ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5 Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych 7 6 Podstawy rachunku różniczkowego funkcji dwóch i trzech zmiennych 8 7 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych 9 8 Ogólne własności całek podwójnych 9 Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych Ogólne własności całek potrójnych Współrzędne walcowe Współrzędne sferyczne Przekształcenie Laplace a 4 Przekształcenie Fouriera 4 5 Powtórzenie 5 6 Egzaminy 6 Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju. Korzystając z kryterium porównawczego, zbadaj zbieżność całki + cos x x dx,
(c) (d) x arc tg x + x 7 dx, dx, x + arc tg x cos x x + sin x dx.. Korzystając z kryterium ilorazowego, zbadaj zbieżność całki (c) (d) (e) sin 4 8 x dx, sin x x dx, 5x 8 9x + x 7 x + x ( x dx + ) ln ( ) + x dx. x. Zbadaj zbieżność całki x sin x dx, e x x dx. dx. 4. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całki (c) cos(4x) sin ( x 6) x x + x 5 arc tg x x5 + cos x + dx, sin x x dx. dx, 5. Oblicz całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje: + x dx,
(c) (d) e x dx, x sin x dx, x cos x dx.. Zbieżna, zbieżna, (c) zbieżna, (d) rozbieżna do.. Rozbieżna do, rozbieżna do, (c) zbieżna, (d) zbieżna, (e) zbieżna.. Rozbieżna do, zbieżna. 4. Zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna), całka jest rozbieżna do i nie jest zbieżna bezwzględnie, (c) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna). 5. całka jest równa, zatem tyle samo wynosi wartość główna, całka jest równa, zatem tyle samo wynosi wartość główna, (c) ani całka, ani wartość główna całki nie istnieją, (d) całka nie istnieje, wartość główna całki wynosi. Całki niewłaściwe drugiego rodzaju. Dwoma sposobami, za pomocą kryterium porównawczego oraz ilorazowego, zbadaj zbieżność całki (c) cos x dx, sin (x 4 ) dx, sin x dx.. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całki
x sin x dx, cos x x arc tg x dx.. Oblicz całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje: (c) x dx, x dx, x dx.. Dla kryterium porównawczego można wykorzystaj nierówności x < sin x < x, zachodzące dla < x <. rozbieżna do, rozbieżna do, (c) zbieżna.. zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna), zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna).. całka rozbieżna (nie istnieje), wartość główna wynosi, całka i wartość główna nie istnieją, (c) całka wynosi 6, zatem wartość główna tyle samo. Szeregi liczbowe. Wykorzystując warunek konieczny zbieżności, wykazać rozbieżność szeregu arc tg n arc cos, n ( ) n n. n n= n=. Korzystając z kryterium d Alemberta, zbadaj zbieżność szeregu (c) ( ) n n= n= n sin n, ( ) n n= (n)! 6 n (n!), n n. 4
. Korzystając z kryterium Cauchy ego, zbadaj zbieżność szeregu n= n= ( ) n (arctg( n + )) n, n + 7 n n + n + 4 n + 5 n + 6 n. 4. Zbadaj zbieżność i ewentualnie określ jej rodzaj, dla szeregu (c) (d) (e) n ( ) n n, n= cos(n) tg n, n= n= n= n= ( ) (n n ) n, n + n! ( ) n n, 5 n ( n + n. lim n a n =, ) (n ). lim a n = e. n. Zbieżny bezwzględnie, zbieżny bezwzględnie, (c) zbieżny bezwzględnie.. Zbieżny bezwzględnie, rozbieżny do. 4. Zbieżny warunkowo. Wskazówka: do pokazania zbieżności zastosować kryterium Leibniza, a do pokazania rozbieżności szeregu modułów wykorzystaj rozbieżność szeregu harmonicznego i nierówność < n, zbieżny warunkowo. Wskazówka: do pokazania zbieżności zastosować kryterium Leibniza, a do pokazania rozbieżności szeregu modułów wykorzystaj rozbieżność szeregu harmonicznego i oszacowanie x < tg x dla < x <, (c) zbieżny bezwzględnie, (d) rozbieżny, (e) rozbieżny do. 4 Szeregi potęgowe. Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego: n= (x + ) n n, 5
