I = F P. P = F t a(t) 1

Transkrypt

1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia bieżącego. Podstawowe pojęcia i oznaczenia. Kapitał początkowy (P) - wartość początkowa; kwota, która została wpłacona na początku inwestycji. Kapitał końcowy (F) - wartość końcowa; kwota, jaką uzyskamy po pewnym czasie inwestycji (lub na jej koniec). Odsetki (I) - zysk; różnica pomiędzy wartością końcową a początkową. I = F P Stopa procentowa (i) - stosunek odsetek do kapitały początkowego. i = I P = F P P Oprocentowanie - generowanie zysku przez ustalony kapitał. Okres oprocentowania - najkrótszy przedział czasu, po którym zostaną dopisane odsetki. Kapitalizacja (odsetek) - dołączanie odsetek do kapitału. Oprocentowanie zgodne - gdy okres stopy procentowej pokrywa się z okresem oprocentowania. Oprocentowanie niezgodne - gdy okres stopy procentowej i oprocentowania nie pokrywają się. Oprocentowanie proste - opocentowaniu podlega wyłącznie kapitał początkowy. Oprocentowanie składane - oprocentowaniu podlega zarówno kapitał początkowy jak i wygenerowane w czasie inwestycji odsetki. Dyskontowanie - działanie odwrotne do oprocentowania; wyznaczanie wartości początkowej na podstawie wartości końcowej. Dyskonto - kwota o jaką trzeba pomniejszyć wartość końcową aby otrzymać wartość początkową. Współczynnik akumulacji. Niech [0, T ] będzie czasem inwestycji jednej jednostki kapitału T, T 0. Niech a(t) 0 oznacza wartość przyszłą tego kapitału w momencie t [0, T ]. Funkcję a : t a(t) nazywamy funkcją akumulacji jednej jednostki kapitału. Dla ustalonego t [0, T ] wartość a(t) nazywamy t-okresowym współczynnikiem akumulacji. Wówczas, gdy inwestycją będzie kapitał o wartości P, to jego wartość przyszła w czasie t [0, T ] wyrazi się wzorem F t = P a(t) Oczywiście F 0 = P. Analogicznie dla ustalonego t [0, T ] wartość a(t) nazywamy t-okresowym współczynnikie dyskontowania. Wtedy dla kapitału F t jego wartość początkowa wyraża się wzorem Własności funkcji akumulacji:. a(0) = P = F t a(t). a jest funkcją rosnącą. Gdyby funkcja przyjmowała wartości mniejsze przy wzroście t, to generowałaby ujemne odsetki. Od strony matematycznej jest to możliwe natomiast od strony funansowej takimi przypadkami nie będziemy się zajmować.

2 3. Jeżeli generowane odsetki będą gromadzić się w sposób ciągły, to funkcja akumulacji też będzie ciągła. Jeżeli odsetki będą gromadzić się w sposób skokowy zależnie od okresu oprocentowania, to funcja akumulacji będzie w tych punktach nieciągła, a dokładnie będzie ciągła z prawej strony. 3 Oprocentowanie zgodne. Załóżmy, że czas oprocentowania składa się z n podokresów będących okresami oprocentowania oraz, ze okres stopy procentowej pokrywa się z okresem oprocentowania. 3. Oprocentowanie proste Kapitalizację w której podstawą naliczania odsetek jest tylko kapitał początkowy nazywamy oprocentowaniem prostym (kapitalizacją prostą). W kapitalizacji prostej odsetki nie podlegają oprocentowaniu. Zasada oprocentowania prostego stosowana jest w transakcjach bankowych krótkoterminowych do jednego roku albo też w umowach poza sferą bankową. Zatem jeżeli mamy oprocentowanie roczne i stopę procentową roczną, to po roku otrzymamy P i odsetek, po dwóch latach P i itp. W efekcie tego mamy po n latach: Kapitał końcowy: Funcja akumulacji: F n = P ( + ni) a(n) = + ni Przykład. Jaka kwota w oprocentowaniu prostym na 40% rocznie pozwoli po 5 latach uzyskać kwotę 30 mln złotych? 30 = P ( + 5 0, 4) P = 30 = 0 (mln zł) 3 Zatem, jakbyśmy teraz zainwestowali 0 mln zł to po 5 latach mielibyśmy 30 mln zł. 3. Oprocentowanie składane Model oprocentowania, w którym odsetki wygenerowane po każdym okresie oprocentowania podlegają kapitalizacji nazywamy oprocentowaniem składanym. Stosowany jest z reguły w inwestycjach średnioterminowych ( 5 lat) i długoterminowych (powyżej 5 lat). Jeżeli procent jest dopisywany do rachunku corocznie, to po jednym roku pieniądze złożone na rachunku zostają pomnożone przez + i. Po drugim roku czynnik ten rośnie do ( + i). W efekcie tego mamy po n latach: Kapitał końcowy: Funcja akumulacji: F n = P ( + i) n a(n) = ( + i) n 4 Oprocentowanie niezgodne. W dotychczasowych rozważaniach odsetki dopisywaliśmy do kapitału na końcu kolejnych lat. Jednak większość banków podaje stopę procentową roczną a odsetki nalicza i wypłaca częściej - co kwartał, co miesiąc. W takiej sytuacji korzystamy z modelu oprocentowania niezgodnego. Oprocentowanie jest niezgodne jeżeli okres stopy procentowej nie jest równy okresowi kapitalizacji. Możemy podzielić takie sytuacje na dwie klasy:

