PODSTAWY ANALIZY SZEREGÓW CZASOWYCH ZESTAW VII Modele eonomerczne dzielim na saczne i dnamiczne. Cecha charaersczną modeli dnamicznch jes jawne uwzględnienie cznnia czasu. MODELE Z ROZKŁADEM OPÓŹNIEŃ Model posaci: β x βx β x... βx α Nazwam modelem z rozładem opóźnień o masmalnm opóźnieniu. Model ai rozłada wpłw zmiennej objaśniającej X na zmienna objaśnianą Y na pewną liczbę oresów. W więszości zasosowań moŝna spodziewać się, Ŝe wpłw X na Y będzie malał z czasem, zn. olejne współcznnii β i będą przjmował coraz mniejsze warości co do warości bezwzględnej. UWAGA: w ogólnm przpadu pojawia się więcej niŝ lo jedna zmienna objaśniająca. β - inerpreujem jao zmiana warości Y wsue jednosowej zmian X w m samm czasie. Nazwam go mnoŝniiem róooresowm. β β - nazwan jes mnoŝniiem długooresowm. i i MODELE AUTOREGRESYWNE Model posaci: α α α... α x Nazwam modelem auoregresji m-ego rzędu. UWAGA: spoać moŝna eŝ modele powsałe jao ombinacja modelu z rozładem opóźnień i modelu auoregresji. ESTYMACJA MODELI Z NIESKOŃCZONYM ROZKŁADEM OPÓŹNIEŃ MODEL KOYCKA RozwaŜm model z niesończonm rozładem opóźnień: α β x β x β x... Ab wesmować paramer ego modelu nałóŝm na nie pewne ograniczenia. ZałóŜm, Ŝe wszsie paramer β ego modelu są ego samego znau i maleją geomercznie, a ponado: β β λ,,, gdzie < <λ, o po ilu prosch przeszałceniach algebraicznch orzmam model zwan modelem Koca, posaci: δ β x λ η, δ α(λ η λ gdzie ) oraz. Paramer λ nazwan jes sopą zaniu rozładu opóźnień. MnoŜni długooresow będąc sumą niesończonego szeregu geomercznego o pierwszm wrazie β i ilorazie λ, wraŝa się wzorem: β β λ
STACJONARNOŚĆ SZEREGÓW CZASOWYCH Dane worzące szereg czasow moŝna uwaŝać za generowane przez proces sochasczn, czli rodzinę zmiennch losowch {X } o warościach rzeczwisch, uporządowanch zgodnie z indesami naleŝącmi do zbioru T. Szereg czasow jes realizacją procesu sochascznego w zbiorze T, czli ciągiem liczb będącch warościami obserwowanej zmiennej. RozróŜnienie pomiędz procesem sochascznm a jego realizacją jes podobne do rozróŝnienia pomiędz populacją i próbą w sasce. Więszość procesów sochascznch z rudem poddaje się analizie, wniosowaniu i esrapolacji. Sosunowo najmniej łopoów wiąŝe się z badaniem procesów sacjonarnch. W srócie moŝna powiedzieć, Ŝe proces jes sacjonarn, jeśli jego podsawowe własności nie zmieniają się w czasie. (szczegół -> parz wład). Posługiwać się będziem pojęciem procesu słabo sacjonarnego, czli aiego órego warość oczeiwana i wariancja są sończone i sałe, a warość owariancji zaleŝ jednie od odsępu pomiędz obserwacjami. Wprowadźm oznacznia: - warość oczeiwana procesu sochascznego - ) - wariancja procesu sochascznego - γ [( µ µ σ µ E E ( X µ) - owariancja E X )( X )] Proces jes słabo sacjonarn, jeŝeli - µ,σ są sałe i sończone, - przpuśćm eraz, Ŝe przesuniem począe procesu {X } z X do X m. Jeśli proces {X } jes sacjonarn, o średnia, wariancja oraz auoowariancje procesu {X m } są aie same ja procesu {X }. UWAGA: proces, ór nie jes sacjonarn nazwan jes niesacjonarnm. TEST PIERWIASTKA JEDNOSTKOWEGO - jes esem werfiującm hipoezę o niesacjonarności szeregu czasowego. Rozparzm model:, gdzie jes sładniiem losowm o zerowej warości oczeiwanej, sałej wariancji σ oraz nie wazując auoorelacji. Tai sładni losow nazwam białm szumem i jes przładem procesu sacjonarnego. Ławo sprawdzić, Ŝe dla usalonego : X (,,, 3 3 var( var( var( ) σ, ) σ 3) 3σ id. Szereg czasow { } jes więc niesacjonarn. Idea esu pierwiasa jednosowego jes nasępująca. Szacujem model ρ. JeŜeli po oszacowaniu swierdzim, Ŝe ρ, mówim Ŝe szereg ma pierwiase jednosow, co jes równowaŝne emu, Ŝe jes niesacjonarn.