(c) (d) (e) n= n= n= n 6 n xn, (6 x) n n +, ( 4x 8) n n 8 n, n( 4x) n. n=. Dla zadanej funkcji f wyznacz szereg Maclaurina, przedział jego zbieżności oraz wzór na n-ty współczynnik w tym rozwinięciu, jeśli: f(x) = 4x x 4, f(x) = x 6 + x 4, (c) f(x) = x ln ( 4 ) x, (d) f(x) = x e 5x.. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych, oblicz pochodną: f (4) () dla f(x) = x cos(x), f () () dla f(x) = x sin(x), (c) f (5) () dla f(x) = x + 4x. 4. Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego, oblicz sumy szeregów: (c) (d) n= n= n= n= n + 4 n, n n n, ( ) n (n + )5 n, n(n + ) n.. ( 4, ), ( 6, 6), (c) ( 5, 7 ], (d) ( 4, ], (e) ( 4, 4).. n= 4 n x n, ( 4, 4), c n = { dla n =, 4 n dla n N +, 6
{ ( ) k k= x 4k+ ( ) n 4, (, ), c 8 6 k n = dla n = 4k +, k N, n+ dla pozostałych n N, (c) { k= x k+, (, ), c k4 k n = (n ) dla n = k +, k N n 4 +, dla pozostałych n N, (d) ( 5) k k= k! x k+, R, c n =. 48,, (c) 9. 4. 4, 7, (c) 5 5 ln 6 5, (d) 6 9 7 ln. { ( 5) n n dla n = k +, k N,! dla pozostałych n N. 5 Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych. Niech x, y, z oznaczają liczby rzeczywiste. Wyznacz dziedzinę D naturalną funkcji f, opisać zadaną poziomicę oraz określ kształt pozostałych poziomic, jeśli f(x, y) = e //(x +y ), poziomica f(x, y) = e, f(x, y, z) = x + y + z x + y + z, poziomica f(x, y, z) =., 5. Zbadaj istnienie i ewentualnie oblicz lim P P f(p ), jeśli P = (x, y, z), P = (,, ) R, f(x, y, z) = 4 x y z x + y + z.. Wyznacz zbiór A punktów ciągłości funkcji f : R n R, określonej wzorami { xy, gdy y x f(x, y) =, x, gdy x < y, { arc tg(xy), gdy xy <, f(x, y) = x, gdy xy, { cos(x y), gdy x y < (c) f(x, y) = 4, y, gdy 4 x y, (d) f(x, y, z) = { z 7 x +y +z 5, gdy x + y + z 5,, gdy x + y + z = 5.. D = {(x, y) R : x + y } (płaszczyzna bez okręgu); szukaną poziomicą jest okrąg o środku w (, ) i promieniu, pozostałymi poziomicami są okręgi o środku w (, ) i promieniach ϱ [, ) (, ),. 4. D = {(x, y, z) R : x + y + z } (przestrzeń R bez sfery); szukaną poziomicą jest sfera o środku [ w (,, ) i promieniu, pozostałymi poziomicami są sfery o środku w (,, ) i promieniach ϱ, ) ( )., 7
. A = {(x, y) R : y x } {(, )} (funkcja jest ciągła poza parabolą y = x i dodatkowo jest ciągła w punkcie (, )), A = {(x, y) R : xy } {( 4, ) ( 4, 4, )} 4 (funkcja jest ciągła poza hiperbolami y = x, y = x i dodatkowo jest ciągła w punktach ( 4, ) ( 4, 4, ) 4 ), (c) A = { } {( (x, y) R : y = y x 4 4 +, ) (, 4 +, )} (funkcja jest ciągła poza ( prostymi y = x 4, y = x + 4 i dodatkowo jest ciągła w punktach 4 +, ), ( 4 +, (d) A = {(x, y, z) R : x + y + z 5} (funkcja jest ciągła poza sferą x + y + z = 5). 6 Podstawy rachunku różniczkowego funkcji dwóch i trzech zmiennych. