Renty wieczyste Rozważyy nieskończony stuień płatności i obliczyy jego watość teaźniejszą Najpiew ozważy entę wieczystą polegającą na wypłacie jp co ok Jeśli piewsza płatność jest w chwili to ówiy o encie płatnej z góy (ang pepetuity ue) Jej watość teaźniejszą ozn ä Zate ä + υ + υ + υ gzie υ + jest czynnikie yskontujący Jeżeli piewsza płatność a iejsce na koniec piewszego oku to enta jest płatna z ołu (ang ieiate pepetuity) Jej watość teaźniejszą ozn a : ale a υ + υ + υ υ υ υ ( + )( + ) + więc a Rozważy teaz enty gzie kwota jest wypłacana azy o oku Jeśli płatność jest z góy (piewsza wypłata w chwili ) to ozn ä () oaz ä () + υ + υ + υ () bo () υ Jeżeli płatności są z ołu to oznaczay a () oaz a () υ + υ + υ + Otzyane wyżej ówności: υ υ υ ( + ) [ () + () ä () () a() () i oczywisty fakt że oba ozaje ent óżnią się tylko płatnością w chwili aje znaną już ówność () + () Rozważy teaz entę wypłacaną w sposób ciągły (watość enty początek wypłat w chwili ) Jej watość teaźniejszą oznaczy a Wypłatę t w chwili t należy zyskontować czynnikie e δt (bo czynnik ponażający la jenego oku to e δ ) więc ay Pzypoinay zależność a e δt t δ () + () ( + ) υ
To sao otzyay obliczając a li ä() li () δ lub a li a() li () δ Rozważy teaz pewną entę wieczystą (z góy) w któej ay osnący ciąg płatności Renta ta bęzie okeślona woa paaetai: liczba płatności w oku; liczba powyżek w oku (zakłaay że ) Np la i 4 płatności są okonywane iesięcznie a powyższane co kwatał Ogólnie płatności takiej osnącej enty są okonywane wg scheatu: Czas + Płatność 4 + + 4 W szczególności w piewszy oku ostatnie płatności (czas o o ) wynoszą Ogólniej w k-ty oku ostatnie płatności wynoszą k Oznaczay watość teaźniejszą takiej osnącej enty pzez (I () ä) () Można obliczyć jej watość pzestawiając ją jako suę ent stałych (wysokość płatność azy w oku) ozpoczynających się w oentach czasu Zate (watość ocznej wpłaty to ): (I () ä) () ä() [ + υ/ + υ / + ä () ä () () () Opowienia enta płatna z ołu óżni się tylko ty że każa wpłata jest okonywana -tą oku później więc (I () a) () υ ( ) () (I () ä) υ () () () () bo () υ () Ineks góny zawsze opuszczay Np watość teaźniejsza enty płatnej z góy z ocznyi płatnościai to (Iä) (I () ä) () Równości (I () ä) () () () (I() a) () () () ożna wykozystać (pzechoząc z ) o obliczenia watości teaźniejszych ciągłych stuieni płatności Np (uwaga: [x oznacza całość z x): (Īā) te δt t δ (Iā) [t + e δt t δ pzy czy wyniki końcowe uzyskujey bez liczenia całek (Należy uwzglęnić że li () δ oaz że () ) Na koniec ozważy entę wypłacającą kwoty (w chwilach ) Jej watość teaźniejsza ä wynosi: ä + υ + υ +
Taka zienna enta oże być ozważana jako sua stałych ent weług scheatu Dooczna płatność Moent statu Jej watość teaźniejszą ożey więc zapisać jako ä [ + υ( ) + υ ( ) + Taka postać bywa pzyatna gy óżnice są postsze niż sae k ; tak jest np wtey gy k jest wieloiane ziennej k Np gy k k + to ożey otzyać znany już wzó (Iä) ( + υ + υ + ) υ Czase jest łatwiej wyliczyć watość teaźniejszą bezpośenio Jeżeli np to po waunkie że τ < δ k e τk k ä + υe τ + υ e τ + υe τ e δ e τ e (δ τ) Renty teinowe Rentą