ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m < n 0 dla dowolnej liczby m nale» cej do A. Twierdzenie 1.1. (Zasada maksimum) W ka»dym niepustym ograniczonym podzbiorze A zbioru liczb naturalnych istnieje liczba najwi ksza tzn. istnieje taka liczba m 0 nale» ca do A,»e m m 0 dla dowolnej liczby m nale» cej do A. Twierdzenie 1.2. (Zasada minimum) W ka»dym niepustym podzbiorze A zbioru liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza tzn. istnieje taka liczba m 0 nale» ca do A,»e m 0 m dla ka»dej liczby naturalnej m nale» cej do A. Twierdzenie 1.3. (Zasada indukcji matematycznej zupeªnej) Niech ka»dej liczbie naturalnej n przyporz dkowane b dzie zdanie logiczne p(n). Wówczas z za- ªo»e«: (1) zdanie p(1) jest prawdziwe; (2) dla ka»dego n N, je±li zdanie p(n) jest prawdziwe, to zdanie p(n + 1) jest prawdziwe; wynika prawdziwo± zda«p(n) dla ka»dego n N. Denicja 1.2. Niech a, b b d liczbami caªkowitymi takimi,»e a 0. Mówimy,»e liczba a dzieli liczb b lub liczba b jest podzielna przez liczb a, lub»e liczba a jest dzielnikiem liczby b, lub»e liczba b jest wielokrotno±ci liczby a, gdy istnieje liczba caªkowita k taka,»e b = ak. Oznaczenia: a dzieli b a nie dzieli b a b a b Twierdzenie 1.4. Dla dowolnych a, b, c Z oraz 0 m Z prawdziwe s nast puj ce wªasno±ci: (1) m m, m 0, 1 a i 1 a; (2) je»eli a b i a c, to a b + c i a b c; (3) je»eli a b i b c, to a c; (4) je»eli a b to a bc; (5) je»eli a b i b 0, to a b ; (6) je»eli a b i b a, to b = a lub b = a; (7) a b wtedy i tylko wtedy, gdy ma mb. Twierdzenie 1.5. (Twierdzenie o dzieleniu z reszt w liczbach caªkowitych) Je»eli a, b Z i b 0, to istniej jednoznacznie okre±lone liczby caªkowite q, r takie,»e a = qb + r i 0 r < b. 1

2 IZABELA AGATA MALINOWSKA Twierdzenie 1.6. Niech b b dzie liczb naturaln tak,»e b > 1. Wówczas ka»da liczba naturalna n mo»e by jednoznacznie zapisana w postaci: n = a k b k + a k 1 b k 1 + + a 1 b + a 0, gdzie a j jest liczb caªkowit tak,»e 0 a j b 1 dla j = 0, 1,... k oraz a k 0. Wniosek 1.7. Ka»da liczba naturalna mo»e by przedstawiona jako suma ró»nych pot g liczby 2. 2. Liczby pierwsze Denicja 2.1. Liczb naturaln nazywamy liczb pierwsz, je»eli n > 1 i jedynymi jej dzielnikami nauralnymi s 1 i n. Ka»d liczb naturaln wi ksz od 1, która nie jest liczb pierwsz nazywamy liczb zªo»on. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznacza b dziemy symbolem P. Lemat 2.1. Ka»da liczba naturalna > 1 ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy. Lemat 2.2. Dla ka»dej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza wi ksza od n. Twierdzenie 2.3. (Euklides) Istnieje niesko«czenie wiele liczb pierwszych. Twierdzenie 2.4. Ka»da liczba zªo»ona n ma dzielnik pierwszy n. Sito Eratostenesa Przykªad 2.1. Zastosujemy metod sita Eratostenesa do wyznaczenia wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 100. Wypisujemy wszystkie liczby od 2 do 99 i w otrzymanym ci gu wykre±lamy kolejno wielokrotno±ci liczb 2, 3, 5, 7. Dla najmniejszej niewykre±lonej liczby wi kszej od 7, czyli dla 11 zachodzi 11 2 > 99, a zatem wszystkie liczby zªo»one zostaªy ju» wykre±lone.