ZauwaŜm jedna, Ŝe w podanm przładzie szereg { }, gdzie jes juŝ szeregiem sacjonarnm. PowŜszą operację nazwam róŝnicowaniem szeregu czasowego. Szereg czasow jes zinegrowan w sopniu d, jeŝeli po d-ronm róŝnicowaniu orzmam szereg sacjonarn W prace spoa się zwle szeregi, óre sają się sacjonarne co najwŝej po dwuronm róŝnicowaniu, czli szeregi zinegrowane w sopniu, lub. Tes pierwiasa jednosowego w prace: ZauwaŜm, Ŝe jeŝeli od równania ρ Odejmiem sronami -, o orzmam: ( ρ ) Podsawiając δ ρ mam δ HIPOTEZY: H : δ H : δ <, Sasa esu jes obliczana jao: ˆ δ DF S δ Do rozsrzgnięcia esu sosuje się ablice warości rcznch, opracowane przez Dice,a i Fullera, dlaego es pierwiasa jednosowego nazwan jes eŝ esem DF. Z ablic orzmujem dwie warości górna i dolną. Jeśli orzmana sasa jes mniejsza niŝ dolna warość rczna, o odrzucam H. Jeśli jes więsza od górnej warości rcznej, o nie ma podsaw do odrzucenia H. pomiędz dolną i górną warością znajduje się przedział nieoreśloności. Warości rczne esu są róŝne dla modeli ze sałą i bez niej, oraz modeli ze zmienną czasową i bez ej zmiennej. Tablic naleŝ szuać w siąŝce Haremz, Deadmana [997, s. 55]. Problem badania sacjonarności ompliuje się w przpadu szeregów czasowch, óre podlegają wahaniom sezonowm. Obliczanie róŝnic docz wed obserwacji oddalonch nie o jeden ores, ale o s oresów, gdzie s jes długością clu (s4 dla danch waralnch, s dla danch miesięcznch id.). REGRESJA POZORNA Przład: Na podsawie danch rocznch (98-995) oszacowano nasępując model: W 6,, P, R, 98 (,) gdzie W liczba wpadów w Polsce spowodowana przez nierzeźwch ierowców, P spoŝcie piwa w Grecji. 3
Wsoi współcznni deerminacji i sasczna isoność zmiennej dobrze świadczą o modelu, pomimo ze zmienne nie pozosają w związu przcznowosuowm. Wnia o z fau, Ŝe obie zmienne charaerzuje rosnąc rend. Jes o przład modelu, w órm wsępuje pozorna regresja. Wsępne wniosi na ema wsępowania regresji pozornej moŝna wciągnąć na podsawie porównania współcznnia deerminacji i sasi Durbina- Wasona modelu. Jeśli R > DW, o moŝem spodziewać się regresji pozornej. Jednm ze sposobów uninięcia regresji pozornej jes róŝnicowanie w celu uzsania sacjonarnego szeregu czasowego. Innm sposobem jes włączenie zmiennej czasowej do zbioru zmiennch objasniającch. KOINTEGRACJA Pojęcia sacjonarności i sopnia inegracji doczą pojednczego szeregu czasowego. Koinegracja docz dwóch lub więcej szeregów. Koinegracja szeregów czasowch wsępuje wed, gd dwa lub więcej szeregi są niesacjonarne, ale ich liniowa ombinacja jes sacjonarna. RozwaŜm dwa szeregi niesacjonarne { }, {x } zinegrowane w m samm sopniu oraz model: α α x, czli x. α α Jeśli oaŝe się, Ŝe sładni losow (czli liniowa ombinacja i x ) jes sacjonarn, o zmienne i x są soinegrowane. Cznnii powodujące niesabilność zmiennch asują się wzajemnie. PrzbliŜonm sposobem usalenia isnienia oinegracji jes es oinegracji Durbina-Wasona (KDW). UŜwam w m celu warości sasi DW z regresji oinegrującej. Hipoezą zerową jes eraz d (zamias sandardowej d) wobec hipoez alernawnej d. Warości rczne esu