Esplotcj i testy Kord ZAJKOWSKI WAD TEORII MO W OBWODA JEDNOFAZOW WEDŁG BDEAN I FRZEGO W rtyule przedstwioo dwie defiicje mocy oprcowe w pierwszej połowie XX wieu, tóre do dziś są wyorzystywe w teorii mocy Nstępie omówioo łędy tych metod Alizę oprto przyłdch, sprwdzjących złożei teoretycze tych metod Współczese defiicje mocy zują teorich Budeu i Fryzego, dltego wże jest przypomiie środowisu uowemu o ogriczeich i iejedozczościch w ich urytych Temty rtyułu jest rówież tul z powodu rozwoju pędu eletryczego w środch trsportu puliczego WSTĘP Włsości eergetycze owodów poudzych przeiegmi iesiusoidlymi oresowymi wyzcze są podstwie dwóch ocepcji: Budeu [] i Fryzego [] Zostły oe wyre w tym oprcowiu ze względu swój domiujący wpływ w rozwoju teorii mocy Były oe reprezettmi dwóch odmieych podejść: w dziedziie częstotliwości i czsu Błędy w teorii Budeu zostły już zuwżoe przez profesor zreciego [3] w ońcu XX wieu Ogriczei teorii Fryzego zuwżoo w pozycji [4] Pomimo uzi się tych pulicji, teorie te są używe do di dzisiejszego Zuwżoo w pozycji [4], że teori mocy ie doczeł się jeszcze uiwerslego języ opisującego procesy zchodzące w różych owodch eletryczych przy różych wymuszeich Szeroo rozpowszechio współczes eergoeletroi, ze względu swoje ieliiowości, dołączył do elemetów powodujących geercję przeiegów odsztłcoych Powstwie hrmoiczych orz iezrówowżeie owodów trójfzowych jest zuwżle we wszystich liich zsiljących Dodtowe hrmoicze i iezrówowżeie powodują, że r jest uiwerslego sposou opisu eergetyczego owodów Do dziś teori mocy oczeuje od uowców wspólego i jedozczego oprcowi podejści w tym specie PODSTAW TEORII MO WEDŁG BDEAN Widomo, że przy siusoidlych wymuszeich oddziływujących liiowe odiorii, moce są rówe: P = I cos, Q = I si, S = P + Q () Przy pojwieiu się wymuszei oresowego iesiusoidlego, opisego przez -hrmoiczych, moc czy wyosi P I cos () Moc ier dl owodów jedofzowych według Budeu [] jest rów QB I si QB (3) Alogiczie do owodów jedofzowych z wymuszeimi siusoidlymi, moc ier powi yć mirą oscylcji mocy chwilowej zrzem zwrotego przepływu eergii między źródłem odioriiem W owodch z wymuszeimi iesiusoidlymi oresowymi ils mocy przedstwioy w rówiu () jest ieomplety Dl mocy czyej () i ierej (3) słusze jest: S P QB D, (4) gdzie zwięszeie mocy pozorej uzsdioo powstwiem dodtowej ortogolej mocy D zwej mocą odsztłcei Jest o zdefiiow jo różic rzeczywistej mocy pozorej S mocmi zpropoowymi przez Budeu, tj: D S P Q B, (5) i jest rozumi jo mir odpowiedzil z wzrost mocy pozorej wsute odsztłcei sygłów PODSTAW TEORII MO WEDŁG FRZEGO Profesor Fryze od początu ył sceptyczy do podejści Budeu zującego rozłdzie hrmoicze wżł, że wielości eletrycze są zyt podstwowe, y je defiiowć pośredio - poprzez szeregi Fourier Stwierdził o owiem, że słdowe hrmoicze są wytworem ludziej wyorźi, tóre fizyczie ie istieją W swojej pulicji [] przedstwił o podejście, tórej putem wyjści jest spostrzeżeie, że odioriiem o jlepszych włściwościch eergetyczych widziych od stroy zsili, jest odiori pozwioy susceptcji Odiori te opisy może yć z