ELEMENTARNA TEORIA LICZB 3 Tablica 1. Sito Eratostenesa 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 3. Najwi kszy wspólny dzielnik Denicja 3.1. Niech a, b Z, przy czym a 0 lub b 0. Najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb a i b nazywamy liczb caªkowit d speªniaj c warunki: (1) d a i d b; (2) dla ka»dej liczby caªkowitej c takiej,»e c a i c b zachodzi nierówno± c d. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb a i b oznaczamy symbolem (a, b) lub NWD(a, b). Twierdzenie 3.1. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b takich,»e a 0 lub b 0 istnieje ich najwi kszy wspólny dzielnik. Denicja 3.2. Liczby caªkowite a i b dla których (a, b) = 1 nazywamy wzgl dnie pierwszymi. Twierdzenie 3.2. Niech a, b (a 0 lub b 0) b d liczbami caªkowitymi takimi, ( a»e (a, b) = d. Wwóczas d d), b = 1. Twierdzenie 3.3. Je»eli a, b, c s liczbami caªkowitymi przy czym a 0 lub b 0, to (a + cb, b) = (a, b).

4 IZABELA AGATA MALINOWSKA Twierdzenie 3.4. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b (a 0 lub b 0) istniej liczby caªkowite x, y takie,»e xa + yb = (a, b). Wniosek 3.5. Niech a, b Z, a 0 lub b 0. Je±li d jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b, to d dzieli (a, b). Twierdzenie 3.6. Niech a, b Z, a 0 lub b 0. Wówczas najwi kszy wspólny dzielnik jest: (1) najmniejsz liczb naturaln daj c si przedstawi w postaci ax + by gdzie x, y Z, (2) dodatnim wspólnym dzielnikiem a i b, który jest podzielny przez ka»dy wspólny dzielnik liczb a i b (istnieje dokªadnie jedna liczba o tej wªasno±ci). Twierdzenie 3.7. Niech a, b Z, a 0 lub b 0. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej m (ma, mb) = m(a, b). Twierdzenie 3.8. Niech a, b, c Z, a 0 lub b 0. Je±li c a i c b i c > 0, to ( a c, b ) = 1 (a, b). c c Je±li (a, b) = d, to ( a d, b ) = 1. d Twierdzenie 3.9. Niech a, b, c Z. Je±li (a, b) = 1 i c a, to (c, b) = 1. Algorytm Euklidesa Poniewa» ( a, b ) = (a, b) wi c mo»emy zaªo»y,»e a b > 0. Twierdzenie 3.10. Niech r 0 = a i r 1 = b b d liczbami caªkowitymi takimi,»e a b > 0. Je»eli wielokrotnie wykonuj c dzielenie z reszt, otrzymujemy ci g zale»no±ci r j = r j+1 q j+1 + r j+2, gdzie 0 < r j+2 < r j+1 dla j = 0, 1, 2,..., n 2 oraz r n+1 = 0, to (a, b) = r n. Denicja 3.3. Niech S b dzie niepustym (sko«czonym lub niesko«czonym) zbiorem liczb caªkowitych, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Liczb caªkowit d, która jest dzielnikiem ka»dej z liczb ze zbioru S nazywamy wspólnym dzielnikiem liczb ze zbioru S. Najwi ksz liczb calkowit dziel c wszystkie liczby za zbioru S nazywamynajwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb ze zbioru S, tzn. najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb ze zbioru S nazywamy liczb caªkowit d speªniaj c warunki: (1) dla dowolnego a S zachodzi d a; (2) je±li d Z i d > d, to istnieje a S takie,»e d a. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych a 1, a 2,..., a n oznaczamy symbolem (a 1, a 2,..., a n ). Twierdzenie 3.11. Niech S b dzie niepustym (sko«czonym lub niesko«czonym) zbiorem liczb caªkowitych, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Wówczas istnieje najwi kszy wspólny dzielnik liczb ze zbioru S.

