Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech a, x 0 R. Mówimy, że liczba a R jest granicą w sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (i) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (ii) dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że 0 < x x 0 < δ zachodzi f(x) a < ε. Fakt ten zapisujemy f(x) = a lub f(x) = a lub f(x) a, gdy x x 0. Uwaga 6.1.1. Niech f : X R oraz x 0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a R. Definicję Cauchy ego granicy funkcji w punkcie x 0 można zapisać następująco: f(x) = a ε>0 δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) a < ε). Powyższy warunek jest równoważny następującemu f(x) = a ε>0 δ>0 x X (0 < x x 0 δ f(x) a ε), Nie można natomiast zmienić warunku ε > 0 na ε 0, warunku δ > 0 na δ 0 ani opuścić warunku 0 < x x 0. Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech a, x 0 R. Mówimy, że liczba a R jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (i) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (ii) dla każdego ciągu (x n ) n N X takiego, że x n x 0 dla n N oraz n x n = x 0 zachodzi n f(x n ) = a. Pokażemy teraz, że powyższe dwie definicje są równoważne 11

1 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Twierdzenie 6.1.. Niech f : X R, gdzie X R, niech x 0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz niech a R. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) a jest granicą w sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie x 0, (b) a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x 0. Dowód. Ad. (a) (b) Weźmy dowolny ciąg (x n ) n N X \{x 0 } taki, że n x n = x 0. Pokażemy, że f(x n ) = a. Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ a jest granicą w n sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie x 0, więc istnieje δ > 0, że dla x X takich, że 0 < x x 0 < δ zachodzi f(x) a < ε. Ponieważ x n x 0 dla n N oraz x n = x 0, n więc istnieje N R takie, że dla n > N zachodzi 0 < x n x 0 < δ i w konsekwencji f(x n ) a < ε. Reasumując n f(x n ) = a. To daje, że a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x 0. Ad. (b) (a) Przypuśćmy przeciwnie, że a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x 0 lecz nie jest granicą w sensie Cauchy ego. Wtedy istnieje ε > 0, że dla każdego δ > 0 istnieje x X dla którego 0 < x x 0 < δ oraz f(x) a ε. W szczególności, dla każdego n N zbiór X n = {x X : 0 < x x 0 < 1 oraz f(x) a ε} jest n niepusty. Stosując teraz Aksjomat wyboru ( 1 ) istnieje ciąg (x n ) n N X taki, że x n X n dla n N. Wtedy n x n = x 0 oraz f(x n ) a ε, w szczególności ciąg (f(x n )) n N nie jest zbieżny do a. To przeczy definicji granicy w sensie Heinego i kończy dowód. W świetle twierdzenia 6.1. nie ma znaczenia, którą definicję granicy funkcji przyjmiemy. Powinniśmy jednak zdecydować się na jadną z nich. Definicja granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech a, x 0 R. Mówimy, że liczba a R jest granicą funkcji f w punkcie x 0, gdy a jest granicą w sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie x 0. Z definicji dostajemy, że granica funkcji w punkcie jest własnością lokalną, to znaczy zależy od tej funkcji tylko w dowolnie małym otoczeniu punktu. Mianowicie mamy Wniosek 6.1.3. Niech a, x 0 R oraz x 0 będzie punktem skupienia zbioru X R. Wówczas a jest granicą funkcji f : X R w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia U R punktu x 0, liczba a jest granicą funkcji f U X w punkcie x 0. Wobec twierdzenia 6.1. możemy teraz przenieść pewne własności granicy ciągów na przypadek granicy funkcji. Z własności 4..4(a) dostajemy natychmiast Wniosek 6.1.4. (jednoznaczność granicy funkcji). Jeśli a, a R są granicami funkcji f w punkcie x 0, to a = a. Z własności 4..4(b) i twierdzenia 6.1. dostajemy Wniosek 6.1.5. (o granicach dwóch funkcji). Niech f, g : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X oraz a, b R. Jeśli to a b. f(x) = a, g(x) = b oraz f(x) g(x) dla x X \ {x 0 }, 1 dla rodziny zbiorów niepustych i rozłącznych Y n = X n {n}, n N.

6.1. GRANICA FUNKCJI 13 Z twierdzenia o trzech ciągach 4..6 i twierdzenia 6.1. dostajemy natychmiast Wniosek 6.1.6. (o trzech funkcjach). Niech f, g, h : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X oraz a R. Jeśli f(x) = a, h(x) = a oraz f(x) g(x) h(x) dla x X \ {x 0 }, to g(x) = a. Z twierdzeń 4..9, 4.3.4 i 6.1. mamy Wniosek 6.1.7. (o działanich na granicach funkcji). Niech f, g : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X oraz a, b R. Niech f(x) = a, g(x) = b. Wówczas: (a) (f(x) + g(x)) = a + b. (b) (f(x) g(x)) = a b. (c) (f(x)g(x)) = ab. (d) Jeśli b 0 oraz g(x) 0 dla x X \ {x 0 }, to f(x) g(x) = a b. (e) Jeśli a > 0 oraz f(x) > 0 dla x X \ {x 0 }, to (f(x)) g(x) = a b. (f) Jeśli a = 0 i b > 0 oraz f(x) > 0 dla x X \ {x 0 }, to (f(x)) g(x) = 0. Z własności 4..10 i twierdzenia 6.1. mamy Wniosek 6.1.8. Niech f, g : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X. Jeśli g jest funkcją ograniczoną oraz f(x) = 0, to (f(x)g(x)) = 0. Z twierdzenia 6.1. i własności granicy ciągu dostajemy Wniosek 6.1.9. Niech a, x 0 R oraz n N. Wówczas: (a) (b) (c) (d) (e) x a = x a 0, gdy x 0 > 0, x a = 0, gdy a > 0 ( ), x 0 n x = n x 0, gdy n jest liczbą nieparzystą, x = x 0, a x = a x 0, gdy a > 0, liczba 0 jest punktem skupienia dziedziny funkcji x x a.

14 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ (f) (g) (h) (i) log a x = log a x 0, gdy a > 0, a 1 oraz x 0 > 0, sin x = sin x 0, cos x = cos x 0, tg x = tg x 0, gdy cos x 0 0, ctg x = ctg x 0, gdy sin x 0 0, Dowód. Części (a), (b) i (e) wynikają z twierdzenia 4.3.4, część (f) z twierdzenia 4.3.3, część (d) z wniosku 4..11, części (g) z wniosku 5.10.6. Ad. (h) Jeśli cos x 0 0, to w myśl wniosku 5.10.8, x 0 jest punktem skupienia dziedziny funkcji tg. Wówczas z wniosku 5.10.9 dostajemy x x n tg x = tg x 0, czyli mamy (h). Część (i) dowodzimy analogicznie jak część (h). Pozostało udowodnić (c). Rozważymy trzy przypadki: Dla x 0 > 0, tezę (c) dostajemy z części (a), gdy a = 1. n Dla x 0 < 0 mamy x 0 > 0 oraz z własności pierwiastka nieparzystego stopnia dostajemy n x 0 = n x 0. Wówczas dla dowolnego ciągu (x k ) k=1 takiego, że x k = x 0 k mamy ( x k ) = x 0, więc istnieje N N takie, że dla k > N zachodzi x k > 0. k Zatem z twierdzenia 4.3.4 mamy n x k = ( n x k ) = n x 0 = n x 0, co daje k k tezę w tym przypadku. Niech teraz x 0 = 0. Ponieważ n x n x x, n więc dla dowolnego ciągu (x k ) k=1 = 0 mamy n x k n x k x n k. Z wniosku 4..11 wynika, że takiego, że x k k x k = 0, z twierdzenia 4.3.4 zaś, że k k n x k = 0. W konsekwencji twierdzenie o trzech ciągach daje, że k n x k = 0, czyli mamy (c) w tym przypadku. Z twierdzenia 6.1. i wniosków 4.5.4(d) i 5.10.6(c) dostajemy Wniosek 6.1.10. Zachodzą następujące: (a) (b) (1 + x) 1 x = e, x 0 x 0 sin x x = 1. Granica maksimum i minimum rodziny funkcji Udowodnimy twierdzenie o granicy maksimum i minimum rodziny funkcji. Zacznijmy od definicji. Definicja maksimum i minimum rodziny funkcji. Niech f 1,..., f n : X R, gdzie n N, będzie rodziną funkcji. Funkcję max(f 1,..., f n ) : X R określoną wzorem max(f 1,..., f n )(x) = max{f 1 (x),..., f n (x)} dlax X nazywamy maksimum rodziny funkcji f 1,..., f n. Funkcję min(f 1,..., f n ) : X R określoną wzorem min(f 1,..., f n )(x) = min{f 1 (x),..., f n (x)} dlax X nazywamy minimum rodziny funkcji f 1,..., f n.