pomocą słdowej czysto-rezystcyjej G e zwej przewodością eletryczą (odutcją) Moc czy w tym przypdu jest rów P G u, (6) e gdzie u to wrtość sutecz pięci, tór przy poudzeiu hrmoiczym jest rów pierwistowi z sumy wdrtów wrtości suteczych poszczególych hrmoiczych, czyli u u (7) Prąd płyący pomiędzy źródłem rezystcyjym odioriiem o odutcji G e zwy zostł prądem czyym, tóry jest rówy i t Ge ut (8) Istieie tego prądu jest osewecją pooru mocy czyej P przez te odiori, ztem wrtość sutecz tego prądu jest rów P i u Ge (9) u 500 ATOBS /06
Pozostł część prądu zsiljącego dy odiori, wyosząc irft it i t, (0) jest ezużytecz Zwżjąc ft, że słdow i rf powięsz wrtość suteczą prądu zsili, to jest o szodliw Prąd i rf zostł zwy prądem ierym i j wyzł utor tej teorii jest o ortogoly względem prądu czyego i Słusze są ztem zleżości: i i i rf, () S P, () gdzie logiczie do prądu ierego zwo mocą ierą, tór wyosi Q u (3) F i rf Autor tej metody osiągął ztem swój cel, tórym yło wyzczeie prmetrów eergetyczych ez potrzey odwoływi się do szeregów Fourier 3 SZZEGÓNE PRZPADKI WSKAZJĄE NA NIEJEDNOZNAZNOŚĆ METOD BDEAN Sposó zdefiiowi mocy ierej jest odmiey w oydwu teorich i moż spodziewć się po ich różych włściwości eergetyczych Oczeiwć moż, że moc t ędzie jedozcz we wszystich owodch eletryczych przy różych typch wymuszeń W owodch jedofzowych z przeiegmi siusoidlymi moc ier Q chrteryzuje się poprzez postulty: ) wrz z mocą czyą P stowi słdowe ilsu mocy pozorej S, ) m iterpretcję fizyczą jo mplitud słdowej oscylcyjej mocy chwilowej zsiljącej odiori, c) osiąg wrtość rówą zero przy współczyiu mocy rówym jede Nleży sprwdzić, czy te cechy są jedozcze z defiicją (3) W przypdu przeiegu odsztłcoego leży złożyć, że: ) pojwieie się olejych hrmoiczych wpływ potrzeę zdefiiowi olejej mocy, tórej wielość zleż jest od odsztłcei przeiegu Przy prwidłowo postwioych defiicjch mocy w owodch jedofzowych, oczeiwć leży spełiei wszystich powyższych postultów Przyłd Sprwdzeie włściwości mocy ierej QB Według Budeu moc ier Q B jest sumą mocy ierych Q B pojedyczych hrmoiczych Zgodie z () i (3) dl -tej hrmoiczej ędą słusze zleżości: P = I cos (4) Q B = I si Podto widomo, że w rzeczywistych owodch eletryczych przesuięcie fzowe może przyjmowć wrtości z zresu -½π ½π Ztem wywiosowć moż, że moc P może osiągć wrtości ieujeme, tomist Q B zrówo dodtie j i ujeme Resumując powyższe, spodziewć się moż sytucji, w tórej sumrycz moc Q B (3) osiągie zero wet wtedy, gdy zuwżle ędą oscylcje mocy dl pewych hrmoiczych między źródłem odioriiem Nie m więc żdego związu między oscylcją eergii w owodch z przeiegmi iesiusoidlymi mocą ierą Q B Kżd wrtość Q B rozptryw idywidulie oreśl mplitudę oscylcji eergii związej z istieiem -tej hrmoiczej prądu, tomist ich sum ie dostrcz już żdej Esplotcj i testy iformcji o tej oscylcji Przyłdowy owód przedstwijący r związu między mocą Budeu oscylcją eergii przedstwioo rysuu e(t) Rys Rysue owodu do przyłdu Npięcie zcisch odiori, orz jego prmetry doro t, y Q B = 0 Przyjęto wymuszeie o dwóch hrmoiczych ut 30 si t 46 si3 tv, gdzie pierwsz