstawiamy w postaci + + 3 + 3 = 93 4 + 3 = 3 9+ 4+ = 03 5 = ( ) = 0 3 = 0k, gdzie k Zatem liczba 3 + + + 3 ( ) ( ) 3 = jest liczbą całkowitą. jest wielokrotością liczby 0. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt + + gdy zapisze liczbę 3 + 3 w postaci 3 0 5 i ie uzasadi, że liczba 5 jest podziela przez 0 Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełe rozumowaie, p.: przekształci liczbę 3 0 5 jest liczbą całkowitą przekształci liczbę 3 0 5 do postaci ( ) do postaci 0( 3 ) 0 3 = 0k, gdzie i zapisze, że liczbą całkowitą zapisze liczbę w postaci 3 0 5 i uzasadi, że jest podziela przez 0 k = 3 3 jest 0-09-4 9
Uwaga Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych Poziom podstawowy czerwiec 0 Jeśli zdający zapisuje kolejo: + + 3 + 3 = 0x 3 3 + + = 0x ( ) ( ) 0 3 5 = 0x, 53 = 0x ( ) 3 = x i uzasadia, że 3 jest liczbą podzielą przez, to otrzymuje pukty. Zadaie 8. ( pkt) Tabela przedstawia wyiki uzyskae a sprawdziaie przez ucziów klasy III. Ocey 5 4 3 Liczba ucziów 5 4 Oblicz mediaę i średią arytmetyczą uzyskaych oce. Rozwiązaie Obliczamy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III + 5 + 4 + 35 + 4 + 5 = = 3, 5. 0 0 Mediaa 0 uzyskaych oce to średia arytmetycza dziesiątego i jedeastego wyrazu uporządkowaego w kolejości iemalejącej ciągu oce. Dziesiąty i jedeasty wyraz tego ciągu to 3, zatem mediaa jest rówa 3. Schemat oceiaia Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy średią arytmetyczą oce uzyskaych przez ucziów klasy III i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy, obliczy mediaę uzyskaych oce i a tym poprzestaie lub dalej popełia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy średią arytmetyczą i mediaę uzyskaych oce: odpowiedio3,5 i 3. 0-09-4 0
Poziom podstawowy czerwiec 0 Zadaie 9. ( pkt) Rzucamy dwa razy symetryczą sześcieą kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeia A polegającego a tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest o miejsza od liczby oczek w drugim rzucie. I sposób rozwiązaia Ω jest zbiorem wszystkich par ( ab, ) takich, że ab, {,,3,4,5,} w którym Ω= 3. Zdarzeiu A sprzyjają astępujące zdarzeia elemetare: (,, ) (,3,3,4, ) ( ) ( 4,5,5, ) ( ) Zatem 5 A = i stąd ( ) A P A = = Ω 5 3. Mamy model klasyczy, Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że 3 { } Ω= i A = (,, ) (,3,3,4,4,5,5, ) ( ) ( ) ( ) Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzeia A: ( ) 5 P A =. 3 II sposób rozwiązaia: metoda drzewa Rysujemy drzewo i pogrubiamy istote dla rozwiązaia zadaia gałęzie tego drzewa. Zapisujemy prawdopodobieństwa tylko a tych gałęziach. 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzeia A: ( ) 5 P A = 5 = 3 Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy 0-09-4
Poziom podstawowy czerwiec 0 arysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa a jego gałęziach i wskaże a drzewie właściwe gałęzie (p. pogrubieie gałęzi lub zapisaie prawdopodobieństw tylko a istotych gałęziach) arysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa a jego gałęziach i ie wskazuje a drzewie odpowiedich gałęzi, ale z dalszych obliczeń moża wywioskować, że wybiera właściwe gałęzie Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzeia A: ( ) 5 P A =. 