Wekor Poyninga w analiie oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych Pior S. Dębicki Srescenie: Niniejsa publikacja prenacona jes dla elekryków aineresowanych, dyskuowanym osanio, agadnieniem oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych. Niekóre prac sugerują koniecność użycia wekora Poyninga do analiy jawiska. W pracy ej preprowada się Cyelnika w sposób prysępny popre wybrane podsawy eorii pola elekromagneycnego, aby pokaać dlacego do analiy mocy presyłanej wdłuż jednorodnego wieloprewodowego oru ransmisyjnego sosowanie wekora Poyninga jes będne. Naomias, jes ono prydane do określania presrennego rokładu gęsości mocy prenosonej pomiędy prewodami. W ej pracy nie analiuje się wpływu źródeł i obciążeń. Ich wpływ można preanaliować popre superpoycję rowiąań u uyskanych, co będie predyskuowane w innej pracy. Naomias uaj pokaane osanie, że w prypadku energeyki, gdie romiary srukur prowadących moc są małe w sosunku do długości fali, rokład poprecny pola prowadonego w sieci jes quasi-sacjonarny, n. jes on dla pola elekrycnego aki sam jak dla elekrosayki, a pole magneycne posiada rokład idenycny jak dla prypadku prądu sałego (jes magneosacjonarne). Konsekwencją ego jes liniowa ależność pomiędy polem elekrycnym i napięciem ora polem magneycnym i prądem. Tak więc presrenny rokład gęsości mocy (wekora Poyninga) wokół prewodów wynika rokładu presrennego pól elekrycnego i magneycnego i jes on proporcjonalny do ilocynu napięcia i prądu. Na prosym analiycnie prykładie linii współosiowej ademonsrowane osanie, że całkowia moc presyłana, uyskana pre scałkowanie wekora Poyninga po prekroju poprecnym, jes równa ilocynowi warości skuecnych napięcia i prądu. Uyskany wniosek można odpowiednio prenieść na dowolna ilość i konfigurację prewodów ora fa. Tak więc w prypadku analiy mocy (cynnej, biernej, poornej, ip.) całkowicie wysarcająca jes najomość napięć i prądów. I. WPROWADZENIE W osanich laach pojawiło się wiele publikacji doycących jawiska oscylacji mocy biernej w układach energeycnych i jego inerpreacji fiycnych ([1]-[14]). Niekóre ych ych publikacji sugerują, że dokładne roumienie achodących jawisk nie jes możliwe be wprowadenia wekora Poyninga (np. [3]), kóry opisuje powierchniową gęsość srumienia mocy i ma wymiar [W/m ]. Wekor Poyninga, jes definiowany w eorii pola elekromagneycnego jako ilocyn wekorowy wekora naężenia pola elekrycnego E [V/m] i wekora naężenia pola magneycnego H [A/m](rys.1.) 1 : S S E H. (1) H Samo wprowadenie wekora Poyninga jes krokiem w kierunku uwględnienia jawisk eorio-polowych w układach i sysemach, kóre radycyjnie analiuje się prawie wyłącnie meodami obwodowymi. W syuacjach, gdy pojawiają Rys.1. Relacja presrenna wekorów S, E i H się niejasności inerpreacyjne, cego dowodem jes prowadona od la dyskusja oferująca odmienne spojrenia na problem oscylacji mocy biernej w sieciach energeycnych ([1], [], [6-10] ora [4],[11-13]) krok w kierunku analiy eorio-polowej jes generalnie słusny, gdyż analia obwodowa w prypadkach skrajnych, granicnych, może prowadić do mylnych inerpreacji fiycnych. W scególności pryjęcie, że romiary L i wsyskich obwodów w sosunku do długości fali λ: L i /λ = 0 co milcąco jes pryjmowane w energeyce, prowadi, daniem Auora, do mylnych inerpreacji oscylacji mocy. Problem en osanie rowinięy w innej pracy, naomias długość fali w sposób decydowanie amierony pojawia się w ej publikacji. Zasosowanie analiy polowej jes jednak uasadnione, ylko wedy, gdy wyjaśnia ona jawiska, kórych opis jes rudny lub niemożliwy meodami obwodowymi. Wprowadanie jej be poreby prowadi jedynie do nieporebnej komplikacji opisu jawisk, kóre można by wyjaśnić prościej. W niniejsej pracy osanie pokaane, w jakich syuacjach asosowanie wekora Poyninga jes korysne, a nawe niebędne, a kiedy jego E 1 W ym miejscu nie precyuje się jesce cy wielkości wysępujące we wore (1) są ampliudami recywisymi lub espolonymi, cy warościami chwilowymi, ip. Jes o syuacja podobna do powiąania napięcia, prądu i mocy we wore P = UI, kóry jes modyfikowany w ależności od analiowanej syuacji. Innym prypadkiem worenia mylnych inerpreacji fiycnych w energeyce jes preksałcanie wyrażeń rygonomerycnych na wiele sposobów i prypisywanie powsałym składnikom naw i inerpreacji fiycnych.
