0 Rachunek czasu. Informacje pierwotne: początkowa i końcowa data inwestycji.

Transkrypt

1 0 Rachunek czasu Inforacje pierwotne: początkowa i końcowa data inwestycji. Konwencja: nie naliczay odsetek za początkowy dzień trwania inwestycji, naliczay za końcowy. Liczba dni trwania inwestycji liczba lat / okresów bazowych. okres bazowy uowna jednostka, którą ierzyy upływ czasu, okres stopy procentowej czas uwzględniony w określeniu stopy procentowej. Dni dokładne: dokładną liczbę dni oblicza się licząc dni iędzy datą początkową i końcową (z poinięcie dnia początkowego), Dni przybliżone: przybliżoną liczbę dni oblicza się licząc dni iedzy datą początkową i końcową przy założeniu, że iesiąc bankowy a 30 dni, a rok bankowy 360 dni: Inna konwencja (30/360): Liczba dni = 360(y 2 y 1 ) + 30( 2 1 ) + (d 2 d 1 ). Liczba dni = ax(30 d 1, 0) + in(d 2, 30) + 30( 2 1 1) + 360(y 2 y 1 ). Lata kalendarzowe: ają 365 (a czasai więcej) dni, Lata bankowe: ają 360 dni.

2 Konwencje liczenia czasu Lata kalendarzowe Lata bankowe Dni dokładne Dni przybliżone procent dokładny reguła przybliżona (exact interest) (nie używana) ACT/ACT reguła bankowa procent zwykły (Bankers rule) (oridinary interest) ACT/360 30/360 Ustawa o bankowości: Art Do obliczania należnych odsetek od środków pieniężnych zgroadzonych na rachunku przyjuje się, że rok liczy 365 dni, chyba że uowa stanowi inaczej. Zgodnie z powyższy banki w Polsce stosują zwykle konwencję ACT/365FIXED, co znaczy, że również w latach przestępnych rok a 365 dni. Zobacz: daycounters.htl RQuantLib:

3 1 Teoria procentu 1.1 Oprocentowanie proste: odsetki oblicza się proporcjonalnie do kapitału początkowego i czasu oprocentowania. I = P rt, F = P + I. (1.1) gdzie: I odsetki (interest), P kapitał początkowy (present value), r stopa procentowa, t czas trwania lokaty (oprocentowania), F kapitał końcowy (future value). Równanie kapitału w oprocentowaniu prosty Kapitał początkowy P, oprocentowany przy stopie r według zasady oprocentowania prostego, a po czasie t wartość Mając dane t, P oraz F lub I ożey obliczyć r: r = 1 t F = P (1 + rt). (1.2) ( F P 1 ) = F P P t = I P t. (1.3) Stopa procentowa obliczona według powyższego wzoru, w szerszy kontekście zwana jest prostą stopą zwrotu/zysku/rentowności z inwestycji. Powinniśy zaznaczać do jakiego okresu stopa procentowa się odnosi, np: 0.06/rok, 1%/iesiąc, 0.01%/dzień, jednak zazwyczaj wyrażay stopy w stosunku roczny i jednostki tej nie zapisujey.

4 Stopy procentowe nazyway równoważnyi, jeśli z tego saego kapitału po ty say czasie generują takie sae odsetki. Niech r 1, r 2 będą równoważnyi stopai procentowyi o okresach T 1 i T 2 lat odpowiednio oraz t czase wyrażony również w latach. Z definicji równoważności stóp: P r 1 t T 1 = P r 2 t T 2 skąd r 2 = r 1 T 2 T 1. Równoważne stopy procentowe w oprocentowaniu prosty są proporcjonalne do okresu stopy procentowej. Stopa zienna w czasie Zakładay, że dane są stopy roczne r 1,..., r obowiązujące w kolejno następujących po sobie okresach długości t 1,..., t lat. Odsetki proste za każdy okres naliczane są zawsze od kapitału początkowego i wynoszą I j = P r j t j, zate kapitał końcowy wynosi F = P + I j = P 1 + r j t j. (1.4) j=1 j=1 Przeciętną stopą oprocentowania będziey nazywać taką stopę, która przy założeniu jej stałości w cały okresie, generuje z takiego saego kapitału początkowego te sae odsetki. W oprocentowaniu prosty stopa przeciętna jest średnią arytetyczną stóp procentowych z poszczególnych okresów, ważoną długościai poszczególnych okresów. P rt = P r j t j, = r = 1 j=1 t r j t j, gdzie t = t j. j=1 j=1

