3.10.2004 4. Równanie Schröingera 52 Rozział 4 Równanie Schröingera Równanie Schröingera jest postulatem mechaniki kwantowej określającym tzw. ynamikę. Zaaje ono (przy opowienio obranym warunku początkowym) ewolucję funkcji falowej opisującej stan ukłau fizycznego. Przejziemy teraz yskusji różnoronych, a barzo ważnych, wniosków płynących z równania Schröingera. które zapiszemy w postaci i ψ( r, t) = Ĥ ψ( r, t). (4.1) gzie Ĥ jest hamiltonianem hermitowskim operatorem opowiaającym energii ukłau fizycznego. Bęziemy starać się prowazić ość ogólne rozważania, więc nie precyzujemy jaka jest konkretna postać operatora Ĥ. Posługiwać się bęziemy tutaj tylko jenym wektorem r argumentem funkcji falowej. Intuicyjnie więc mamy prze oczami ukła fizyczny złożony po prostu z jenej cząstki. Możemy jenak uważać, że r symbolizuje zbiór położeń, a r oznacza opowieni element wielowymiarowej (la wielu cząstek) objętości. Dlatego też rozważania nasze można łatwo uogólnić, wobec czego twierzimy, że onoszą się one o ogólnego (choć na razie bliżej nieokreślonego) ukłau fizycznego. 4.1 Zachowanie normy wektora stanu funkcji falowej Dyskutując probabilistyczną interpretację funkcji falowej wprowaziliśmy pojęcia gęstości i prąu prawopoobieństwa (por. efinicje (2.38) i (2.44)). Co więcej, biorąc po uwagę równanie Schröingera la jenej cząstki wyprowaziliśmy równanie ciągłości prąu prawopoobieństwa (2.45), a także wykazaliśmy, że norma funkcji falowej jest stała w czasie (patrz (2.48)). Wykażemy teraz fakt ogólniejszy. Równanie Schröingera z owolnym hamiltonianem zachowuje normę funkcji falowej, to jest ψ( r, t) 2 = ψ(t) ψ(t) = 3 r ψ ( r, t) ψ( r, t) = const., (4.2) czyli norma ψ( r, t) 2 nie zależy o czasu. Dowolna funkcja falowa (stan ukłau fizycznego) raz unormowana o jeności (na przykła w chwili początkowej), pozostaje unormowana w owolnej innej chwili czasu. Pokażemy, że jest to konsekwencją hermitowskości hamiltonianu. Aby wykazać to stwierzenie, rozważymy sprzężone równanie Schröingera, tj. równanie hermitowsko sprzężone o (4.1): i ψ ( r, t) = Ĥ ψ ( r, t) = Ĥ ψ ( r, t) (4.3) bo Ĥ hermitowski. Nie ma znaczenia, czy Ĥ jest jawnie zależny o czasu, czy też nie. Baamy teraz pochoną kwaratu normy. Korzystamy z reguł różniczkowania oraz z równań (4.1) i (4.3). S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 52
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 53 Otrzymujemy ψ( r, t) 2 = = i ( ψ 3 r ψ + ψ ( r, t) ψ ) ] [ Ĥψ ψ ψ Ĥψ = i 3 r [(Ĥψ ) ( )] ψ ψ Ĥψ = i ] [ ψ Ĥ ψ ψ Ĥψ, (4.4) gzie, w przeostatnim kroku skorzystaliśmy z hermitowskości Ĥ i z efinicji iloczynu skalarnego, zaś w ostatnim, z reguł sprzęgania hermitowskiego. Ponieważ zaś Ĥ = Ĥ, więc sprężenie w ostatnim wzorze nie ma znaczenia. W ten sposób ostajemy A zatem ψ( r, t) 2 = 0. (4.5) ψ( r, t) 2 = const. = ψ( r, t 0 ) 2, (4.6) czyli unormowana funkcja falowa ewoluująca zgonie z równaniem Schröingera pozostaje zawsze unormowana. Dzięki temu możemy łatwo utrzymać probabilistyczną interpretację funkcji falowej. Stwierzenie to ozwierciela fakt, że cząstki nie giną, więc prawopoobieństwo ich znalezienia w