ŃSTWOW WYŻSZ SZKOŁ ZWODOW W NYSIE SKRYT NR 8 arcin Zdanowicz echanika budowli rzewodnik do ćwiczeń dla studentów architektur CZĘŚĆ I OFICYN WYDWNICZ WSZ W NYSIE NYS 5
SEKRETRZ OFICYNY: Tomasz Drewniak RECENZENT: Jerz Wrwał SKŁD I ŁNIE: arcin Zdanowicz KOREKT I DJUSTCJ: Ewa ernat ROJEKT GRFICZNY OKŁDKI: Rszard Szmończk UTOR ZDJĘCI: arcin Zdanowicz Copright b Oficna Wdawnicza WSZ w Nsie Nsa 5 ISN 868 OFICYN WYDWNICZ WSZ W NYSIE 8 Nsa, ul. Grodzka 9 tel.: (77) 9855 email: oficna@pwsz.nsa.pl http://www.pwsz.nsa.pl/oficna Wdanie I Druk i oprawa: Z KluczDruk sp. z o. o. Kluczbork, ul. Zamkowa 8 tel.: (77) 8 76 7
Spis treści Wprowadzenie... 5. Statka elementarna... 7.. Wpadkowa płaskich układów sił... 8.. Warunki równowagi płaskich układów sił... 5. Ogólne wiadomości o płaskich ustrojach prętowch... 7.. Geometrczna niezmienność i statczna wznaczalność... 7.. Reakcje podporowe... 9.. Sił przekrojowe... 9. elki proste..... Wiadomości ogólne..... rzkład liczbowe..... rzkład do rozwiązania... 8. Ram statcznie wznaczalne... 9.. Wiadomości ogólne... 9.. rzkład liczbowe... 9.. rzkład do rozwiązania... 5 5. Łuki trójprzegubowe... 5 5.. Wiadomości ogólne... 5 5.. rzkład liczbowe... 5 5.. rzkład do rozwiązania... 6 6. Kratownice statcznie wznaczalne... 6 6.. Wiadomości ogólne... 6 6.. etod wznaczania sił wewnętrznch... 6 6.. rzkład liczbowe... 65 6.. rzkład do rozwiązania... 8 7. Charakterstki geometrczne... 8 7.. Wiadomości ogólne... 8 7.. Środek ciężkości przekroju... 8 7.. oment i promienie bezwładności przekroju... 8 7.. Wskaźnik zginania przekroju... 85 7.5 rzkład liczbowe... 86 8. Tablice pomocnicze... 9 ibliografia...
Wprowadzenie Niniejsz skrpt powstał jako pomoc ddaktczna do ćwiczeń tablicowch z przedmiotu ECHNIK UDOWLI i jest przeznaczon dla studentów pierwszego roku kierunku rchitektur i Urbanistki prz aństwowej Wższej Szkole Zawodowej w Nsie. Zakres materiału opracowano zgodnie z tematką ćwiczeń tablicowch, ab pomóc studentom w zrozumieniu nowch dla nich zagadnień oraz jako pomoc w samodzielnm wkonaniu ćwiczeń domowch. echanika budowli jest dziedziną mającą na celu określenie warunków, jakie powinn spełniać element konstrukcjne projektowanego obiektu, ab odpowiadał swemu przeznaczeniu pod względem wtrzmałości, sztwności oraz stateczności. Wtrzmałość określa wmaganą nośność analizowanego elementu, pozwalającą przejąć działające na niego obciążenia. Sztwność określa wartości dopuszczalnch odkształceń, które mogłb utrudnić lub wręcz uniemożliwić prawidłową eksploatację. Wreszcie stateczność ma zapobiec krtcznm zmianom kształtu lub położenia elementu konstrukcjnego (np. wboczenie pręta ściskanego, zwichrzenie elementu zginanego). rzedstawione zagadnienia możem podzielić na dwie zasadnicze dscplin: mechanikę ciała sztwnego (statka) oraz mechanikę ciała odkształcalnego (wtrzmałość materiałów), dla omówienia którch opracowano dwuczęściow skrpt. Część pierwsza, zawarta w niniejszej prac, prezentuje fundamentalne zagadnienia STTYKI, w zakresie niezbędnm dla architekta. oszczególne rozdział mają na celu przbliżć podstawową wiedzę teoretczną oraz jej wkorzstanie w rozwiązwaniu zadań praktcznch (przkład liczbowe). rzedstawiona w tej części tematka porusza zagadnienia z zakresu statki elementarnej składanie i rozkładanie sił, wpadkowe płaskich układów sił, oraz statki budowli rozwiązwanie płaskich ustrojów prętowch. Rozwiązania metodami analitcznmi wszstkich przkładów