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f(x, y) = sin(xy ) + x y w punkcie (, ).. Dla funkcji f(x, y, z) = x ln(y + z) oblicz 4 f x (7,, ). z y. Sprawdź, czy spełniony jest warunek wystarczający dla istnienia płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P = (x, y, z ), a następnie wyznacz równanie tej płaszczyzny, jeśli: ( ) f(x, y) = tg (x + y ), (x, y ) =,, f(x, y) = ln(x + y ), (x, y ) = (, e), (c) f(x, y) = ln y ( arc cos x, (x, y ) =, ) e, (d) f(x, y) = y 4x, (x, y ) = (, 4), (e) f(x, y) = 4 arc tg ( xy ), (x, y ) = ( 4, ). 4. Wyznacz kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie P, jeśli ( ) f(x, y) = x y, P = ln 4,, ln f(x, y, z) = sin (x ( y) + arc tg z, P = 4, 6 ) 9,. 5. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P i w kierunku wektora v, jeśli f(x, y) = x sin (y + x ), P = (, ) ( ), v =,, f(x, y, z) = x sin(y + z), P = (, 4, ), v = 4 (,, 6. Za pomocą różniczki funkcji dwóch zmiennych podaj przybliżoną wartość wyrażenia:,, 999 4, arc tg, +, 7, 7. 7. Oszacuj, o ile mogliśmy się pomylić obliczając pole powierzchni całkowitej ścian prostopadłościanu, jeśli krawędzie mierzyliśmy z dokładnością, mm i otrzymaliśmy wyniki mm, mm, mm. ). ) ), 8
. f x (, ) =, f y (, ) = 4, f x y (, ) = f y x (, ) = 7.. 4 f x z y (7,, ) = 4.. z = 4x + 4 ( y z = e x + e (y e), (c) z = ( x ), ) + e (y e), (d) z = 4 ln (x ) + ln (y 4), (e) z = 8 ( x 4) + (y ). ( ) ln 4. gradf (P ) = e, ln e, gradf (P ) = (, 64, ). 5. f v (P ) =, f v (P ) =. 6., 997,,. Wskazówka: rozważyć funkcję f(x, y) = arc tg x+y xy. 7. f 4 mm. 7 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = 4x xy + xy, f(x, y) = (x + y ) e y, (c) f(x, y) = ( x y + y ) e x, (d) f(x, y) = x n + y n nxy, gdzie n jest ustaloną liczbą naturalną.. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f na zbiorze D, jeśli: f(x, y) = y x + yx + x x, D = [, ] [, ], f(x, y) = (x + y ) e x, D = [, ] [, ], (c) f(x, y) = x x + y + 4, D = {(x, y) R : x + y }. (d) f(x, y) = (x )y, D = {(x, y) R : x 4x + y }.. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) =, jeśli f(x, y) = x y, g(x, y) = x y, f(x, y) = x ln ( x 4 y ), g(x, y) = xy. 9
. f(, ) = 8 maksimum lokalne właściwe, f(, ) = 8 minimum lokalne właściwe, f(, ) = minimum lokalne właściwe (i najmniejsza wartość funkcji), (c) f(, ) = minimum lokalne właściwe. Wskazówka: dla punktu P = (, ) zauważyć, że f x (P ) =, f x (P ), (d) f(, ) = n minimum lokalne właściwe. dla dla n parzystych przyjmowane także w punkcie (, ).. M =, m = 9 4, M =, m = e, (c) M = 9 4, m = 9 8, (d) M =, m =.. Minimum lokalne (i jednocześnie najmniejsza wartość) m = w punkcie (, ), minima lokalne właściwe (i najmniejsza wartość funkcji) równe w punktach (, ) i (, ). 8 Ogólne własności całek podwójnych. Zmień kolejność całkowania w całkach iterowanych: y dy f(x, y) dx, y dx x x Sporządź rysunek. f(x, y) dy.. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 5x, y = x, y =, y = 4x, xy =, (c) xy =, x + y + 7 =, (d) y = e x, y = x, x =, (e) y = sin x, y = x, (f) y = x, y = x +, (g) y = e x, y = (e )x +. Sporządź rysunek.. Oblicz masę obszaru D o gęstości powierzchniowej σ, jeśli D = {(x, y) R : } x 4, sin x y, σ(x, y) = x, D jest ograniczony przez krzywe xy =, x + y 4 =, a σ(x, y) = y. Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D.