całej ostępnej przestrzeni jest zawsze równe 1, co wyaje się być intuicyjnie oczywiste. Z faktu zachowania normy funkcji falowej nie wynika, że lokalna gęstość prawopoobieństwa ρ( r, t) = ψ( r, t) 2 jest też stała (pamiętajmy, że r symbolizuje, o ile to potrzebne, zbiór położeń wielu (kilku) cząstek). Wręcz owrotnie, spoziewamy się, że skoro cząstka może się poruszać, to prawopoobieństwo znalezienia jej w różnych częściach ostępnego obszaru bęzie się w czasie zmieniać. Innymi słowy, prawopoobieństwo " przelewa" się z jenego poobszaru o rugiego. W przypaku jenej cząstki ilustruje to prawo zachowania prąu prawopoobieństwa (2.45) lub (2.46). Uogólnienia tego prawa na przypaek wielu cząstek nie bęziemy baać. Poprzestaniemy na wynikach la jenej cząstki, a zatem nie ma potrzeby powtarzać rozważań z rozziału 2. 4.2 Równanie Schröingera la ukłau konserwatywnego Ukła fizyczny nazywamy konserwatywnym (lub zachowawczym) jeśli jego hamiltonian nie zależy o czasu. W takim wypaku, za pomocą zasay opowieniości można ość łatwo skonstruować hamiltonian. Jeśli tylko znamy hamiltonian klasyczny H kl jako funkcję kanonicznych położeń i pęów, to hamiltonian kwantowo-mechaniczny bęzie postaci Ĥ = H kl ( ˆR, ˆP) = H kl ( r, i ), (4.7) czyli bęzie tą samą funkcją operatorów położenia i pęu. Oczywiście, w myśl naszej umowy, operatory ˆR oraz ˆP mogą oznaczać opowienie roziny, na przykła numerowane ineksami opowiaającymi cząstkom tworzącym baany ukła fizyczny. Jak wiemy z yskusji w rozziale 2 (patrz (2.49) (2.56)) funkcja falowa ukłau, którego hamiltonian nie zależy o czasu wyraża się jako iloczyn ψ( r, t) = e ie(t t 0)/ ϕ( r), (4.8) w którym zmienne przestrzenne i czas są rozseparowane, zaś E oznacza energię ukłau. Funkcja ϕ( r) jest niezależna o czasu, spełnia równanie Ĥ ϕ( r) = E ϕ( r), (4.9) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 53
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 54 i musi być unormowana ϕ = 1. Równanie powyższe jest zaganieniem własnym la operatora Hamiltona Ĥ = H( r, i ). Równanie to nazwaliśmy stacjonarnym równaniem Schröingera. Funkcję falową (stan kwantowo-mechaniczny) ψ( r, t) określony równaniem (4.8) nazwiemy stanem stacjonarnym. Konkretna postać równania (4.9) oczywiście zależy o postaci hamiltonianu, a więc o tego z jakim ukłaem fizycznym mamy o czynienia. W alszym ciągu wykłau (i ćwiczeń) rozważymy cały szereg różnoronych przykłaów ukłaów konserwatywnych (z hamiltonianem niezależnym jawnie o czasu), la których bęziemy rozwiązywać stacjonarne równanie Schröingera, tj. zaganienie własne la opowieniego hamiltonianu. Tutaj zaś przestawimy pewne ogólne własności stacjonarnego równania Schröingera. Twierzenie 4.1 Jeśli stan ukłau zachowawczego jest stanem stacjonarnym, to wartość oczekiwana energii jest stała w czasie. To znaczy ψ Ĥ ψ = const. = E, la stanu stacjonarnego ψ( r, t). (4.10) Dowó. Ponieważ ukła jest z założenia konserwatywny, więc hamiltonian nie zależy o czasu. Na mocy (4.8) mamy więc ψ Ĥ ψ = 3 r ψ ( r, t) Ĥ ψ( r, t) = 3 r e ie(t t0)/ ϕ ( r) Ĥ e ie(t t 0)/ ϕ( r) = 3 r ϕ ( r) Ĥ ϕ( r), (4.11) bowiem człony wykłanicze