Zjawiska falowe Wstępne wiadomości o drganiach i falach
Ruch oscylacyjny, drgania harmoniczne proste Ruch, w którym położenie ciała x(t) powtarza się, nazywamy drganiem. W ruchu harmonicznym prostym położenie ciała opisuje np. funkcja cosinus: x(t ) = xm cos(ωt + ϕ ) amplituda drgań prędkość v (t ) = przyspieszenie częstość kołowa faza początkowa dx (t) = ω x m sin (ω t +ϕ) dv (t ) a(t) = = ω x m cos(ω t +ϕ)= ω x
Przykład: wahadło sprężynowe F = kx Zatem przemieszczenie bloku x(t) musi spełniać równanie (równanie ruchu oscylatora): d x k + x=0 m Na blok o masie m działa siła proporcjonalna do wychylenia, ale skierowana przeciwnie do wychylenia. F = kx ale d x m = kx F = ma Jego rozwiązaniem jest też np. funkcja typu: x(t ) = xm cos(ωt + ϕ ) gdzie częstość kołowa drgań wynosi: k ω= m 3
Przykład: wahadło sprężynowe Energia potencjalna bloku E p = kx = kxm cos (ωt + ϕ ) E p (t ) Ek (t ) E p + Ek = const E p (t ) Ek (t ) Energia kinetyczna bloku Ek = mv = = kxm sin (ωt + ϕ ) Całkowita energia bloku jest stała! - jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Cyklicznie energia kinetyczna zamienia się w energię potencjalną i odwrotnie. 4
Przykład: oscylator LC Sytuacja początkowa: naładowany tylko kondensator do ładunku Q 5
Przykład: oscylator LC Bilans energii Li q U = UB +UE = + C Energia na kondensatorze Całkowita energia nie zmienia się w czasie du d Li q di q dq = Li + = + =0 C C dq i= Energia zgromadzona w cewce d q L + q=0 C Q UB = sin ( ωt + φ ) C Rozwiązaniem tego równia jest: Wartość ładunku q oscyluje zgodnie z funkcją cos q Q UE = = cos ( ωt + φ ) C C U B = Li = Lω Q sin ( ωt + φ ) q = Q cos( ωt + φ ) i= dq = ωq sin ( ωt + φ ) gdzie częstotliwość wyraża się ω= LC 6
Wahadło sprężynowe coś co drga x(t ) q (t ) k v = dx C i = dq m mv Ek = kx EP = k ω= m L Li UB = q UE = ω= LC Oscylator LC Porównanie: wahadło oscylator LC C 7
Drgania tłumione, przykład: obwód RLC Wypromieniowana energia w postaci ciepła Joul a. Energia zgromadzona na C i L Li q U = UB +UE = + C du = i R ubytek tej energii równy jest ciepłu Joul a W ogólnym przypadku równanie drgań tłumionych: d x dx + γ + ω 0x =0 równanie drgań tłumionych d q dq L +R + q=0 C możliwym rozwiązaniem jest funkcja zanik amplitudy q = Qe γ t cos( ω t + φ ) następuje spowolnienie drgań: ω = ω 0 ( R L ) γ = R / L współczynnik tłumienia W wahadle sprężynowym: d x b dx k + + x=0 m m ω0 = k / m współczynnik tłumienia ω 0 = /( LC ) częstość drgań własnych częstotliwość drgań bez tłumienia γ = b / m ω = ω 0 ( b m ) 8
Drgania tłumione, przykład: wahadło sprężynowe Siła, która tłumi drgania często jest proporcjonalna do wartości prędkości: F d = b v Więc równanie ruchu możemy zapisać: Możliwe rozwiązanie tego równania ma postać: Gdzie drgania przyjmują następujące parametry:: ω0 = k / m γ = b / m ω = ω 0 ( b m ) 9
Drgania tłumione, przykład: wahadło sprężynowe a) Drgania tłumione gdy: F d max =b v max ka b 0 m b) Drgania tłumione krytyczne gdy: F d max =b v max =ka b = 0 m c) Drgania aperiodyczne gdy: F d max =b v max ka b 0 m 0
Drgania wymuszone, przykład: obwód RLC układ RLC (drgający) pobudzany siłą zewnętrzną o częstości ω d Zmienna SEM o częstości ωd wymusza prąd w obwodzie oscylujący w tej samej częstości, pomimo iż sam układ ma swoją naturalną, własną częstość drgań ω0 ε Zmienna SEM o częstości ωd może być np. wytwarzana przez obracającą się ramkę w polu magnetycznym (prądnica) ε =ε m sin ω d t ale prąd płynący w obwodzie ( na skutek działania innych elementów ) może być przesunięty w fazie o φ i = I m sin ( ω d t φ )