jest oreślo dl f = 50 z Admitcj zespolo dl tych hrmoiczych wyosi = j0, S, 3 = j5 S Zgodie z rówiem I = prąd zsiljący odiori ędzie rówy t 46 si t 30 si3 t i A Zgodie z defiicją Budeu (3) moc ier jest rów Q B = I si + 3I 3si 3 =30 46 si(90º)+46 30 si(-90º) = 0 Jedże przeieg mocy chwilowej p(t) = przedstwioy rysuu ujwi pulscję eergii Rys Przeiegi i p(t) dl owodu z przyłdu Do di dzisiejszego ie przedstwioo iej iterpretcji mocy Q B Nie udło się tże przyporządowć żdego zjwis fizyczego dewtego do tej mocy Według powyższego leży stwierdzić, że sum mplitud słdowych przemieych mocy chwilowej dl żdej hrmoiczej ie odzwierciedl jiegoolwie stu eergetyczego Dysusyj jest rówież defiicj mocy odsztłcei D (5) Autor tłumczył jej istieie pojwieiem się odsztłceń w przeiegch prądu i pięci Widomo, że przeiegi prądu i pięci ie ędą względem sieie odsztłcoe, gdy ędą oe wzjemie przesuięte o stłą, tj: i t ut (5) W zpisie zespoloym ędzie to ozczło, że dl żdej hrmoiczej, zgodie z włściwościmi szeregów Fourier dl fucji z przesuięciem, ędzie spełioe: j I e (6) p(t) Ozcz to, że dmitcj zespolo, przy ru odsztłcei prądu względem pięci, dl dowolej hrmoiczej wyosi: I j j e e (7) Ztem wruiem oieczym r odsztłcei prądu względem pięci jest rówość modułu dmitcji i liiow zmi rgumetu z rzędem hrmoiczej Ay wyzczyć moc odsztłcei leży wyrzić zleżość (5) przez prmetry odiori Zgodie z (5) moc odsztłcei dl hrmoiczych wyosi 9 mf 0 /06 ATOBS 50
Esplotcj i testy D I I cos I si (8) W przypdu dwóch hrmoiczych i moc t wyosi: D cos po elemetrych przesztłceich uzysuje się:, (9) D (0) Ozcz to, że dl > 0 moc odsztłcei D jest rów zero tylo wtedy, gdy =, czyli: j e cost () Rówie () ozcz, że moc odsztłcei D jest rów zero, gdy dl wszystich hrmoiczych zespolo dmitcj odiori m iezmieą wrtość Przyłd Niezerow moc D przy ru odsztłcei Odiori zudowo z elemetów połączoych logiczie j rysuu, tórych retcje doro t, y spełio ył zleżość (7) Przyjęto f = 50 z, = 5/ F i = 0/(3), owód zostł zsiloy pięciem ut 30 si t 46 si3 tv Ztem dl oydwu hrmoiczych dmitcje wyoszą: = j ms, 3 = j ms zyli prąd źródł wyosi: it 0,00 30 sit 46 si 3t A T 0, 00 ut A 4 i jest przesuięty względem przeiegu pięci o T/4, lecz ie odsztłcoy (rys3) W tym przyłdzie zgodie z (9) moc odsztłcei dl pierwszej i trzeciej hrmoiczej wyosi D = 59/5 VA Rys 3 Przeiegi i dl owodu z przyłdu Moc odsztłcei jest róż od zer pomimo ru odsztłcei przeiegu prądu względem pięci Zjwiso przesuięci tych przeiegów jest osewecją istiei elemetów retcyjych i ie może yć trtowe jo odsztłceie Przyłd 3 Br mocy D przy odsztłcoym przeiegu Odiori zudowo zgodie z rysuiem 4 Przy f = 50 z retcje doro t, y spełio ył zleżość () e(t) Rys 4 Rysue owodu do przyłdu 3 37 59-7 0 F 6-7 0 F 4400 00 59 9 Dl i 3 hrmoiczej dmitcje wyoszą: = j 0-4 S, 3 = j 0-4 S Ztem przy pięciu zsiljącym te owód u t 30 si t 46 si 3t V przepływ prądu wyosi: 4 i t 0 30 sit 46 si 3t A Przeiegi prądu i pięci przedstwioo rysuu 5 Rys 5 Przeiegi i dl owodu z przyłdu 3 Widć, że prąd jest odsztłcoy względem pięci, chociż wyzo w (), że przy = 3 moc odsztłcei D = 