się znoszą. Wizimy więc, że wartość oczekiwana energii nie zależy o czasu, a więc jest stała. Co więcej, na mocy (4.9) mamy Ĥϕ = E, ską już wynika ruga część tezy. 4.2.1 Ewolucja w czasie la stanu stacjonarnego Przeyskutujemy nieco okłaniej rozwiązania równania Schröingera (2.24) la ukłau zachowawczego. Pełne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzęu wzglęem czasu wymaga znajomości warunku początkowego ψ( r, t 0 ) ψ 0 ( r), (4.12) w którym unormowaną o jeności funkcję ψ 0 ( r) przyjmiemy za znaną. Naszym celem bęzie zbaanie postaci funkcji falowej ψ( r, t) la chwil czasu t > t 0. Załóżmy, że znamy rozwiązania zaganienia własnego la hamiltonianu, tzn. umiemy znaleźć zbiór funkcji {u nα } i energii własnych {E n } takich, że spełnione jest równanie Ĥ u nα ( r) = E n u nα ( r), (4.13) gzie oatkowy ineks α uwzglęnia możliwość egeneracji. Funkcje własne hamiltonianu (obserwabli operatora hermitowskiego) tworzą bazę w przestrzeni funkcji falowych baanego ukłau i spełniają relacje ortonormalności i zupełności u nα u mβ = δ nm δ αβ, u nα( r) u nα ( r ) = δ( r r ). (4.14) n Dowolny stan ukłau opisany funkcją falową ψ( r, t) może być rozłożony w bazie ψ( r, t) = α c nα (t) u nα ( r), (4.15) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 54
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 55 przy czym cała informacja o zależności o czasu jest zawarta we współczynnikach c nα (t). Opis zależności stanu ukłau o czasu sprowaza się więc o znalezienia tych współczynników. Aby je obliczyć postawiamy rozkła (4.15) o równania Schröingera (4.1). Korzystając z liniowości operatora Ĥ otrzymujemy i c nα (t) t u nα ( r) = c nα (t) Ĥ u nα( r) = E n c nα (t) u nα ( r), (4.16) Mnożymy teraz obustronnie przez u mβ ( r) i c nα (t) t u mβ( r) u nα ( r) = E n c nα (t) u mβ( r) u nα ( r). (4.17) Całkujemy obie strony po 3 r w całej przestrzeni (obliczamy więc iloczyny skalarne) i c nα (t) t u mβ u nα = E n c nα (t) u mβ u nα. (4.18) Korzystamy z relacji ortonormalności (4.14) i c nα (t) t δ mn δ βα = E n c nα (t) δ mn δ βα. (4.19) Wykonując sumowanie otrzymujemy równanie ruchu la współczynników c nα (t): c mβ (t) t = ie n c mβ(t). (4.20) Zwróćmy uwagę, że równanie to możemy otrzymać o razu z (4.16) owołując się o jenoznaczności przestawienia wektorów (funkcji) w bazie. Całkowanie równania (4.20) jest barzo proste (zmienne się rozzielają). W rezultacie otrzymujemy c mβ (t) = c mβ (t 0 ) e ien(t t 0)/. (4.21) Wstawiamy teraz wynik (4.21) o rozkłau (4.15) i mamy ψ( r, t) = c nα (t 0 ) e ien(t t 0)/ u nα ( r). (4.22) Współczynniki c nα (t 0 ) oczywiście zależą o warunku początkowego (4.12), który jest any. Nietruno jest więc je wyliczyć. Bierzemy wyrażenie (4.22) la chwili początkowej ψ 0 ( r) = ψ( r, t 0 ) = c nα (t 0 ) u nα ( r). (4.23) Mnożymy obustronnie z lewej przez u mβ ( r), obliczamy iloczyny skalarne (całkujemy) i korzystamy z ortonormalności funkcji własnych hamiltonianu u mβ ψ 0 = c nα (t 0 ) u mβ u nα = c mβ (t 0 ). (4.24) Obliczone w ten sposób współczynniki postawiamy o (4.22): ψ( r, t) = u nα ψ 0 e ien(t t 0)/ u nα ( r), (4.25) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 55