6.. GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI 15 Twierdzenie 6.1.11. Niech f 1,..., f n : X R, gdzie X R i n N będzie rodziną funkcji oraz niech x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X. Jeśli f j (x) = g j, gdzie g j R dla j = 1,..., n, to (6.1) max(f 1,..., f n )(x) = max{g 1,..., g n } oraz min(f 1,..., f n )(x) = min{g 1,..., g n }. Dowód. Zastosujemy zasadę indukcji. Jeśli n = 1, to teza jest oczywista. Dla n = teza wynika z wniosku 4..1 i równoważności definicji Cauchy ego i Heinego granicy funkcji (twierdzenie 6.1.). Załóżmy, że teza zachodzi dla rodziny n funkcji. Rozważmy rodzinę f 1,..., f n+1 : X R i niech g j = f j (x) dla j = 1,..., n + 1. Łatwo sprawdzamy, że max{f 1 (x),..., f n+1 (x)} = max{max{f 1 (x),..., f n (x)}, f n+1 (x)} dla x X. Zatem stosując założenie indukcyjne i przypadek n = dostajemy pierwszą część (6.1) dla n + 1. Analogicznie dowodzimy drugą część (6.1) dla n + 1. Reasumując, zasada indukcji kończy dowód. 6. Granice jednostronne funkcji Definicja. Dla zbioru X R oraz liczby x 0 R określamy zbiory X x 0 = {x X : x < x 0 }, X + x 0 = {x X : x > x 0 }. Definicja granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie. Niech X R, f : X R oraz niech a, x 0 R. Mówimy, że liczba a jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy a jest granicą funkcji f X x0 w punkcie x 0 ( 3 ). Fakt ten zapisujemy a = f(x). x x 0 Mówimy, że liczba a jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy a jest granicą funkcji f X + x0 w punkcie x 0 ( 4 ). Fakt ten zapisujemy a = f(x). x x + 0 Uwaga 6..1. Niech f : X R będzie funkcją oraz x 0 R. Wprost z definicji dostajemy: (a) Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru X x 0, to fakt, że liczba a R jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0 można zapisać w notacji Cauchy ego: (6.) ε>0 δ>0 x X (x < x 0 x x 0 < δ f(x) a < ε) lub równoważnie w notacji Heinego: (xn) n N X x 0 ( n x n = x 0 n f(x n ) = a). (b) Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru X + x 0, to fakt, że liczba a R jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0 można zapisać w notacji Cauchy ego: (6.3) ε>0 δ>0 x X (x 0 < x x x 0 < δ f(x) a < ε) lub równoważnie w notacji Heinego: (xn) n N X + x 0 ( n x n = x 0 3 wtedy x 0 jest punktem skupienia zbioru X x 0. 4 wtedy x 0 jest punktem skupienia zbioru X + x 0. n f(x n ) = a).

16 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Twierdzenie 6... (związek granicy funkcji z granicami jednostronnymi). Niech f : X R, gdzie X R, będzie funkcją, x 0 R będzie punktem skupienia zbiorów Xx 0 i oraz a R. Wówczas następujące warunki są równoważne: X + x 0 (a) (b) f(x) = a, x x 0 f(x) = a oraz x x + 0 f(x) = a. Dowód. Ad. (a) (b) Ponieważ f(x) = a, więc z definicji mamy (6.4) ε>0 δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) a < ε). Stąd dostajemy natychmiast (6.) i (6.3), czyli mamy (b). Ad. (b) (a) Ponieważ f(x) = a, więc można założyć, że x x 0 f(x) = a oraz x x + 0 w (6.) i (6.3) dla ustalonego ε istnieje ta sama δ > 0 (przez wybranie mniejszej z nich). Zatem z (6.) i (6.3) wynika (6.4), co daje (a). Granica funkcji w punkcie nie musi istnieć, odnosi się to również do granic jednostronnych. Jednak przy dodatkowym założeniu mamy Twierdzenie 6..3. (o granicach jednostronnych funkcji monotonicznej). Niech f : X R, gdzie X R, będzie funkcją monotoniczną i ograniczoną. (a) Jeśli x 0 R jest punktem skupienia zbioru X x 0, to istnieje granica x x 0 (b) Jeśli x 0 R jest punktem skupienia zbioru X + x 0, to istnieje granica x x + 0 f(x). f(x). Dowód. Ponieważ dla funkcji malejącej f mamy, że f jest funkcją rosnącą, więc wystarczy rozważyć przypadek, gdy f jest funkcją rosnącą. Niech więc f : X R będzie funkcją rosnącą. Ad. (a) Niech A = {f(x) : x Xx 0 }. Wówczas A jest zbiorem niepustym i ograniczonym, więc a = sup A jest liczbą rzeczywistą. Pokażemy, że a = x x 0 f(x). Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Wówczas a ε < a, więc z określenia sup A, istnieje x Xx 0, że a ε < f(x ). Niech δ = x 0 x. Ponieważ x Xx 0, więc x < x 0, zatem δ > 0. Weźmy dowolny x X taki, że x < x 0 i x x 0 < δ. Wtedy x Xx 0, zatem f(x) a 0 < ε. Z drugiej strony x > x, więc z założenia, że f jest funkcją rosnącą mamy f(x) f(x ) i w konsekwencji ε < f(x ) a f(x) a. Reasumując mamy f(x) a < ε dla x X takich, że x < x 0 i x x 0 < δ. To daje (a). Ad. (b) Podobnie jak w (a), biorąc B = {f(x) : x X x + 0 } oraz b = inf B dostajemy, że b R. Podobnie, z definicji kresu dolnego oraz założenia, że f jest funkcją rosnącą otrzymujemy x x + 0 f(x) = b. Podamy szczególną wersję warunku Heinego istnienia granicy jednostronnej.

6.. GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI 17 Twierdzenie 6..4. Niech f : [a, b) R. Następujące warunki są równoważne: (a) Istnieje granica x b f(x) (5 ). (b) Dla każdego ściśle rosnącego ciągu (x n ) n=1 [a, b) takiego, że n x n = b istnieje skończona granica n f(x n ). Dowód. Implikacja (a) (b) wynika definicji Heinego granicy funkcji w punkcie. Udowodnimy implikację (b) (a). Niech (x n ) n=1 [a, b) będzie ściśle rosnącym ciągiem takim, że x n = b oraz, wobec (b), niech A R będzie takie, że f(x n ) = A. n n Pokażemy, że f(x) = A. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje ε 0 > 0 takie, że dla każdego δ [a, b) istnieje x (δ, b), że f(x) A ε 0. Wtedy b jest punktem skupienia x b zbioru {x [a, b) : f(x) A ε 0 }, więc istnieje ciąg (y j ) j=1 [a, b), gdzie y j = b, j że zachodzi (6.5) f(y j ) A ε 0 dla j = 1,,... Wybierzmy teraz podciągi (x nk ) k=1 oraz (y jk ) k=1 odpowiednio ciągów (x n ) n=1 oraz (y j ) j=1 takie, że (6.6) y jk < x nk < y j k+1 dla k = 1,,... ( 6 ). Weźmy ciąg (γ n ) n=1 określony wzorami γ k = y jk oraz γ k+1 = x nk dla k = 0, 1,... Z (6.6) dostajemy, że (γ k ) k=1 [a, b) jest ciągiem ściśle rosnącym. Ponadto n γ n = b oraz, wobec założenia, istnieje B R takie, że B = f(γ n ). W szczególności z n określenia A i B mamy B = k f(γ k+1 ) = k f(x nk ) = A, zatem k f(y jk ) = k f(γ k ) = A. To przeczy (6.5) i kończy dowód. Analogicznie jak twierdzenia 6..4, dowodzimy Twierdzenie 6..5. Niech f : (a, b] R. Następujące warunki są równoważne: (a) Istnieje granica x a + f(x). (b) Dla każdego ściśle malejącego ciągu (x n ) n=1 (a, b] takiego, że n x n = a istnieje skończona granica n f(x n ). 5 skończona, tzn. istnieje g R takie, że f(x) = g, por. dalej istnienie granicy niewłaściwej. x b 6 Na przykład kładąc X = {(n, j) N N : x n > y j } i biorąc funkcję F : X N X określoną wzorem F (n, j, k) = (p, q), gdzie q = min{m N : m > k y m > x n } oraz p = min{m N : m > k (m, q) X}, ciąg ((x nk ), (y jk )) j=1 określony indukcyjnie przez dowolny (n, j) X oraz funkcję F spełnia powyższe warunki.

