Matematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie

Podobne dokumenty
14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

MACIERZE I WYZNACZNIKI

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Iloczyn skalarny

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

10. PROSTE ZGINANIE Stan naprężenia i odkształcenia przy prostym zginaniu

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

Sposób opisu symetrii figur lub brył skończonych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A

3. RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ m równań liniowych z n niewiadomymi zapisujemy w postaci. b...

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Przestrzeń liniowa R n.

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Zadania do rozdziału 7.

Postać Jordana macierzy

e) Kwadrat dowolnej liczby b) Idź na dwór! całkowitej jest liczbą naturalna. c) Lubisz szpinak? f) 12 jest liczbą pierwszą. d) 3 2 =10.

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Pierwiastek z liczby zespolonej

Laboratorium wytrzymałości materiałów

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

Wykład 1 Podstawy projektowania układów logicznych i komputerów Synteza i optymalizacja układów cyfrowych Układy logiczne

f(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Pierwiastek z liczby zespolonej

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7

A A A A A A A A A n n

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania

2.2. ZGINANIE UKOŚNE

± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi

W. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

A. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

1 Definicja całki oznaczonej

KONKURS MATEMATYCZNY STOŻEK 2007/ Na rozwiązanie 10 zadań masz 90 minut. 2. Dokładnie czytaj treści zadań i udzielaj odpowiedzi.

o zasilaniu napięciowym Gałąź normalna o zasilaniu mieszanym

Podstawy układów logicznych

Rozdział 9. Baza Jordana

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Rozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9













Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).

Algebra z geometrią 2012/2013

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM. Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie







Zmiany w wydaniu drugim skryptu Konstrukcje stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN

Macierze w MS Excel 2007

=I π xy. +I π xz. +I π yz. + I π yz

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Transkrypt:

Mtemtk I /9 WYKŁD 8. UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH II Mcierow ostć limincji Guss B gdie nn n n n B n Metod elimincji: () Odejmownie od pewnego równni wielokrotności (nieerowej) wrnego innego równni, nie mienijąc poostłch równń. () wentuln min kolejności równń (dl nleieni kolejnego nieerowego współcnnik głównego) Metod elimincji mnożenie mcier głównej ukłdu równń lewostronnie pre odpowiednio dorną mcier d. ) Od wiers j, mcier, odejmujem wiers i pomnożon pre licę c, nie mienijąc żdnego wiers o numerch różnch od j, (kłdm, że j i ) gdie c wiers j mcier = = wiers j mcier c wiers i mcier

Mtemtk I Wr e kl mcier jest postci: k l e kl c k j, l i wpp. wierse,,...,(j-) mcier wierją jeden wr = (dl k- tego wiers n k-tej pocji), tem mnożąc kolumn mcier kolejno pre te wierse, chowujem wierse e min w mcier, mnożąc kolumn mcier pre wiers j mcier mnożm pre ( c) wiers i mcier i pre wiers j mcier dodjąc wniki: w reultcie odejmujem od wrów wiers j, odpowidjące im wr wiers i pomnożone pre c. Definicj Mciere o strukture tn.: wsstkie wr e kl gdie nwm mciermi dolnie trójkątnmi Włsności mcier dolnie trójkątnch Twierdenie k l są równe Ilocn ' " dwu mcier dolnie trójkątnch jest mcierą dolnie trójkątną Dl mcier istnieje mcier dolnie trójkątn d o włsności I ostć mcier jest nlogicn do postci mcier tą jednie różnicą, że ( c) stąpim pre c Twierdenie Dl ukłdu równń o nieerowch współcnnikch głównch: istnieją mciere dolnie trójkątnie B,,, n, n o tej włsności że: mcier L n, n jest mcierą dolnie trójkątną, L U, gdie U = U jest mcierą górnie trójkątną, tn. u gd i j /9

Mtemtk I mcier L jest mcierą dolnie trójkątną, której wr i, j gdie i j są równe współcnnikom pre które mnożliśm wierse w procesie elimincji Uwg N prekątnej głównej mcier U njdują się wr nieerowe; współcnniki główne ukłdu równń Rokłd L U jest jednoncn Zmin miejscmi wiers i or j mcier Sukm mcier tkiej, że w mcier wierse i or j mcier są mienione miejscmi Twierdenie kl p kl k l, k i, j k i, l j k j, l i wpp. Ztem m wr równe: n głównej prekątnej, opróc p p ii jj p p ji rkłd - w poostłch prpdkch Mcier o wmire m postć: /9

Mtemtk I Uwg /9

Mtemtk I 5/9 Ogóln postć procesu elimincji Krok. Znjdujem mcier tką, że mcier wier te sme wierse co mcier, le w kolejności djącej kolejne nieerowe współcnniki główne Krok. Znjdujem mcier dolnie trójkątną L o tej włsności, że U L gdie U jest mcierą górnie trójkątną mjącą n głównej prekątnej kolejne współcnniki główne ukłdu B Krok. Rowżm ukłd L L tj. ukłd L U Krok. Rowiąujem ukłd U metodą cofni się pocnjąc od wnceni n osttniego równni ukłdu. rkłd Rowiąć metodą elimincji mcierowej ukłd równń 8 Zpis w postci mcierowej: 8 Krok. Mnożm pierwse równń pre / i odejmujem od równni drugiego /

Mtemtk I /9 / / / Mnożm pierwse równń pre / i odejmujem od równni treciego / / / / / / / / Krok. Mnożm drugie równń pre / i odejmujem od równni treciego /

Mtemtk I 7/9 / / / / / / / Osttecnie 8 / / / 5 Rowiąnie ukłdu równń:,, 5 rpdek ogóln Ukłd n równń o m niewidomch mcier o wmire nm: nm Stosujem metodę elimincji permutując odpowiednio wierse or kolumn wkonm kolejno elimincje współcnników r onc njwięksą licę nturlną o tej włsności, że dl pewnej permutcji wiers proces elimincji końc się po r krokch, tn.: wsstkie wierse mcier od (r+) pocnjąc, n n końcąc są erowe. ostć mcier r Lic r rąd mcier

Mtemtk I odmcier mcier det ' r ' r tn.: w mcier istnieje podmcier o wmire rr tk, której det '. Twierdenie Jeżeli rąd =r, to r jest njwięksą lic nturlnch o tej włsności, że istnieje podmcier mcier o wmire rr i det '. Twierdenie Jeżeli r jest njwięksą lic nturlnch o tej włsności, że istnieje podmcier o wmire rr i det ', to r = rąd Dowód ermutując wierse i kolumn, możem prjąć, że podmcier o wmire rr i det ' jest w nstępując sposó ustuown w oniewż det ', więc metod elimincji wiersowej dl prowdi do nstępującej mcier: 8/9

Mtemtk I 9/9 r procesu elimincji nie możem kontnuowć, poniewż gd ło to możliwe to otrmliśm w kroku (r+) mcier r le wted: det r r, co on