~ ~ użycie do analiy oscylacji mocy jes beasadne. Niesey, by osiągnąć en cel, będie reba użyć meody polowej, ale osanie o preprowadone w sposób możliwie łagodny, wyjaśnieniami sensu fiycnego preprowadanych preksałceń maemaycnych. W kilku miejscach asosowano drobne uproscenia, by nie aburyć jasności presłania fiycnego. Na pocąku prypomniane osaną równania Maxwella i pokaane osaną ry prypadki scególne, kóre będą porebne do dalsych roważań: elekrosayka i magneosayka, pobudenie harmonicne i propagacja w jednym kierunku. W ym osanim prypadku akłada się, że mamy do cynienia jednorodną, liniową, wieloprewodową linią ransmisyjną presyłającą moc w jednym kierunku. Nasępnie okaże się, że w prypadku, gdy wymiary poprecne srukury (linii) prowadącej moc są dużo mniejse od długości fali i gdy srukura w prekroju poprecnym do kierunku propagacji jes maemaycnie wielospójna (o nacy fiycnie: wieloprewodowa, a prynajmniej -prewodowa), o rokład pola elekrycnego i magneycnego w ym prekroju srukury jes aki sam jak dla prypadku elekrosayki i pól magneosacjonarnych, nawe wedy gdy cęsoliwość jes bardo wysoka. Pokaane osanie na prosym prykładie, jak presyłana moc jes powiąana wekorami pola elekromagneycnego E i H ora napięciami i prądami. Okaże sie eż, że całkowia presyłana moc jes jednonacnie określona pre napięcia i prądy, a podejście polowe jes porebne jedynie do badania rokładu gęsości mocy wokół, cy pomiędy, prewodami. Wymienione w poprednim akapicie ałożenia nie ogranicają ogólności roważań, gdyż inne możliwe prypadki (dowolne źródła i obciążenia, ransmisja w obu kierunkach) mogą być analiowane jako superpoycje orymanego rowiąania i prowadą do jasnych inerpreacji fiycnych, dobre nanych w echnice wysokich cęsoliwości. Te syuacje analiowane będą w innej pracy, jak również problemy wiąane oscylacjami mocy. Tuaj pokaane osaną jedynie wiąki ogólne pomiędy mocą P, napięciem U i prądem I a wekorami S, E i H be precyowania, cy chodi o moc cynną, bierną, cy poorną gdyż e prymioniki/cechy mogą być odpowiednio prenosone mocy na wekor Poyninga i odwronie. II. RÓWNANIA MAXWELLA I WYBRANE PRZYPADKI SZCZEGÓLNE Równania Maxwella predsawia się awycaj albo w posaci całkowej 3, słusnej dla obsarów skońconych: B Ed l ds, (prawo Faradaya) Dd s Q, (prawo Gaussa) (a,b) L S D d ds, (prawo Ampera) B d s 0, (c,d) H l J L S albo w posaci różnickowej, 4 słusnej dla punku w presreni: B ro E div D (3a,b) D ro H J divb 0 (3c,d) W równaniach powyżsych: B [T] jes wekorem indukcji magneycnej wiąanej wekorem H (w ośrodku liniowym, ioropowym) relacją B = H (równanie maeriałowe), gdie [H/m] jes prenikalnością magneycną; S S 3 Inerpreacja fiycna posaci całkowej równań Maxwella jes nasępująca. Równanie (a): Napięcie aindukowane w obwodie amknięym L ależy od sybkości mian srumienia pola magneycnego prenikającego pre obsar S ogranicony ym obwodem; (b): Srumień wekora indukcji elekrycnej wypływający powierchni amknięej S jes równy całkowiemu ładunkowi Q awaremu wewnąr ej powierchni; (c): Całkowiy prąd (prewodenia i presunięcia) prepływający pre powierchnię S ooconą amknięym konurem L, jes równy sumie ilocynów skalarnych pola magneycnego H i elemenów dl konuru L; (d): Srumień wekora indukcji magneycnej wypływający powierchni amknięej S jes równy ero. 4 Zasosowane operaory ro i div są rosereniem pojęcia pochodnej na pola wekorowe; ro (roacja, wirowość) mówi o mianach pola w kierunku prosopadłym do pola, a div (dywergencja, źródłowość) mówi mianach pola w kierunku pola). Inerpreacja fiycna posaci różnickowej równań jes nasępująca. Równanie (3a): Zmienne w casie pole magneycne wywara wirowe pole elekrycne i odwronie; (3b): Źródłem pola elekrycnego są ładunki; (3c): Zmienne w casie pole elekrycne (prąd presunięcia) i/lub prąd prewodenia wywarają wirowe pole magneycne i odwronie; (3d): Nie ma źródeł pola magneycnego.