0 3 Przydtość metody Budeu do ompescji mocy Do poprwy współczyi mocy leży dorć ompestor, tórego wrtość zleży od wyzczoej mocy ierej Widć ztem, że zjomość tej mocy m zczeie prtycze i istote dl poprwy wruów przesyłowych Przy ieprwidłowym wyzczeiu mocy odpowiedzilej z pulscję eergii ie udje się prwidłowo przeprowdzić ompescji Przy wymuszeiu siusoidlym przesuiętą fucję prądu względem pięci moż rozłożyć dw słdii: P Q it I si t cost sit () zyli wrtość sutecz prądu w tym przypdu wyosi P Q I (3) Dl wymuszei iesiusoidlego oresowego, zleżość (3) przechodzi do postci P Q i (4) Przy stłej wrtości P i prąd te m miimlą wrtość w przypdu, gdy moc Q jest rów zero Widomo, że hrmoicze tworzące przeiegi o różych częstotliwościch spełiją wrue ortogolości, więc zgodie z (7) moż zpisć: P Q i i (5) Z wyrżei (5) wyi, że wrtość sutecz prądu zleży od sumy wdrtów mocy ierych Q dl poszczególych hrmoiczych, tymczsem defiicj Budeu mówi o sumie mocy Q B Ozcz to, że wyzerowie mocy ierej Budeu Q B ie gwrtuje jmiejszej wrtości prądu Osiągąć to moż jedyie, gdy moc ier dl żdej hrmoiczej Q ędzie rów zero Wyzerow moc ier Budeu jest wruiem oieczym, lecz iewystrczjącym do miimlizcji wrtości suteczej prądu 50 ATOBS /06
Przyłd 4 Poprw współczyi mocy według Budeu I Biorąc owód z przyłdu (rys) wyzczoo moc ierą Budeu Q B = 0 Ozcz to, że wrtość sutecz prądu, tór wyosi i I I3 46 30 34,6 A, w świetle teorii Budeu, jest wrtością miimlą Moż przypuszczć, że miejsz wrtość tego prądu wystąpi, gdy dołączoy ompestor wyzeruje słdowe urojoe dmitcji zespoloej widziej przez źródło Nstąpi to w sytucji, gdy ompestorem ędzie dwóji włączoy rówolegle do odiori, tórego dmitcj wyosi = j0, S, 3 = - j5 S Relizcją tiego dwóji jest szeregowe połączeie,, tórych prmetry wyoszą: F, 7 570 000 f = 50 z f3 = 50 z Rys 6 Rysue owodu do przyłdu 4 Przy wyzerowiu susceptcji dl podstwowej i trzeciej hrmoiczej uzyso wrtość jmiejszą prądu, tór w tym przypdu wyosi zero 3 Szczególe przypdi wszujące iejedozczość metody Fryzego Kocepcj prądu czyego i w teorii Fryzego (8) ył przełomowym pomysłem T wyodręio słdow m iterpretcję fizyczą, co zostło zuwżoe i wyorzyste w późiejszych oprcowich wg t ie dotyczy słdowej ierej i rf Br iterpretcji fizyczej tej słdowej uiemożliwił wyorzystie jej w rozwiązich prtyczych Ntomist r związu słdowej i rf z prmetrmi fizyczymi dwóji wyluczył wyorzystie tej ocepcji w późiejszych rozwżich teoretyczych Przyłd 5 łowit ompescj mocy według Fryzego Model odiori przedstwioo w postci szeregowego połączei R, tórego wrtości wyoszą: R = 00,, F 5000 Owód zsiloo pięciem ut 30 si t si3 tv o częstotliwości podstwowej f = 50 z Dl i 3 hrmoiczej dmitcje zespoloe wyoszą: = 5 + j5 ms, orz 3 = 5 j5 ms Wrtości sutecze hrmoiczych prądu poierego ze źródł wyoszą: I = =,63 A, I 3 = 3 3 =,63 A, czyli wrtość sutecz prądu wyosi i I I,3 A pięci u 3 35,3 V 3 Ztem moc pozor wyosi S = u i = 748, VA Zgodie z teorią Fryzego: moc czy P G 0,005 30 0,005 30 59 W, moc ier S P 59 VAr Ozcz to, że współczyi mocy m wrtość = P/S = = 0,7 Kompescj mocy w tym ułdzie poleg dodiu