ELEMENTARNA TEORIA LICZB 5 Twierdzenie 3.12. Niech k N oraz k 2 oraz niech a 1, a 2,..., a k b d liczbami caªkowitymi, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Je»eli (a 1, a 2,..., a k ) = d, to ( a 1 d, a2 d,, a ) k d = 1. Twierdzenie 3.13. Niech k N, k 2. Je»eli a 1, a 2,..., a k s liczbami caªkowitymi, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera, to istniej takie liczby caªkowite x 1, x 2,..., x k,»e ( ) k a i x i = (a 1, a 2,..., a k ), i=1 przy czym (a 1, a 2,..., a k ) jest najmniejsz liczb naturaln daj c si przedstawi w postaci ( ), ponadto (a 1, a 2,..., a k ) jest dodatnim wspólnym dzielnikiem liczb a 1, a 2,..., a k, który jest podzielny przez ka»dy wspólny dzielnik tych liczb. Twierdzenie 3.14. Niech k N, k > 2. Je»eli a 1, a 2,..., a k 1, a k s liczbami caªkowitymi, przy czym przynajmniej jedna z a 1, a 2,..., a k 1 jest ró»na od zera, to (a 1, a 2,..., a k 1, a k ) = ((a 1, a 2,..., a k 1 ), a k ). St d wynika,»e aby znale¹ liczb (a 1, a 2,..., a k 1, a k ), gdzie a 1 0 mo»emy obliczy kolejno dzielniki d 2 = (a 1, a 2 ), d 3 = (d 2, a 3 ), d 4 = (d 3, a 4 ),..., d k 1 = (d k 2, a k 1 ) i (a 1, a 2,..., a k 1, a k ) = (d k 1, a k ) Twierdzenie 3.15. Niech k N, k 2. Je»eli a 1, a 2,..., a k s liczbami caªkowitymi, z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera, to dla dowolnej liczby naturalnej m (ma 1, ma 2,..., ma k ) = m(a 1, a 2,..., a k ). Twierdzenie 3.16. (Podstawowe twierdzenie arytmetyki) Je»eli a, b, c Z, a bc oraz (a, b) = 1, to a c. Twierdzenie 3.17. (1) Niech k N i k > 1. Wówczas dla dowolnych liczb caªkowitych a 1, a 2,..., a k, (a 1, a 2,..., a k ) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istniej liczby caªkowite t 1, t 2,..., t k takie,»e a 1 t 1 + a 2 t 2 + + a k t k = 1. (2) Niech k N i k > 1. Je»eli d, b, a 1, a 2,..., a k Z takie,»e (a 1, a 2,..., a k ) = 1 i d ba i dla ka»dego i = 1, 2,..., k, to d b. Twierdzenie 3.18. Je»eli a, b, c s liczbami caªkowitymi takimi,»e (a, c) = (b, c) = 1, to (ab, c) = 1. Twierdzenie 3.19. Niech k N, k 2. Je»eli liczba caªkowita c jest wzgl dnie pierwsza z ka»d z liczb a 1, a 2,..., a k, to jest te» wzgl dnie pierwsza z ich iloczynem. Twierdzenie 3.20. Je»eli a, b i c s liczbami caªkowitymi takimi,»e a c, b c i (a, b) = 1, to ab c. Twierdzenie 3.21. Niech k N, k 2. Je»eli liczby m 1, m 2,..., m k Z s parami wzgl dnie pierwsze i wszystkie dziel liczb caªkowit x, to iloczyn m 1 m 2... m k dzieli x.