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 56 co stanowi poszukiwane rozwiązanie równania Schröingera la ukłau konserwatywnego. Wizimy więc, że uzyskane rozwiązanie jest kombinacją liniową wyrażeń typu (4.8). Oczywiście ogólne rozwiązanie musi być, zgonie z zasaą superpozycji wynikającą z liniowości równania Schröingera, kombinacją liniową rozwiązań szczególnych. Uzyskane wyniki pozwalają nakreślić proceurę rozwiązywania równania Schröingera la ukłaów zachowawczych (z hamiltonianem niezależnym jawnie o czasu). 1. Rozwiązujemy stacjonarne równanie Schröingera (4.13), czyli zaganienie własne la operatora Hamiltona. Znajujemy więc wartości (energie) własne i opowienie funkcje własne tworzące bazę w przestrzeni funkcji falowych ukłau. 2. Rozkłaamy stan początkowy w bazie stanów własnych, tj. obliczamy współczynniki weług wzoru (4.24). 3. Konstruujemy funkcję falową la t > t 0 na postawie relacji (4.22) lub (4.25). Pokreślmy, że kluczową rolę ogrywa tu pierwszy punkt. Jest on zresztą zazwyczaj technicznie najtruniejszy. 4.2.2 Normowanie stacjonarnej funkcji falowej (4.25) Uowoniliśmy już, że równanie Schröingera zachowuje normę funkcji falowej i to niezależnie o tego czy hamiltonian jest, czy też nie jest funkcją czasu. Mimo to, zrobimy proste ćwiczenie rachunkowe, w którym wykażemy, że funkcja falowa (4.25) jest rzeczywiście unormowana. Istotnie, z efinicji normy ψ 2 = 3 r ψ ( r, t)ψ( r, t) [ ] = 3 r u nα ψ 0 e ien(t t0)/ u nα ( r) n,α u mβ ψ 0 e iem(t t0)/ u mβ ( r) m,β = ψ 0 u nα e i(en Em)(t t0)/ u mβ ψ 0 n,α m,β 3 r u nα ( r) u mβ( r) (4.26) Całka w ostatniej linii to po prostu iloczyn skalarny u nα u mβ = δ nm δ αβ (ortonormalność funkcji bazy). Wykonując więc sumowania po m i β wizimy, że w czynniku wykłaniczym energie się znoszą. W ten sposób mamy ψ 2 = ψ 0 u nα u nα ψ 0 n,α = 3 r ψ0 ( r) u nα( r) 3 x u nα ( x) ψ 0( x) n,α [ ] = 3 r 3 x ψ0( r) u nα( x) u nα ( r) ψ 0 ( x) n,α = 3 r 3 x ψ0( r) δ( x r) ψ 0 ( x), (4.27) gzie skorzystaliśmy z warunku zupełności funkcji tworzących bazę. Dalsze kroki są już trywialne ψ 2 = 3 r ψ0 ( r) ψ 0( r) = 1, (4.28) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 56
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 57 bowiem początkowa funkcja falowa jest, z założenia, unormowana. Pokażemy później, wprowazając tzw. notację Diraca, jak można wykonać analogiczne rachunki w sposób niemalże automatyczny. 4.2.3 Stan początkowy stan własny hamiltonianu Rozważymy teraz pewien szczególny przypaek. Niech stan początkowy ψ( r, t 0 ) = ψ 0 ( r) bęzie jenym ze stanów własnych hamiltonianu opowiaającym energii E n. W wypaku, gy E n jest g n -krotnie zegenerowane, to ψ 0 ( r) kombinacją liniową ψ 0 ( r) = α b α u nα ( r), (4.29) bowiem wszystkie u nα (α = 1, 2,..., g n ) opowiaają tej samej (g n krotnie zegenerowanej) wartości własnej energii. Na mocy relacji (4.25) stan ukłau la owolnego t > t 0 ψ( r, t) = m,β u mβ α b α u nα e iem(t t 0)/ u mβ ( r) = b α u mβ u nα e iem(t t0)/ u mβ ( r) m,β α = b α δ mn δ βα e iem(t t0)/ u mβ ( r) m,β α = e ien(t t 0)/ α