4. dx f(x, y) dy + x dx x f(x, y) dy, dy y f(x, y) dx + dy y f(x, y) dx.. 5 6, ln 7, (c) ln 5 + ln, (d) e ln, (e) 4, (f) ln, (g) e.. 4 4 +, 4. 9 Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych. Wprowadzając współrzędne biegunowe, oblicz: y dxdy, jeśli D = {(x, y) R : y x, x + y 9}, D x +y dx dy, jeśli D = { (x, y) R : x, y, x + y 4 }, (c) D D ( x + y ) { dx dy, jeśli D = (x, y) R : } x y, x + y 4. Obszar D zaznaczyć na płaszczyźnie.. Wprowadzając współrzędne biegunowe, oblicz masę obszaru D R o gęstości powierzchniowej σ(x, y), jeśli D jest ograniczony krzywymi: y =, y = x, x = y, x = 9 y, a σ(x, y) = x + y, x =, y = x, y = 4 x, y = 6 y, a σ(x, y) = x + y, (c) x =, y = x, y = 4 x, a σ(x, y) = x. Obszar D zaznaczyć na płaszczyźnie.. 9, ln, (c) 4.. 6 9,, ( ) (c) 4.
Ogólne własności całek potrójnych. Zmień kolejność całkowania na dzdydx oraz dzdxdy w całce: 4 x+y dx dy f(x, y, z) dz, +x dx +x 4 4y (c) dy dz 4 4 y (d) dy dz + x y dy f(x, y, z) dz, y 4 z f(x, y, z) dx, + 4 y+ 4 z f(x, y, z) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.. Oblicz objętość obszaru w przestrzeni, ograniczonego przez powierzchnie: z =, z = 8, x = 5 y, x = + y, x =, y =, y = x, x + y + z =, x + y z =. Sporządź rysunek.. (c) (d) 4 dz dy + z dz 4 dz z 4 z 4 dz 4 z +y z 4 f(x, y, z) dx, dz z dy f(x, y, z) dx, dz dx +y+ z + z dy y 4 z 4 f(x, y, z) dx, dz 4 z dx f(x, y, z) dy, +x+ z dx 4 dy f(x, y, z) dx, dz dx + 4 y+ 4 z + 4 z +x z x 4 z 4+4x z f(x, y, z) dy, f(x, y, z) dx, f(x, y, z) dy.. 8,. Współrzędne walcowe. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz objętość obszaru U R, ograniczonego powierzchniami: x + y z =, x + y z + =, x + y + z =, x + y z 6 =. Sporządź rysunek.. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz masę ograniczonego obszaru U R, o gęstości objętościowej masy σ, jeśli:
σ(x, y, z) = x + y, a obszar U jest wyznaczony przez powierzchnie o równaniach 5 x + y +z =, z + 5 =, σ(x, y, z) = x + y, a obszar U jest wyznaczony przez powierzchnie o równaniach x + y z + =, x + y z =. Sporządź rysunek.. 6,.. 5 6, 6. Współrzędne sferyczne. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz objętość obszaru U R, ograniczonego powierzchniami: z x + y =, z 9 x y =, x + y z =, 9 x y z =, 4 x y z =. Naszkicować obszar całkowania.. Wprowadzając { współrzędne sferyczne, oblicz masę kuli K = (x, y, z) R : x + y + z }, 4 o gęstości objętościowej masy σ(x, y, z) = z +.. Oblicz masę obszaru U R, wyciętego z pierścienia kulistego P = {(x,, y, z) R : x + y + z 4} przez stożek S = {(x,, y, z) R : z = x + y }, jeśli gęstość objętościowa masy σ(x, y, z) = 5(x + y + z ).. 9,.. 9( ).. ( ). Przekształcenie Laplace a. Niech a >. Wyznacz wzór na transformatę Laplace a funkcji { dla t < a f(t) = dla a t, { t dla t < a f(t) = dla a t,
t dla t < a (c) f(t) = t + a dla a t < a dla a t.. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe y + 5y = t, y() = 5, y + 7y = 4t, y() = 7, (c) y + y y = 4e t, y() =, y () =, { { x = x + y, x() =, (d) y = x + y, y() =. Uwaga: wartość transformacji (czyli transformata) Laplace a L ( t n e αt) n! (s) = (s α) n+, w tym L ( e αt) (s) = s α, L (tn ) (s) = n! s n+, L()(s) = s.. F (s) = e as, s F (s) = e as s ae as, s (c) F (s) = e as + e as s.. y(t) = 5 t, y(t) = 7 t, (c) y(t) = e t e t, { x(t) = te (d) t, y(t) = e t + te t. 4 Przekształcenie Fouriera. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Fouriera funkcji { dla t f(t) = dla pozostałych t R, { gdy t f(t) = dla pozostałych t R.. ˆf(s) = e si dla s R \ {}, si ˆf(s) = sin s dla s R \ {}. s 4