liczbowch przedstawianch w tej części, poparte są metodami wkreślnmi ze względu na ich wartości poznawcze oraz ddaktczne. Część druga skrptu przedstawiać będzie wiedzę z zakresu WYTRZYŁOŚCI TERIŁÓW niezbędną do umiejętnego kształtowania oraz wmiarowania przekrojów i elementów konstrukcjnch. odstawę tej wiedz stanowi umiejętność wznaczania charakterstk geometrcznch przekrojów (omawianch w części pierwszej) oraz znajomość zasadniczch przpadków wtrzmałościowch (ściskanie, rozciąganie, zginanie, itd.). rezentowane w tej części przkład liczbowe mają na celu przbliżenie metod wmiarowania przekrojów ściskanch, rozciąganch, zginanch, cz ścinanch, w elementach konstrukcjnch rozwiązwanch w części pierwszej skrptu. Układ taki ma na celu ukazanie kolejnch etapów projektowania konstrukcji inżnierskich, począwsz od przjęcia schematu statcznego, przez wznaczenie obciążeń zewnętrznch i wnikającch z ich oddziałwania sił wewnętrznch, aż po wmiarowanie przekroju stosownie do wstępującch w nim sił wewnętrznch. 5
6
. Statka elementarna Statka jest jednm z działów mechaniki ciała sztwnego, zajmującm się opisem równowagi ciał (układów konstrukcjnch) oraz sił na niego działającch zewnętrznch (cznnch i biernch) oraz wewnętrznch. W mechanice rozróżniam dwa rodzaje wielkości: skalar, do którch określenia potrzebna jest wartość liczbowa oraz wektor, które są wielkościami określonmi wartością liczbową, kierunkiem i zwrotem. Wróżniam trz rodzaje wektorów: swobodne, liniowe (związane z prostą) i nieswobodne (związane z punktem). Wśród podstawowch pojęć wstępującch w mechanice możem wmienić: siła należ do grup wektorów liniowch, co oznacza, iż możem ją dowolnie przemieszczać wzdłuż prostej wznaczającej jej kierunek działania. Siła, definiowana zgodnie z II zasadą dnamiki, jest miarą przspieszenia nadawanego swobodnemu ciału. rzkładem sił, jakie możem spotkać rozważając ustroje konstrukcjne, są np.: ciężar własn elementów konstrukcjnch, obciążenia zmienne technologiczne (np. obciążenie stropu zależne od przeznaczenia obiektu oraz sposobu użtkowania pomieszczeń, obciążenie pojazdami) cz też obciążenia zmienne środowiskowe (np. śnieg, wiatr). iarą sił w układzie SI jest niuton [N], ze względów praktcznch stosujem często kiloniuton (kn N). moment statczn sił względem punktu (zwanego biegunem) jest ilocznem tej sił i jej odległości r od punktu (r ramię sił). ożem więc zapisać: r. () Jednostką momentu statcznego jest zwkle niutonometr [N m] lub kiloniutonometr [kn m]. oment powodując obrót zgodn z ruchem wskazówek zegara (prawoskrętn) umownie uważam jako dodatni (rs. a), natomiast moment lewoskrętn za ujemn (rs. b). r r r Rs.. oment statczn sił i zasad jego znakowania parą sił nazwam dwie sił równe co do wartości, działające na kierunkach wzajemnie równoległch lecz z przeciwnm zwrotem. Jak możem zauważć, suma rzutów tch sił na oś równoległą do kierunku ich działania jest równa zeru, a co za tm idzie, nie powodują one przesunięcia ciała, do którego są przłożone. Jednak oddziałwanie par sił nie pozostaje bez skutku, powoduje bowiem obrót ciała zgodnie z momentem statcznm określonm: r, () gdzie r jest odległością pomiędz siłami o wartości (rs. ). r 7