18 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ 6.3 Granice niewłaściwe Definicja granicy niewłaściwej funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R, oraz niech x 0 R. Mówimy, że + jest granicą funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (a) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (b) dla każdego A R istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że 0 < x x 0 < δ zachodzi f(x) > A. Fakt ten zapisujemy f(x) = +. Analogicznie określamy f(x) = ( 7 ). Granice + i nazywamy granicami niewłaściwymi funkcji w punkcie x 0. Granice określone w punkcie 6.1 nazywamy granicami właściwymi funkcji. Uwaga 6.3.1. Niech f : X R, X R, oraz x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X. Wówczas łatwo dostajemy f(x) = + A>0 δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) > A), f(x) = A<0 δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) < A). Ponadto granica niewłaściwa jest określona jednoznacznie. Dokładniej, jeśli f(x) = a oraz f(x) = +, to a = +. Analogicznie dla granicy f(x) =. Bazpośrednio z definicji granicy niewłaściwej funkcji mamy Wniosek 6.3.. Niech f : X R, X R oraz x 0 będzie punktem skupienia zbioru X. Wówczas a {, + } jest granicą funkcji f : X R w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia U R punktu x 0, element a jest granicą funkcji f U X w punkcie x 0. Analogicznie jak w przypadku granic właściwych dowodzimy następujące własności: Własność 6.3.3. (warunek Heinego dla granicy niewłaściwej). Niech f : X R, gdzie X R, niech x 0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a {, + }. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) a jest granicą funkcji f w punkcie x 0, (b) dla każdego ciągu (x n ) n N X takiego, że x n x 0 dla n N oraz n x n = x 0 zachodzi n f(x n ) = a ( 8 ). Z własności 6.3.3 i własności granic niewłaściwych ciągów dostajemy 7 Mówimy, że jest granicą funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (a) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (b) dla każdego A R istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że 0 < x x 0 < δ mamy f(x) < A. 8 warunek ten nazywamy definicją Heinego granicy niewłaściwej.

6.3. GRANICE NIEWŁAŚCIWE 19 Wniosek 6.3.4. (o granicach niewłaściwych dwóch funkcji). Niech f, g : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X oraz niech f(x) g(x) dla x X \ {x 0 }. (a) Jeśli f(x) = +, to g(x) = +. (b) Jeśli g(x) =, to f(x) =. Wniosek 6.3.5. (o działaniach na granicach niewłaściwych). Niech f, g : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X. Wówczas: (a) Jeśli f(x) = +, to ( f(x)) =. (b) Jeśli f(x) = + oraz g(x) = +, to (f(x) + g(x)) = +. (c) Jeśli f(x) = + oraz g(x) = a, gdzie a > 0, to (f(x)g(x)) = +. 1 (d) Jeśli f(x) = +, to = 0. f(x) Wniosek 6.3.6. Niech f : X R oraz x 0 będzie punktem skupienia zbioru X. Jeśli 1 f(x) > 0 dla x X \ {x 0 } oraz f(x) = 0, to = +. f(x) Definicja granicy niewłaściwej lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R, oraz x 0 R. Niech Xx 0 = {x X : x < x 0 } i X x + 0 = {x X : x > x 0 }. Mówimy, że + jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy + jest granicą funkcji f X x0 w punkcie x 0 ( 9 ). Fakt ten zapisujemy x x 0 f(x) = ( 10 ). określamy x x 0 f(x) = +. Analogicznie Mówimy, że + jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy + jest granicą funkcji f X + x0 w punkcie x 0. Fakt ten zapisujemy f(x) = +. Analogicznie x x + 0 określamy x x + 0 f(x) = ( 11 ). Analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 6.. dostajemy Własność 6.3.7. (związek granicy niewłaściwej z granicami jednostronnymi). Niech f : X R, X R, będzie funkcją, x 0 R będzie punktem skupienia zbiorów Xx 0 i X x + 0 oraz a R. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) (b) f(x) = a, x x 0 f(x) = a oraz x x + 0 f(x) = a. 9 wtedy x 0 jest punktem skupienia zbioru Xx 0. 10 Mówimy, że jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy jest granicą funkcji f X x0 w punkcie x 0. 11 Mówimy, że jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy jest granicą funkcji f X + x0 w punkcie x 0.

130 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Podobnie jak twierdzenie 6..3 dowodzimy Własność 6.3.8. (o granicach jednostronnych funkcji monotonicznej). Niech f : X R, X R, będzie funkcją monotoniczną. (a) Jeśli x 0 R jest punktem skupienia zbioru X x 0, to istnieje granica x x 0 (b) Jeśli x 0 R jest punktem skupienia zbioru X + x 0, to istnieje granica x x + 0 f(x). f(x). Definicja granicy funkcji w nieskończoności. Niech f : X R, X R, oraz niech a R. Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) dla każdego ε > 0 istnieje δ R, że dla każdego x X, x > δ zachodzi f(x) a < ε. Fakt ten zapisujemy f(x) = a. Analogicznie określamy f(x) = a x + x (1 ). Definicja granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności. Niech f : X R, gdzie X R. Mówimy, że + jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) dla każdego A R istnieje δ R, że dla każdego x X, x > δ zachodzi f(x) > A. Fakt ten zapisujemy f(x) = +. Analogicznie określamy f(x) = x + x + (13 ). Mówimy, że + jest granicą funkcji f w, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) dla każdego A R istnieje δ R, że dla każdego x X, x < δ zachodzi f(x) > A. Fakt ten zapisujemy f(x) = +. Analogicznie określamy f(x) = x x (14 ). Uwaga 6.3.9. Dla granic funkcji w + i w zachodzą analogiczne własności do własności 6.3.3 i wniosków 6.3.4, 6.3.5, 6.3.6. Z odpowiednich własności granicy ciągów (twierdzenia 4.4.6 i 4.4.7) dostajemy 1 Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) dla każdego ε > 0 istnieje δ R, że dla każdego x X, x < δ zachodzi f(x) a < ε. 13 Mówimy, że jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) dla każdego A R istnieje δ R, że dla każdego x X, x > δ zachodzi f(x) < A. 14 Mówimy, że jest granicą funkcji f w, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) dla każdego A R istnieje δ R, że dla każdego x X, x < δ zachodzi f(x) < A.