~ 3 ~ D [C/m ] jes wekorem indukcji elekrycnej wiąanej wekorem E (w ośrodku liniowym, ioropowym) relacją D = E (równanie maeriałowe), gdie [F/m] jes prenikalnością elekrycną; J [A/m ] = E (prawo Ohma), jes wekorem gęsości prądu prewodenia, [S/m] jes prewodnością; D [C/( m s)=a/m ] jes wekorem gęsości prądu presunięcia, wprowadonym pre Maxwella; Q [C] jes ładunkiem całkowiym w obsare ograniconym powierchnią amknięą S; [C/m 3 ] jes gęsością objęościową ładunku; L jes bregiem powierchni owarej S, elemeny dl i ds są, odpowiednio, nieskońcenie małymi elemenami skierowanymi bregu L i powierchni owarej lub amknięej S. II.1. Równania Maxwella dla pobudenia harmonicnego i ampliud espolonych Można ałożyć, że w pierwsym podejściu analiowane będie wyłącnie pobudenie harmonicne o pulsacji = f [rd/s]. W prypadku posługiwania się ampliudami espolonymi ależność od casu awara jes j w wyrażeniu e, ( j 1 ), kóre dalej nie będie uwidacniane. To powala na asąpienie pochodnych po casie pre j. Zmieniając w en sposób równania (3a) i (3c) ora podsawiając do nich w. równania maeriałowe, wymienione już wyżej: D = E ora B = H, a akże korysając relacji J = E, naywanej pra- wem Ohma dla punku w presreni, orymamy: ro E jh ora roh j ˆ E, (4a,b) gdie: ˆ j (5) naywane jes espoloną prenikalnością elekrycną. W powyżsym apisie widocna jes symeria pól E i H, ulubiona pre fiyków. By ą symerię lepiej uwidocnić, można równania (3b) i (3d) apisać w posaci 5 : div E /, div H 0. (6a,b) Wekory E i H są era ampliudami espolonymi pola. II.. Quasi-sacjonarne równania Maxwella dla elekrosayki i pól magneosacjonarnych Ten prypadek jes ylko poornie niewiąany analiowanym problemem, gdyż w prypadku w. fal TEM, cyli fal nie posiadających składowych pól E i H w kierunku rochodenia się fali co jes właśnie prypadkiem energeyki rokład poprecny pola jes rokładem elekrosaycnym i magneosacjonarnym, więc nieależnym od cęsoliwości, jak pokażemy o dalej. W równaniach Maxwella (4) i (6) należy era podsawić = 0 poosawiając prepływ prądu prewodenia. Orymamy 6 : roe 0, div E /, (7a,b) ro H J, divb 0. (7c,d) Pole magneycne, kórego linie sił są amknięe, jes wirowe i jes era wywarane wyłącnie pre prąd prewodenia J. Pole elekrycne wywarane jes pre gęsość ładunków i jes bewirowe, n., linie sił acynają się i końcą na ładunkach. Jes o pole poencjalne. To onaca, że isnieje poencjał skalarny U, kórego gradienem 7 jes pole elekrycne: E gradu. (8) Równania (8) podsawimy era do równania Gaussa w posaci różnickowej (7b) i orymamy: div grad U U U / U. 8 (9) 5 Niesey, w równaniu (6b) po prawej sronie wysępuje 0, psujące eseykę symerii, ale w wielu pracach wsawia się am m /, gdie m jes fikcyjną gęsością nieisniejących ładunków magneycnych. Nie ma o sensu fiycnego, ale uławia niekóre oblicenia. 6 W równaniu (7c) po prawej gęsość prądu J = E doycy ruchu ładunków w ośrodku sranym a w równaniu (7b) gęsość objęościowa ładunków doycy ładunków nieruchomych, co prowadi do sprecności ak apisanych równań. W każdym punków presreni musi więc być spełniona syuacja, że albo = 0, albo = 0. 7 Gradien wskauje kierunek najsybsych mian pola skalarnego i warość ych mian. Może być użyy wyłącnie do pola skalarnego a wynikiem jego diałania jes pole wekorowe. 8 Używane wekorowe operaory różnickowe grad, div i ro mogą być apisywane również pry użyciu w. operaora nabla, o posaci: i x i y x i y, (i x wersor w kier. x, id.). Operaor en nie jes wekorem, lec ma pewne cechy
~4~ Jes o równanie różnickowe Poissona, kóre mówi, że źródłem (div) mian (grad) poencjału elekrycnego są ładunki. Zasosowany operaor, będący łożeniem operaorów dywergencji i gradienu, wany laplasjanem ma, w układie karejańskim, posać:. x y (10) Ważnym prypadkiem scególnym równania Poissona, kóry będie predmioem dalsego aineresowania, jes syuacja, gdy analiujemy obsary be ładunków sacjonarnych. Orymujemy wedy, nane w bardo wielu asosowaniach fiycnych równanie Laplace a: (11) U 0, kórego rowiąania mają ineresujące własności fiycne, kóre predsawimy dalej. II.3. Prypadek propagacji fal/mocy w jednym wybranym kierunku ( 0) II.3.1. Prypadek ogólny W prypadku ransmisji mocy w jednym wybranym kierunku poucające jes badać oddielnie achowanie się składowych pól skierowanych w kierunku prepływu mocy i do niego prosopadłych. Załóżmy, że kierunkiem prepływu mocy w układie karejańskim jes kierunek. Można ławo rodielić równania Maxwella na odpowiednie cęści. Każdy wekorów pola E i H można rołożyć na cęść podłużną (Ei, Hi) i poprecną (E, H) np.: E = E + Ei, (1) gdie E = Exix + Eyiy. Każde równań wekorowych (4a) i (4b) eż może osać rodielone na cęść podłużną skalarną w kierunku i poprecną ceść wekorową. By robić o efekywnie, wygodnie jes również rodielić na cęści operaor nabla opisany w prypisie 5: i x i y i