b α u nα ( r) = e ien(t t 0)/ ψ 0 ( r). (4.30) A więc oba stany: początkowy ψ 0 ( r) i końcowy ψ( r, t) różnią się tylko globalnym (niezależnym o położenia r) czynnikiem fazowym. Różnica ta nie ma żanego znaczenia fizycznego. Stan początkowy i końcowy niosą okłanie tę samą informację. Dlatego też stany stacjonarne (stany własne hamiltonianu) są tak nazwane. Ponato wizimy tutaj jak istotne jest rozwiązanie zaganienia własnego la hamiltonianu (stacjonarnego równania Schröingera). Co więcej, w rozważanym stanie gęstość prawopoobieństwa znalezienia cząstki w otoczeniu punktu r jest niezależna o czasu. Istotnie, z (4.30) mamy o razu ρ( r, t) = ψ( r, t) 2 = ψ 0 ( r) 2, (4.31) bo czynnik wykłaniczy ma mouł równy jeności. Rozważmy jeszcze wartość oczekiwaną obserwabli  = Â( r, p) niezależnej jawnie o czasu la ukłau znajującego się w stanie stacjonarnym (4.30)) stanie własnym hamiltonianu (energii). Bezpośrenio z efinicji mamy A = ψ  ψ = 3 r ψ ( r, t)  ψ( r, t) = 3 r ψ0( r)  ψ 0( r) = ψ 0  ψ 0 = A 0. (4.32) Wnioskujemy więc, że la ukłau w stanie własnym hamiltonianu wartości oczekiwane niezależnych o czasu obserwabli są także o czasu niezależne. 4.2.4 Uwagi o zachowaniu energii Z powyższych rozważań wynika, że stan własny hamiltonianu (la ukłau konserwatywnego) w wyniku ewolucji czasowej pozostaje stanem własnym opowiaającym tej samej energii. Możemy więc powiezieć, że energia jest zachowana. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 57
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 58 Inne spojrzenie na uzyskane rezultaty jest następujące. W chwili początkowej t 0 mierzymy energię ukłau. Otrzymujemy jeną z wartości własnych, np. E n. Po pomiarze, stan ukła (funkcja falowa) reukuje się o stanu własnego energii (o postaci typu (4.29)). Jest to stan stacjonarny, którego ewolucja w czasie polega na pojawieniu się fizycznie nieistotnego czynnika fazowego. Ponowny pomiar energii a ten sam wynik, czyli energia ukłau jest stała. Oczywiście w obecności oziaływań zewnętrznych lub oziaływania zależnego o czasu sytuacja się komplikuje. Do yskusji takich zaganień wrócimy w alszych częściach wykłau. 4.3 Ewolucja wartości oczekiwanej obserwabli 4.3.1 A t liczbowa funkcja czasu Niech  bęzie operatorem hermitowskim (obserwablą) opowiaającym pewnej wielkości fizycznej. Stan ukłau opisany jest funkcją falową ψ( r, t) spełniającą równanie Schröingera (4.1) lub równanie sprzężone (4.3). Pokreślmy, że rozważana wielkość fizyczna może (ale nie musi) być jawną funkcją czasu. Powstaje wówczas pytanie jak zależy o czasu wartość oczekiwana A t = ψ(t)  ψ(t) = 3 r ψ ( r, t)  ψ( r, t). (4.33) Ważne jest zrozumienie, że A t jest liczbową funkcją czasu, z czego zaje sprawę umieszczony u ołu ineks t. Przyjmijmy, że A kl ( r kl, p kl, t) jest pewną klasyczną wielkością charakteryzującą ukła fizyczny (np. cząstkę bezspinową). W mechanice klasycznej r kl i p kl są funkcjami czasu, ich ewolucją rzązą hamiltonowskie równania ruchu. A więc klasyczna wielkość A( r, p, t) zależy o czasu w sposób niejawny (uwikłany) poprzez r i p, a także jawnie, na co wskazuje jej trzeci