Drgania wymuszone obwód R ε v = 0 v = ε sin ω t R R m d vr = VR sin ω d t v V ir = R = R sin ω d t R R ir = I R sin ( ω d t φ ) φ =0 amplituda prądu VR IR = R XR = R Def. reaktancji opornościowej diagram wektorowy: wektory obracają się z częstością ω d prąd płynący w obwodzie nie jest przesunięty fazie
Drgania wymuszone obwód C vc = VC sin ω d t qc = CvC = CVC sin ω d t dqc = ω d CVC cos ω d t ponieważ cos ω d t = sin(ω d t + 90 ) V ic = C sin ( ω d t + 90 ) φ = 90 XC ic = def. reaktancji pojemnościowej (oporność pojemnościowa) gdzie VC IC = XC diagram wektorowy: wektory obracają się z częstością XC = ωd C prąd płynący w obwodzie jest przesunięty fazie o 900. prąd płynący w obwodzie wyprzedza napięcie na kondensatorze 3
Drgania wymuszone obwód L vl = VL sin ωd t dil vl dil VL = = sin ωd t L L vl = L VL VL il = dil = sin ω d t = cos ω d t L ωd L ponieważ cos ω d t = sin(ω d t 90 ) VL sin ( ωd t 90 ) XL V gdzie I L = L XL XL il = diagram wektorowy: φ = 90 = ωd L wektory obracają się z prąd płynący w obwodzie jest przesunięty fazie o 900. częstością ω d def. reaktancji indukcyjnej prąd płynący w obwodzie opóźnia się (oporność indukcyjna) w stosunku do napięcia na cewce 4
Drgania wymuszone obwód RLC siła wymuszająca ε =ε m sin ω d t prąd w obwodzie i = I m sin ( ω d t φ ) Z II prawa Kirchoffa suma spadków napięć : ε =v natężenie prądu w obwodzie: relacje między napięciami: R + vc + vl siła napięcie wymuszające drgania: na oporności - prąd jest w fazie z napięciem na pojemności - prąd wyprzedza napięcie o 90 0 na indukcyjności prąd spóźnia się do napięcia o 90 0 vr, vc, vl wektorowy bilans napięć : rzuty wektorów na os y 5
Drgania wymuszone obwód RLC ε =v R + vc + vl Te napięcia są zmienne sinusoidalnie. To równanie jest spełnione dla dowolnej chwili czasu. Amplitudy tych napięć mają wektorową interpretację: Zatem amplitudy napięć występują w relacji: ε ε = VR + (VL VC ) = ( IR ) + ( IX L IX C ) m m Amplituda prądu płynącego w obwodzie: I= ε m R + ( X L X C ) = ε m Z Impedancja obwodu: Z = R + ( X L X C ) 6
Drgania wymuszone obwód RLC XL > XC Przesunięcie fazowe pomiędzy siłą wymuszającą a prądem w obwodzie φ >0 (patrz rysunek, kąt pomiędzy wektorem εm a IR (taki sam jak VR)) : bardziej indukcyjny tan φ = VL VC VR XL = X C φ =0 albo: tan φ = X L XC R XL < XC φ <0 bardziej pojemnościowy 7
Drgania wymuszone rezonans I= ε m R + ( X L X C ) ε = m jest maksymalny gdy: Z X L = XC więc: ωd = ωd L = ωd C ωd = ω0 LC Amplituda prądu I Rezonans występuje wtedy gdy częstość drgań siły wymuszającej równa jest częstości drgań własnych układu. Amplituda drgań w obwodzie może być bardzo duża. Przykład: L = 00 µh, C = 00 pf oraz różne wartości R Energia doprowadzana przez zewnętrzną siłę gromadzi się w układzie. Gdy w obwodzie jest oporność (tłumienie) cześć tej energii zamienia się w ciepło (im większe R tym większe tłumienie). 8
Drgania wymuszone rezonans siła sprężystości F = kx siła wymuszająca drania F d =F 0 cos d t F o = mv Różniczkowe równanie drgań ma postać: d x dx 0 x= F d t m Po obliczeniach można wykazać że: amplituda przyjmuje wartości: A= Wahadło wchodzi w stan ustalonych drgań wymuszonych o tej samej częstości co siła wymuszająca : x= Acos d t 0 Drgania są przesunięte w fazie o φ0 F0 m 0 d 4 d tg 0= d 0 d gdzie ω częstość nietłumionych drgań własnych 0 ωd częstość drgań wymuszonych 9