teinową (ang annuity) nazyway ciąg płatności z oganiczony czase twania n Watość teaźniejszą enty teinowej płatnej z góy w wysokości oznaczay ä Zate ä + υ + υ + + υ n υn υ υn Wynik ten ożna uzyskać taktując tę entę jako óżnicę wóch ent wieczystych (jena zaczyna się la t uga la t n): Poobnie uzyskay: ä ä υ n ä υn a υn ä () υn () a () υn () W pzypaku ent teinowych inteesująca jest ównież ich watość pzyszła (końcowa) Watość pzyszłą uzyskay nożąc watość teaźniejszą pzez ( + ) n υ Stą n s ( + )n s ( + )n
May także zależność czyli s + s () ( + )n () s () ( + )n () ( ) υ n + υ n + υ n υ n υ n υ n υ n a a s + Rozważy teaz osnącą entę teinową z paaetai i (np 4) Czas + Płatność 4 + + 4 n n + n Taka osnąca enta teinowa oże być taktowana jako osnąca enta wieczysta ozpoczynająca się w chwili inus osnąca enta wieczysta ozpoczynająca się w chwili n inus stała enta (w wysokości n ) ozpoczynająca się w chwili n Zate Analogicznie: (I () ä) () (I () ä) () υ n (I () ä) () υ n nä () n () () υn () () υn n () ( ) υ n υ n n ä() nυ n () () () (I () a) () ä() nυ n () Ważnyi szczególnyi pzypakai są: Renty teinowe ozważane wyżej są to tzw stanaowe enty osnące (I) Stanaowe enty alejące (D) są poobnie skonstuowane ale płatności są w owotnej kolejności Zate suy obu tych ent twozą stałą entę teinową (wysokość iesięczna płatności to n + ) Zate (I () ä) () + (D () ä) () (n + )ä() W następujący achunku ä () jest watością enty w wysokości n watością enty w wysokości 4 więc nä() jest
ską ale więc (D () ä) () (n + )ä() ä() nυ n () υ n () (n + υn nυ n ) () () [n nυ n + () υn υn [ () n ( υ n )( () ) () (D () ä) () () () + () (n υn () ) n a() () + nυ n Wzó ten czyli watość teaźniejszą stanaowej enty alejącej ożna wyznaczyć także bezpośenio taktując tę entę jako stałą entę wieczystą z płatnościai n inus n ooczonych ent wieczystych każa z płatnością zaczynających się w oentach n Zate (D () ä) () nä () n i [ υ i ä() ä () n n υ i i υn [n υ () υ () [ n υn (υ ) ale ponieważ ( + () ) υ tj () (υ ) więc (D () ä) () () [n υn () n a() () Pzykłay 4-letni obotnik chce zgoazić funusz na eeytuę W ty celu okłaa w banku zł na początku każego oku pzez 5 lat Po pzejściu na eeytuę planuje wykozystać ten funusz wybieając jenakowe kwoty na początku każego oku pzez 5 lat W jakiej wysokości bęą te kwoty jeśli efektywna oczna stopa pocentowa wynosi 8% pzez piewsze 5 lat a później 7%? Jena enta wypłaca kwoty 4 na koniec oku pzez 6 lat Duga kwoty 5 na koniec oku pzez 8 lat Watość teaźniejsza obu ent jest taka saa pzy stopie i Znajź n takie że kapitał zainwestowany na n lat powoi swoją watość pzy stopie i Załóży że K i M zaabiają butto Na funusz eeytalny pacoawca wpłaca 976% tej kwoty Obliczyć watość pzyszłą konta eeytalnego la K po 4 latach i M po 45 latach Taktując obliczone wielkości jako watości teaźniejsze ent wypłacanych: w pzypaku K pzez lat w pzypaku M pzez lat obliczyć wysokość (iesięczną) takiej enty Stopa oczna 4% Wpłaty i wypłaty z ołu kapitalizacja iesięczna Rozwiązanie: 5