6 IZABELA AGATA MALINOWSKA 4. Najmniejsza wspólna wielokrotno± Denicja 4.1. Niech a, b b d ró»nymi od zera liczbami caªkowitymi. Liczb naturaln m nazywamy najmniejsz wspóln wielokrotno±ci liczb a i b, je»eli (1) liczby a i b dziel m; (2) je»eli m N i a m i b m, to m m. Najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb a i b oznaczamy symbolem [a, b]. Twierdzenie 4.1. Dla dowolnych ró»nych od zera liczb caªkowitych a, b istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotno±. Twierdzenie 4.2. Niech a, b b d dowolnymi ró»nymi od zera liczbami caªkowitymi oraz m 0 = [a, b] b dzie ich ich najmniejsz wspóln wielokrotno±ci. Je»eli m jest liczb caªkowit podzieln przez a, jak i przez b, to m 0 m. Twierdzenie 4.3. Niech a, b b d dowolnymi ró»nymi od zera liczbami caªkowitymi. Wówczas: (1) je»eli m N, to [ma, mb] = m[a, b]; (2) [a, b](a, b) = ab. Denicja 4.2. Niech k N, k 2. Je»eli liczby caªkowite a 1, a 2,..., a k s wszystkie ró»ne od zera, to najmniejsz liczb naturaln dziel c si przez nie wszystkie nazywamy najmniejsz wspóln wielokrotno±ci liczb a 1, a 2,..., a k i oznaczamy symbolem [a 1, a 2,..., a k ]. Zatem najmniejsz wspóln wielokrotno±ci liczb a 1, a 2,..., a k nazywamy tak liczb naturaln m, która speªnia warunki: (1) dla ka»dego i = 1, 2,..., k zachodzi a i m, (2) je»eli m N i dla ka»dego i = 1, 2,..., k zachodzi a i m, to m m. Twierdzenie 4.4. Niech k N, k 2. Dla dowolnych ró»nych od zera liczb caªkowitych a 1, a 2,..., a k istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotno±. Twierdzenie 4.5. Niech k N, k 2. Je»eli a 1, a 2,..., a k s liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera, to [a 1, a 2,..., a k ] dzieli ka»d wspóln wielokrotno± tych liczb. Ponadto [a 1, a 2,..., a k ] jest dodatni wspóln wielokrotno±ci tych liczb, która dzieli ka»d ich wspóln wielokrotno±. Twierdzenie 4.6. Niech k N, k > 2. Je»eli a 1, a 2,..., a k s liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera, to [a 1, a 2,..., a k ] = [[a 1, a 2,..., a k 1 ], a k ]. Twierdzenie 4.7. Niech k N, k 2. Je»eli liczby naturalne a 1, a 2,..., a k s parami wzgl dnie pierwsze, to [a 1, a 2,..., a k ] = a 1 a 2... a k. 5. Liniowe równania diofantyczne Denicja 5.1. Równaniem diofantycznym nazywamy ka»de równanie postaci f(x 1,..., x n ) = 0, gdzie f jest funkcj n zmiennych, a którego rozwi za«szukamy w zbiorze liczb caªkowitych lub zbiorze liczb naturalnych.