Drgania wymuszone rezonans A= F0 m 0 d 4 d Amplituda wychylenia wahadła osiąga wartość maksymalną przy częstości kołowej drgań: rez = 0 Szybki wzrost amplitudy przy zbliżaniu się częstości siły wymuszającej do wartości ωrez nazywamy zjawiskiem rezonansu mechanicznego W miarę wzrostu wartości β maksima krzywych rezonansowych szybko maleją ( Amax ~ / β ) Straty energii układu drgającego, wywołane przez siły oporów są całkowicie skompensowane przez pracę wykonaną nad układem przez siłę wymuszającą 0
Ruch falowy
Ruch falowy-fale mechaniczne
Fale podłużne np. fale dźwiękowe 3
Ruch falowy-fale powierzchniowe 4
Matematyczne równanie falowe h Matematyczne równanie falowe (jednowymiarowe): h h = x v t λ A x rozwiązaniem mogą być funkcje typu: h( x, t ) = A cos( kx ω t ) A = amplituda λ = długość fali f = częstotliwość ω= częstość kołowa T = okres fali v = prędkość fali k = liczba falowowa albo: h( x, t ) = Ae i (kx ω t ) albo kombinacje liniowe tych funkcji co fizycznie oznacza możliwość nakładania się fal v=λ f = ω k k= f = T π ω = π f = T π λ 5
Energia transportowana przez fale E= k A Dla drgającej cząstki energia: Dlatego natężenie fali wynosi I= energia/czas A powierzchnia Gdy fala rozchodząca się w przestrzeni jest falą kulistą I= moc moc powierzchnia 4 r r I w tym przypadku amplituda maleje zgodnie z : I A A r r 6
Natężenie fali, zależność od amplitudy i częstotliwości k m k = m = E= k A = m A energia/czas powierzchnia moc I= powierzchnia I= I A 7
Fale elektromagnetyczne spektrum w próżni wszystkie fale e-m rozchodzą się z prędkością c 3.0 08 m/s James Clerk Maxwell (w połowie XIX w.) wykazał, że światło jest falą elektromagnetyczną = rozprzestrzeniającą się falą zmiennego pola elektrycznego i magnetycznego. Światło widzialne podlega prawom elektrodynamiki. Zakres fal elektromagnetycznych rozciąga się o wiele szerzej niż zakres światła widzialnego. 8
Fale elektromagnetyczne jak powstają biegnąca fala e-m., która rozprzestrzenia się z pewną prędkością transformator źródło energii c 3.0 08 m/s linia transmisyjna oscylator LC Antena antena to drgający dipol elektryczny w którym oscyluje ładunek elektryczny Fale elektromagnetyczne o wysokich częstotliwościach (promieniowanie X, gamma, światło widzialne) są emitowane przez obiekty o rozmiarach atomów decydują efekty znane w fizyce kwantowej. Fale elektromagnetyczne o niższych częstotliwościach mogą być generowane przez obwody drgające LC Falę e-m. emituje ładunek elektryczny, który porusza się ruchem przyspieszonym! 9
Fale elektromagnetyczne czym są Model fali e-m: czoło fali kierunek fali długość fali Fale elektromagnetyczne to drgające pole elektryczne i magnetyczne rozchodzące się w przestrzeni (te drgające pola indukują się nawzajem tworząc falę) Wektory pól elektrycznego i magnetycznego są do siebie prostopadłe pole elektryczne pole magnetyczne Z równań Maxwell a wynikają ważne zależności B B = ε 0 µ0 x t Wektory pól elektrycznego i magnetycznego drgają prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali e-m, więc iloczyn wektorowy wskazuje ten kierunek. E B Fale e-m są falami poprzecznymi Rozwiązaniami mogą być funkcje: E E = ε 0 µ0 x t E = Em sin ( kx ωt ) B = Bm sin ( kx ωt ) Są to równania falowe opisują drgania falowe wektorów B i E 30
Matematyczne równanie falowe h Matematyczne równanie falowe (jednowymiarowe): h h = x v t λ A x rozwiązaniem mogą być funkcje typu: h( x, t ) = A cos( kx ω t ) A = amplituda λ = długość fali f = częstotliwość ω= częstość kołowa T = okres fali v = prędkość fali k = liczba falowowa albo: h( x, t ) = Ae i (kx ω t ) albo kombinacje liniowe tych funkcji co fizycznie oznacza możliwość nakładania się fal v=λ f = ω k k= f = T π ω = π f = T π λ 3