3 III sposób rozwiązaia: metoda tabeli Rysujemy tabelą i wybieramy zdarzeia elemetare sprzyjające zdarzeiu A. II kostka 3 4 5 X X I kostka 3 X 4 X 5 X Ω= 3 i 5 A =, zatem ( ) 5 P A =. 3 Schemat oceiaia III sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy arysuje tabelę i wypisze wszystkie zdarzeia sprzyjające lub zazaczy je w tabeli. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda poprawą odpowiedź: ( ) 5 P A =. 3 Uwaga Jeżeli zdający popełił błąd przy zliczaiu par spełiających waruki zadaia i kosekwetie do popełioego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to przyzajemy pukt. 0-09-4
Poziom podstawowy czerwiec 0 Zadaie 30. ( pkt) Liczby 7, x,3 są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometryczego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu. I sposób rozwiązaia Korzystając ze wzoru a trzeci wyraz ciągu geometryczego obliczamy q iloraz ciągu: 3= 7 q q = 9 q = lub 3 q =. 3 Poieważ ciąg jest malejący, to q =. 3 Obliczamy koleje wyrazy ciągu: rówy 8. II sposób rozwiązaia Z własości ciągu geometryczego wyika, że 7,9,3,,,,,, zatem ósmy wyraz ciągu jest 3 9 7 8 x = 7 3. Stąd x = 8, czyli x = 9 lub x = 9. Poieważ ciąg jest malejący, to x = 9, a iloraz tego ciągu q jest rówy 3. Obliczamy koleje wyrazy ciągu: rówy 8. 7,9,3,,,,,, zatem ósmy wyraz ciągu jest 3 9 7 8 Uwaga Zdający może obliczyć ósmy wyraz ciągu korzystając ze wzoru: 7 3 3 7 = = =. 7 4 3 3 3 8 Schemat oceiaia I i II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy q iloraz ciągu: q =. 3 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy ósmy wyraz ciągu: 8. 0-09-4 3
Poziom podstawowy czerwiec 0 Zadaie 3. (4 pkt) Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisaych wyłączie za pomocą cyfr,, 3, 4 (cyfry mogą się powtarzać). I sposób rozwiązaia (wypisaie wszystkich liczb): Zauważamy, że istieją 4 liczby trzycyfrowe, których cyfry wybrae są ze zbioru {,, 3, 4 }. Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 4 sposoby spośród cyfr,, 3 i 4, drugą rówież a 4 sposoby (cyfry mogą się powtarzać) i trzecią także a 4 sposoby. Wypisujemy wszystkie liczby spełiające waruki zadaia i dodajemy je, p.: + + 3+ 4 + + + 3+ 4 + + 3+ 3 + 33+ 34 + 4+ 4 + 43+ 44 = 040 + + 3+ 4 + + + 3+ 4 + + 3+ 3 + 33+ 34 + 4+ 4 + 43+ 44 = 340 3+ 3 + 33+ 34 + 3+ 3 + 33+ 34 + + 33+ 33 + 333+ 334 + 34+ 34 + 343+ 344 = 540 4+ 4 + 43+ 44 + 4+ 4 + 43+ 44 + + 43+ 43 + 433+ 434 + 44+ 44 + 443+ 444 = 840 Suma wszystkich liczb jest rówa: 040 + 340 + 540 + 840 = 770. Uwaga Sumę 4 liczb trzycyfrowych spełiających waruki zadaia możemy obliczyć zauważając, że we wszystkich dodawaiach zmieiają się tylko sumy setek: 00 + (+ + 3+ 4 + + + 3+ 4 + + 3+ 3 + 33 + 34 + 4+ 4 + 43+ 44) = 00 + 440 = 040 00 + ( + + 3 + 4 + + + 3+ 4 + + 3+ 3 + 33 + 34 + 4+ 4 + 43+ 44) = 300 + 440 = 340 300 + (+ + 3+ 4 + + + 3+ 4 + + 3+ 3 + 33+ 34 + 4+ 4 + 43+ 44) = 4800 + 440 = 540 400 + (+ + 3 + 4 + + + 3+ 4 + + 3+ 3 + 33+ 34 + 4+ 4 + 43+ 44) = 400 + 440 = 840 Suma wszystkich liczb jest rówa: 040 + 340 + 540 + 840 = 770. II sposób rozwiązaia Zauważamy, że istieją 4 liczby trzycyfrowe, których cyfry wybrae są ze zbioru {,, 3, 4 } (przy czym cyfry mogą się powtarzać). 0-09-4 4
