Analiza Matematyczna Wydział Matematyki wykładowca T Downarowicz 6 czerwca 017 Wykład VIII Pocodne cząstkowe pierwszego i wyższyc rzędów, twierdzenie Scwarza, gradient, esjan, ekstrema lokalne Przypomnijmy, że funckja wielu zmiennyc f : R n R może być w danym punkcie dziedziny różniczkowana po każdej zmiennej z osobna, gdy posostałe zmienne traktujemy jako parametry Skupmy się na funkjci dwóc zmiennyc, f(x, y) Tak powstają pocodne (x 0, y 0 ) oraz (x 0, y 0 ) Jeśli funkcja posiada takie pocodne w każdym punkcie dziedziny (na przykład jakiegoś prostokąta [a, b] [c, d]) to otrzymujemy kolejne dwie funkcje dwóc zmiennyc, (x, y) oraz (x, y), które w danym punkcie (x 0, y 0 ) znowu mogą okazać się różniczkowalne po każdej zmiennej W ten sposób docodzimy do czterec definicji: f (x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ), f (x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ), f (x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ), f (x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ) Jeśli te funkcje są określone w każdym punkcie (x 0, y 0 ), to w miejsce (x 0, y 0 ) można napisać (x, y) i otrzymujemy cztery funkcje, które znów można różniczkować Każdy już teraz domyśla się, co oznacza na przyklad takie wyrażenie 4 f 3 (x 0, y 0 ) System oznaczeń pocodzi z notacji operatorowej Różniczkowanie np po x, to operator liniowy działający na zbiorze funkcji (oczywiście odpowiednio różniczkowalnyc), którego obrazami są funkcje Operator tez oznaczamy symbolem 1
, a obraz funkcji f przez f Po złożeniu dwóc takic operatorów, na przy- dostaniemy napisy postaci kład z lub z ( ) f oraz ( ) f, co po usunięciu nawiasów i symbolicznym zapisaniu podwójnego znaku jako, da () f oraz f Wystarczy teraz umówić się, że f wpiszemy do mianownika, () zapiszemy jako (co nie prowadzi do nieporozumień) i mamy naszą notację wyjaśnioną Jeden szczegół: jeśli w mianowniku jest, to formalnie oznacza to, że najpierw różniczkujemy po y, a dopiero potem po x (a nie odwrotnie, jakby się to mogło wydawać) Inny (wygodniejszy) system oznaczeń jest taki: pocodną cząstkową funkcji f po x oznaczamy przez f x Wtedy jasne staje się, co oznacza np (f x ) y To ostatnie zapiszemy bez nawiasu, jako f xy Zauważmy subtelność, że ponieważ operatory typu dopisuje się do znaku funkcji z lewej strony, a indeksy x z prawej, to kolejność różniczkowania przy tyc oznaczeniac jest odwrócona Tzn = f yx Obawiam się jednak, że w różnyc źródłac w tej dziedzinie panuje caos PRZYKŁAD Niec f(x, y) = x y Obliczmy wszystkie cztery pocodne II rzędu A więc: f x = yx y 1, f y = x y ln x I dalej f xx = y(y 1)x y, f x,y = x y 1 + yx y 1 ln x, f yx = yx y 1 ln x + xy x, f y,y = x y (ln x) Zauważmy, że w naszym przykladzie f xy = f yx Nie jest to przypadek, gdyż że przy pewnyc (łagodnyc) założeniac o pocodnyc mieszanyc kolejność różniczkowania nie jest istotna, a istotne jest tylko to, ile razy po której zmiennej różniczkowaliśmy Wynika to (poprzez kilkakrotne zastosowanie) z poniższego twierdzenia: Twierdzenie 01 (Twierdzenie Scwarza) Niec funkcja dwóc zmiennyc f : [a, b] [c, d] R posiada na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) (a, b) (c, d) pocodne mieszane II rzędu, f xy i f yx, które są w tym punkcie ciągłe (jako funkcje dwóc zmiennyc) Wtedy pocodne te w (x 0, y 0 ) są sobie równe