5 Powtórzenie. Korzystając między innymi z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego, oblicz n n a = 7 n. n=. Korzystając między innymi z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego, oblicz n n a = n 5 n+. n=. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = x sin ( x + 4y ), w punkcie (x, y ) = (, ) ( ) i w kierunku wersora v =,. 4. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu ( ) funkcji f(x, y) = tg (x + y ) w punkcie (x, y ) =,. 5. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x, y) = xy + xy + x x na kwadracie D = [, 4] [, ]. 6. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 5 + y 5 5xy. 7. Oblicz masę ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach xy = 6, x + y 8 =, jeśli gęstość powierzchniowa σ(x, y) = y. Naszkicować obszar D. 8. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach y =, x =, y = x, y + z =, y + z =, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x. 9. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz objętość ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach x + y 4z =, x + y 4z + =. Naszkicować obszar U.. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz objętość ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z x + y =, z 9 x y =. Sporządź rysunek obszaru U.. Wyznacz { wzór na transformatę Laplace a funkcji t dla t < f(t) = dla t.. Za pomocą przekształcenia Laplace a, rozwiąż zagadnienie początkowe y + y = 4e t, y() = 4. Uwaga: wartość transformacji (czyli transformata) Laplace a L ( t n e αt) n! (s) = (s α) n+, w tym L (eαt ) (s) = s α, L (t n ) (s) = n! s n+, L()(s) = s.. a = 4 9.. a = ln 5 ln 5 f. v (x, y ) =. 4. z = 4 (. y ) + x. 5
5. Zbiór możliwych ekstremów globalnych Z = { 9,,, 4}, największa wartość M = max Z =, najmniejsza m = min Z = 9. 6. Minimum lokalne właściwe f(, ) =. 7. M = 9 4. 8. M = 6. 9. U = 8.. U = 9.. F (s) = e s + e s s.. y(t) = 4e t. 6 Egzaminy Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału. Zestaw A. Wyznacz środek x oraz promień R przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu ( funkcji f(x, y) = sin(x y) w punkcie (x, y, z ) =, ), f (x, y ). 7 n (x + ) n.. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x 4 +y 4 +4x y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x, y ) = (, ); w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj ekstremum. n= 4. Zmień kolejność całkowania w całce I = Sporządź rysunek obszaru całkowania. dy ln y f(x, y) dx. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach x +y z =, z =, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y. 6. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę { Laplace a funkcji dla t < f : [, ) R, określonej wzorami f(t) = dla pozostałych t.. x = //, R = //.. f x = cos(x y), f y = cos(x y), f(, //) =, f x (, //) =, f y (, //) =, 5, z + = x ( y ). 6
. f x = 4x + 4, f y = 4y, f x (, ) = f y (, ) =, więc warunek konieczny spełniony, W (x, y) = x y, W (, ) >, więc jest ekstremum, f xx (, ) >, więc minimum lokalne właściwe (równe f(, )). 4. I = ln dx e x f(x, y) dy. 5. M = dϕ ( 4 = 4 dϱ 6 6 ϱ // ϱ dz ) = 6. 6. F (s) = Zestaw B ( ) e st dt = (e s e s )//s = es se s.. Zbadaj zbieżność szeregu n= n + n + n 4. +. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = tg( x + y) ( w punkcie (x, y ) = 6, ) ( ) i w kierunku wersora v = 6,.. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = x +x+y na trójkącie D R, wyznaczonym przez proste o równaniach x =, y =, y = x+. 4. Zmień kolejność całkowania w całce I = Sporządź rysunek obszaru całkowania. dy arc sin y f(x, y) dx. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = 4 x y, z = x + y, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y + z. 7
6. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę { Laplace a funkcji e f : [, ) R, określonej wzorami f(t) = t dla t < dla pozostałych t.. n + n + n 4 +, szereg zbieżny (bezwzględnie). n. f x = cos ( x + y), f y = cos ( x + y), f x (//6, //6) = 4//, f y (//6, //6) = 8//, f v (//6, //6) =.. brak punktów krytycznych, przy x = : f (y) = y, max =, min =, przy y = : f (x) = x + x, max =, min =, przy y = x + : f (x) = x +, max =, min =. razem max =, min =. 4. I = // dx sin x f(x, y) dy. 5. M = = ( dϕ // //4 ) dψ 5 5 r 4 cos ψdr ( = 5 ( ) ). 6. F (s) = Zestaw C e ( s)t dt = e( s) e s. s. Wyznacz środek x oraz promień R przedziału zbieżności szeregu potęgowego n= (4x + ) n 8 n. 8
. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu ( funkcji ) f(x, y) = cos(x y) w punkcie (x, y, z ) = 4,, f (x, y ).. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x + x xy + 5y 4y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x, y ) = (, ); w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj ekstremum. 4. Zmień kolejność całkowania w całce I = Sporządź rysunek obszaru całkowania. e dy ln( y) f(x, y) dx. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = x + y, z =, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y. 6. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę { Laplace a funkcji dla t < f : [, ) R, określonej wzorami f(t) = dla pozostałych t.. x = //, R =.. f x = sin(x y), f y = sin(x y), f(//4, ) =, f x (//4, ) =, f y(//4, ) =, ( z + = x ) (y ). 4. f x = x + 6x y, f y = x + y y,, f x (, ) = f y (, ) =, więc warunek konieczny spełniony, W (x, y) = 6x + 6 4y, W (, ) = 56 >, więc jest ekstremum, f xx (, ) >, więc minimum lokalne właściwe (równe f(, )). 4. I = dx e x e f(x, y) dy. 5. M = = dϕ dϱ ϱ ϱ dz (ϱ ϱ )dϱ = (6// 4) = 8. 9
6. F (s) = e st dt = (e s e s )//s = es se s. Zestaw D. Zbadaj zbieżność szeregu n= n 4 + n + n 5. + 5. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = arc tg( x ( + y) ) w punkcie (x, y ) = (, ) i w kierunku wersora v =,.. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = y + x + y na trójkącie D R, wyznaczonym przez proste o równaniach x =, y =, y = x +. 4. Zmień kolejność całkowania w całce I = Sporządź rysunek obszaru całkowania. dy arc cos y f(x, y) dx. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = x y, z = (x + y ), jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y + z. 6. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę { Laplace a funkcji e f : [, ) R, określonej wzorami f(t) = t dla t < 4 dla pozostałych t.. a n, szereg rozbieżny. n. f x = + ( x + y) ), f y = + ( x + y) ), f x (, ) = //, f y (, ) = //, f (, ) = v.. brak punktów krytycznych, przy y = : f (x) = x, max =, min =, przy x = : f (y) = y + y, max =, min =, przy y = x + : f (y) = y + y, max =, min =, razem max =, min =.
4. I = // dx cos x f(x, y) dy. 5. M = = ( dϕ // // ) dψ 4 = r cos ψdr ( ). 4 6. F (s) = 4 e ( s)t dt = e4( s) e s. s Zestaw E ( ) n x + 8. Wyznacz środek x oraz promień R przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Na podstawie środka x i promienia R wypisać wszystkie możliwe postacie przedziału I zbieżności tego n= szeregu.. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = ln(5x 4y) w punkcie (x, y, z ) = (e, e, f (x, y )).. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x 8 + y 6 8x 6y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x, y ) = (, ); w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj ekstremum. 4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 5x, y = x. Sporządź rysunek. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = x + y, z =, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne walcowe. 6. Za pomocą przekształcenia Laplace a, rozwiąż zagadnienie początkowe y 5y =, y() =. Uwaga: jeśłi α R, to transformata Laplace a [ L ( e αt)] (s) = s α. Ponadto, [L(y )] (s) = s [L(y)] (s) y().
. x = 4, R = 5, (,5 p.) I to przedział o końcach -9 oraz (cztery możliwości). 5. f x = 5x 4y, f y = 4 5x 4y, f(e, e) =, (,5 p.) f x (e, e) = 5 e, f y(e, e) = 4 e z = 5 e (x e) 4 (y e). e. f x = 8x 7 8, f y = 6y 5 6, f x (, ) = f y (, ) =, więc warunek konieczny spełniony, W (x, y) = 56x6 y 4, W (, ) >, więc jest ekstremum lokalne właściwe f x,x (, ) >, więc minimum lokalne właściwe (równe f(, )). 4. P = = 5 6 5 dy 5 y y dx 5. M = = dϕ dϱ ϱ ϱ dz (ϱ ϱ 4 )dϱ = ( 5 5 5 ) = 7 5 6. sf 5F =, F = s 5, y = e 5t.