Poziom podstawowy czerwiec 0 Każdą z tych liczb moża zapisać w postaci a 00 + b 0 + c, gdzie a, b, c to cyfry wybrae ze zbioru liczb {,, 3, 4 }. Sumę tych 4 liczb obliczamy dodając oddzielie wielokrotości 00, oddzielie wielokrotości 0 i oddzielie cyfry jedości. Obliczamy, ile razy jedyka występuje jako cyfra setek. Cyfrą dziesiątek może wówczas być jeda z 4 cyfr spośród,,3, 4 i cyfrą jedości też jeda z tych 4 cyfr. Zatem jedyka jako cyfra setek występuje w liczbach. W sumie 4 liczb spełiających waruki zadaia. składik 00 wystąpi razy. Podobie razy wystąpi składik 00, razy wystąpi składik 300 i razy składik 400. Zatem składiki postaci a 00 dają sumę 00 + 00 + 300 + 400 = 00 ( + + 3+ 4) = 000. Tak samo pokazujemy, że każda cyfra spośród,,3,4 wystąpi razy jako cyfra dziesiątek. Zatem składiki postaci b 0 dają sumę 0 + 0 + 30 + 40 = 0 ( + + 3+ 4) = 00. Postępując aalogiczie obliczamy sumę cyfr jedości: + + 3+ 4 = ( + + 3+ 4) = 0. Suma wszystkich 4 liczb jest zatem rówa000 + 00 + 0 = 770. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Zapisaie, że istieją 4 liczby trzycyfrowe zapisae wyłączie za pomocą cyfr,, 3 i 4 (przy czym cyfry mogą się powtarzać). Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt wypisaie wszystkich liczb trzycyfrowych, które moża zapisać wyłączie za pomocą cyfr,,3 i 4 (przy czym cyfry mogą się powtarzać). zapisaie sum setek, dziesiątek i jedości. Uwaga Jeżeli zdający wypisze liczby spełiające waruki zadaia z pomiięciem co ajwyżej trzech liczb i ie obliczy ich sumy zapisze sumy setek lub dziesiątek lub jedości z jedym błędem rachukowym i ie obliczy ich sumy, to za takie rozwiązaie przyzajemy pukty. Rozwiązaie zadaia do końca lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p. błędy rachukowe)... 3 pkt wypisaie liczb spełiających waruki zadaia z pomiięciem co ajwyżej trzech liczb i obliczeie ich sumy zapisaie sumy setek lub dziesiątek lub jedości z jedym błędem rachukowym i obliczeie ich sumy. Rozwiązaie bezbłęde... 4 pkt Obliczeie sumy wszystkich liczb trzycyfrowych zapisaych wyłączie za pomocą cyfr,,3,4 (przy czym cyfry mogą się powtarzać): 770. 0-09-4 5
Poziom podstawowy czerwiec 0 Zadaie 3. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 0 oraz AS = CS = 0 i BS = DS. Oblicz sius kąta achyleia krawędzi BS do płaszczyzy podstawy ostrosłupa. I sposób rozwiązaia S b D h c C α D O β a A f e O C A a B a a B Wprowadźmy ozaczeia: a długość boku rombu, e, f długości przekątych rombu, h wysokość ostrosłupa, b= AS = CS, c= BS = DS. Obliczamy długości przekątych podstawy. Z własości trójkąta rówoboczego BCD mamy: a 3 e= BD = a i f = OC =, zatem e = 4, f = 4 3 Korzystając z twierdzeia Pitagorasa w trójkącie AOS obliczamy wysokość ostrosłupa: f h = b ( ) h = 0 3 = 88, h = 88 = Obliczamy długość krótszej krawędzi boczej BS: 0-09-4
Poziom podstawowy czerwiec 0 c e = h + c = 88 + 4 = 9 = 3 Obliczamy sius kąta achyleia krawędzi boczej BS ostrosłupa do płaszczyzy podstawy: si β = h c 50 si β = = = 3 3 3 si β 0,9780. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt Obliczeie długości przekątych podstawy ostrosłupa: e = 4 i f = 4 3. Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Obliczeie wysokości ostrosłupa h =. Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... 3 pkt Obliczeie długości krótszej krawędzi boczej ostrosłupa: c = 3. Rozwiązaie pełe... 4 pkt Obliczeie si β =. 3 0-09-4 7