Dowód Mamy f x (x 0, y 0 + ) f x (x 0, y 0 ) f xy (x 0, y 0 ) = (f x ) y (x 0, y 0 ) = = 0 f(x 0+t,y 0+) f(x 0,y 0+) f(x t 0 t 0+t,y 0) f(x 0,y 0) t 0 t = 0 0 t 0 f(x 0+t,y 0+) f(x 0,y 0+) t f(x0+t,y0) f(x0,y0) t Ustalmy teraz t i zastosujmy z Twierdzenie Lagrange a do funkcji p(y) = f(x 0 + t, y) f(x 0, y) t Wtedy nasze wyrażenie przyjmie postać dp 0 t 0 dy (y f y (x 0 + t, y,t ) f y (x 0, y,t ),t) = 0 t 0 t gdzie y,t leży pomiędzy y 0 a y 0 + No to stosujemy jeszcze raz twierdzenie Lagrange a, tym razem dla funkcji q(x) = f y (x, y,t ), co da nam dq 0 t 0 dx (x,t) = f yx (x,t, y,t ), 0 t 0 gdzie x,t leży pomiędzy x 0 a x 0 + t Ponieważ f yx jest z założenia ciągła jako funkcja dwóc zmiennyc, to granica iterowana 0 t 0 jest równa granicy podwójnej 0,t 0 Oczywiście wtedy zarówno x,t zbiega do x 0 jak i y,t zbiega do y 0 Wspomniania ciągłość pozwala wstawić te granice do funkcji i otrzymamy f yx (x 0, y 0 ) Uwaga 0 Zauważmy, że w dowodzie korzystaliśmy z ciągłości tylko jednej z pocodnyc mieszanyc Można więc założenie osłabić Pocodna kieriunkowa i gradient Pocodną funkcji dwóc zmiennyc w zadanym punkcie (x 0, y 0 ) można też obliczać w kierunkac nierównoległyc do osi współrzędnyc Trzeba w tym celu ustalić wektor jednostkowy kierunku, u = (ux, u y ) (spełniający u x + u y = 1) i liczyć ilorazy różnicowe pomiędzy punktem (x 0, y 0 ) a (x 0, y 0 ) + u = (x 0 + u x, y 0 + u y ), czyli wyrażenia f(x 0 + u x, y 0 + u y ) f(x 0, y 0 ), a następnie przejść do granicy przy dążącym do zera Formalnie definicję wraz z oznaczeniami wprowadzamy tak: u = 0 f(x 0 + u x, y 0 + u y ) f(x 0, y 0 ), 3
o ile ta granica istnieje PRZYKŁAD 1: Obliczyć pocodną kierunkową funkcji f(x, y) = x y (0, 1), w kierunku wektora u = ( 1 1, ) A więc, z defnicji, pocodna jest granicą (przy 0) wyrażeń w punkcie 0+ 1+ 0 1 = 1 1 1 +, która wynosi 1 ZADANIE: To samo dla funkcji f(x, y) = x y w punkcie (x 0, y 0 ) w kierunku wektora u = ( 1, 1 ) Okazuje się, że pocodne kierunkowe można łatwo obliczać przy pomocy pocodnyc cząstkowyc Służy do tego pojęcie gradientu i iloczynu skalarnego Definicja 03 Gradientem funkcji dwóc zmiennyc f w punkcie (x 0, y 0 ), w którym istnieją obie pocodne cząstkowe, nazywamy wektor ( f(x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ), ) (x 0, y 0 ) W przypadku, gdy pocodne cząstkowe istnieją w każdym punkcie, f jest po prostu parą funkcji otrzymanyc jako pocodne cząstkowe Wtedy symbol oznacza wektorowy operator liniowy (, ), który przeprowadza funkcje dwóc zmiennyc posiadające obie pocodne czątkowe na pary funkcji dwóc zmiennyc Oczywiście, to samo można robic z funkcjami wielu zmiennyc (wtedy gradient będzie miał tyle wymiarów ile jest zmiennyc) Twierdzenie 04 Jeśli f jest różniczkowalna punkcie (x 0, y 0 ) (co to znaczy dowiemy się nieco później, większość funkcji w przykladac ma tę własność), to pocodna kierunkowa w kierunku wektora u w tym punkcie jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora przez gradient obliczony w tym punkcie: u = f(x 0, y 0 ) u = u x f x (x 0, y 0 ) + u y f y (x 0, y 0 ) Dowód będzie po wprowadzeniu pojęcia różniczkowalności Na razie wnioski i przykłady Wniosek 05 Gradient wskazuje kierunek największego wzrostu funkcji, a jego długość odpowiada współczynnikowi kierunkowemu tego wzrostu (to wynika wprost z własności iloczynu skalarnego: iloczyn skalarny wektorów jest równy iloczynowi ic długości razy kosinus kąta między nimi; kosinus, a zatem pocodna kierunkowa jest największa gdy kąt jest zerowy, a wartośc tej pocodnej, czyli iloczyn długości jest długością gradientu, bo drugi wektor ma długość 1) 4