6.3. GRANICE NIEWŁAŚCIWE 131 Wniosek 6.3.10. Niech a R. Wówczas mamy: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) x + xa = +, gdy a > 0, x + xa = 0, gdy a < 0, x xa =, x xa = +, gdy a N jest liczbą nieparzystą, gdy a N jest liczbą parzystą, x + ax = + oraz x ax = 0, gdy a > 1, x + ax = 0 oraz x ax = +, gdy 0 < a < 1, log x + a x = + oraz log x 0 + a x =, gdy a > 1, log x + a x = oraz log x 0 + a x = +, gdy 0 < a < 1. Z wniosku 4.5.4 dostajemy Wniosek 6.3.11. Dla każdego y R, ( 1 + y ) x = e y x + x ( 1 + y x = e x x) y. Analogicznie jak twierdzenia 6..4 dowodzimy wersję warunku Heinego dla granic niewłaściwych. Twierdzenie 6.3.1. Niech f : [a, + ) R. Następujące warunki są równoważne: (a) Istnieje granica f(x) (właściwa lub niewłaściwa). x + (b) Dla każdego ściśle rosnącego ciągu (x n ) n=1 [a, + ) takiego, że n x n = + istnieje granica n f(x n ) (skończona lub nieskończona). W szczególności granica w (a) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy granice w (b) są skończone. Twierdzenie 6.3.13. Niech f : (, b] R. Następujące warunki są równoważne: (a) Istnieje granica f(x) (właściwa lub niewłaściwa). x (b) Dla każdego ściśle malejącego ciągu (x n ) n=1 (, b] takiego, że n x n = istnieje granica n f(x n ) (skończona lub nieskończona). W szczególności granica w (a) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy granice w (b) są skończone.

13 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ 6.4 Funkcje ciągłe Poniższa definicja ciągłości pochodzi od Cauchy ego. Definicja funkcji ciągłej. Niech f : X R, gdzie X R oraz x 0 R. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy zachodzą warunki: (i) x 0 X, (ii) dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że x x 0 < δ zachodzi f(x) f(x 0 ) < ε. Mówimy, że funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X. Definicję ciągłości funkcji w punkcie możemy sformułować następująco: Twierdzenie 6.4.1. (topologiczna charakteryzacja ciągłości funkcji w punkcie). Niech f : X R, gdzie X R, oraz niech x 0 X. Następujące warunki są równoważne: (i) funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. (ii) dla każdego otoczenia W R punktu f(x 0 ) istnieje otoczenie U R punktu x 0 takie, że f(x U) W. Dowód. Załóżmy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. Wówczas z definicji ciągłości funkcji w punkcie mamy (6.7) ε>0 δ>0 x X ( x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε). Weźmy dowolne ε > 0 i niech δ > 0 spełnia powyższe. Oznaczając W = {y R : y f(x 0 ) < ε} oraz U = {x R : x x 0 < δ}, z powyższego dostajemy, że jeśli x X i x U, to f(x) W, czyli f(x U) W i zachodzi (ii). Odwrotnie, zakładając (ii), dla dowolnego ε > 0, biorąc otoczenie W = {y R : y f(x 0 ) < ε} punktu f(x 0 ), istnieje otoczenie U = {x R : x x 0 < δ}, gdzie δ > 0, takie że f(x U) W. Zatem dla x X takich, że x x 0 < δ mamy x X U, więc f(x) W, czyli f(x) f(x 0 ) < ε. To daje (6.7). Analogicznie jak równoważność definicji Cauchy ego i Heinego granicy funkcji w punkcie (twierdzenie 6.1.) dowodzimy Twierdzenie 6.4.. (warunek Heinego ciągłości funkcji w punkcie). Niech f : X R, X R, oraz x 0 X. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) f jest funkcją ciągłą w punkcie x 0. (b) dla każdego ciągu (x n ) n=1 X, jeśli n x n = x 0, to n f(x n ) = f(x 0 ) ( 15 ). Wprost z definicji funkcji ciągłej w punkcie oraz granicy funkcji w punkcie mamy 15 warunek ten nazywamy definicją Heinego ciągłości funkcji w punkcie.

6.4. FUNKCJE CIĄGŁE 133 Twierdzenie 6.4.3. (związek ciągłości z granicą). Niech f : X R, X R, oraz x 0 X. (a) Jeśli x 0 jest punktem izolowanym zbioru X, to f jest funkcją ciągłą w punkcie x 0. (b) Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru X, to funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = f(x 0 ). Dowód. Ad. (a) Jeśli x 0 jest punktem izolowanym zbioru X, to istnieje otoczenie U 0 punktu x 0 takie, że X U 0 = {x 0 }. Zatem dla dowolnego otoczenia W R punktu f(x 0 ) mamy f(x U 0 ) = {f(x 0 )} W. To, wraz z twierdzeniem 6.4.1 daje część (a). Ad. (b) Niech x 0 będzie punktem skupienia zbioru X. Załóżmy najpierw, że f jest funkcją ciągłą w punkcie x 0. Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że x x 0 < δ zachodzi f(x) f(x 0 ) < ε. W szczególności dla każdego x X takiego, że 0 < x x 0 < δ zachodzi f(x) f(x 0 ) < ε. To daje, że f(x) = f(x 0 ). Załóżmy teraz, że f(x) = f(x 0 ). Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że 0 < x x 0 < δ zachodzi f(x) f(x 0 ) < ε. Stąd, ponieważ f(x 0 ) f(x 0 ) = 0 < ε, dostajemy, że dla każdego x X takiego, że x x 0 < δ zachodzi f(x) f(x 0 ) < ε. To daje ciągłość funkcji f w punkcie x 0 i kończy dowód. Z twierdzenia 6.4.3 i własności granicy funkcji (patrz wniosek 6.1.7) dostajemy Wniosek 6.4.4. (działania na funkcjach ciągłych). Niech f, g : X R, X R, oraz x 0 X. (a) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0, to f + g, f g, fg oraz f przy g dodatkowym założeniu g(x) 0 dla x X, są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0. (b) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi, to f + g, f g, fg oraz f g założeniu g(x) 0 dla x X, są funkcjami ciągłymi. Z powyższego wniosku, łatwą indukcją dostajemy przy dodatkowym Wniosek 6.4.5. Niech f 1,..., f n : X R, gdzie X R, n N oraz niech x 0 X. (a) Jeśli f 1,..., f n są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0, to f 1 + + f n oraz f 1 f n są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0. (b) Jeśli f 1,..., f n są funkcjami ciągłymi, to f 1 + + f n oraz f 1 f n są funkcjami ciągłymi. Z twierdzenia 6.4.1 dostajemy Wniosek 6.4.6. (o złożeniu funkcji ciągłych). Niech f = g h : X R, gdzie h : X R, g : Y R, X, Y R oraz h(x) Y. Niech x 0 X. (a) Jeśli h jest funkcją ciągłą w punkcie x 0, funkcja g jest zaś ciągła w punkcie y 0 = h(x 0 ), to funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. (b) Jeśli h i g są funkcjami ciągłymi, to f jest funkcją ciągłą.