Poziom podstawowy czerwiec 0 II sposób rozwiązaia S b D h c C α D O β a A f e O C A a B a a B Wprowadźmy ozaczeia: a długość boku rombu, e, f długości przekątych rombu, h wysokość ostrosłupa, b= AS = CS, c= BS = DS. Obliczamy długości przekątych podstawy. Z własości trójkąta rówoboczego BCD mamy: a 3 e= BD = a i f = OC =, zatem e = 4, f = 4 3 Korzystając z twierdzeia Pitagorasa w trójkącie AOS obliczamy wysokość ostrosłupa: f h = b ( ) h = 0 3 = 88, h = 88 = Obliczamy tages kąta achyleia krótszej krawędzi boczej ostrosłupa do płaszczyzy podstawy: h tgβ = e 0-09-4 8
tgβ =. Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych Poziom podstawowy czerwiec 0 Obliczamy si β korzystając z tożsamości trygoometryczych: si β si β tgβ = = cos β si β si β = si β si β = si β Zatemsi β =. 3 Uwaga Jeżeli zdający korzystając z przybliżoej wartości tagesa kąta β (tgβ = 4,904 ) odczyta miarę kąta β 78 i astępie zapisze si β si 78 0,978, to za takie rozwiązaie otrzymuje 4 pukty. Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia... pkt Obliczeie długości przekątych podstawy ostrosłupa: e = 4 i f = 4 3. Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Obliczeie wysokości ostrosłupa: h =. Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... 3 pkt Obliczeie tagesa kąta achyleia krótszej krawędzi boczej ostrosłupa do płaszczyzy podstawy tg β =. Rozwiązaie pełe... 4 pkt Obliczeie si β = si β si 78 0,978. 3 0-09-4 9
Zadaie 33. (4 pkt) Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych Poziom podstawowy czerwiec 0 Wyzacz rówaie okręgu przechodzącego przez pukt = (, 8) układu współrzędych. Rozważ wszystkie przypadki. A i styczego do obu osi Rozwiązaie y 3 S=(R,R) 8 5 A=(,8) S=(r,r) 0 5 3 x Poieważ okrąg jest styczy do obu osi układu współrzędych i jego środek leży S = r, r, w I ćwiartce układu współrzędych, więc środek S tego okręgu ma współrzęde ( ) gdzie r jest promieiem tego okręgu. Rówaie okręgu ma zatem postać ( x r) + ( y r) = r. Pukt A = (, 8) leży a tym okręgu, więc ( r) ( 8 r) r r + =. Stąd otrzymujemy 8r+ 5 = 0. Rozwiązaiami tego rówaia są liczby: r = 5, r = 3. To ozacza, że są dwa okręgi spełiające waruki zadaia o rówaiach ( x ) ( y ) i ( x 3) + ( y 3) = 9. 5 + 5 = 5 0-09-4 0
Poziom podstawowy czerwiec 0 Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp... pkt Zapisaie współrzędych środka S szukaego okręgu w zależości od promieia r tego S = r, r lub zapisaie, że środek okręgu leży a prostej o rówaiu y = x. okręgu: ( ) Pokoaie zasadiczych trudości zadaia... pkt Zapisaie rówaia kwadratowego z jedą iewiadomą: r + 8 r = r czyli r 8r+ 5 = 0. ( ) ( ) Rozwiązaie zadaia do końca lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p. błędy rachukowe)... 3 pkt Zadaie rozwiązae do końca, ale w trakcie rozwiązaia popełiao błędy rachukowe. Rozwiązaie pełe... 4 pkt Zapisaie rówań obu okręgów: w postaci kaoiczej: ( x 5) + ( y 5) = 5 i ( x 3) + ( y 3) = 9 lub w postaci ogólej: x + y 0x 0y+ 5 = 0 i x + y x y+ 9 = 0. Uwagi. Jeżeli zdający zapisze rówaie jedego okręgu, to otrzymuje pukt.. Jeżeli zdający zapisze rówaia obu okręgów, to otrzymuje pukty. 3. Jeżeli zdający zapisze rówaia obu okręgów i stwierdzi, że ie ma iych okręgów spełiających waruki zadaia, to otrzymuje 4 pukty. 0-09-4