3 . Kapitalizację w podokresach, gdy okres stopy procentowej jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji, np. roczna stopa procentowa i kapitalizacja miesięczna.. Kapitalizację w nadokresach, gdy okres kapitalizacji jest całkowitą wielokrotnością okresu stopy procentowej, np. roczna stopa procentowa i kapitalizacja 4-letnia. Niech i oznacza teraz roczną stopę procentową. Niech k oznacza stosunek: k = okres stopy procentowej okres kapitalizacji W przypadku oprocentowania niezgodnego odsetki przypadające na jeden okres kapitalizacji wyznacza się na podstawie stopy, której okres pokrywa się z okresem kapitalizacji. Nazywamy ją stopą podokresową (dostosowaną, względną) i oznaczamy przez i k. Wyznaczamy ją ze wzoaru: i k = i k W takim przypadku stopę i nazywamy nominalną stopą procentową. Wyznaczenie wartości przyszłej jest tu analogiczne do przypadku kapitalizacji zgodnej. Jedynie w miejscu stopy i używa się stopy podokresowej i k, zaś liczbę okresów kapitalizacji łatwo wyznaczyć można jako: m k = n k gdzie n - liczba okresów stopy nominalnej mieszcząca się w czasie oprocentowania inwestycji. Zgodnie z tym wartość przyszła kapitału P po m k okresach kapitalizacji wynosi odpowiednio: dla oprocentowania prostego F mk = P ( + m k i k ) dla oprocentowania składanego F mk = P ( + i k ) m k Przykład. Obliczyć wartość przyszłą kapitału w wysokości 000 zł po półtora roku w modelu składanej kapializacji kwartalnej przy nominalnej stopie 8%. Z treści zadania wynika, że: P = 000 i = 0, 08 k = 4 n =, 5 Obliczmy: W konsekwencji mamy: 0, 08 i k = = 0, 0 4 m k =, 5 4 = 6 F 6 = 000( + 0, 0) 6 = 6, 6 (zł) 5 Dyskontowanie Dyskontowanie dzielimy na dyskontowanie matematyczne i handlowe.. Dyskontowanie matematyczne (rzeczywiste) - wyznaczanie wartości początkowej P na podstawie znanej wartości kapitału końcowego F przy ustalonej stopie i, n - czas oprocentowania. Oblicza się je ze wzoru: D = F P = F D = F P = F F + ni = F ni + ni - kapitalizacja prosta F ( + i) n = F ( ) - kapitalizacja składana ( + i) n. Dyskontowanie handlowe - wyznaczanie wartości początkowej P na podstawie znanego kapitału końcowego F przy ustalonej stopie dyskontowej d, n - czas oprocentowania. Oblicza się je ze wzoru: D h = F d n - kapitalizacja prosta P = F D = F ( d) n - kapitalizacja składana 3