134 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Dowód. Udowodnimy (a). Zastosujemy twierdzenie 6.4.. Weźmy dowolny ciąg (x n ) n=1 X taki, że n x n = x 0. Wówczas (h(x n )) n=1 Y. Ponieważ h jest funkcją ciągłą w punkcie x 0, to z twierdzenia 6.4., h(x n ) = h(x 0 ) = y 0. Stąd i z ciągłości n funkcji g w punkcie y 0 dostajemy f(x n) = g(h(x n )) = g(h(x 0 )) = f(x 0 ). n n Reasumując, wobec dowolności ciągu (x n ) n=1, z twierdzenia 6.4. wynika ciągłość funkcji f w punkcie x 0, czyli mamy (a). Część (b) wynika natychmiast z (a). Wniosek 6.4.7. (o granicy złożenia funkcji). Niech f = g h : X R, gdzie h : X R, g : Y R, X, Y R oraz h(x) Y. Niech ponadto x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X. Jeśli g jest funkcją ciągłą w punkcie y 0 Y oraz h(x) = y 0, to f(x) = g(y 0 ). Dowód. Niech h : X {x 0 } R będzie funkcją określoną wzorami: h(x) = h(x) dla x X \{x 0 } oraz h(x 0 ) = y 0. Wówczas z założenia, że h(x) = y 0 i związku ciągłości z granicą (twierdzenie 6.4.3) wynika, że h jest funkcją ciągłą w punkcie x 0. Zatem f = g h jest funkcją ciągłą w punkcie x 0 (patrz twierdzenie o złożeniu funkcji ciągłych wniosek 6.4.6). W szczególności, z twierdzenia 6.4.3 mamy f(x) = f(x0 ) = g(y 0 ). Stąd dostajemy tezę, gdyż dla x X \ {x 0 } mamy f(x) = f(x). Z twierdzenia 6.1.11 dostajemy natychmiast Wniosek 6.4.8. Niech f 1,..., f n : X R, gdzie X R i n N będzie rodziną funkcji oraz niech x 0 X. (a) Jeśli f 1,..., f n są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0, to max(f 1,..., f n ) oraz min(f 1,..., f n ) są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0. (b) Jeśli f 1,..., f n są funkcjami ciągłymi, to max(f 1,..., f n ) oraz min(f 1,..., f n ) są funkcjami ciągłymi. Twierdzenie 6.4.9. Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i funkcja x x są ciągłe. Ponadto ciągłe są wielomiany i funkcje wymierne. Dowód. Z twierdzenia 6.4.3, wniosku 6.4.4 oraz z odpowiednich własności granicy funkcji (patrz wniosek 6.1.9) dostajemy ciągłość funkcji potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i funkcji x x. Druga część wynika z pierwszej i własności 6.4.5, gdyż wielomiany są sumami skończonej ilości jednomianów, a więc są sumami funkcji ciągłych. Funkcje wymierne zaś są ilorazami wielomianów. Uwzględniając definicję zbioru otwartego w topologii indukowanej dostajemy Twierdzenie 6.4.10. (topologiczna charakteryzacja ciągłości). Niech f : X R, gdzie X R. Następujące warunki są równoważne: (a) f jest funkcją ciągłą. (b) dla każdego zbioru otwartego W R, zbiór f 1 (W ) jest otwarty w X ( 16 ). 16 to znaczy f 1 (W ) = X G, gdzie G R jest zbiorem otwartym.

6.4. FUNKCJE CIĄGŁE 135 Dowód. (a) (b) Niech W R będzie zbiorem otwartym. Przypomnijmy, że f 1 (W ) = {x X : f(x) W }. Musimy pokazać, że ten zbiór jest otwarty w X. Jeśli W f(x) =, to teza jest oczywista. Załóżmy, że W f(x). Wówczas dla każdego x X takiego, że f(x) W istnieje otoczenie W x W punktu f(x). Zatem z twierdzenia 6.4.1 istnieje otoczenie U x R punktu x, że f(x U x ) W x. Połóżmy G = x X, f(x) W Zbiór G jest otwarty, jako suma zbiorów otwartych. Zauważmy, że U x. (6.8) f 1 (W ) = X G. Istotnie, f(x G) = f( x X, f(x) W X U x ) = x X, f(x) W f(x U x ) x X, f(x) W W x W. Zatem X G f 1 (W ). Z drugiej strony dla każdego x f 1 (W ) mamy f(x) W, więc x X U x X G. To daje, że f 1 (W ) X G. Reasumując mamy (6.8), a więc zbiór f 1 (W ) jest otwarty w X, co daje (b). Ad. (b) (a) Weźmy dowolny x 0 X. Niech W będzie dowolnym otoczeniem punktu f(x 0 ). Z (b) mamy, że f 1 (W ) jest zbiorem otwartym w X zawierającym x 0. Zatem istnieje otoczenie U R punktu x 0, że X U f 1 (W ). W konsekwencji f(x U) W i z twierdzenia 6.4.1 dostajemy ciągłość funkcji f w punkcie x 0. Z dowolności punktu x 0 mamy ciągłość funkcji f. To kończy dowód. Z powyższego twierdzenia dostajemy natychmiast topologiczną charakteryzację ciągłości funkcji określonej na zbiorze otwartym. Wniosek 6.4.11. Niech f : X R, gdzie X R jest zbiorem otwartym. Następujące warunki są równoważne: (a) f jest funkcją ciągłą. (b) dla każdego zbioru otwartego W R, zbiór f 1 (W ) jest otwarty. Wniosek 6.4.1. (topologiczna charakteryzacja ciągłości). Niech f : X R, gdzie X R. Następujące warunki są równoważne: (a) f jest funkcją ciągłą. (b) dla każdego zbioru domkniętego Y R, zbiór f 1 (Y ) jest domknięty w X ( 17 ). Dowód. Ad. (a) (b). Weźmy dowolny zbiór domknięty Y R. Wówczas R \ Y jest zbiorem otwartym, więc z twierdzenia 6.4.10 mamy, że f 1 (R \ Y ) jest otwarty w X. Ponadto f 1 (Y ) = X \ f 1 (R \ Y ), 17 to znaczy f 1 (Y ) = X D, gdzie D R jest zbiorem domkniętym.

136 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ więc f 1 (Y ) jest zbiorem domkniętym w X. Ad. (b) (a). Weźmy dowolny zbiór otwarty W R. Wtedy Y = R \ W jest domknięty, więc f 1 (Y ) jest domknięty w X. Zatem f 1 (W ) = X \ f 1 (Y ) jest zbiorem otwartym w X. Stąd i z twierdzenia 6.4.10 dostajemy ciągłość funkcji f. Wniosek 6.4.13. Jeśli X, Y R są zbiorami domkniętymi oraz f : X R jest funkcją ciągłą, to zbiór f 1 (Y ) jest domknięty. Dowód. Z wniosku 6.4.1 mamy, że f 1 (Y ) jest zbiorem domkniętym, jako domknięty podzbiór zbioru domkniętego X. Z topologicznej charakteryzacji ciągłości (twierdzenie 6.4.10) dostajemy natychmiast, że ciągłość jest własnością dziedziczną, to znaczy obcięcie funkcji zachowuje tę własność. Wniosek 6.4.14. (o obcięciu funkcji ciągłej). Jeśli f : X R, gdzie X R, jest funkcją ciągłą oraz Y X, Y, to obcięcie f Y : Y R jest funkcją ciągłą. 6.5 Ciągłość i spójność Głównym twierdzeniem tego punktu będzie twierdzenie o ciągłym obrazie zbioru spójnego, czyli tak zwana własność Darboux funkcji ciągłych. Udowodnimy najpierw lemat. Lemat 6.5.1. Jeśli P jest przedziałem oraz f : P R jest funkcją ciągłą, to zbiór wartości f(p ) jest zbiorem jednoelementowym lub przedziałem. Dowód. Załóżmy, że f(p ) nie jest zbiorem jednoelementowym. Pokażemy, że f(p ) jest przedziałem. W myśl twierdzenia 4.9.7 wystarczy pokazać, że f(p ) jest zbiorem spójnym. Przypuśćmy przeciwnie, że f(p ) nie jest spójny. Wtedy istnieją zbiory otwarte D, G R, rozłączne i takie, że Zatem f(p ) = (f(p ) D) (f(p ) G) oraz (f(p ) D) i (f(p ) G). (6.9) P = f 1 (D) f 1 (G), f 1 (D), f 1 (G) oraz f 1 (D) f 1 (G) =. Ponieważ zbiory D, G są otwarte, to z topologicznej charakteryzacji ciągłości 6.4.10 mamy, że f 1 (D) i f 1 (G) są zbiorami otwartymi w P. Zatem istnieją zbiory otwarte U, W R, że f 1 (D) = P U oraz f 1 (G) = P W. Niech a, b, a < b będą końcami przedziału P. Wówczas (6.10) a U W oraz b U W. Istotnie, pokażemy że a U W. W przeciwnym razie istnieje otoczenie V R punktu a, że V U W. Wtedy V P oraz V P (P U) (P W ) = f 1 (D) f 1 (G),