i. (13) x y W kierunku osi ocekuje się rowiąania harmonicnego, więc w rowiąaniu powinna się pojawić albo kombinacja funkcji rygonomerycnych, albo funkcja ypu e j. Jeżeli dopuści się rowiąanie harmonicne łumione, o może ono mieć wygodną posać e e e j. Tak więc oblicanie pochodnej w kierunku osi sprowada się do pomnożenia pre (9). Wór (13) pryjmie więc posać: (14) i. Po apisaniu równań (4a) i (4b) pry pomocy operaora nabla i rodieleniu na cęści oryma się: A) Cęść podłużną: E j H i, H j ˆ E i. B) Cęść poprecną: i E E i j H, i H H i j ˆ E. (15a,b) (16a,b) Scegółowa analia rowiąań równań różnickowych (15) i (16), pokauje, że dla idealnie prewodących srukur presyłających moc, isnienie składowych E i H implikuje isnienie pewnej cęsoliwości granicnej, ylko powyżej kórej możliwa jes propagacja fali/mocy. Są o w. rodaje falowodowe 10. Wspomniana cęsoliwość granicna jes powiąana poprecnymi romiarami srukury prowadącej fale. Jeżeli wymiary poprecne srukury są dużo mniejse od długości fali (co achodi dla 50 H), propagacja e składowymi E i H nie jes możliwa. Tak więc w prypadku sieci energeycnych należy pryjąć E = 0 i H = 0. Fale, kóre spełniają en warunek naywa się falami TEM (Transverse Elecromagneic). Tak więc w prypadku besranej propagacji fal TEM w kierunku, równania Maxwella pryjmują posać: wekora, choć nie można dla niego określić ani długości, ani kierunku. Ma ry sposoby diałania. Jeśli diała na pole skalarne, wory pole wekorowe. Diałając na pole wekorowe symbolicnie w posaci ilocynu skalarnego, wory pole skalarne, naomias diałając wekorowo na pole wekorowe wory nowe pole wekorowe. Np.: grad h = h wekor, div A= A skalar, ro A = x A wekor. W ych wyrażeniach operaor nabla nie mnoży lec diała na skalar lub wekor na wór ilocynu skalarnego lub wekorowego. 9 Sała jes naywana sałą propagacji i ma dwie składowe: = + j. - jes sałą łumienia, a - sałą faową. W wolnej presreni i dla fal TEM jes wiąane długością fali : = /. Pry braku sra = j. 10 W prypadku rodajów falowodowych nie ma jednonacnego powiąania pomiędy mocami a napięciami i prądami. Również, nane eorii linii długich, pojęcie impedancji charakerysycnej jes niejednonacne. Problem en nie wysępuje w prypadku prowadnic rodajem TEM.
~5~ E 0 i E j H H 0 i H j ˆ E (15c,d) (16c,d) Z równań powyżsych wynika sereg własności fal TEM, akie jak prosopadłość wekorów E i H, równość impedancji falowej E/H i impedancji charakerysycnej ośrodka, ip., kóre nie będą u bliżej analiowane. II.3.. Prypadek małych sra prewodenia i rokład poprecny pola Równania (15) i (16) są równaniami różnickowymi, kóre należy rowiąać określonymi warunkami bregowymi. W prypadku prowadonych fal/mocy warunki e są określone pre powierchnie prewodące srukury. Należy jesce predyskuować syuację gdy prewodność srukury nie jes idealna. Zgodnie prawem Ohma dla punku w presreni J = E, prepływ prądu wdłuż prewodu (np. w kierunku ) wywoła spadek napięcia wdłuż prewodu, cyli powsanie składowej E (rys..). Pry danej warości prądu I [A] i wynikającej niego gęsości J [A/m] warość składowej E Rys.. Geomeria wekorów pola po podieleniu równań będie ym mniejsa im więksa będie prewodność. Maxwella na cęść podłużną i poprecną na prykładie Ta maleńka składowa E nie jes wiąana e wspomnia- linii dwuprewodowej. Dodakowo pokaano składową nymi rodajami falowodowymi i będie isnieć, ale jedy- podłużną wekora Poyninga S, kóra jes ilocynem wekorowym E i H, ora składową poprecną S, powsałą nie na powierchni i wewnąr prewodów. Jeżeli do jako ilocyn E i H i odpowiedialną a sray cieplne równania (15b) podsawi się wyrażenie (5) na espoloną w prewodach. prenikalność elekrycną, po prawej sronie pojawi się suma prądów prewodenia J E i presunięcia j E : H j E E i. (17) Podsawienie warości licbowych pokauje, że dla ypowych warości prewodności i cęsoliwości energeycnych prąd presunięcia jes o wiele rędów wielkości mniejsy od prądu prewodenia i może być pominiey. Podsumowując, równania (15) na cęść podłużną pola pryjmują posać: H J i. E 0, (18a,b) Zauważmy, że paradoksalnie, równania na cęść podłużną opisują achowanie się poprecnej cęści pola. Porównując powyżse równania równaniami dla elekrosayki i magneosayki (7a) i (7c) widimy, że poprecny rokład pola srukur prowadących moc w posaci fal TEM jes idenycny jak dla elekrosayki i pól magneosacjonarnych be wględu na cęsoliwość. Tak więc i w prypadku sieci energeycnych jes o spełnione. II.3.3. Rokład podłużny pola Należy era preanaliować równania (16a,b). W obu można pominąć składniki awierające E i H. W równaniu (16a) składnik awierający E jes nacnie mniejsy od poosałych. Po ym abiegu nie są o już równania różnickowe. Równania pryjmą więc posać (16c,d). Informację fiycną awarą w ych równaniach ławo uyskać wynacając warość H równania (16c) i wsawiając