argument. Przechozimy teraz o mechaniki kwantowej, weług zasay opowieniości A( r, p, t) Â( r, i, t). (4.34) Operatory położenia i pęu o czasu nie zależą (tzw. obraz Schröingera). Cała zależność o czasu siezi w trzecim argumencie. Przy obliczaniu wartości oczekiwanej weług (4.33) oatkowa zależność o czasu wchozi poprzez opowienią zależność funkcji falowej ψ(t). Otrzymana całka wzglęem 3 r jest oczywiście niezależna o r, aje ona liczbę zależną o czasu. A zatem A t jest funkcją czasu, tj. la owolnego t jest liczbą. Wyjątkiem jest sytuacja (por. (4.32)), gy ψ( r, t) jest stanem własnym hamiltonianu, a obserwabla  nie zależy jawnie o czasu. Jeżeli jenak  = Â(t) (obserwabla jest funkcją czasu), to wartość oczekiwana A t jest funkcją czasu nawet wtey, gy stan ψ jest stanem własnym energii. 4.3.2 Równanie ruchu la A t Aby opowiezieć na postawione powyżej pytanie, szukamy równania ruchu mówiącego jak zachowuje się wartość oczekiwana A t jako funkcja czasu. Ponieważ jest to funkcja tylko t, więc różniczkując równanie (4.33) ostajemy t A t = 3 r ψ ( r, t)  ψ( r, t) = [ ψ 3 r  ψ + ψ  ψ + ψ  ψ ] (4.35) W śrokowym skłaniku opuściliśmy, że operator  może jawnie zależeć o czasu. Posługując się równaniem Schröingera (4.1) i równaniem sprzężonym (4.3) eliminujemy pochone czasowe S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 58
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 59 funkcji falowej t A t = 3 r [ 1 i (Ĥψ )  ψ + ψ  ψ + 1 ) i ψ  (Ĥψ ]. (4.36) Drugi człon to po prostu wartość oczekiwana pochonej czasowej operatora Â. Zapisując powyższe wyrażenie nieco formalniej mamy t A  t = 1 1 Ĥψ Âψ + ψ ÂĤψ. (4.37) i i Przerzucając w rugim członie hamiltonian z lewego skłanika iloczynu skalarnego o prawego, korzystamy z jego hermitowskości t A  t = 1 i ψ ĤÂψ + 1 ψ ÂĤψ, (4.38) i a następnie łączymy wa ostatnie skłaniki otrzymując t A  t = + 1 ) (ÂĤ i ψ Ĥ ψ. (4.39) Wizimy, że ostatni człon to po prostu wartość oczekiwana komutatora, wobec tego piszemy poszukiwane równanie ruchu w postaci i [Â, t A t = ] Â(t) Ĥ + i. (4.40) Ostatni skłanik jest obecny tylko wtey, gy obserwabla  jest jawnie zależna o czasu. Zwróćmy też uwagę, że w tym wyprowazeniu nie zakłaaliśmy, że hamiltonian Ĥ jest o czasu niezależny. Pożytek z równania (4.40) jest w praktycznych obliczeniach na ogół mały. Wynika to stą, że o obliczenia jego prawej strony potrzebne nam są wie wartości oczekiwane [Â, ] Ĥ = ψ(t) [ Â, Ĥ ] ψ(t), Â(t) = ψ(t) Â(t) ψ(t). (4.41) Aby policzyć te wartości oczekiwane musimy znać ψ(t) rozwiązania równania Schröingera. Możemy wówczas bezpośrenio obliczyć A t ze wzoru (4.33). Nie ma wtey potrzeby buowania wzoru (4.40), a następnie jego całkowania. Mimo to relacja (4.40) ma zastosowania formalno-teoretyczne, pozwalające omówić ważne aspekty mechaniki kwantowej. Dla obserwabli niezależnej jawnie o czasu rugi skłanik wyrażenia (4.40) znika, a zatem pozostaje równanie i t A t = [Â, Ĥ ]. (4.42) Jeżeli więc obserwabla  komutuje z hamiltonianem, to jest stałą ruchu. Mamy więc następujące stwierzenie  = 0  = Â, [ ] Â, Ĥ = 0 = t A t = 0, A t = const.. (4.43) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 59