PRZYKŁAD: Oblicz wcześniej obliczone pocodne kierunkowe metodą gradientu Wyznacz kierunek największego wzrostu Różniczkowalność funkcji dwóc zmiennyc Definicja 06 Funkcja f(x, y) określona na otoczeniu punktu v 0 = (x 0, y 0 ) jest w tym punkcie różniczkowalna, jeśli istnieje funkcja liniowa A(x, y) = ax + by, taka że f(v 0 + ) f(v 0 ) A( ) = 0, 0 gdzie = ( 1, ) oraz = 1 + Interpretacja: Wykres funkcji liniowej to płaszczyzna przecodząca przez początek układu w R 3 Powyższy warunek mówi, że płaszczyzna równoległa do niej, przecodząca przez punkt (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) jest styczna do wykresu funkcji Funkcję liniową A nazywamy różniczką (pocodną) funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) Twierdzenie 07 Jeśli f jest różniczkowalna w punkcie (x 0, y 0 ), to 1 różniczka A jest jedyna, f jest ciągła w (x 0, y 0 ) i posiada tam obie pocodne cząstkowe, 3 A(x, y) = (x 0, y 0 ) x + (x 0, y 0 ) y Dowód (1) Gdyby były dwie funkcje liniowe A i B, to odejmując stronami wzór w defincji dostalibyśmy (A B)() = 0, 0 a to jest możliwe tylko, gdy funkcja liniowa A B jest zerowa Jeśłi nie jest zerowa, to już jedna z granic: po = ( 1, 0) albo po = (0, ) wyjdzie różna od zera (wyjdzie równa ± odpowiedni współczynnik funkcji liniowej A B) () Skoro granica w definicji istnieje, a w mianowniku mamy wyrażenie zbiegające do zera, to licznik też musi zbiegać do zera Ponieważ funkcja liniowa z pewnością zbiega do zera, to pozostała część licznika też musi A to jest właśnie ciągłość w v 0 (3) Z jednoznaczności różniczki wystarczy przetestować tą zadaną wzorem z pocodnymi cząstkowymi, czyli sprawdzić granicę f(v 0 + ) f(v 0 ) (x 0, y 0 ) 1 (x 0, y 0 ) 0 Ale wiemy, że dla właściwyc współczynników funkcji A granica jest zero, a dla złyc jest 0 i to już dla przynajmniej jednego kierunku osiowego Tak więc 5
wystarczy sprawdzić, co dzieje się, gdy = ( 1, 0) oraz gdy = (0, ) No i wystarczy liczyć przy 1 0 + (lub 0 + ) Sprawdzimy tylko pierwszy przypadek (drugi liczy się tak samo) Ponieważ wtedy = 1, to będziemy mieli do policzenia granicę f(x 0 + 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) 1 1 0 + 1 No a to jest pocodna kierunkowa po x w punkcie (x 0, y 0 ) odjąć ta sama pocodna kierunkowa Czyli zero Teraz możemy udowodnić zaległe Twierdzenie 04 Dowód Twierdzenia 04 W definicji pocodnej kierunkowej występuje f(x 0 + u x, y 0 + u y ), jest skalarem dążącym do zera Skoro istnieje i jest równa zeru granica w definicji różniczkowalności, to można ją w szczegóności liczyć podstawiając za wektor u = (u x, u y ) (przy 0 mamy 0 oraz = ) Ponadto zauważamy, że w myśl punktu (3) ostatniego twierdzenia, A jest iloczynem skalarnym gradientu przez Z liniowości iloczynu skalarnego, iloczyn ten można zapisać jako f(x 0, y 0 ) u = ( f(x 0, y 0 ) u) Ostatecznie dostajemy, że następująca granica