b a r c C Rs.. ara sił Określając moment statczn par sił względem dowolnie przjętch punktów, oraz C (rs. ) uzskam następujące wniki: C a ( a r) a a r r b ( r b) b r b r ( r c) c r c c r,,, z którch wnika jasno, że moment statczn par sił nie zależ od położenia punktu (bieguna), względem którego jest wznaczan... Wpadkowa płaskich układów sił Układem płaskim sił nazwam zbiór sił działającch w jednej płaszczźnie. Ze względu na ich wzajemne ukierunkowanie rozróżniam dwa podstawowe układ: zbieżnm układem sił nazwam taki układ, w którm wszstkie linie działania sił przecinają się w jednm punkcie, nazwanm punktem zbieżności, dowolnm układem sił jest zbiór sił o rozbieżnch kierunkach działania (brak wspólnego punktu zbieżności wszstkich sił układu). Układ złożon z wielu sił możem zastąpić układem prostszm, składającm się z mniejszej liczb sił, działającm z takim samm skutkiem jak układ pierwotn. Jeśli układ złożon można zastąpić jedną siłą, to siłę taką nazwam wpadkową, a działania związane z jej wznaczaniem składaniem sił. Wpadkową zbieżnego lub dowolnego układu sił możem znaleźć na drodze analitcznej lub graficznej. etoda analitczna polega na określeniu rzutów wpadkowej na osie przjętego układu współrzędnch jako sum rzutów wszstkich sił składowch: W i ; W i, () n i n i gdzie: i, i rzut sił składowej i odpowiednio na oś oraz, n liczba sił składowch. Wartość bezwzględną wpadkowej wznaczć można zatem ze wzoru: W, () W W natomiast nachlenie jej prostej działania do osi wraża zależność: W tg β. (5) W 8
Zwrot wektora wpadkowej określają znaki sum wektorowch W oraz W. ołożenie linii działania wpadkowej dowolnego układu sił określić można wznaczając współrzędne punktu przłożenia wpadkowej W: w, w, (6) W W gdzie: suma momentów statcznch rzutów sił składowch i na oś względem początku układu współrzędnch (znakowanie wg rs.), suma momentów statcznch rzutów sił składowch i na oś względem początku układu współrzędnch (znakowanie wg rs.). ołożenie wpadkowej rozbieżnego układu sił można wznaczć także obliczając moment główn względem punktu (początek układu współrzędnch). oment główn układu sił definiowan jest jako suma algebraiczna momentów statcznch poszczególnch sił składowch układu względem tegoż punktu. Jeśli układ sił można zastąpić wpadkową W, to moment główn jest równ momentowi wpadkowej. Tak więc można zapisać dwa równorzędne równania:, (7) W r, (8) gdzie:, jak we wzorze 6, r odległość wpadkowej W od początku układu współrzędnch. Zatem położenie wpadkowej (z 7 i 8) określa zależność: r. (9) W W etoda graficzna bazuje na konstrukcji składającej się z dwu części: planu sił oraz wieloboku sił. lan sił przedstawia proste działania wszstkich sił układu zgodnie z przjętą skalą długości, natomiast na wieloboku sił składam te sił (traktując je jako wektor swobodne) zgodnie z przjętą skalą sił. Wznaczenie wpadkowej dowolnego układu sił wmaga dodatkowo zastosowania konstrukcji nazwanej wielobokiem sznurowm. Szczegółow opis podano w przkładach. rzkład. Wznaczć wkreślnie i analitcznie wpadkową zbieżnego układu sił, prz danch jak w tabeli poniżej. Siła Siła Siła Siła Wartość [kn] 8 Kąt [ ] 5 5 95 ROZWIĄZNIE GRFICZNE Zadan układ sił przedstawiam według przjętej skali długości na planie sił (rs. ). Wznaczenie wpadkowej metodą wieloboku sił (rs. ) polega na geometrcznm dodawaniu wektorów, prz czm otrzman wnik nie jest zależn od kolejności ich składania. Do dowolnego punktu L przenosim równolegle 9