5 1.1.1 Dyskonto proste rzeczywiste (ateatyczne). Dyskontowanie to proces odwrotny do oprocentowania: jaki kapitał należy zainwestować, aby po dany czasie uzyskać kwotę F? F = P (1 + rt) = P = F/(1 + rt). (1.5) Dyskonto to odsetki wypłacane z góry, czyli na początku okresu inwestycji. Bony skarbowe (treasury bill) dłużne papiery wartościowe na okaziciela eitowane przez władze kraju. W Polsce: wartość noinalna PLN, eitowane na okres od 1 do 90 dni lub od 1 do 52 tygodni, oprocentowanie bonów a charakter dyskontowy (dochode jest różnica poiędzy ceną zakupu a wartością noinalną bonu), Atrakcyjność inwestycji w bony skarbowe oceniay stopą rentowności, którą liczyy ze wzoru: r = D P 360 n = N P P 360 n, (1.6) gdzie: r stopa rentowności, N wartość noinalna, P cena kupna/sprzedaży, D = N P kwota dyskonta, n ilość dni do wykupu. Mając daną stopę rentowności, cenę bonu wyliczay jako P = N/(1 + rn/360). (1.7) Jak widać, na rynku bonów skarbowych w Polsce stosuje się regułę bankową.

6 1.1.2 Dyskonto proste handlowe: oblicza się proporcjonalnie do kapitału, który dłużnik zwróci po ustalony czasie i proporcjonalnie do tego czasu. Przez d oznaczay stopę dyskonta handlowego. May następujące wzory: D = F dt, (1.8) P = F D = F F dt = F (1 dt) F = P 1 dt, (1.9) d = D F t = F P = 1 ( 1 P ). (1.10) F t t F Dyskonto handlowe a sens tylko, jeśli D < F, czyli dt < 1. Dyskonto handlowe proste stosujey do wyceny weksli: wartość noinalna weksla kapitał końcowy (kwota pożyczki), wartość aktualna weksla kapitał początkowy, czas do wykupu weksla czas do końca okresu oprocentowania, stosujey regułę bankową obliczania czasu. Weksle uważay za równoważne w pewny dniu poprzedzający ich wykup, jeśli ich wartości aktualne obliczone przy ustalonej stopie dyskontowej są w ty dniu równe. Związek iędzy stopą oprocentowania prostego i stopą dyskonta prostego handlowego: P rt = F dt P r = P d 1 dt r = d 1 dt.

7 1.2 Oprocentowanie złożone procent składany O oprocentowaniu złożony ówiy, gdy odsetki są kapitalizowane dopisywane do kapitału stają się kapitałe (do tego oentu kapitałe nie są, o czy świadczy sao rozróżnienie na kapitał i odsetki, procentuje tylko kapitał odsetki nie procentują). Reguła oprocentowania złożonego: Odsetki oblicza się okresowo i dopisuje do kapitału. Czas, po który kapitalizuje się odsetki nazyway okrese kapitalizacji lub konwersji procentu. Jeśli odsetki dopisywane są na koniec okresu kapitalizacji ówiy o kapitalizacji z dołu. Jeśli odsetki dopisywane są na początku okresu ówiy o kapitalizacji z góry. Kapitalizację nazyway zgodną, gdy okres stopy procentowej jest równy okresowi kapitalizacji. W przeciwny wypadku ówiy o kapitalizacji niezgodnej: w podokresach, gdy okres stopy procentowej jest wielokrotnością okresu kapitalizacji, w nadokresach, gdy okres kapitalizacji jest wielokrotnością okresu stopu procentowej.