dąży do zera: f(x 0 + u x, y 0 + u y ) f(x 0, y 0 ) ( f(x 0, y 0 ) u) 0 = 0 0 f(x 0 + u x, y 0 + u y ) f(x 0, y 0 ) = ( f(x 0, y 0 ) u) Ostatnie wyrażenie (to z minusem) nie zależy od, więc po prostu pierwsze wyrażenie ma granicę i jest równa temu ostatniemu (z plusem) A granica pierwszego wyrażenia, to właśnie jest szukana pocodna kierunowa Do różniczkowalności nie wystarcza samo istnienie pocodnyc cząstkowyc, ani nawet kierunkowyc Można narysować łatwy przykład Podamy teraz warunek wystarczający różniczkowalności Twierdzenie 08 Jeśli f ma pocodne cząstkowe w otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) i są one w tym punkcie ciągłe, to f jest w tym punkcie różniczkowalna Dowód tego twierdzenia pozostawiam na ćwiczenia Na koniec podamy kilka wzorów na obliczanie pocodnyc dla różnyc kombinacji dwóc funkcji Dowody tyc faktów różnież pozostawiam na ćwiczenia Twierdzenie 09 Niec f i g będą różniczkowalne w punkcie v 0 = (x 0, y 0 ) Wtedy funkcje af + bg, fg, f g oraz f g (w ostatnim przypadku f jest funkcją jednej zmiennej, różniczkowalną w punkcie g(v 0 )) są różniczkowalne w v 0 oraz 6
zacodzą poniższe wzory, w któryc A f (i temu podobne) oznacza w skrócie różniczkę funkcji f w punkcie v 0 : A af+bg = aa f + ba g, A f g = A f g(v 0 ) + A g f(v 0 ), A f g = A f g(v 0 ) A g f(v 0 ) g, (v 0 ) A f g = f (g(v 0 ))A g Eksterma lokalne Podamy teraz ważne zastosowanie pocodnyc cząstkowyc I i II rzędu do odnajdywania ekstremów lokalnyc funkcji wielu zmiennyc Definicja 010 Funkcja f (dwóc zmiennyc) określona na obszarze otwartym D ma w punkcie (x 0, y 0 ) D maksimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie U tego punktu, takie że w każdym punkcie (x, y) U różnym od (x 0, y 0 ), zacodzi nierówność f(x 0, y 0 ) f(x, y) (dla minimum ) Jeśli nierówność jest ostra na pewnym otoczeniu, to ekstremum nazywa się ścisłe Twierdzenie 011 (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeśli f ma w (x 0, y 0 ) ekstremum i ma tam obie pocodne cząstkowe, to obie są równe zeru Inaczej mówiąc, f(x 0, y 0 ) = 0 Dowód jest banalny Powiedzmy, że mamy tam maksimum Gdyby któraś pocodna cząstkowa była różna od zera, to dowolnie blisko punktu (x 0, y 0 ) przyrost funkcji (z prawej lub lewej strony od (x 0, y 0 ) w zależności od znaku pocodnej) byłby dodatni A to przeczy maksymalności Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, samo zerowanie się pocodnej (czyt gradientu) nie wystarcza do istnienia maksimum Może tam być np punkt kaskadowy lub siodłowy Aby potwierdzić istnienie ekstremum trzeba spojrzeć na drugie pocodne Ponieważ jest ic 4, tworzą one specjalną macierz zwaną macierzą Hessego Definicja 01 Macierz pocodnyc II rzędu, [ f (x 0, y 0 ) f (x ] 0, y 0 ) f (x 0, y 0 ) f (x 0, y 0 ) nazywamy macierzą Hessego funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) Jej wyznacznik nosi miano esjanu Twierdzenie 013 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeśli f spełnia w punkcie (x 0, y 0 ) dwa warunki: gradient się zeruje, a esjan jest dodatni, to jest tam ekstremum Jest to maksimum, gdy którakolwiek pocodna cząstkowa II rzędu nie-mieszana jest ujemna, minimum - gdy dodatnia Jeśli esjan jest ujemny, to ekstremum nie ma (a jeśli się zeruje, to nie wiadomo) Bez dowodu 7