ELEMENTARNA TEORIA LICZB 7 Twierdzenie 5.1. Niech a, b, c Z, a 0 lub b 0. Równanie ( ) ax + by = c, ma rozwi zanie w liczbach caªkowitych x i y wtedy i tylko wtedy, gdy (a, b) c. Twierdzenie 5.2. Niech a, b, c (a 0 i b 0) b d liczbami caªkowitymi oraz niech para liczb caªkowitych x 0, y 0 b dzie rozwi zaniem równania ( ) ax + by = c. Para liczb caªkowitych x, y jest rozwi zaniem równania ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba caªkowita t taka,»e gdzie a = a 1 (a, b), ( ) x = x 0 + b 1 t, y = y 0 a 1 t, b = b 1 (a, b). Twierdzenie 5.3. Niech b dzie danych n liczb caªkowitych a 1, a 2,..., a n (n 2), z których przynajmniej jedna nie jest zerem. Równanie ( ) a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c ma rozwi zanie w liczbach caªkowitych x 1, x 2,..., x n wtedy i tylko wtedy, gdy (a 1, a 2,..., a n ) c. 6. Rozkªad na czynniki pierwsze Lemat 6.1. Je»eli p jest liczb pierwsz, a, b Z i p a b, to p a lub p b. Twierdzenie 6.2. Je»eli p jest liczb pierwsz a 1, a 2,..., a n Z i p a 1 a 2 a n, to istnieje k, 1 k n, takie,»e p a k, Twierdzenie 6.3. Ka»d liczb naturaln n > 1 mo»na przedstawi w postaci n = p 1 p 2 p k, przy czym k 1, liczby za± p 1, p 2,..., p k s pierwsze. Twierdzenie 6.4. Ka»d liczb naturaln n > 1 mo»na przedstawi jednoznacznie w postaci ( ) n = p 1 p k, przy czym k 1 oraz p 1 p 2 p k s liczbami pierwszymi. W±ród liczb p i wyst pi ka»dy dzielnik pierwszy liczby n. Twierdzenie 6.5. Ka»d liczb naturaln n > 1 mo»na jednoznacznie zapisa w postaci r n = p αi i, i=1 przy czym r 1, p 1 < p 2 < < p r s liczbami pierwszymi, α i za± s liczbami naturalnymi. Twierdzenie 6.6. Ka»d liczb caªkowit n 0, ±1 mo»na zapisa jednoznacznie w postaci r n = sgn n p αi i, przy czym r 1, p 1 < p 2 < < p r s liczbami pierwszymi, α i za± s liczbami naturalnymi. i=1

8 IZABELA AGATA MALINOWSKA Twierdzenie 6.7. Ka»d liczb caªkowit n 0 mo»na zaposa jednoznacznie w postaci n = ε p P p αp(n), przy czym ε = ±1, α p (n) N {0}. Wyst puj cy tu iloczyn zawiera jedynie sko«czenie wiele czynników ró»nych od jedno±ci. Twierdzenie 6.8. Ka»d liczb wymiern w ró»n od zera mo»na zapisa jednoznacznie w postaci w = ε p P p αp(w), przy czym ε = ±1, α p (w) Z. Wyst puj cy tu iloczyn zawiera jedynie sko«czenie wiele czynników ró»nych od jedno±ci. Uwaga 6.1. Rozkªady wyst puj ce w powy»szych twierdzeniach nazywamy rozkªadami kanonicznymi odpowiednich liczb. Twierdzenie 6.9. (1) Dla dowolnych niezerowych liczb wymiernych v, w zachodz równo±ci: α p (vw) = α p (v) + α p (w), α p ( w) = α p (w), α p ( v w ) = α p(v) α p (w), α p (v k ) = kα p (v), przy czym w ostatniej równo±ci k = 1, 2,... (2) Liczba wymierna w 0 jest caªkowita wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich liczb pierwszych p zachodzi nierówno± α p (w) 0. (3) Je»eli n Z, to p αp(n) jest najwi ksz pot g liczby pierwszej p, dziel c n. Twierdzenie 6.10. Je»eli a, b s liczbami caªkowitymi, to a dzieli b wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej liczby pierwszej p zachodzi α p (a) α p (b). Twierdzenie 6.11. Niech a 1, a 2,..., a n b d niezerowymi liczbami caªkowitymi. (1) Je»eli d = (a 1, a 2,..., a n ), to dla ka»dej liczby pierwszej p zachodzi α p (d) = min{α p (a 1 ), α p (a 2 ),..., α p (a n )}. (2) Je»eli D = [a 1, a 2,..., a n ], to dla ka»dej liczby pierwszej p zachodzi α p (D) = max{α p (a 1 ), α p (a 2 ),..., α p (a n )}. (3) Je»eli N a i dla i = 1, 2,..., n, to N (a 1, a 2,..., a n ). (4) Je»eli a i N dla i = 1, 2,..., n, to [a 1, a 2,..., a n ] N. (5) Je»eli a, b s liczbami naturalnymi, to (a, b)[a, b] = a b. Twierdzenie 6.12. (1) Ka»dy wspólny dzielnik sko«czonego ukªadu liczb caªkowitych jest dzielnikiem najwi kszego wspólnego dzielnika tych liczb. (2) Ka»da wspólna wielokrotno± sko«czonego ukªadu liczb caªkowitych dzieli si przez ich najmniejsz wspóln wielokrotno±. Uwaga 6.2. Je»eli p jest liczb pierwsz, α za± liczb naturaln to b dziemy pisa p α n dla zaznaczenia,»e p α dzieli n, ale p α+1 n. Twierdzenie 6.13. Liczba Θ(n) dzielników naturalnych liczby naturalnej n > 1 wyra»a si wzorem Θ(n) = ( αp (n) + 1 ), gdzie w tej notacji α = α p (n). p α n(α + 1) = p P

ELEMENTARNA TEORIA LICZB 9 7. Kongruencje Denicja 7.1. Niech m b dzie liczb naturaln. Mówimy,»e liczba caªkowita a przystaje do liczby caªkowitej b modulo m i piszemy a b (mod m), je±li m a b. Tak okre±lon relacj nazywamy kongruencj. Liczb m nazywamy moduªem kongruencji. Je»eli m a b, to piszemy a nie przystaje do b modulo m. Twierdzenie 7.1. Niech a, b, c, d i m b d liczbami caªkowitymi takimi,»e m > 0. Wówczas: (1) a b (mod m) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba caªkowita k taka,»e a = b + km. (2) Relacja przystawania (kongruencji) modulo m jest relacj równowa»no±ci w zbiorze liczb caªkowitych Z. (3) Je»eli a b (mod m) i c d (mod m), to (a) a + c b + d (mod m); (b) a c b d (mod m); (c) a c b d (mod m). Denicja 7.2. Peªnym ukªadem reszt modulo m jest zbiór liczb caªkowitych takich,»e ka»da liczba caªkowita przystaje modulo m dokªadnie do jednej liczby caªkowitej z tego zbioru. Przykªad 7.1. Niech m b dzie liczb caªkowit tak,»e m > 1. Zbiór {0, 1,..., m 1} tworzy peªny ukªad reszt modulo m. Nazywamy go zbiorem najmniejszych nieujemnych reszt modulo m. Zbiór {1, 2,..., m} tworzy równie» peªen ukªad reszt modulo m. Nazywamy go zbiorem najmniejszych dodatnich reszt modulo m Twierdzenie 7.2. Niech a, b Z oraz m, c, d N. Wówczas: (1) je»eli a b (mod m) i d m, to a b (mod d); (2) a b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy ac bc (mod mc). Twierdzenie 7.3. Niech a, b, c Z oraz m N. Wówczas: ( m ) (1) ac bc (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy a b mod. (c, m) (2) Je»eli ac bc (mod m) i (c, m) = 1, to a b (mod m). Twierdzenie 7.4. Niech x, y Z oraz m i N dla i = 1, 2,..., r. Wówczas: (1) x y (mod m i ) dla i = 1, 2,..., r wtedy i tylko wtedy, gdy x y (mod [m 1, m 2,..., m r ]). (2) Je»eli x y (mod m i ) dla i = 1, 2,..., r oraz m 1, m 2,..., m r s parami wzgl dnie pierwsze, to x y (mod m 1 m r ). Twierdzenie 7.5. Niech m N. Je»eli f(x 1, x 2,..., x n ) jest wielomianem n zmiennych o caªkowitych wspóªczynnikach, a liczby a i, b i (i = 1, 2,..., n) s caªkowite i speªniaj warunek a i b i (mod m) przy i = 1, 2,..., n, to f(a 1, a 2,..., a n ) f(b 1, b 2,..., b n ) (mod m). Twierdzenie 7.6. Niech a, b i m b d liczbami caªkowitymi takimi,»e m > 0. Je»eli a b (mod m), to (a, m) = (b, m).