8 Oznaczenia: K 0 kapitał początkowy (w chwili 0), K t wartość kapitału po czasie t, i bazowa stopa procentowa kapitalizowana z dołu, d bazowa stopa procentowa kapitalizowana z góry, i () d () stopa kapitalizowana z dołu -krotnie w ciągu okresu stopy procentowej, stopa kapitalizowana z góry -krotnie w ciągu okresu stopy procentowej, i (), d() proporcjonalne stopy kapitalizacji w podokresach, i (), d () stopy, których okres kapitalizacji jest równy -krotności okresu. Używay stóp kapitalizowanych: rocznie ( = 1), półrocznie ( = 2), kwartalnie ( = 4), iesięcznie ( = 12).

9 1.2.1 Kapitalizacja z dołu Kapitalizacja zgodna: K 1 = K 0 + ik 0 = K 0 (1 + i), K 2 = K 1 + ik 1 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2,... K n = K n 1 + ik n 1 = K n 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) n. ( ) Kapitalizacja w podokresach. Stosując stopę i(), ponieważ jest to stopa równoważna oprocentowania prostego dla okresu kapitalizacji, sprowadzay proble do odelu kapitalizacji zgodnej. Zakładay, że czas t jest wielokrotnością okresu kapitalizacji, czyli t N. Wówczas: ( ) K 1/ = K i(), ( ) ( ) 2 K 2/ = K 1/ 1 + i() = K i(),... ( ) K 1 = K i(),... ( ) t K t = K i().

10 Kapitalizacja w nadokresach. Stopą proporcjonalną jest stopa i (). Dalej zakładay, że czas t t jest wielokrotnością okresu kapitalizacji, czyli N. Wówczas: K = K 0 ( 1 + i() ), K 2 = K 0 ( 1 + i() ) 2,... K t = K 0 ( 1 + i() ) t/. Zienna stopa procentowa. Zakładay, że w kolejnych n okresach obowiązują stopy i 1,..., i n, o okresach kapitalizacji równych okresowi bazoweu. Wówczas: Kapitalizacja z góry K 1 = K 0 (1 + i 1 ) K 2 = K 1 (1 + i 2 ) = K 0 (1 + i 1 )(1 + i 2 )... K n = K 0 n k=1 (1 + i k ). Kapitalizacja zgodna: K n = K 0 (1 d) n. Kapitalizacja w podokresach: Kapitalizacja w nadokresach: ( ) K t = K 0 1 d t. () K t = K 0 ( 1 d() ) t/.

11 1.2.3 Stopy efektywne Efektywną stopą procentową w n-ty okresie bazowy nazyway stosunek procentu uzyskanego w ty okresie do wartości kapitału na początku tego okresu: i ef,n = K n K n 1 K n 1. Dla oprocentowania składanego stopa efektywna nie zależy od nueru okresu bazowego. Dla oprocentowania z dołu, ay: i ef = ( ) 1 + i() 1. Dla oprocentowania z góry: i ef = ( ) 1 d() 1. Przy ustalonej stopie procentowej r, jeśli zwiększay ilość podokresów kapitalizacji w okresie bazowy, wówczas zarówno przy oprocentowaniu z góry jak i z dołu czynnik oprocentowujący zierzają do wspólnej granicy: ( ) ( ) n li 1 + r = li 1 r n n = e r Model oprocentowania, w który wartość kapitału w chwili t dana jest wzore: K t = K 0 e δt nazyway odele oprocentowania ciągłego. Stopę δ nazyway intensywnością oprocentowania ciągłego.