Zestaw F. Zbadaj zbieżność szeregu n= cos n n + n.. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = arc tg( x + 4y) w punkcie (x, y ) = (, ) i w kierunku ( ) wersora v =,.. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = x 5 + x + y na trójkącie D R (liczonym razem z wnętrzem), wyznaczonym przez proste o równaniach x =, y =, y = x. 4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = e x, x =, y = x +. Sporządź rysunek. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = x y, z = x + y, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y + z. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne sferyczne. 6. Za pomocą przekształcenia Laplace a, rozwiąż zagadnienie początkowe y y =, y() =. Uwaga: jeśłi n N = {,,,,...}, to transformata Laplace a [L()] (s) = s. Ponadto, [L(y )] (s) = s [L(y)] (s) y().. a n n //, zbieżny (bezwzględnie).. f x = + ( x + 4y), f 4 y = + ( x + 4y), f x (, ) =, f y (, ) = 4 f v =.. brak punktów krytycznych przy y = : f (x) = x 5 + x +, max = 4, min = przy x = : f (y) = y, max =, min = przy y = x: f (x) = x 5 + x, max = 4, min = razem max = 4, min = 4. P = dx e x x+ dy = + e + = e
5. M = dϕ 6 dψ r 4 cos ψdz = (, 5) 5 = 5 6. sf F = s, F = s, y =. Zestaw G ( ) n x 4. Wyznacz środek x oraz promień R przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Na podstawie środka x i promienia R wypisać wszystkie możliwe postacie przedziału I zbieżności tego 5 n= szeregu.. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = e x+y w punkcie (x, y, z ) = (ln, ln, f (x, y )).. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x 6 +y 4 6x+4y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x, y ) = (, ); w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj ekstremum. 4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach x = y, y = x. Sporządź rysunek. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = 4x + 4y, z = 4, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne walcowe. 6. Za pomocą przekształcenia Laplace a, rozwiąż zagadnienie początkowe y + y =, y() =. Uwaga: jeśłi α R, to transformata Laplace a [ L ( e αt)] (s) = s α. Ponadto, [L(y )] (s) = s [L(y)] (s) y(). 4
. x = 7, R =, 5, I to przedział o końcach 4,5 oraz 9,5 (cztery możliwości).. f x = e x+y, f y = e x+y, f(ln, ln ) =, f x (ln, ln ) = 4, f y (ln, ln ) = 6 z = 4(x ln ) + 6(y ln ).. f x = 6x 5 6, f y = 4y + 4, f x (, ) = f y (, ) =, więc warunek konieczny spełniony, W (x, y) = x4 y, W (, ) >, więc jest ekstremum lokalne właściwe f x,x (, ) >, minimum lokalne właściwe (równe f(, )). 4. P = dy y dx y = = 6 5. M = = dϕ dϱ 4 4ϱ ϱ dz (4ϱ 4ϱ 5 )dϱ = ( 4 ) = 6 6. sf + F =, F = s +, y = e t. 5
Zestaw H. Zbadaj zbieżność szeregu n= 4 cos ( n ) n.. Wyznacz pochodną ( kierunkową funkcji f(x, y) = arc tg(4x y) w punkcie (x, y ) = (, ) i w kierunku wersora v = ),.. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = y 5 + y + x na trójkącie D R (liczonym razem z wnętrzem), wyznaczonym przez proste o równaniach y =, x =, y = x. 4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = e x, x =, y = x +. Sporządź rysunek. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = x y, z = x + y, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y + z. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne sferyczne. 6. Za pomocą przekształcenia Laplace a, rozwiąż zagadnienie początkowe y + y = 4, y() = 4. Uwaga: jeśłi n N = {,,,,...}, to transformata Laplace a [L()] (s) = s. Ponadto, [L(y )] (s) = s [L(y)] (s) y().. a n n, rozbieżny (do ).. f y = + ( y + 4x), f 4 x = + ( y + 4x), f y (, ) =, f x (, ) = 4 ( p.) f v =.. brak punktów krytycznych przy x = : f (y) = y 5 + y +, max = 4, min = przy y = : f (x) = x, max =, min = przy y = x: f (y) = y 5 + y, max = 4, min = razem max = 4, min = 4. P = = e dx ex x+ dy 6
5. M = dϕ dψ r cos ψdz ( ) = 4 = 4 6. sf 4 + F = 4 s, F = 4 s, y = 4. 7