10 IZABELA AGATA MALINOWSKA Twierdzenie 7.7. Je»eli r 1, r 2,..., r m jest peªnym ukªadem reszt modulo m oraz je»eli a jest liczb caªkowit tak,»e (a, m) = 1, to ar 1 + b, ar 2 + b,..., ar m + b jest peªnym ukªadem reszt modulo m dla dowolnej liczby caªkowitej b. Denicja 7.3. Zredukowanym ukªadem reszt modulo m nazywamy zbiór liczb caªkowitych r i takich,»e (r i, m) = 1, r i r j (mod m), je»eli i j oraz takich,»e ka»da liczba caªkowita x wzgl dnie pierwsza z m przystaje modulo m do pewnego elementu r i tego zbioru. Denicja 7.4. Niech n N. Liczba ϕ(n) oznacza ile jest liczb naturalnych mniejszych lub równych n i wzgl dnie pierwszych z n. Funkcj ϕ : N N nazywamy funkcj Eulera. Twierdzenie 7.8. Niech a Z, m N i (a, m) = 1. Je»eli r 1, r 2,..., r ϕ(m) jest zredukowanym ukªadem reszt modulo m, to ar 1, ar 2,..., ar ϕ(m) jest zredukowanym ukªadem reszt modulo m. Twierdzenie 7.9. (Euler) Niech m N i a Z. Je»eli (a, m) = 1, to a ϕ(m) 1 (mod m). Twierdzenie 7.10. (Fermat) Niech a b dzie liczb caªkowit i p liczb pierwsz. Je»eli p a, to a p 1 1 (mod p). Twierdzenie 7.11. Dla ka»dej liczby caªkowitej a i ka»dej liczby pierwszej p zachodzi a p a (mod p). 8. Funkcja Eulera Denicja 8.1. Funkcj arytmetyczn nazywamy dowolne odwzorowanie f : N C, gdzie N jest zbiorem liczb naturalnych, C - zbiorem liczb zespolonych. Denicja 8.2. Funkcj arytmetyczn f nazywamy multiplikatywn, je»eli (1) f nie jest to»samo±ciowo równa zeru; (2) f(m n) = f(m) f(n) dla wszystkich wzgl dnie pierwszych liczb m, n. Twierdzenie 8.1. Je»eli f jest funkcj multiplikatywn i je»eli n = p p αp(n) jest rozkªadem kononicznym liczby n, to f(n) = p f(p αp(n) ), a ponadto f(1) = 1. Twierdzenie 8.2. Je»eli p jest liczb pierwsz, to ϕ(p) = p 1. Je»eli p jest liczb naturaln tak,»e ϕ(p) = p 1, to p jest liczb pierwsz. Twierdzenie 8.3. Niech p b dzie liczb pierwsz i α liczb naturaln. Wówczas ϕ(p α ) = p α p α 1.

ELEMENTARNA TEORIA LICZB 11 Twierdzenie 8.4. Niech m i n b d wzgl dnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Wówczas ϕ(mn) = ϕ(m) ϕ(n). Twierdzenie 8.5. Niech n = p α1 1 pα2 2 pα k k naturalnej n > 1. Wówczas ) ) ) ϕ(n) = n (1 (1 1p1 1p2 (1 1pk b dzie rozkªadem kanonicznym liczby = n p n ( 1 1 ). p Lemat 8.6. Je»eli (m 1, m 2 ) = 1 i d m 1 m 2, to d da si przedstawi jednoznacznie w postaci d = d 1 d 2, przy czym d 1 m 1 i d 2 m 2. Twierdzenie 8.7. Dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równo± ϕ(d) = n. d n