6.5. CIĄGŁOŚĆ I SPÓJNOŚĆ 137 co wobec (6.9) jest niemożliwe. Analogicznie pokazujemy, że b U W. Zauważmy, że istnieją zbiory otwarte U 1, W 1 R takie, że (6.11) U 1 W 1 = oraz P U 1 = P U, P W 1 = P W. Istotnie, wobec (6.10), mamy przypadki: a, b U; a U i b W ; a W i b U; a, b W. Jeśli a, b U, to biorąc U 1 = U (a, b), W 1 = W, dostajemy P U 1 = P U, P W 1 = P W oraz U 1 P, a więc z (6.9), U 1 W 1 = P U 1 W 1 = (P U) (P W ) =. To daje (6.11) w tym przypadku. Jeśli a U i b W, to biorąc U 1 = U (a, + ), W 1 = W (, b), dostajemy (6.11). Analogicznie rozważamy przypadki a, b W oraz a W i b U. Z (6.9) i (6.11) dostajemy P = (P U 1 ) (P W 1 ), U 1 W 1 =, P U 1 i P W 1 oraz U 1, W 1 są zbiorami otwartymi w R. To przeczy spójności przedziału P i kończy dowód. Twierdzenie 6.5.. (własność Darboux). Niech X R oraz f : X R będzie funkcją ciągłą. Jeśli Y X i Y jest zbiorem spójnym, to obraz f(y ) jest zbiorem spójnym. Dowód. Z twierdzenia 4.9.7 mamy, że Y jest albo zbiorem jednoelementowym albo jest przedziałem. Jeśli Y jest jednoelementowy, to f(y ) jest zbiorem jednoelementowym, a więc zbiorem spójnym. Jeśli Y jest przedziałem, to teza wynika z twierdzenia o obcięciu funkcji ciągłej (wniosek 6.4.14) i z lematu 6.5.1. Z lematu 6.5.1 dostajemy inne sformułowanie własności Darboux. Wniosek 6.5.3. (własność Darboux). Niech P będzie przedziałem oraz f : P R funkcją ciągłą. Niech a, b P, a < b oraz c R. (a) Jeśli f(a) < c < f(b), to istnieje x P taki, że a < x < b oraz f(x) = c. (b) Jeśli f(b) < c < f(a), to istnieje x P taki, że a < x < b oraz f(x) = c. Dowód. Ad. (a) Ponieważ f [a,b] : [a, b] R jest funkcją ciągłą, która nie jest funkcją stałą (bo f(a) < f(b)), więc z lematu 6.5.1 mamy, że f([a, b]) jest przedziałem. Zatem c [f(a), f(b)] f([a, b]), więc istnieje x [a, b], że f(x) = c. Ponieważ c f(a) i c f(b), więc x a i x b. To daje (a). Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a). Z wniosku 6.5.3 dostajemy natychmiast Wniosek 6.5.4. Jeśli f : [a, b] R jest funkcją ciągłą taką, że f(a) < 0 < f(b) lub f(a) > 0 > f(b), to istnieje x 0 (a, b), że f(x 0 ) = 0. Z powyższego wniosku dostajemy natychmiast Wniosek 6.5.5. Jeśli f : R R jest wielomianem nieparzystego stopnia, to istnieje x 0 R, że f(x 0 ) = 0.

138 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Twierdzenie 6.5.6. Jeśli P jest przedziałem i f : P R funkcją różnowartościową i ciągłą, to f jest funkcją ściśle monotoniczną. Dowód. Rozważmy najpierw przypadek, gdy P = [a, b]. Ponieważ f jest funkcją różnowartościową, więc f(a) f(b). Załóżmy najpierw, że f(a) < f(b). Pokażemy, że wtedy f jest funkcją ściśle rosnącą. Zauważmy najpierw, że (6.1) f(a) < f(x) dla x (a, b]. Istotnie, weźmy dowolny x (a, b]. Jeśli f(x) f(a), to wobec różnowartościowości funkcji f mamy f(x) < f(a), więc f(x) < f(a) < f(b). Stąd i z własności Darboux 6.5.3 istnieje x (x, b), że f(x ) = f(a), co przeczy różnowartościowości f. Reasumując mamy (6.1). Przypuśćmy teraz przeciwnie, że f nie jest funkcją ściśle rosnącą. Wtedy istnieją x 1, x [a, b], że x 1 < x oraz f(x 1 ) f(x ). Z różnowartościowości f mamy więc f(x 1 ) > f(x ). Stąd i z (6.1) wynika, że f(a) < f(x ) < f(x 1 ). Zatem z własności Darboux, istnieje x (a, x 1 ) takie, że f( x) = f(x ) i oczywiście x x. To jest sprzeczne z różnowartościowością funkcji f. Otrzymana sprzeczność kończy dowód w przypadku, gdy f(a) < f(b). Przypadek f(a) > f(b) rozważa się analogicznie jak powyżej udowodniony. Niech teraz P będzie dowolnym przedziałem. Przypuśćmy przeciwnie, że f nie jest funkcją ściśle monotoniczną. Wtedy istnieją x 1, x, x 3, x 4 P, że x 1 < x i x 3 < x 4 oraz f(x 1 ) f(x ) i f(x 3 ) f(x 4 ). Oznaczając a = min{x 1, x, x 3, x 4 } oraz b = max{x 1, x, x 3, x 4 } mamy [a, b ] P. Ponadto f [a,b ] : [a, b ] R jest funkcją różnowartościową i ciągłą, która nie jest ściśle monotoniczna. To przeczy przypadkowi udowodnionemu na początku i kończy dowód. Twierdzenie 6.5.7. Jeśli P, Q są przedziałami oraz f : P Q jest bijekcją monotoniczną, to f jest funkcją ciągłą. Dowód. Załóżmy najpierw, że f jest funkcją rosnącą. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje x 0 P w którym funkcja f nie jest ciągła. Ponieważ f jest funkcją rosnącą, to f(x 0 ) < x x + 0 f(x) lub x x 0 f(x) < f(x 0 ), przy czym odpowiednie granice jednostronne istnieją i są skończone (jeśli x 0 jest końcem przedziału, to można mówić o jednej z powyższych granic). Rozważmy przypadek, gdy f(x 0 ) < f(x). Oznaczmy a = f(x) i niech f(x 0 ) < b < a. Ponieważ funkcja f x x + 0 x x + 0 jest rosnąca, to dla x P mamy a < f(x) gdy x > x 0 i f(x) f(x 0 ) < b gdy x x 0. Stąd i z założenia, że f jest bijekcją, mamy Q = f(p ) = (f(p ) (, b)) (f(p ) (a, + )) = (Q (, b)) (Q (a, + )), przy czym Q (, b) i Q (a, + ). Dostaliśmy więc sprzeczność ze spójnością przedziału Q. Przypadek f(x) < f(x 0 ) rozważamy analogicznie. x x 0 W przypadku funkcji malejącej dowód przebiega analogicznie. Z twierdzenia 6.5.7 dostajemy natychmiast

6.6. RODZAJE NIECIĄGŁOŚCI 139 Wniosek 6.5.8. Każda funkcja f : (a, b) R różnowartościowa i spełniająca własność Darboux (tzn. dla każdego przedziału P (a, b), obraz f(p ) jest przedziałem) jest ciągła. 6.6 Rodzaje nieciągłości Definicja nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju. Niech f : X R, gdzie X R, Punkt x 0 X w którym funkcja f nie jest ciągła nazywamy punktem nieciągłości funkcji f. Mówimy, że f ma nieciągłość pierwszego rodzaju w punkcie x 0, gdy x 0 jest punktem nieciągłości funkcji f oraz f ma skończone granice jednostronne w punkcie x 0. Mówimy, że f ma nieciągłość drugiego rodzaju w punkcie x 0, gdy x 0 jest punktem nieciągłości funkcji f oraz co najmniej jedna z granic jednostronnych funkcji f w punkcie x nie istnieje lub jest nieskończona. Udowodnimy, że każda funkcja monotoniczna w przedziale może mieć tylko nieciągłości pierwszego rodzaju. Ponadto zbiór punktów nieciągłości takiej funkcji może być co najwyżej przeliczalny. Zacznijmy od lematu. Lemat 6.6.1. Niech f : (a, b) R oraz niech x 1, x (a, b) będą takie, że x 1 < x. (a) Jeśli f jest funkcją rosnącą, to (6.13) x x 1 f(x) f(x 1 ) x x + 1 (b) Jeśli f jest funkcją malejącą, to (6.14) x x 1 f(x) f(x 1 ) x x + 1 f(x) x x f(x) x x f(x) f(x ) x x + f(x) f(x ) x x + f(x). f(x). Dowód. Ad. (a) Ponieważ funkcja f jest rosnąca, więc dla x (a, b) takich, że x < x 1 mamy f(x) f(x 1 ). Zatem z twierdzenia o granicach dwóch funkcji 6.1.5 i twierdzenia o granicach jednostronnych funkcji monotonicznych 6..3 dostajemy f(x) f(x 1 ). x x 1 Analogicznie dowodzimy x x + 1 f(x) f(x 1 ), x x Ponadto, biorąc dowolny x 1 < x < x dostajemy x x + 1 f(x). Reasumując mamy (6.13). x x Analogicznie dowodzimy (b) ( 18 ). f(x) f(x ) oraz x x + f(x) f(x ). f(x) f(x ) oraz f(x ) Wniosek 6.6.. Funkcje monotoniczne w przedziale otwartym nie mają nieciągłości drugiego rodzaju w żadnym punkcie. 18 Część (b) można wywnioskować z (a), jeśli bowiem f jest funkcją malejącą, to funkcja g(x) = f(x) dla x (a, b) jest rosnąca, więc (6.14) dostajemy natychmiast z (6.13).