ją do równania (16d): (19) E ˆ E. Z równania ego uyskamy informację doycącą charakeru propagacji w kierunku osi, opisanej pre wprowadoną wielkość espoloną, naywaną sałą propagacji (por. prypis 8): (0) j ˆ j. Wyrażenie pod pierwiaskiem opisuje paramery elekrycne ośrodka wypełniającego srukurę prowadącą falę/moc. W asosowaniach energeycnych sray można w pierwsym podejściu cęso pominąć i wedy ˆ a =j. Zmiany naężenia pola elekrycnego w kierunku presyłu mocy/fali mają więc posać 11: (1) E E e j. Wyrażenie =./ w wykładniku woru (1) w prypadku sieci energeycnych jes niewykle małe i prakycnie do j pominięcia pry długości fali 6000 km; ak więc faa pola elekrycnego jes prakycnie wiąana ylko wyrażeniem e, kóre jes pominięe w apisie. 11
~ 6 ~ Analogicne równanie można apisać dla wekora naężenia pola magneycnego. Podsumowując, rołożenie równań Maxwella na cęść podłużną w kierunku presyłu mocy i cęść poprecną powoliło uyskać informację, że: w kierunku poprecnym rokład pola jes aki sam jak dla elekrosayki i rokład poencjału jes dany pre równanie Laplace a (akładamy, że nie ma ładunków pomiędy prewodami) równanie (11). w kierunku podłużnym, pry pominięciu sra, mamy achowanie harmonicne określone pre własności ośrodka wypełniającego presreń pomiędy prewodami, równanie (1). III. WŁASNOŚCI ROZWIĄZAŃ RÓWNANIA LAPLACE A W ym punkcie opisane osaną własności rowiąań równania Laplace a 1 na prykładie równania (11): U 0, swierdającego, że w analiowanym obsare nie ma źródeł mian poencjału elekrycnego U. Równanie (11) jes równaniem różnickowym cąskowym i jednorodnym. Rowiąuje się je w obsare ograniconym bregiem lub bregami na kórych są adane warunki bregowe. W nasym prypadku bregi e będą prewodnikami. W prypadku badania srukur owarych wory się breg ogranicający obsar rowiąania i presuwa się go do nieskońconości. Prykładowo, powierchnię S 1 na rys. 3. można roseryć do nieskońconości. Zawycaj wedy pryjmuje się poencjał w nieskońconości u 1 = 0. Jak pokaano na rys.3., warunki bregowe są wielospójne i na każdej powierchni S i można pryjąć inny poencjał u i. Jes nieskońcenie wiele możliwości podania warunków bregowych, ale ilość rowiąań nieależnych, kórych można uyskać wsyskie inne rowiąania, jes skońcona i wynosi N 1, gdie N jes kronością spójności analiowanego obsaru. Na rys.3. N = 5, więc isnieją 4 nieależne rowiąania. Każde nich jes jednonacne, n., nie isnieje inne rowiąanie spełniające e same warunki bregowe. Jaka jes syuacja, gdy badamy srukurę jednospójną. Wedy N 1 = 0, cyli nie ma nierywialnych rowiąań. W elekrosayce, np., nie ma pola wewnąr naładowanej kuli. W prypadku prekroju poprecnego srukur prowadących falę/moc onaca o, że nie można presłać mocy falą TEM popre np., pojedyncy prewód, rurę, cy falowód. Wedy musimy użyć fal nie-tem, Rys.3. Obsar rowiąywania równania Laplace a (biały) musi być ogranicony powierchniami (S np. rodajów falowodowych posiadających i ), na kórych dane są warunki bregowe u i. Powierchnia S 1 może być roserona do nieskońconości. składową E i/lub H pola. Jeśli u jes poencjałem, S i musą być ekwipoencjalne. W prypadku Zgodnie wynikami punku II, w presyłu energii, jes o prekrój poprecny srukury falą TEM prypadku linii presyłowej energeycnej rójfaowej awierającej ry prewody i prewód erowy (N = 4) należy analiować oddielnie prekrój poprecny i podłużny. Prekrój poprecny rakujemy jako płaski, dwuwymiarowy, problem spełniający równanie Laplace a. Ponieważ N = 4 isnieją ry nieależne rowiąania. Isnieją różne sposoby definiowania ych rowiąań, ale dla srukur N > 3 wygodnie jes sosować w. rodaje każdej linii. Polega o na ym, że dla pierwsego rodaju posukujemy rowiąania, gdy pierwsy prewód jes na poencjale 1, a wsyskie poosałe prewody są na poencjale erowym. Nasępnie, drugi prewód jes na poencjale 1 i poosałe są uiemione, id. Rowiąanie dla dowolnego pobudenia oryma się worąc superpoycję ych rech rowiąań odpowiednimi wagami. Rowiąanie dla rodaju pierwsego mnożymy pre u 1, drugiego pre u, id. Nasępnie dodajemy wsyskie rowiąania. Kolejną cechą rowiąań równania Laplace a jes fak, że eksrema funkcji będącej rowiąaniem mogą wysępować jedynie na bregach obsaru. Gdyby predsawić warunki bregowe na poscególnych powierchniach w posaci słupków o wysokości proporcjonalnej do warości poencjału na ej powierchni, o rowiąanie wyglądałoby jak elasycna membrana rociągnięa na ych słupkach 13. Membrana aka nie będie miała lokalnych maksimów i minimów poa słupkami. 1 Dokładne omówienie własności równania Laplace a można naleźć w każdym dobrym podręcniku elekrodynamiki, np.: David J. Griffihs, Podsawy Elekrodynamiki, PWN, Warsawa 001. 13 Dokładnie rec ujmując, równaniem membrany będie równanie Laplace a ylko wedy, gdy odchylenia membrany od powierchni płaskiej będą dosaecnie małe.