4 6 Kapitalizacja ciągła Rok można podzielić na coraz mniejsze okresy stosując kapitalizację miesięczną, tygodniową, dzienną a nawet dopisywać odsetki co minutę lub co sekundę. Dalsze zmniejszanie długości okresu prowadzi w efekcie do kapitalizacji ciągłej. Kapitalizacją ciągła to graniczny przypadek złożonej kapitalizacji w podokresach tzn. gdy liczba okresów kapitalizacji k w ustalonym okresie n dąży do nieskończoności. Inaczej mówiąc mamy do czynienia z sytuacją, gdy odsetki kapitalizowane są w każdym momencie czasu. Stąd otrzymujemy: lim ( P + i ) nk = lim (( k k P + i ) k ) i ni = P e ni n k W efekcie tego mamy po n latach: Kapitał końcowy: Funcja akumulacji: 7 Renty. 7. Definicja renty. F n = P e ni a(n) = e ni Renta (ang. annuity) jest zdefiniowana jako ciąg płatności dokonywanych w równych odstępach czasu. Płatności, które składają się na renty nazywane są ratami.okres pomiędzy kolejnymi ratami nazywa się okresem bazowym. Momentem początkowym renty jest t = 0, natomiast momentem końcowym renty jest koniec okresu, za który płacona jest ostatnia rata. Rentę charakteryzują następujące elementy:. Liczba rat. Długość okresu bazowego. 3. Wysokość rat. 4. Moment pierwszej płatności. 5. Stopa procentowa okresu bazowego. 6. Zasady naliczania odsetek w podokresach. Różne klasy rent:. renta prosta - okres kapitalizacji pokrywa się z okresem bazowym renta uogólniona - okres kapitalizacji i okres bazowy nie pokrywają się. renta czasowa - renta o skończonej liczbie rat renta wieczysta - renta o nieskończonej liczbie rat 3. renta płatna z góry - raty płacone na początku okresu bazowego renta płatna z dołu - rata płacona na koniec okresu bazowego 7. Podstawowe wzory. Wprowadźmy następujące oznaczenia: P - wartość początkowa renty F - wartość końcowa renty C j - rata płatna w momencie j, j =,,... C - wielkość raty w przypadku równych płatności, tj. C j = C dla każdego j =,..., n i - stopa procentowa okresu bazowego Kapitalizacja prosta odsetek, renta płatna z dołu. Rozważmy ciąg skończony wpłat (C j ) n j= dokonywanych z dołu. Niech i będzie stopą procentową 4

5 dostosowaną do okresu bazowego. Wartość przyszła ciągu wpłat po n płatnościach wynosi: F = C j ( + (n j)i) j= W przypadku równych rat wartość przyszła ciągu wpłat po n płatnościach wynosi: Natomiast wartość początkowa: ( F = C n + n ) i P = F + ni Kapitalizacja prosta odsetek, renta płatna z góry. Rozważmy ciąg skończony wpłat (C j ) n j= dokonywanych z góry. Niech i będzie stopą procentową dostosowaną do okresu bazowego. Wartość przyszła ciągu wpłat po n płatnościach wynosi: F (+) = C j ( + ((n + ) j)i) j= W przypadku równych rat wartość przyszła ciągu wpłat po n płatnościach wynosi: Natomiast wartość początkowa: ( F (+) = C n + n + ) i P (+) = F (+) + ni Kapitalizacja złożona odsetek, renta płatna z dołu. Rozważmy ciąg skończony wpłat (C j ) n j= dokonywanych z dołu. Niech i będzie stopą procentową o okresie oprocentowania równym okresowi bazowemu oraz niech okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji. Wartość przyszła ciągu wpłat po n płatnościach wynosi: F = C j ( + i) n j W przypadku równych rat wartość przyszła ciągu wpłat po n płatnościach wynosi: j= Natomiast wartość początkowa: F = C ( + i)n i P = C ( + i) n i Kapitalizacja złożona odsetek, renta płatna z góry. Rozważmy ciąg skończony wpłat (C j ) n j= dokonywanych z góry. Niech i będzie stopą procentową o okresie oprocentowania równym okresowi bazowemu oraz niech okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji. Wartość przyszła ciągu wpłat po n płatnościach wynosi: F (+) = C j ( + i) (n+) j W przypadku równych rat wartość przyszła ciągu wpłat po n płatnościach wynosi: j= F (+) = C ( + i)n i 5 ( + i)