140 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Dowód. Niech f : (a, b) R bądzie funkcją rosnącą oraz x 0 (a, b). Weźmy dowolne x, x (a, b) takie, że x < x 0 < x. Z założenia, że f jest funkcją rosnącą i z lematu 6.6.1 mamy, że f(x ) x x 0 f(x) f(x ) oraz f(x ) x x + 0 f(x) f(x ). W konsekwencji granice jednostronne funkcji f w punkcie x 0 są skończone, więc f może w punkcie x 0 być funkcją ciągłą lub mieć nieciągłość pierwszego rodzaju. Analogicznie rozważamy przypadek, gdy f jest funkcją malejącą. Wniosek 6.6.3. Jeśli f : (a, b) R jest funkcją monotoniczną, to zbiór punktów nieciągłości funkcji f jest co najwyżej przeliczalny. Dowód. Rozważmy przypadek, gdy f jest funkcją rosnącą. Niech Z (a, b) będzie zbiorem punktów nieciągłości funkcji f. Niech dla każdego z Z, a z = f(x) oraz x z f(x). W myśl lematu 6.6.1 i związku ciągłości z granicą (patrz twierdzenia b z = x z + 6.., 6.4.3) mamy a z < b z dla z Z. Ponadto, wobec lematu 6.6.1 dla z, w Z takich, że z < w mamy b z a w i w konsekwencji Z = {(a z, b z ) : z Z} jest rodziną przedziałów parami rozłącznych. Stąd i z wniosku.6.16 dostajemy, że Z jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Oczywiście Z jest równoliczny z Z. To daje, że Z jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Analogicznie rozważamy przypadek, gdy f jest funkcją malejącą. Ciągłość lewostronna i prawostronna W analizie rozważa się pojęcie ciągłości lewostronnej i prawostronnej. Definicja ciągłości lewostronnej i prawostronnej. Niech f : (a, b) R oraz x 0 (a, b). Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0, gdy f(x) = f(x 0 ). Mówimy, że x x 0 funkcja f jest lewostronnie ciągła, gdy jest lewostronnie ciągła w każdym punkcie zbioru (a, b). Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0, gdy f(x) = f(x 0 ). Mówimy, że x x + 0 funkcja f jest prawostronnie ciągła, gdy jest prawostronnie ciągła w każdym punkcie zbioru (a, b). Uwaga 6.6.4. Łatwo sprawdzamy, że funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i prawostronnie ciągła w punkcie x 0. Analogicznie funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i prawostronnie ciągła. Uwaga 6.6.5. W analizie rozważa się również lewostronną nieciągłość pierwszego i drugiego rodzaju. Mianowicie mówimy, że funkcja f : (a, b) R ma w punkcie x 0 (a, b) lewostronną nieciągłość pierwszego rodzaju, gdy jest lewostronnie nieciągła w punkcie x 0 oraz f(x) istnieje i jest skończona. Jeśli granica x x 0 x x 0 f(x) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy o lewostronnej nieciągłości drugiego rodzaju. Analogicznie wprowadza się dwa rodzaje prawostronnej nieciągłości. Półciągłość W analizie rozważa się funkcje półciągłe z góry i półciągłe z dołu. Definicja granicy górnej i dolnej funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X.

6.6. RODZAJE NIECIĄGŁOŚCI 141 Granicą dolną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy element g R określony wzorem g = sup{inf{f(x) : x X 0 < x x 0 < δ} : δ > 0}, który oznaczamy inf f(x). Granicą górną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy element g R określony wzorem który oznaczamy sup g = inf{sup{f(x) : x X 0 < x x 0 < δ} : δ > 0}, f(x). Uwaga 6.6.6. Niech f : X R, X R oraz x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X. Z definicji wynika, że granice dolna i górna funkcji f w punkcie x 0 istnieją. Ponadto funkcja f ma granicę g R w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy g = inf f(x) = sup f(x). Uwaga 6.6.7. Niech f : X R, X R oraz x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X. Niech E będzie zbiorem wszystkich elementów q R takich, że dla pewnego ciągu (x n ) n=1 X \ {x 0 } takiego, że x n = x 0, zachodzi q = f(x n). Można pokazać, że n n inf f(x) = inf E, sup f(x) = sup E. Definicja funkcji półciągłej z dołu i z góry. Niech f : X R, X R. Mówimy, że funkcja f jest półciągła z dołu w punkcie x 0 X, gdy x 0 jest punktem izolowanym zbioru X lub x 0 jest punktem skupienia zbioru X i inf f(x) f(x 0 ). Mówimy, że funkcja f jest półciągła z dołu, gdy f jest półciągła z dołu w każdym punkcie x X. Mówimy, że funkcja f jest półciągła z góry w punkcie x 0 X, gdy x 0 jest punktem izolowanym zbioru X lub x 0 jest punktem skupienia zbioru X i sup f(x) f(x 0 ). Mówimy, że funkcja f jest półciągła z góry, gdy f jest półciągła z dołu w każdym punkcie x X. Uwaga 6.6.8. Niech f : X R, gdzie X R. Z definicji granicy dolnej i górnej funkcji dostajemy: (a) Funkcja f jest półciągła z dołu w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A < f(x 0 ) istnieje δ > 0 takie, że dla każdego x X, x x 0 < δ zachodzi A < f(x). W szczególności funkcja f jest półciągła z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A R zbiór {x X : f(x) > A} jest otwarty w X. (b) Funkcja f jest półciągła z góry w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego B > f(x 0 ) istnieje δ > 0 takie, że dla każdego x X, x x 0 < δ zachodzi B > f(x). W szczególności funkcja f jest półciągła z góry wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego B R zbiór {x X : f(x) < B} jest otwarty w X. Uwaga 6.6.9. Niech f : X R, X R. Wówczas funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy w punkcie x 0 jest półciągła z dołu i z góry.