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 60 W szczególności, w ukłaach fizycznych, których hamiltonian nie zależy jawnie o czasu energia jest zachowana. Ĥ = 0, = E = const., (4.44) co wykazaliśmy (inną metoą) już uprzenio. Warto w tym miejscu przypomnieć, że w mechanice klasycznej stałą ruchu jest wielkość fizyczna, której nawiasy Poissona z hamiltonianem znikają (zerują się). Przy kwantowaniu nawiasy Poissona przechozą w komutatory, więc stwierzenie (4.43) możemy uznać za kwantowo-mechaniczny opowienik twierzenia mechaniki klasycznej. Relacja (4.40) jest przyatna o wyprowazenia tzw. równań Ehrenfesta. Równania te pozwalają wyjaśnić sposób przejścia o mechaniki kwantowej o klasycznej. 4.4 Twierzenie Ehrenfesta 4.4.1 Wyprowazenie równań Ehrenfesta Rozważmy cząstkę bezspinową poruszającą się w polu o potencjale (energii potencjalnej) ( r), Oczywiście jej hamiltonian ma postać Ĥ = ˆP 2 2 m + ( r). (4.45) Zastosujemy wyżej omawiany formalizm o operatorów położenia i pęu ˆR oraz ˆP cząstki. Żaen z tych operatorów nie zależy jawnie o czasu, wobec czego, na mocy (4.40) otrzymujemy równania ruchu la wartości oczekiwanych i t r t = i t p t = [ ˆR, Ĥ ], (4.46a) [ ˆP, Ĥ ]. (4.46b) Wartości oczekiwane obliczamy la pewnego stanu ψ ukłau, nie ma jenak tutaj konieczności okłaniejszego precyzowania tego stanu. Aby wykorzystać równania ruchu (4.46b) musimy obliczyć występujące w nich komutatory. Pierwszy z nich to [ ˆR, ] Ĥ = 1 [ ˆR, ˆP2 ] + [ ] ˆR, ( r). (4.47) 2 m Drugi komutator znika, bo ziałanie operatora położenia i jego funkcji polega na mnożeniu funkcji falowej, a takie ziałania są przemienne. Wobec tego, pisząc zgonie z (3.97) ˆR = r, otrzymujemy [ ] r, Ĥ = 1 [ r, ˆP2 ] = 1 2 m 2 m = e k 2 m [ ek ˆx k, ˆP n ˆP n ] { [ ˆxk, ˆPn ] ˆPn + ˆP n [ ˆxk, ˆPn ] } = e k 2 m ( i δ kn ˆPn + i δ kn ˆPn ) = i m e k ˆP k = i m ˆP. (4.48) Przechozimy teraz o obliczeń komutatora operatora pęu i hamiltonianu, potrzebnego w (4.46b). Niech ψ( x) oznacza owolną funkcję falową baanej cząstki, wówczas mamy [ ˆP, Ĥ ] ψ( r) = [ ˆP, ( r) ] ψ( r) = i ek [ k, ( r) ] ψ( r) = i e k { k ( ( r) ψ( r)) ( r) k ψ( r)} = i e k ( ψ( r) k ( r) + ( r) k ψ( r) ( r) k ψ( r) ). (4.49) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 60
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 61 Drugi i trzeci skłanik wzajemnie się znoszą, a zatem wobec owolności funkcji falowej ψ( x) otrzymujemy [ ˆP, Ĥ ] = i e k k ( r) = i ( r). (4.50) Wykorzystując obliczone komutatory (4.48) i (4.50) w równaniach (4.46), po skróceniu czynników i ostajemy t r t = 1 m ˆP t, (4.51a) t p t = ( r). (4.51b) Powyższe równania stanowią treść tzw. twierzenia Ehrenfesta. Są to kwantowo-mechaniczne równania ruchu la wartości oczekiwanych położenia i pęu cząstki (bezspinowej) poruszającej się w polu o potencjale ( x). Równania (4.51) są barzo poobne o klasycznych równań ruchu cząstki t x kl(t) = 1 m p kl(t), (4.52a) t p kl(t) = gra ( x) = F kl, (4.52b) gzie F kl jest klasyczną siłą ziałającą na cząstkę. Analogia pomięzy równaniami (4.51) i (4.52) jest ewientna, lecz wymaga starannej yskusji. 