siłę z uwzględnieniem jej wartości (wg przjętej skali sił) i zwrotu. Następnie z końca I tej sił wkreślam siłę i tak kolejno dodajem wszstkie sił układu dochodząc do punktu będącego końcem ostatniej sił układu. Tak otrzmaną krzwą nazwam wielobokiem sił. Wektor W łącząc początek pierwszej sił i koniec sił ostatniej jest geometrczną sumą sił układu. Na koniec przenosim tę sumę do punktu zbieżności z zachowaniem wartości, kierunku i zwrotu. β α α W α Rs.. lan sił. II kn III I W L Rs.. Wielobok sił [kn] odcztano: W kn; β9 ROZWIĄZNIE NLITYCZNE Rzut sił składowch na osie,: cosα cos 5 cosα 8 cos5 8,9kN cosα cos95 cosα cos sinα sin 5 sinα 8 sin5 sinα sin95,5kn 8,6kN kn 8,9kN sinα sin kn,5kn 9,5kN
W Rzut wpadkowej na osie,: W W 8,9,5 8,6,kN 8,9,5 9,5 6,9kN Wartość oraz kąt nachlenia wpadkowej W: W W (,) ( 6,9),95 kn W 6,9 tg β,59 ; β 9 W, rzkład. Wznaczć graficznie wpadkową dowolnego układu sił danego rsunkiem 5, prz danch: kn, kn, 5 kn. Wznaczenie wpadkowej dowolnego układu sił rozpocznam od sporządzenia planu sił według przjętej skali długości oraz wieloboku sił IIIL zgodnie z zasadami podanmi w przkładzie. Wpadkową układu jest wektor LW. W celu wznaczenia prostej działania wektora wpadkowej, obieram dowoln punkt zwan biegunem. Łącząc go z początkiem i końcem każdej sił wieloboku otrzmujem odcinki,,, zwane promieniami wektorowmi. Liczba promieni jest o jeden większa od liczb sił układu. Na planie sił obieram na kierunku działania sił dowoln punkt i prowadzim przez niego prostą równoległą do F E D F F ' C ' F F F ' ' K F W F Rs. 5. lan sił
L I F W F F F O (biegun) II F kn F Rs. 6. Wielobok sił [kn] odcztano: W5, kn promienia oraz prostą równoległą do promienia. rzecięcie prostej z linią działania sił wznacza punkt C, przez któr prowadzim prostą równoległą do promienia. Na przecięciu tej prostej z prostą działania sił otrzmujem punkt D. Z tego punktu równolegle do promienia kreślim wreszcie prostą. rzecięcie prostch i wznacza punkt K, przez któr musi przechodzić linia działania wpadkowej W danego układu. Linię łamaną CDE zwiem wielobokiem sznurowm, co uzasadniam tm, że kształt takiej linii łamanej przjąłb sznur zamocowan w punktach i E obciążon siłami,, przłożonmi w punktach, C, D. Zasadność takiej konstrukcji potwierdzim następującm rozważaniem:. Siła przedstawiona na wieloboku sił jest sumą wektorową sił F i F (odpowiadającm promieniom i ), które przeniesione do dowolnego punktu na linii działania sił zastępują całkowicie jej działanie.. Siła jest sumą wektorową sił F i F, zastępującch jej działanie.. Siła jest sumą wektorową sił F i F, zastępującch jej działanie. Jak można zauważć sił F, F oraz F, F działające na prostch, będącch bokami wieloboku sznurowego równoważą się wzajemnie. Układ sił sprowadza się wobec tego do dwóch sił F, F działającch wzdłuż boków, i zbiegającch się w punkcie K. Wpadkowa tch sił jest poszukiwaną wpadkową układu. rzkład. Wznaczć wkreślnie i analitcznie wpadkową rozbieżnego (dowolnego) układu sił, prz danch jak w tabeli poniżej: Siła Siła Siła Siła Wartość [kn] 6 8 Kąt [ ] 5 7 85 Współrzędne [m] [m]
ROZWIĄZNIE GRFICZNE Zadanie rozwiązujem zgodnie z zasadami przedstawionmi w przkładzie. Według sporządzonego wieloboku sił określam wartość, kierunek oraz zwrot wpadkowej W, natomiast jej położenie ustalim korzstając z konstrukcji wieloboku sznurowego CDK (gdzie K jest punktem przłożenia wpadkowej). 5 kn W O (biegun) L Rs. 7. Wielobok sił [kn] odcztano: W8, kn; β59 W ' ' K ' 5' D C ' ( w, w) Rs. 8. lan sił