14 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ 6.7 Jednostajna ciągłość i zwartość Definicja funkcji jednostajnie ciągłej. Mówimy, że funkcja f : X R, gdzie X R, jest jednostajnie ciągła, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla dowolnych x 1, x X takich, że x 1 x < δ zachodzi f(x 1 ) f(x ) < ε. Wprost z definicji mamy Własność 6.7.1. Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła. Twierdzenie 6.7.. (warunek Heinego ciągłości jednostajnej). Niech f : X R, gdzie X R. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) f jest funkcją jednostajnie ciągłą, (b) dla dowolnych ciągów (x n ) n=1, (x n) n=1 X takich, że n (x n x n) = 0 zachodzi (6.15) n (f(x n ) f(x n)) = 0. Dowód. (a) (b). Niech ciągi (x n ) n=1, (x n) n=1 X będą takie, że n (x n x n) = 0. Pokażemy, że zachodzi (6.15). Weźmy dowolne ε > 0 i niech wobec jednostajnej ciągłości funkcji f, δ > 0 będzie takie, że dla dowolnych x, x X spełniających x x < δ, zachodzi f(x) f(x ) < ε. Ponieważ (x n x n n) = 0, to istnieje N takie, że dla n > N zachodzi x n x n < δ. Zatem dla n > N mamy f(x n ) f(x n) < ε. To daje (6.15). (b) (a). Przypuśćmy przeciwnie, że funkcja f nie jest jednostajnie ciągła. Wówczas istnieje ε 0 > 0 takie, że dla każdego δ > 0 istnieją x, x X dla których x x < δ i f(x) f(x ) ε 0. W szczególności dla każdego n N oraz δ = 1 istnieją x n n, x n X takie, że x n x n < 1 n i f(x n ) f(x n) ε 0 ( 19 ). W konsekwencji n (x n x n) = 0 lecz (6.15) nie zachodzi. To przeczy (b) i kończy dowód. Przy dodatkowym założeniu zwartości dziedziny funkcji zachodzi twierdzenie odwrotne do własności 6.7.1. Twierdzenie 6.7.3. (o funkcji ciągłej na zbiorze zwartym). Jeśli funkcja f : X R, gdzie X R, jest ciągła i X jest zbiorem zwartym, to funkcja f jest jednostajnie ciągła. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że funkcja f nie jest jednostajnie ciągła. Wówczas z twierdzenia 6.7., istnieją ciągi (x n ) n=1, (x n) n=1 X takie, że (x n x n n) = 0 oraz granica [f(x n ) f(x n n)] nie istnieje lub jest różna od 0. Zatem, wybierając podciągi, możemy założyć, że (6.16) n (x n x n) = 0 oraz n [f(x n ) f(x n)] = g, gdzie g 0.

6.7. JEDNOSTAJNA CIĄGŁOŚĆ I ZWARTOŚĆ 143 Ponieważ X jest zbiorem zwartym, więc istnieje podciąg (x nk ) k=1 ciągu (x n ) n=1, zbieżny do pewnego x 0 X. Wówczas mamy k x n k = x 0, gdyż (x nk x n k k ) = (x n x k n) = 0. Stąd i z ciągłości funkcji f w punkcie x 0 mamy f(x n k ) = f(x 0 ) = f(x n k k k ), więc [f(x n k ) f(x n k k )] = 0. To jest jednak sprzeczne z drugą częścią (6.16). Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Wniosek 6.7.4. Jeśli f : [a, + ) R jest funkcją ciągłą posiadającą skończoną granicę w +, to f jest funkcją jednostajnie ciągłą. że Dowód. Niech g = f(x). Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje η R, η > a, x + (6.17) dla każdego x η zachodzi f(x) g < ε 4. Ponieważ przedział domknięty jest zbiorem zwartym, więc w myśl twierdzenia 6.7.3, obcięcie f [a,η] : [a, η] R jest funkcją jednostajnie ciągłą. Zatem istnieje δ > 0, że (6.18) dla każdych x, x [a, η] takich, że x x < δ zachodzi f(x ) f(x ) < ε. Weźmy dowolne x 1, x [a, + ) takie, że x 1 x < δ. Jeśli x 1, x [a, η], to z (6.18) mamy (6.19) f(x 1 ) f(x ) < ε < ε. Jeśli x 1, x η, to z (6.17) wynika, że (6.0) f(x 1 ) f(x ) f(x 1 ) g + g f(x ) < ε 4 + ε 4 = ε < ε. Jeśli x 1 η x, to x 1 [a, η], x [η, + ) i x 1 η < δ, więc z (6.18) i (6.0) dostajemy (6.1) f(x 1 ) f(x ) f(x 1 ) f(η) + f(η) f(x ) < ε + ε = ε. Analogicznie pokazujemy (6.1), gdy x η x 1, Reasumując, z (6.19), (6.0) i (6.1) dostajemy, że f jest funkcją jednostajnie ciągłą. Uwaga 6.7.5. Analogicznie jak wniosku 6.7.4 dowodzimy następujących własności: (a) Jeśli f : (, a] R jest funkcją ciągłą posiadającą skończoną granicę w, to f jest funkcją jednostajnie ciągłą. (b) Jeśli f : R R jest funkcją ciągłą posiadającą skończone granice w i w +, to f jest funkcją jednostajnie ciągłą.

144 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Udowodnimy kilka związków między ciągłością funkcji i zwartością dziedziny. Twierdzenie 6.7.6. Niech X R, X będzie zbiorem zwartym. Jeśli f : X R jest funkcją ciągłą, to f(x) jest zbiorem zwartym. Dowód. Weźmy dowolny ciąg (y n ) n=1 f(x). Niech (x n ) n=1 X będzie ciągiem takim, że f(x n ) = y n dla n N ( 0 ). Ponieważ zbiór X jest zwarty, więc istnieje podciąg (x nk ) k=1 ciągu (x n ) n=1 zbieżny do pewnego punktu x 0 X. Stąd i z ciągłości funkcji f dostajemy y n k = f(x nk ) = f(x 0 ) f(x). k k Reasumując zbiór f(x) jest zwarty. Z twierdzenia 6.7.6 i własności zbiorów zwartych (patrz wniosek 4.9.) dostajemy natychmiast Wniosek 6.7.7. Niech X R, X będzie zbiorem zwartym. Jeśli f : X R jest funkcją ciągłą, to istnieją min f(x) oraz max f(x). Inaczej funkcją ciągła na zbiorze zwartym osiąga wartość najmniejszą i największą. Ponieważ każdy przedział domknięty jest zbiorem zwartym (jako zbiór domknięty i ograniczony), więc z wniosku 6.7.7 wynika Wniosek 6.7.8. Jeśli f : [a, b] R jest funkcją ciągłą, to istnieje min f([a, b]) oraz max f([a, b]). Definicja homeomorfizmu. Niech X, Y R, X, Y. Funkcję f : X Y nazywamy homeomorfizmem, gdy f jest bijekcją ciągłą i f 1 : Y X jest funkcją ciągłą. Twierdzenie 6.7.9. Niech X, Y R, X, Y oraz niech f : X Y będzie bijekcją. Jeśli f jest funkcją ciągłą oraz X jest zbiorem zwartym, to f jest homeomorfizmem. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że f 1 : Y X nie jest ciągła. Wówczas istnieje punkt y 0, w którym f 1 jest nieciągła. Zatem y 0 jest punktem skupienia zbioru Y oraz istnieje ciąg (y n ) n=1 Y taki, że n y n = y 0 oraz n f 1 (y n ) nie istnieje lub jest różna od x 0 = f 1 (y 0 ). Oznaczmy x n = f 1 (y n ) dla n N. W obu przypadkach po ewentualnym wyborze podciągu można założyć, że n x n = x, gdzie x R, x x 0. Ponieważ zbiór X jest zwarty, więc x X. Z ciągłości funkcji f w punkcie x mamy f(x ) = n f(x n ) = n f(f 1 (y n )) = n y n = y 0, czyli f(x ) = y 0. To jest jednak niemożliwe, gdyż f jest funkcją różnowartościową, więc f(x ) f(x 0 ) = y 0. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Definicja warunku Lipschitza. Niech f : X R, gdzie X R. Mówimy, że funkcja f spełnia warunek Lipschitza, gdy istnieje stała M R taka, że dla każdych x, x X zachodzi f(x) f(x ) M x x. 0 Istnienie takiego ciągu (x n ) n=1 wynika z aksjomatu wyboru. Mianowicie biorąc rodziną zbiorów niepustych i rozłącznych f 1 (y n ) {n}, n N, w myśl aksjomatu wyboru istnieje zbiór E mający dokładnie jeden punkt wspólny z każdym zbiorem f 1 (y n ) {n}, n N. Oznaczając przez (x n, n), jedyny punkt wspólny zbioru E i f 1 (y n ) {n} dostajemy szukany ciąg (x n ) n=1.