~ 7 ~ IV. PRZYKŁAD PRAKTYCZNY Mając już prygoowanie eoreycne można pokusić się o próbę rowiąania konkrenego prykładu prakycnego, by badać jak wygląda ransmisja mocy w wybranej srukure i jej opis pry pomocy wekora Poyninga (cyli wekorów pola) ora napięć i prądów. Srukurę należy wybrać na yle prosą, aby analia maemaycna nie presłoniła isoy fiycnej. Wygodnie będie wybrać jako srukurę prowadącą moc linię współosiową o wymiarach pokaanych na rys. 4. Uyskane wnioski można będie prenieść na wsyskie rodaje prowadnic/linii prowadących falę ypu TEM. Scegółowe rowiąanie rokładu presrennego pola elekrycnego i magneycnego aware jes dalej w Dodaku. Uyskano am nasępujące wory na pola E i H: j U 0i r j E E e e V/m, () (D6) r ln b a I 0i j j H H e e A/m, (3) (D11) π r gdie U 0 i I 0 są, odpowiednio, napięciem i prądem w linii, r i są miennymi walcowego układu współrędnych, odpowiednio, radialną i aymualną a a i b promieniami prewodów wg rys.4. IV.1. Rokład gęsości mocy Rys. 4. Geomeria linii współosiowej i rokład pola cyli wekora Poyninga w płascyźnie poprecnej Pred obliceniem wekora gęsości mocy należy podkreślić, że we wysępujące we worach () i (3) ampliudy espolone napięcia i prądu U 0 i I 0 są w faie. W wiąku ym wekory E i H są również faie. Mamy więc w ym prypadku do cynienia presyłem wyłącnie mocy cynnej. Presunięcie w faie pomiędy U i I, jakie by się pojawiło, spowodowane, np., składową reakancyjną w obciążeniu, skukowałoby pojawieniem się fali porusającej się w preciwnym kierunku i wedy U i I byłyby sumą, odpowiednio, napięć i prądów każdej fal składowych. Analia akich syuacji osanie predsawiona w innej pracy. W ogólności, gęsość mocy cynnej prenosonej pre pole, dla ampliud espolonych można apisać w posaci: 1 S Re E H *, (4) kóra jes modyfikacją woru (1). Do ej relacji można podsawić era ależności () i (3). Oryma się: U 0I 0 S i. (5) b 4 π r log a Wór (5) opisuje radialną mianę wekora gęsości mocy skierowanego w kierunku osi. Ilusrację woru pokaano na rys. 5., na kórym podano eż warości asosowanych paramerów. Tu widać prydaność wekora Poyninga. Zwraca uwagę ponad siedmiokrona różnica gęsości mocy pomiędy powierchnią prewodu wewnęrnego i ewnęrnego. 14 Rys. 5. Rokład gęsości mocy [W/mm ] w funkcji promienia dla linii współosiowej o wymiarach a = mm, b = 6 mm, do kórej pryłożono napięcie o ampliudie 10 V i w kórej płynie prąd o ampliudie 1 A 14 Wór (5) można eż wykorysać do opymaliacji konsrukcji linii, ak, aby gęsość mocy pry prewodie wewnęrnym była najmniejsa. Jeśli podsawimy a w miejsce i oblicymy pochodną e wględu na a, możemy określić opymalny sosunek średnic, apewniający minimalną warość S, kóry wynosi b/a = 3.6, co odpowiada linii o impedancji charakerysycnej ok. 77, a więc bliskiej popularnym kablom 75 omowym. Minimalna warość gęsości mocy dla obliconego sosunku b/a nie onaca, że dla ej samej proporcji orymamy minimalną warość wekora naężenia pola elekrycnego. W ym celu należy użyć równania (), kórego orymamy w analogicny sposób opymalną warość b/a =.71, co odpowiada linii współosiowej o impedancji charakerysycnej 60.
~ 8 ~ W punkcie II.3.. preprowadono dyskusję wiąaną isnieniem niewielkiej składowej E isniejącej w wyniku skońconej prewodności prewodów, kórą można aniedbać w pierwsym podejściu. Składowa a, współdiałając wekorem naężenia pola magneycnego również wywara wekor Poyninga: 1 1 S Ei Hi EHi, (6) r kóry skierowany jes w sronę osi prewodu wewnęrnego. Można era oblicyć moc wnikającą do prewodu na odcinku jednoskowym. Ponieważ warość wekora na powierchni prewodu jes sała, nie jes koniecne całkowanie. Orymuje się: 1 J I0 1 I0 1 P S π a 1 π a I0 R, (7) j π a π a 1 gdie R j jes reysancją odcinka prewodu wewnęrnego o długości jednoskowej. Orymany wynik π a pokauje, że a składowa wekora Poyninga repreenuje sray energii na ciepło. Analogicne roważanie można preprowadić dla prewodu ewnęrnego. Ze wględu na mianę kierunku prądu wekor S będie era skierowany w preciwnym kierunku niż poprednio i będie repreenował sray w prewodie ewnęrnym. Osanim adaniem jes oblicenie całkowiej mocy P presyłanej linią współosiową. W ym celu należy scałkować wyrażenie (6) po powierchni prekroju poprecnego A srukury: b π π b U 0I0 d r 1 P S d A Sr d r d i d U 0I0 0 4πlog b. (8) r A a 0 a a Z relacji ej wynika, że w prypadku określania mocy korysanie wekora Poyninga jes byecne, gdyż cała informacja jes awara w napięciach i prądach. Podobny wynik można orymać dla każdej srukury presyłającej moc na cęsoliwościach energeycnych. Dla linii wieloprewodowych, np., dla sieci rójfaowej prewodem erowym będiemy mieli ry napięcia i ry prądy, kóre musą być definiowane w sposób nieależny. V. PODSUMOWANIE W pracy roważono jednokierunkowy prypadek propagacji fali/presyłu mocy wdłuż jednorodnej srukury (linii presyłowej), kórej wymiary poprecne są małe w sosunku do długości fali, co jes prypadkiem energeyki. Wychodąc od równań Maxwella preanaliowano możliwe rokłady pola w płascyźnie prosopadłej do kierunku propagacji ora w kierunku propagacji. Wykaano, że w prypadku prekroju poprecnego, rokład pola elekrycnego jes idenycny jak dla elekrosayki, a rokład pola magneycnego jes magneosacjonarny (n. odpowiadający prepływowi prądu sałego). Dla konkrenego prykładu linii współosiowej wyprowadono relacje wiążące pole elekrycne i magneycne w linii napięciami i prądami ora ksałem geomerycnym prekroju poprecnego. Są o wory () i (3) słusne dla prypadku besranego. Uwględnienie małych sra prewodenia sprowadiłoby się do amiany sałej faowej na sałą propagacji. W Dodaku, w komenaru do woru (D7), objaśniono fiycne inerpreacje elemenów woru (), awierającego opis rokładu poprecnego pola jak i rokładu podłużnego ależnego od maeriału wypełniającego srukurę. Wymnożenie worów () i (3) według relacji (4) dało poprecny rokład gęsości mocy prowadonej pre srukurę (5). W prypadku ransmisji jednokierunkowej nie ma presunięcia fay pomiędy polem elekrycnym i magneycnym ora napięciem i prądem, kóre są do pól odpowiednio proporcjonalne. Pokaano prydaność ależności (5) do określania powierchniowej gęsości mocy (wekora Poyninga) prenosonej pre srukurę pomiędy prewodami. (Pola wewnąr prewodów są całkowicie amieniane na ciepło). Uyskanie całkowiej mocy prenosonej wymagało scałkowania relacji (5) po powierchni prekroju poprecnego linii. Uyskana wymnożenia i scałkowania pól, relacja na moc całkowią jes proporcjonalna do ilocynu prądu i napięcia. Pokauje, że w prypadku energeyki, w kórej isnieje jednonacne powiąanie pól ora napięć i prądów sosowanie wekora Poyninga do analiy prepływu mocy jes będne. W prypadku ransmisji dwukierunkowej może się pojawić presunięcie fay pomiędy napięciem i prądem powodowane pre obciążenie reakancyjne. W podejściu energeycnym pojawia się wedy problem mocy biernej a w podejściu linii ransmisyjnych wyżsych cęsoliwości pojawia się fala odbia. W ym osanim podejściu nie ma problemu mocy biernej, gdyż mamy dwie moce cynne porusające się w preciwnych kierunkach. Dyskusja ych agadnień osanie predsawiona w innej pracy.
~ 9 ~ VI. DODATEK Określenie rokładu pola elekrycnego i magneycnego w linii współosiowej dla fali TEM VI.1. Rokład pola elekrycnego Rokład pola poprecnego E określimy rokładu poencjału (wór (8)), kóry uyskamy rowiąując równanie Laplace a nasępującymi warunkami bregowymi: na powierchni ewnęrnej S 1 poencjał u 1 = 0 i na powierchni wewnęrnej S poencjał u =U 0. Ksał srukury (rys.4.) sugeruje asosowanie walcowego układu współrędnych posiadającego mienne r, i. Ponieważ roważamy ylko prekrój poprecny, pomijamy składową. Symeria układu powoduje, że nie będie ależności od miennej kąowej. Poosaje wiec ylko rowiąanie jednowymiarowe e wględu na mienną radialną r. Laplasjan w układie współrędnych walcowych pryjmuje posać: 1 u 1 u u (D1) u r r r r r 0 Po opusceniu miennych i ora pryrównaniu do era orymuje się: d du r 0. (D) d r d r Po scałkowaniu uyska się: u C1 ln r C. (D3) Znaleienie sałych C 1 i C wymaga uwględnienia warunków bregowych: u a) C ln a C U u( b) C lnb C 0. (D4) ( 1 0 1 Osaecnie orymuje się rokład poencjału w funkcji promienia w posaci: ln r u( r) U b. (D5) 0 ln a b Rokład pola elekrycnego w linii współosiowej, po wykorysaniu relacji (8): E gradu, kóra wymaga oblicenia pochodnej po r wyrażenia (D5) i uwględnienia wersora i r ora po uwględnieniu ależności od według woru (1), można apisać w posaci: j U 0i r j E E e e V/m. (D6) r ln b a W ależności ej, w kórej E jes już era rokładem ampliudy espolonej 15 wekora pola elekrycnego, można uwidocnić sereg elemenów odpowiedialnych a różne efeky fiycne: 1 i r j E U e V/m 0 ln b r, (D7) A a D C B gdie: A jes ampliudą espoloną napięcia pomiędy prewodami, cyli sałą wiąaną wielkością pobudenia linii, B jes sałą wiąaną ksałem geomerycnym srukury prowadącej falę, C opisuje rokład pola E w płascyźnie prosopadłej do kierunku propagacji, D opisuje miany pola w kierunku propagacji. Moc jes prenosona wyłącnie w kierunku. Nie ma fali porusającej się w kierunku preciwnym. W wyrażeniu ym sała propagacji, (D8) gdie λ jes długością fali rochodącej się w kierunku określoną pre paramery elekrycne i ośrodka wypełniającego srukurę. VI.. Rokład pola magneycnego Formalnie, określenie rokładu pola magneycnego powinno się ropocąć od równania (18b): J i. Wykorysamy o równanie ylko do swierdenia, że jedyną składową poprecną pola wywa- H 15 Należy pamięać o nieuwidocnionej ależności od casu w posaci e j. Tak więc ampliuda espolona E lub H jes licbą espoloną, kórej faa jes określona dla miejsca = 0 i casu = 0. W innym miejscu i casie należy dodać.