ROZWIĄZNIE NLITYCZNE Rzut sił składowch na osie,: cosα cos cosα 6 cos5 cosα cos7 cosα 8 cos 85 sinα sin sinα 6 sin5 sinα sin7 sinα 8 sin 85 9,5kN,kN,5kN,7kN kn W W 5,5kN 5,56kN 7,7kN Rzut wpadkowej na osie,: 9,5,,5,7,5kN 5,5 5,56 7,7 Wartość wpadkowej: W W W (,5) (,8) 8,kN,8kN α α w r α α W W W β w Rs. 9. lan sił wg metod analitcznej
Kąt nachlenia wektora wpadkowej W do osi : W,8 tg β,67 ; β 59 6 W,5 oment statczne sił względem początku układu współrzędnch: Znakowanie momentów zgodnie z zasadami przedstawionmi na rsunku (moment prawoskrętn dodatni, lewoskrętn ujemn). 9,5 8,kNm, knm,5 ( ) 9,5kNm,7 ( ) 5,5 5,56 7,7 knm,knm 6,8kNm,kNm 7,7kNm Sumując odpowiednie moment otrzmam: 8, 9,5, 8,9kNm 6,8, 7,7 58,65kNm Współrzędne przłożenia wpadkowej: 58,65 W,m W,8 8,9 W 8,8m W,5 Odległość wpadkowej od początku układu współrzędnch: 8,9 58,65 r 6,6m W W 8,.. Warunki równowagi płaskich układów sił O stanie równowagi punktu materialnego można powiedzieć, gd układ sił przłożon do tego punktu nie spowoduje jego ruchu. Inaczej, jeśli na ciało pozostające w spocznku zacznie oddziałwać układ sił będącch w równowadze, to ciało owo nadal pozostanie w spocznku. Układ sił pozostaje w równowadze, jeśli spełnione są wkreślne lub analitczne warunki równowagi. Warunki te możem zapisać jak niżej: płaski zbieżn układ sił jest w równowadze, jeśli sił tego układu tworzą wielobok zamknięt (wpadkowa układu jest równa zeru). ożem też zapisać 5
analitczne warunki równowagi układ pozostaje w równowadze, gd rzut wpadkowej na osie, przjętego układu współrzędnch są równe zeru: W i, W i, () n i n i dowoln płaski układ sił jest w równowadze, jeśli wielobok sił i wielobok sznurow jest zamknięt. Wielobokiem sznurowm zamkniętm nazwam taki, w którm skrajne promienie (pierwsz i ostatni) leżą na jednej prostej. Są to wkreślne warunki równowagi. Natomiast wedle warunków analitcznch układ jest w równowadze, gd sum algebraiczne rzutów wszstkich sił układu na osie, układu współrzędnch są równe zeru oraz gd suma algebraiczna momentów statcznch wszstkich sił (moment główn) względem dowolnego punktu jest równ zero: n i, i, () i n n n i i ri i. () i i 6
. Ogólne wiadomości o płaskich ustrojach prętowch Wśród spotkanch w budownictwie układów konstrukcjnch do najprostszch i najpowszechniej stosowanch możem zaliczć płaskie ustroje prętowe. Nazwa ta odnosi się do konstrukcji złożonch z prętów prostch lub krzwoliniowch, leżącch na jednej płaszczźnie i połączonch ze sobą oraz z podłożem w sposób sztwn lub przegubow. rętami zaś nazwam element, którch jeden wmiar długość, znacznie przekracza pozostałe (szerokość i wsokość). W rozważaniach teoretcznch zakłada się, że pręt jest elementem jednowmiarowm. naliza statczna ustroju prętowego polega na określeniu schematu statcznego, obliczeniu reakcji podporowch oraz wartości sił przekrojowch: momentów zginającch (), sił tnącch (T) oraz sił osiowch (N). Schemat statczn jest widealizowanm przedstawieniem konstrukcji na płaszczźnie, gdzie pręt wznaczam zgodnie z jego osią (miejsce geometrczne punktów będącch środkami ciężkości przekrojów pręta). Zakładam, że sił cznne oraz podpor przłożone są do osi pręta (rs. ). T L Rs.. rzkład przjęcia schematu statcznego Rozwiązanie ustroju prętowego (wznaczenie reakcji podporowch oraz sił wewnętrznch) można przeprowadzić na drodze: analitcznej: metoda przepisów funkcjnch (pełne rozwiązanie analitczne) polega na rozbiciu układu na przedział, w którch sił przekrojowe można wrazić w postaci funkcji zmiennej, metoda rzędnch charakterstcznch (skrócone rozwiązanie analitczne) polega na wznaczeniu wartości