do odiori R rówoległego dwóji, tórego dmitcj spowoduje wyzerowie susceptcji, czyli = -j5 ms, 3 = j5 ms (rys7) 0,09 F 0 Esplotcj i testy Relizcj tiego dwóji to rówoległe połączeie dwóch elemetów o prmetrch: F, 40000 Rys 7 Rysue owodu do przyłdu 5 4 3 W wyiu dziłi ompestor dmitcj ociążjąc źródło wyosi 5 ms, wrtość sutecz prądu 3 ' ',63 A ' i, moc pozor źródł S' = u i' = 3 3 =59 VA Kompescj spowodowł poprwę współczyi mocy do wrtości = P/S = Z putu widzei teorii Fryzego opis eergetyczy owodu ie zleży od susceptcji owodu Jest to dlece iedołdy opis stu, co zostło przedstwioe w olejym przyłdzie Przyłd 6 Niejedozczość eergetycz według Fryzego Podoie j w poprzedim przyłdzie odiori zsiloo pięciem złożoym z i 3 hrmoiczej o mplitudch Prmetry odiori wyoszą: R = 00, F 35000 30, Admitcje zespoloe wyoszą: = + j3 ms, orz 3 = 9 j3 ms Wrtości sutecze hrmoiczych prądu poierego ze źródł wyoszą: I = = 0,73 A, I 3 = 3 3 =,8 A, czyli wrtość sutecz prądu wyosi i I I,3 A Moc 3 pozor wyosi S = u i = 748, VA Zgodie z teorią Fryzego: P G 0,00 30 f = 50 z f3 = 50 z S P 59 VAr 0,009 30 59 W, Widć, że według teorii Fryzego, oydw odiorii przedstwioe w przyłdzie 5 i 6 są idetycze pod względem eergetyczym, chociż ompescj mocy przeieg w ich w odmiey sposó W tym przypdu ompestor powiie mieć susceptcje dl i 3 hrmoiczej rówe: = -j3 ms, 3 = j3 ms Relizcj tiego dwóji to rówoległe połączeie dwóch elemetów (rys7) o prmetrch: 5 μf, 0 9 3 3 3 Po ompescji wrtości sutecze hrmoiczych prądu są rówe: I 0,3 A, I,07 A Dje to wrtość suteczą ' I I,08 A i i (t) 3 zyli te ompestor reduuje moc pozorą do wrtości: S' = u i' = 677,5 VA W tym przypdu ompescj spowodowł poprwę współczyi mocy do wrtości = P/S = 0,78 Nie osiągięto zdowljącego rezulttu, chociż już po ompescji dmitcj m zerową część urojoą Nie jest rówież możliw dlsz reducj prądu zsili przy pomocy ompestor R /06 ATOBS 503
Esplotcj i testy PODSMOWANIE Zjomość mocy ierej Budeu ie pomg w procesie wyzczi prmetrów ompestor J wyzo w przyłdzie 4, może wet wprowdzć projett w łąd Dltego prolem ompescji mocy, do dziś ie doczeł się rozwiązi zującego teorii Budeu Przyłd 4 ujwił, że moc Q B ie spełi postultu (c) Moc ier według Budeu ie m żdej iterpretcji fizyczej Przyłd ujwił, że iespełioy jest postult () Przyłd i 3 wyzł r związu między mocą odsztłcei D rzeczywistym odsztłceiem przeiegu Powoduje to wysuięcie wiosu o ru przydtości tiej mocy, orz iespełieiu postultu (d) Defiicje mocy przedstwioe przez Fryzego, chociż pode wiele lt późiej po teorii Budeu, ie prwiły łędów złożeiowych w teorii mocy Nie jest to dziwe, gdyż teori Fryzego zostł ziicjow przy iych celch pozwczych Błędość teorii Budeu zostł wyz dopiero w pozycji [3] już po śmierci profesor Fryzego Teori mocy według Fryzego rówież ozuje się yć ieprzydt Porówując przyłdy 5 i 6 odryć moż iejedozczość w opisie eergetyczym owodu Nie są oe rówowże względem sieie pod względem sposou ich ompescji, chociż w świetle teorii Fryzego są oe jedozcze o prwd postult (c) jest w tym przypdu spełioy, lecz metod t ie zpewi zleziei rozwiązi optymlego