Wpłata iesięczna wynosi 976 9 8 Ponieważ kapitalizacja jest iesięczna najlepiej stosować wzó na s gzie n jest liczbą iesięcy a jest stopą iesięczną 4 Zate postawiay o wzou: s ( + )n i otzyujey watość pzyszłą konta eeytalnego la K po 4 latach: 9 8s 48 Altenatywnie gyby stosować wzó: 4 ( + )48 4 9959 47 s () ( + )n () w któy n jest liczbą lat to tzeba paiętać że w ty wzoze jest stopą efektywną Zate nie jest ówne 4 lecz ef gzie + ef (+ 4 ) Natoiast () 4 Eeytuę (iesięczną) obliczay la K z ówności a la M z ówności 9 8 s 48 x a 4 9 8 s 54 x a Wyniki la óżnych stóp pocentowych: Stopa Kap:K Kap:M Eeyt:K Eeyt:M 4 66 54 99 8 4 68 55 6 48 8 4 99 59 4 989 47 4 69 5 44 8 57 868 88 6 55 6 558 568 767 85 95 8 46 7 7 667 5 87 5 57 9 4 Rozważy entę (z ołu) o czasie twania n któej płatności twozą ciąg aytetyczny o óżnicy a piewsza płatność wynosi A Stopa pocentowa jest ówna Wykazać że watość pzyszła wynosi F As + (s n) Rozwiązanie: Ponieważ k-ta płatność wynosi P k A + (k ) więc entę ożna taktować jako suę ent stałych o wspólny oencie końcowy: F As + (s n + s n + + s ) Ale n s j j n j ( + ) j ( n ) ( + ) j n (s n) j ską otzyujey wynik Zaania z egzainów la aktuaiuszy ( za) Rozważy -letnią entę pewną natychiast płatną o płatnościach okonywanych na początku każego oku Niech k la k oznacza płatność na początku oku k i niech k bęzie zefiniowane następująco: { α k+ ( k ) k la k 6
Wiaoo że watość obecna tej enty (tzn watość tej enty w chwili okonania piewszej wypłaty) wynosi 48 66 (z okłanością o liczb całkowitych) Wiaoo też że czynnik yskontujący wynosi υ 7 Oblicz α Opowieź (poaj najbliższą watość): 5; 5; 75; 5; 65 Rozwiązanie Zauważyże α ( Zate watość obecna k k υ k k+ υ k k k+ k )α; ogólnie ( ) α k ( ) k Stą 4866 α 7 więc α 5 αυ k α k ( ) υ k α( + υ) k (76 za4) Dane są enty ciągłe w któych wysokość płatności w chwili t wynosi t zaś natężenie opocentowania zależne jest o ługości okesu wypłacania enty i wynosi n Wyznacz ile azy obecna watość enty wypłacanej pzez okes lat jest większa o obecnej watości wypłacanej pzez okes lat Opowieź: 5 azy ; 5 azy; azy; 75 azy; żana z powyższych opowiezi nie jest pawziwa Rozwiązanie a W a postawiay t u: te t t a te t t Zate a ue u u 9 4 a a 9 5 a 4 (76 za9) Oblicz watość końcową iesięcznej enty o wysokości kwatałai stałej po upływie 5 iesięcy wieząc że wysokość at wzośnie w kolejnych kwatałach o 4% Na początku enta wynosi 5 zł Miesięczna stopa pocentowa wynosi % Opowieź (poaj najbliższą watość): 785; 795; 85; 85; 85 Rozwiązanie Niech 5 p 4 Watość pzyszła (zakłaay że enta jest płatna z ołu): X 4 + + + p( + + 9 ) + + p ( 8 + 7 + 6 ) + p ( 5 + 4 + ) + p 4 ( + + ) [ + p 9 + p 6 + p + p 4 p ) 5 ( p 5 4 ( ) 5 ( 4 ) 797 4(76 za) Dane są wie enty wieczyste A i B gzie ) enta A - w wysokości płatna na koniec każego oku ) enta B - w wysokości 7
płatna na koniec co ugiego oku Różnica poięzy obecną watością enty A wyznaczoną pzy stopie technicznej i a obecną watością enty B wyznaczoną ównież pzy stopie technicznej i wynosi Wyznacz stopę techniczną i Opowieź (poaj najbliższą watość): ; ; ; 4; 5 Rozwiązanie Watość obecna enty A wynosi i zaś enty B: υ + υ 4 + υ υ υ ( υ ) υ ( + i) i + i Stą i i(i + ) więc i + i(i + ) czyli i + ( )i ską i < i 4 8