12 1.2.4 Inflacja. Reguła Fishera. Przeciętna stopa oprocentowania Wskaźnikie inflacji nazyway potocznie stopę wzrostu wskaźnika cen towarów i usług konsupcyjnych (CPI consuer price index) obliczaną jako: r inf,t = P t P t 1 1, gdzie P t oznacza wskaźnik cen w chwili t. Jeśli r 1,..., r n są wskaźnikai inflacji za kolejne lata, to wskaźnik inflacji za okres lat od 1 do n wynosi n r = (1 + r i ) 1. i=1 Istotnie, ay P n = P n 1 (1 + r n ), zate P n = P nk=1 0 (1 + r k ), skąd r = Pn P 0 1 = n k=1 (1 + r k ) 1. Przeciętny wskaźnik inflacji definiujey jako taką stopę inflacji, która gdyby utrzyywała się na stały pozioie przez cały okres, dałaby ten sa wzrost cen: n (1 + r) n = (1 + r n ) = r = n n (1 + r n ) 1. i=1 Istnienie inflacji uwzględniay wprowadzając pojęcie realnej stopy procentowej. Związek stopy noinalnej, stopy inflacji i stopy realnej przedstawia tak zwana reguła Fishera: bądź inaczej skąd i=1 1 + r no = (1 + r inf )(1 + r real ), 1 + r real = 1 + r no 1 + r inf, r real = r no r inf 1 + r inf.

13 1.3 Równoważność kapitałów Niech i będzie efektywną stopą oprocentowania. Wielkość v = i nazyway czynnikie dyskontujący. Jeśli K t jest wartością kapitału w chwili t, to jego wartością zaktualizowaną na oent s jest K t (1 + i) s t = K t v t s. Niech t 1, t 2 będą dwoa oentai czasu oraz K 1, K 2 dwoa kapitałai danyi odpowiednio w tych chwilach. Powiey, że kapitały te są równoważne, jeśli ich wartości zaktualizowane na pewien ustalony oent czasu są równe, to znaczy istnieje taki oent czasu t, że K 1 v t 1 t = K 2 v t 2 t. Wartością bieżącą nazyway wartość kapitału zaktualizowaną na chwilę 0. Niech, n N oraz dane będą dwa ciągi kapitałów dane w odpowiednich oentach czasu: A = {(K 1, t 1 ), (K 2, t 2 ),..., (K n, t n )}, B = {(L 1, s 1 ), (L 2, s 2 ),..., (L, s )}. Powiey, że ciągi A i B są równoważne, jeśli równe są suy wartości bieżących kapitałów obu ciągów, to znaczy n K j v t j = L j v s j. j=1 j=1

14 1.4 Ogólna funkcja oprocentowania Spróbujy przyjrzeć się odelowi oprocentowania złożonego, w sposób jaki zrobiliby to fizycy: przyrost kapitału w przeciągu danego przyrostu czasu jest proporcjonalny do wartości kapitału w danej chwili, intensywności oprocentowania oraz długości przyrostu czasu, co zapiszey forułą: A(t) = δa(t) t. Zierzając z przyroste czasu do zera: t 0, otrzyujey równanie różniczkowe: da(t) = δa(t) dt, z warunkie początkowy A(0) = K 0. W ty rozuowaniu intensywność oprocentowania była stała, jednakże nic nie stoi na przeszkodzie, by poinąć to założenie, ożey więc rozważyć równanie: da(t) = δ(t)a(t) dt. Rozwiązując je otrzyujey t ( t ) ln A(t) ln A(0) = δ(s) ds = A(t) = A(0) exp δ(s) ds. 0 0 Definicja 1. Dowolną funkcję ciągłą a: R (0, ) spełniającą warunek a(0) = 1, będziey nazywać funkcją akuulacji kapitału (accuulation function, funkcją oprocentowania jednostki kapitału). Jeśli a jest funkcją akuulacji, to funkcję A(t) = K 0 a(t), gdzie K 0 jest kapitałe początkowy, nazyway funkcją wartości kapitału (aount function, funkcją oprocentowania kapitału). Funkcję 1/a(t) nazyway funkcją dyskonta. Jeśli a jest funkcją akuulacji kapitału, to każdą ierzalną funkcję δ : R R spełniającą warunek ( t ) a(t) = exp δ(s) ds 0 nazyway funkcją intensywności oprocentowania. Uwaga. Jeśli funkcja oprocentowania kapitału jest różniczkowalna, to δ(t) = a (t) a(t).