4.4.2 Dyskusja. Granica klasyczna Załóżmy, że ψ( x, t) przestawia pewien pakiet falowy opisujący rozważaną cząstkę. Wówczas wartość oczekiwaną x(t) nazwiemy centrum pakietu. Zbiór położeń { x(t) } sparametryzowany czasem t stanowi wówczas trajektorię, wzłuż której porusza się centrum pakietu. Pokreślmy, że nie mówimy tu o trajektorii cząstki, ale o pakiecie, który nieozownie ma pewne rozmycie. Jeżeli szerokość przestrzenna pakietu jest mała w porównaniu ze wszelkimi innymi oległościami istotnymi la baanego ukłau, to położenie pakietu jest obrze określone (choć tylko w pewnym przybliżeniu) przez położenie jego centrum. W takiej granicy nie ma istotnej różnicy pomięzy opisami klasycznym, a kwantowo-mechanicznym. Powstaje jenak wtey pytanie, czy ruch centrum pakietu polega prawom mechaniki klasycznej? Równanie (4.51a) stwierza, że prękość pakietu (jego śroka) jest równa śreniemu pęowi pozielonemu przez masę cząstki. A więc lewa strona równania (4.51b) może być interpretowana jako m 2 x(t) /t 2. Opowieź na postawione pytanie byłaby pozytywna, jeśli prawa strona (4.51b) byłaby równa klasycznej sile F kl = gra ( x) (4.53) x = x a więc graientowi energii potencjalnej wziętemu w centrum pakietu. Jenakże prawa strona równania (4.51b) jest równa śreniej sile, uśrenionej po całym pakiecie. Na ogół zaś śrenia siła gra ( x) = 3 r ψ ( x, t) [ ( x) ] ψ( x, t) gra ( x), (4.54) x = x bowiem inaczej mówiąc, śrenia wartość funkcji na ogół nie jest równa wartości funkcji obliczonej la śreniej wartości jej argumentu. Wnioskujemy więc, że ściśle rzecz biorąc opowieź na S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 61
3.10.2004 4. Równanie Schröingera 62 postawione pytanie jest negatywna: w ogólnym przypaku ruch centrum pakietu polega prawom mechaniki kwantowej, a NIE klasycznej. Uzyskane wyniki pozwalają na alszą, choć już przybliżoną yskusję. W relacji (4.54) równość nie zachozi. Jenakże możemy lewą część (4.54) zapisać w postaci gra ( x) = 3 r ψ( x, t) 2 ( x). (4.55) Jeżeli więc funkcja ψ( x, t) 2 jest ostro wypikowana w okolicach x, tzn. ψ( x, t) 2 szybko zmienia się w obszarze, gzie ( x) jest wolnozmienny (innymi słowy, jeżeli w okolicach x wyrażenie gra ( x) jest praktycznie stałe), to możemy powyższą całkę przybliżyć wzorem gra ( x) ( x) 3 r ψ( x, t) 2 x = x = gra ( x), (4.56) x = x ze wzglęu na normowanie funkcji (pakietu) falowej. W granicy makroskopowej (klasycznej) ługość fali e Broglie a λ B, związanej z rozważaną cząstką, jest znacznie mniejsza niż oległości na jakich ( x) zmienia się w istotny sposób. Rozmiary pakietu falowego są zazwyczaj rzęu kilku λ B, więc relacja (4.56) jest obrym przybliżeniem. W takim przypaku ruch pakietu falowego jest w obrym przybliżeniu klasyczny i opowiaa ruchowi cząstki klasycznej o masie m w polu o potencjale ( x). Wynik ten jest barzo ważny, bowiem pozwala wykazać, że równania mechaniki klasycznej wynikają z równania Schröingera w określonej sytuacji granicznej, która jest obrze spełniona la zecyowanej większości ukłaów makroskopowych. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 62