Prolem ompescji mocy ujwił łędy w oydwu teorich Sm sposó ompescji mocy ie zostł przedstwioy przez utorów w sposó jedozczy Oydwie teorie ie doczeły się rozwiązń rzeczywistych Nie jest to dziwe, zuwżjąc r związu między zdefiiowymi mocmi rzeczywistymi zjwismi eletryczymi Zstwijący jest r wspólej teorii dl wszystich typów owodów Do dziś ie wyprcowo wspólego podejści, oydwie teorie są używe ezrie wet w środowisu demicim Przyszłościową teorią mocy wydje się yć ocepcj słdowych fizyczych prądu P (g: urret s Physicl ompoets) oprcow przez profesor zreciego, tórego spostrzeżei są puliowe do di dzisiejszego BIBIOGRAFIA Budeu I, Puissces rectives et flictives, Istitut Romi de I Eergie, Buchrest (97) Fryze S, Moc rzeczywist, urojo i pozor w owodch eletryczych o przeiegch odsztłcoych prądu i pięci, Przegląd Eletrotechiczy, 7 (93), 93-03 3 zreci S, Wht is wrog with the Budeu cocept of rective d distortio powers d why it should e doed, IEEE Trs IM, Vol IM-36, No3 (987) 834-837 4 zreci S, Moce w owodch eletryczych z iesiusoidlymi przeiegmi prądów I pięć, Oficy Wydwicz Politechii Wrszwsiej, Wrszw (005) 5 zreci S, A orthogol decompositio of the curret of osiusoidl voltge source pplied to olier lods, It Jourl o ircuit Theory d Appl, vol, (983) 35-39 6 zreci S, Toups TN, Worig d reflected ctive powers of hrmoics geertig sigle-phse lods, Przegląd Eletrotechiczy, 89 (04), Nr 0 7 zreci S, ley PM, lced power i four-wire systems d its rective compestio, IEEE Trs o Power Delivery, (04) 8 zreci S, Met-theory of electric powers d preset stte of power theory of circuits with periodic voltges d currets, Przegląd Eletrotechiczy, 89 (03), Nr 6, 6-3 9 zreci S, Perce SE, P-sed compriso of compestio gols i systems with osiusoidl voltges d currets, Przegląd Eletrotechiczy, 5 (00), Nr 86, -30 0 Firlit A, urret s Physicl ompoets Theory d p-q Power Theory i the otrol of the Three-phse Shut Active Power Filter, Electricl Power Qulity d tilistio, VolXIII (007) Kuczewsi Z, Wlcz J, Pso M, Moce w owodch z przeiegmi iesiusoidlymi, Jość i żytowie Eergii Eletryczej, (995) Zjowsi K, Pomir mocy prądu przemieego z utomtyczym dopsowiem zresów pomirowych przy wyorzystiu rty pomirowej, ogisty, 3 (04) 3 Zjowsi K, Aliz szcuow w udycie eergetyczym rozliczjąc dziłi zmiejszjące przepływy mocy ierej w sieci eergetyczej, ogisty, 6 (04) Disdvtges of the Budeu d Fryze power theory i sigle-phse circuit The rticle presets two defiitios of power, which were developed i the first hlf of the twetieth cetury d re used i the theory of power to this dy The, errors i these methods re discussed The lysis is sed o exmples tht checed theoreticl ssumptios of these methods otemporry defiitios of power re sed o Budeu d Fryze theories, so it is importt to remid the scietific commuity out the limittios d errors i them hidde The suject of this rticle is lso vlid ecuse of the developmet of electric drive o pulic trsport Autorzy: dr iż Kord Zjowsi, Politechi Koszlińs, Ktedr Eergetyi, ul Rcłwic 5-7, 75-60 Koszli, e-mil: ordzjowsi@tuoszlipl 504 ATOBS /06