Fale elektromagnetyczne zależności między E i B z prawa indukcji Faraday a E ds = dφ B Φ B = ( B )(h dx ) E ds = ( E + de )h Eh = hde E B = x t z prawa indukcji Maxwell a B ds = µ0ε 0 dφ E B ds = ( B + db)h + Bh = hdb B E = µ 0ε 0 x t dφ B db = h dx db h de = h dx Φ E = ( E )(h dx) dφ E de = h dx de h db = h dx 3
Fale elektromagnetyczne zależności między E i B ponieważ to: E = Em sin ( kx ωt ) B = Bm sin ( kx ωt ) z def. prędkości fali E B = x t E = kem cos(kx ω t ) x B = ω Bm cos(kx ω t ) t B E = µ 0ε 0 x t B = kbm cos(kx ω t ) x E = ω Em cos(kx ω t ) t ω =c k Em =c Bm () Em () = Bm µ 0ε 0 (ω / k ) E =c= B µ 0ε 0 33
Transport energii i wektor Pointing a Fale elektromagnetyczne niosą energię! Wartość energii przenoszonej przez falę na jednostkę powierzchni i na jednostkę czasu jest opisywana przez wektor Poiting a S= E B µ0 Liczbowo: (energia / czas ) moc = S = powierzchnia powierzchnia c S= EB= E = B µ0 cµ 0 µ0 wymiar J W = s m m Fala e-m przenosi energię zarówno w polu elektrycznym i magnetycznym, każde z nich przenosi tyle samo energii - gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego są sobie równe wzdłuż całej fali e-m. ε 0 E ε 0 (cb) ε 0 B B ue = = = = = ub µ 0ε 0 µ 0 Można definiować tzw. intensywność padającej energii fali jako średnia wartość S [ ] (energia / czas ) I = S średnie = = Em sin (kx ωt ) średnie = Em = Esk cµ 0 cµ0 powierzchnia średnie cµ 0 [sin (kx ωt )] średnie = 34
Transport pędu, ciśnienie wywierane przez fale e.-m. Fale elektromagnetyczne niosą także pęd! Tzn. że mogą wywierać ciśnienie na obiekty na które padają. Ale ciśnienie to jest stosunkowo małe. zakładając, że w czasie t na powierzchnię pada promieniowanie o energii U obiekt całkowicie pochłania promieniowanie U to pęd jaki otrzymał obiekt wynosi: (całkowita absorpcja) p= c jeśli obiekt całkowicie odbija promieniowanie to pęd jaki otrzymał obiekt wynosi: p= U c (całkowite odbicie) 35
Transport pędu, ciśnienie wywierane przez fale e.-m. Ciśnienie wywierane przez fale e.-m. można wyrazić: P= F dp d U du / = = = A A A c c A gdzie (du/)/a stanowi wektor Pointinga S P= S c (całkowita absorpcja) P= S c (całkowite odbicie) Promieniowanie słoneczne daje ciśnienie na powierzchni Ziemi ok. 4.57x0 6 N/m 36
Polaryzacja fali elektromagnetycznej Fale elektromagnetyczne spolaryzowane liniowo płaszczyzna oscylacji wektor E drga w jednej płaszczyźnie Fale elektromagnetyczne niespolaryzowane wektor E drga w różnych przypadkowych płaszczyznach przypadkowo można przedstawić to jako złożenie dwóch fal spolaryzowanych linowo o prostopadłych płaszczyznach polaryzacji rzuty wektora E na osie y 37
Polaryzatory Polaryzator przepuszcza tylko jedną składową wektora natężenia pola E dlatego natężenie promieniowania zmniejsza się dwukrotnie kierunek podającego promieniowania I0 I= prom. niespolaryzowane Polaryzator prom. spolaryzowane Odpowiednio ustawione polaryzatory mogą skręcać płaszczyznę polaryzacji ale natężenie promieniowania zmniejsza się Kierunek polaryzacji I = I 0 cos θ 38
Przykład: Skręcanie płaszczyzny polaryzacji przez ciekłe kryształy polaryzator ciekłe kryształy substancje organiczne, które mają cząsteczki o długich molekułach (które są dipolami elektrycznymi) polaryzator światło przechodzi światło padające µ NC OCnHn+ ciekły kryształ: skręcony nematyk światło padające odpowiednio ustawione długie cząsteczki decydują o własnościach optycznych ciekłych kryszt. światło zostaje zablokowane przyłożone pole elektryczne 39