6 Natomiast wartość początkowa: P (+) = C ( + i) n i ( + i) Renta wieczysta. Renta wieczysta jest wypłacana nieskończenie długo. Nie można wyznaczyć jej wartości przyszłej. P = R i P (+) = R i ( + i) 8 Kredyt. Zaciągnięty dług, inaczej kredyt, oznaczamy przez S. Dług ten jest najczęściej spłacany w częściach zwanych ratami łącznymi lub płatnościami. Mówimy, że dług został spłacony jeżeli w określonym przedziale czasu suma spłaconych rat jest równa zaciągniętej pożyczce wraz z odsetkami z tytułu "użytkowania" wypożyczonego kapitału. Przyjmuje się, że do rozliczeń długów krótkoterminowych stosuje się model kapitalizacji prostej, a do rozliczeń długów średnio- i długoterminowych stosuje się model kapitalizacji złożonej z dołu. Przyjmijmy oznaczenia: S - wartość początkowa długu N - ilość rat i - stopa okresu bazowego R n - n-ta spłata długu T n - część kapitałowa (procentująca) długu spłacana w n-tej racie I n - odsetki spłacane w n-tej racie S n - reszta długu pozostała po spłaceniu n-tej raty I - suma wszystkich odsetek ( ) Ciąg (R n ), (T n ), (I n ), (S n ), I określa plan spłaty długu. Natomiast każda rata łączna zawiera dwa składniki: ratę kapitałową i odsetki, tzn. R n = T n + I n dla n =,..., N. 8. Spłata długów krótkoterminowych Rozważmy dług o wartoścy S w momencie t = 0. Spłacamy go ratami R n. Załóżmym, że od długu naliczone są odsetki proste przy stopie okresu bazowego i. Dług o wartości S w momencie t = 0 jest równiważmy w momencie t = j ciągowi rat R n płatnych w momencie n =,..., N jeżeli kapitały wzajemnie sobie przekazane przez wierzyciela i dłużnika są równoważne w momencie j. Fakt spłacenia długu S ratami R,..., R N oznacza zachodzenie równości: S( + ji) = j R n [ + (j n)i] + n= dla dyskonta matematycznego, lub S( + ji) = j R n [ + (j n)i] + n= N n=j+ N n=j+ R n + (n j)i R n [ + (j n)i] dla dyskonta handlowego. Wartość zadłużenia po spłacie n rat zaktualizowana na moment t=0 wynosi: dla dyskonta matematycznego: { n S Sn 0 l= = R l +(j l)i +ji S j l= R l +(j l)i +ji n l=j+ R l (+ji)(+(l j)i) jeżeli n j dla n > j 6

7 dla dystonta handlowego: S 0 n = S Spłata długu w równych ratach łącznych: l=. Dla dyskonta matematycznego otrzymujemy: R = S R n + (j l)i + ji + ji j n= ( + (j n)i) + N n+j+ +(n j)i Natomiast rozkład raty na część kapitałową i odsetkową przedstawia się następująco: T = (S( + Ni) RN) (N )Ni I = R T. Dla dyskonta handlowego: R = S N + ji + (j N+ i) Rozkład raty na część kapitałową i odsetkową są takie same jak w dyskoncie matmatycznym. I = R T Szczególnym przypadkiem rat umarzających dług krótkoterminowy są tzw. raty kupieckie. Wyrażają się one wzorem: R = S N + Ni + N i Rata kupiecka składa się tylko z raty kapitałowej, czyli T = R oraz I = 0. Odsetki od długu są umarzane przez odsetki od raty. 8. Spłata długów średnio- i długoterminowych. W modelu kapitalizacji złożonej moment aktualizacji nie jest istatny. Dlatego mamy: S( + i) N = N R n ( + i) N n n= W tym modelu występują następujące zależności: S n = S n ( + i) R n I n = S n i R n = T n + I n T n = S n S n oraz N n= T n = S Spłata długu w równych ratach: Niech dany będzie ciąg o stałych płatnościach w wysokości R w równych odstępach czasu. Umarza on dług S jaki powstał w momencie t = 0 przy stopie okresu bazowego i. Wysokość takiej raty wynosi: R = S( + i)n i ( + i) N Przykład 3. Dług 0 jp ma zostać spłacony w czterech ratach rocznych. Wiemy, ze części kapitałowe wynoszą: T = 5 jp, T 3 = 8jp, T 4 = 3 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 5%, kapitalizacja złożona. Ułóż plan spłaty kredytu. T = = 4 S = 0 5 = 5 I = 0 0, 5 = 3 R = = 8 S = = itd. 7

8 n S n R n = T n +I n T n I n = S n i S n = S N n= T n ,5 4,5 3 9,65 8, ,45 3 0,45 0 8