Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW. BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH. ANALIZA KORELACJI PROSTEJ.

Transkrypt

1 BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH. ANALIZA KORELACJI PROSTEJ.

2 IDEA OPISU WSPÓŁZALEśNOŚCI CECH X, Y cechy obserwowane w doświadczeniu, n liczba jednostek doświadczalnych, Wyniki doświadczenia: wartości cechy X: x x2 x3... wartości cechy Y: y y2 y3... obserwacje dla pierwszej jednostki doświadczalnej obserwacje dla drugiej jednostki doświadczalnej Diagram korelacyjny wartości cechy Y y x wartości cechy X Kierunek korelacji: cechy X, Y są ujemnie skorelowane 2

3 wartości cechy Y wartości cechy X Kierunek korelacji: cechy X, Y są dodatnio skorelowane wartości cechy Y wartości cechy X Cechy X, Y są nieskorelowane 3

4 wartości cechy Y wartości cechy X Cechy X, Y są nieskorelowane Y Y X X Siła korelacji: X, Y - silnie skorelowane X, Y - słabo skorelowane 4

5 PRZYKŁADY TEORETYCZNE D - doświadczenie losowe: dwukrotny rzut monetą, Zmienne losowe w poszczególnych przykładach są niezaleŝne czy zaleŝne? Przykład. X zmienna losowa: liczba otrzymanych orłów, X 2 zmienna losowa: (liczba otrzymanych orłów) 2. Przykład 2. X 3 zmienna losowa: liczba orłów w pierwszym rzucie, X 4 zmienna losowa: liczba orłów w drugim rzucie. Przykład 3. X 5 zmienna losowa: liczba otrzymanych orłów, X 6 zmienna losowa: (liczba otrzymanych orłów) 2. Jak wykrywać współzaleŝność pomiędzy zmiennymi? 5

6 WspółzaleŜność między zmiennymi losowymi X i Y opisuje kowariancja, ozn.: COV ( X, Y ). Definicja: COV ( X, Y ) = E ( X Y) ( EX ) ( EY ) Obliczanie kowariancji w przykładach -3. Kowariancja jest wielkością mianowaną, dlatego jako miary współzaleŝności liniowej dwóch zmiennych losowych X i Y uŝywa się bezwymiarowego wskaźnika nazywanego współczynnikiem korelacji liniowej Pearsona i oznaczonego grecką literą ρ (czyt.: rho): ρ = COV ( X, Y ) ( DX ) ( DY ) Twierdzenie Dla dowolnych dwóch zmiennych losowych X oraz Y zachodzi: ρ, 6

7 Uwaga terminologiczna Jeśli zmienne losowe są zaleŝne liniowo, to nazywamy je skorelowanymi. Współczynnik korelacji ρ słuŝy do wykrywania korelacji, czyli zaleŝności liniowej: jeśli ρ = 0, to zmienne są nieskorelowane (ale mogą być zaleŝne nieliniowo!), jeśli ρ =, to zmienne losowe są całkowicie skorelowane (zaleŝne liniowo), o jeśli ρ =, to są skorelowane dodatnio, o jeśli ρ = -, to są skorelowane ujemnie. UŜywamy określeń: zmienne są słabo skorelowane gdy ρ 0, zmienne są silnie skorelowane - gdy ρ. 7

8 Czy korelacja jest znacząca (istotna)? Jeśli cechy X oraz Y mają rozkład normalny, to moŝna weryfikować hipotezę dotyczącą korelacji: Hipoteza o braku korelacji Hipoteza alternatywna: H 0 : ρ = 0 H : ρ 0 wybieramy poziom istotności α, losujemy próbę dwucechową: ( x, y ), ( x 2, y 2 ),... ( x n, y n ), obliczamy współczynnik korelacji r dla próby według wzoru: r = n i= n i= ( x x) ( y y) 2 ( x x) ( y y) i i n i i= i 2 Współczynnik r jest oceną parametru teoretycznego ρ: ρˆ = r odczytujemy wartość krytyczną r α, v = n-2 8

9 jeŝeli r > r α, v = n-2, to H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie moŝna odrzucić. Przykład Z dziesięciu poletek doświadczalnych zebrano plony bulw ziemniaczanych (cecha X) i oznaczono w nich procentową zawartość skrobi (cecha Y). Wyniki zestawiono w tabeli: plon x i zawartość 7, 6,9 7,0 6,8 6,9 6,5 6,3 6,6 6,5 6,4 skrobi y i zawartość skrobi (%) Diagram korelacyjny 7,2 7, 7 6,9 6,8 6,7 6,6 6,5 6,4 6,3 6, plon 9

10 H : ρ 0, H : ρ 0 0 = α = 0,05 x = 24 kg, y = 6,7%, r = - 0,90, wartość krytyczna r 0,05, 8 = 0,632, PoniewaŜ r = - 0,90 > r 0,05, 8 = 0,632, więc hipotezę H 0 odrzucamy. Stwierdzamy statystycznie istotną korelację między plonem bulw ziemniaczanych a zawartością skrobi. 0