KDW dla %, 5%, % poziomu isoności oraz liczb obserwacji wnoszą odpowiednio,5;,386;,3. Ta więc, jeśli obliczona warość DW jes mniejsza od,5 o odrzucam hipoeŝe o oinegracji prz poziomie isoności %. ZADANIA Zadanie Podać przład eonomicznie uzasadnionego wprowadzenia do modelu jao zmiennch objaśniającch: a) opóźnionch warości zmiennch objaśniającch, b) opóźnionch warości zmiennej objaśnianej. Zadanie Anna Kowalsa orzmała podwŝę w wsoości 6zł miesięcznie i ma podsaw sądzić, Ŝe jes o podwŝa permanenna (pomijam efe inflacji). Ja zwle część przeznacz na bieŝące wdai, a część oszczędzi. Jeszcze w bieŝącm miesiącu zwięsz swoja onsumpcję o 3zł, nasępnego miesiąca jeszcze dodaowo o 5zł, olejnego jeszcze o 6zł sładając resze na rachunu oszczędnościowm. a) o ile wzrosną wdai onsumpcjne Ann na oniec drugiego miesiąca? b) Wznacz jej funcje onsumpcji w zaleŝności od dochodu. 4
c) Ile wnosi w jej przpadu róo i długooresowa rańcowa słonność do onsumpcji Zadanie 3 Na podsawie danch waralnch (I warał 99 IV warał 998) oszacowano nasępując model: K -,33,64 Y,7 Y -,69 Y -, (,58) (,5) (,53) gdzie K zagregowana onsumpcja, Y produ rajow bruo. Obliczć i zinerpreować róo- i długooresową rańcową słonność do onsumpcji. Jaa część (w procenach) ogólnego efeu wzrosu onsumpcji objawia się w m samm warale co zmiana PKB? Po rzech miesiącach? Po pół rou? Zadanie 4 Na podsawie abeli, zawierającej dane pochodzące z wiaciarni Aldona w olejnch miesiącach rou zapisać macierz obserwacji zmiennch objaśniającch oraz weor zmiennej objaśnianej dla modelu: S α β β β X X 3X S przchód X naład na relamę I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII S 5 4 33 39 36 7 4 3 3 34 8 35 X 4 7 3 6 7 4 5 4 4 5 5 6 Zadanie 5 Zaproponować meodę werfiacji hipoez, Ŝe wpłw zmian podaŝ pieniądza na inflację nie jes nachmiasow, na podsawie modelu posaci P a b M b M - b M - e, gdzie P sopa inflacji, M podaŝ pieniądza. Zadanie 6 a) 3 x,4 -, b) 3 x,8 -, c) 3 x, -, d) 3 x -,4 -, Jai charaer (powoli lub rapownie wgasając, esplodując, osclując) ma wpłw opóźnionch warości zmiennej x na zmienną? Kóre z modeli spełniają załoŝenia modelu Koca? Zadanie 7 Na podsawie szeregu czasowego uzsano: Y 3,8 Y -,9 X, a) wznaczć paramer modelu Koca, b) obliczć i zinerpreować mnoŝni długooresow zmiennej Y względem zmiennej X. 5
Zadanie 8 Oszacowano model nasępującej posaci: Y,34,7 X,585 Y -, gdzie Y wdajność prac X naład na badania i rozwój. Obliczć i zinerpreować paramer wjściowego modelu z niesończonm rozładem opóźnień oraz mnoŝni róo- i długooresow. Zadanie 9 Na podsawie 3 obserwacji oszacowano nasępując model ursu acji spółi Wedel SA: W ˆ,93,5W (,4) Zwerfiować hipoezę o niesacjonarności szeregu obserwacji ursu acji ej spółi prz poziomie isoności 5%. (podpowiedź: dolna warość rczna -,8) Zadanie Na podsawie obserwacji oszacowano model: Kˆ 3,86,43C, R,834, DW,64 (3,35) gdzie K onsumpcja benzn w mld on, C wsaźni cen benzn. Jaie wniosi na ema wsępowania regresji pozornej oraz soinegrowania zmiennch K i C moŝna wciągnąć na ej podsawie? 6