~ 10 ~ raną pre gęsość prądu J jes składowa H. 16 Dalej wygodniej będie skorysać posaci całkowej prawa Ampera (c). Po usunięciu pochodnej po casie, prawa srona jes ampliudą całkowiego prądu płynącego prewodem wewnęrnym: H dl J ds. (D9) L W równaniu (30) powierchnia S jes fragmenem prekroju poprecnego srukury w posaci koła o promieniu r > a (dowolna linia prerywana na rys. 4.), a L jes bregiem ego koła. Elemen dl = rdi, jes więc równoległy do H. Całka pryjmuje więc posać: π 0 S 0 I 0 H r d I, (D10) kórej orymujemy: H = I 0 /r. Osaecnie pole magneycne wewnąr linii współosiowej, kórego ampliudą espoloną jes H, można apisać jako: 17 I 0i j j H H e e A/m. (D11) π r Mając rokłady presrenne obu wekorów E i H (wory (D6) i (D11)) można era określić rokład gęsości mocy presyłanej ą linią, co osało preprowadone w cęści głównej pracy. VII. BIBLIOGRAFIA [1] Carnecki L.S., Misinerpreaions of some power properies of elecric circuis, IEEE Trans. on Power Delivery, Vol. 9, No. 4, (1994), 1760-1770. [] Carnecki L.S., Energy flow and power phenomena in elecrical circuis: illusions and realiy, Archiv fur Elekroechnik, (8), No. 4, (1999), 10-15. [3] Ferrero A., Leva S., Morando A.P., An approach o he nonacive power concep in erms of he Poyning-Park Vecor, European Trans. on Elecric Power, ETEP, Vol. 11, no. 5, (001), 301-308. [4] Cekareski Z., Emanuel A.E., On he physical meaning of nonacive powers in hree-phase sysems, Power Engineering Review, IEEE, Vol.19, No.7, (1999), 46-47. [5] Emanuel A.E., Poyning Vecor and physical meaning of nonacive powers, IEEE Transacions on Insrumenaion and Measuremens, Vol. 54, No. 4, (005), 1457-146. [6] Carnecki, L.S., Currens Physical Componens (CPC) in circuis wih nonsinusoidal volages and currens. Par 1: Singlephase linear circuis, Journal on Elecric Power Qualiy and Uiliaion, Vol. XI, No., (005), 37-48. Par : Three-phase linear circuis. [7] Carnecki L.S., Harmonics and power phenomena, Wiley Encyclopedia of Elecrical and Elecronics Engineering, John Wiley & Sons, Supplemen 1, (000), 195-18. [8] Carnecki L.S., Could power properies of hree-phase sysems be described in erms of he Poyning Vecor? IEEE Trans. on Power Delivery, Vol. 1, No. 1, (006), 339-344. [9] Carnecki L.S., On some misinerpreaions of he Insananeous Reacive Power p-q Theory, IEEE Trans. on Power Elecronics, vol.10, No. 3 (004), 88-836. [10] Carnecki L.S., Oscylacje energii a moce nieakywne w świele Teorii Składowych Fiycnych Prądu (CPC) ora Twierdenia Poyninga, Pregląd Elekroechnicny, ISSN 0033-097, r. 8 NR 6/006,1-7. [11] Emanuel A.E. Powers in nonsinusoidal siuaions. A review of definiions and physical meaning. IEEE Trans. Power Deliv. 1990;5(3). [1] Emanuel A.E. Power definiions and he physical mechanism of power flow. Hoboken, New Jersey, USA: John Wiley; 010. [13] Emanuel A.E. Abou he rejecion of Poyning vecor in power sysems analysis. Elecr. Power Qual. Uil. J. XIII 007;1:43 9. [14] Piorowski T.S.: Spór o sens fiycny mocy biernej. VI Skoła-Konferencja Elekroechnika - Prądy Niesinusoidalne. Maeriały Konferencyjne, Zielona Góra 00, sr.: 47-54. 16 Po ropisaniu lewej srony równania pojawią się pochodne H /r i H r /. Ta druga musi nikać e wględu na osiową symerię srukury. Teoreycnie mogłaby isnieć sała składowa H, ale nie byłaby ona wiąana gęsością prądu J, ylko np., e sałym polem magneycnym, np., gdyby prewód wewnęrny był biegunem N magnesu, a prewód ewnęrny S. J wywara ylko H. 17 Tylko prąd w prewodie wewnęrnym daje wkład do pola magneycnego pomiędy prewodem wewnęrnym i ewnęrnym. Prąd płynący w preciwnym kierunku w prewodie ewnęrnym likwiduje ylko pole magneycne na ewnąr linii, pochodące od prewodu wewnęrnego.