sił przekrojowch tlko w rzędnch charakterstcznch, którch położenie określa się na podstawie przewidwanego kształtu wkresu (np. punkt przłożenia sił), graficznej wkorzstującej konstrukcję wieloboku sił oraz wieloboku sznurowego według zasad omówionch szczegółowo w rozdziale... Geometrczna niezmienność i statczna wznaczalność Każd ustrój prętow, rozpatrwan jako układ konstrukcjn, musi bć ciałem nieswobodnm, inaczej geometrcznie niezmiennm. b taką geometrczną niezmienność ustroju płaskiego zapewnić, należ odebrać jego wszstkie trz stopnie swobod (przesunięcie poziome i pionowe oraz obrót). W praktce oznacza to połączenie tarcz (pręta) z podłożem lub inną tarczą (prętem) za pośrednictwem specjalnch podpór o różnej liczbie i układzie więzów elementarnch: 7
podpora przegubowoprzesuwna jest zbudowana z pojednczej więzi elementarnej. Odbiera jeden stopień swobod, eliminując przesunięcie w jednm kierunku, a zezwalając na przesunięcie w drugim oraz swobodn obrót. Wstępuje tu jedna reakcja o kierunku prostopadłm do płaszczzn przesunięcia (rs. a), podpora przegubowa składa się z dwóch nierównoległch więzów elementarnch. Odbiera dwa stopnie swobod, ponieważ eliminuje przesunięcie w dwóch kierunkach, a zezwala na obrót wokół punktu podparcia. am tu do cznienia z jedną reakcją o nieznanm kierunku składowa pozioma i pionowa (rs. b), sztwne utwierdzenie jest to podpora zbudowana z trzech więzów nierównoległch i nie przecinającch się w jednm punkcie. Odbiera trz stopnie swobod eliminując przesunięcie w dwóch kierunkach i obrót. Wstępuje tu jedna reakcja podporowa o nieznanm kierunku oraz moment podporow (rs. c). Układ więzów elementarnch a) b) c) odel podpor Oznaczenie podpor, reakcje H H V V V Rs.. Rodzaje podpór: a) przegubowoprzesuwna, b) przegubowa, c) sztwna naliza kinematczna układu prętowego polega na sprawdzeniu warunków geometrcznej niezmienności (GN), które możem zapisać:. Jeżeli przez t oznaczm liczbę tarcz (prętów), a przez e liczbę więzów elementarnch (w tej liczbie uwzględniam również dodatkowe dwie więzi na każde połączenie przegubowe pomiędz tarczami), to warunek konieczn geometrcznej niezmienności możem zapisać następującą zależnością: e t układ GN i statcznie wznaczaln (izostatczn), jeśli natomiast: e > t układ GN i statcznie niewznaczaln (hiperstatczn), e < t układ geometrcznie zmienn (GZ). Statcznie wznaczalnm nazwam ustrój, w którm liczba reakcji podporowch (więzi elementarnch) jest równa liczbie niezależnch równań równowagi. ożem zatem jednoznacznie wznaczć wartości reakcji podporowch. Ustrojem statcznie niewznaczalnm będziem natomiast nazwać taki, w którm liczba więzi elementarnch jest większa niż potrzeba do jego unieruchomienia. W takim przpadku, rozwiązując niezależne równania równowagi, otrzmujem nieskończenie wiele rozwiązań na sił reakcji podporowch. 8
. Warunek konieczn i wstarczając geometrcznej niezmienności połączenia: dwóch tarcz (prętów) definiujem jako ich połączenie trzema więzami nierównoległmi oraz nie przecinającmi się w jednm punkcie (rs. a), trzech tarcz (prętów) określam jako połączenie każdch dwóch tarcz ze sobą co najmniej dwoma więzami w taki sposób, ab wszstkie więz jednocześnie nie bł do siebie równoległe ani też punkt przecięcia się kierunków więzów łączącch każde dwie tarcze nie leżał na jednej linii prostej (rs. b). układ GN układ GZ układ GZ a) b) Rs.. Interpretacja twierdzeń o geometrcznie niezmiennm połączeniu: a) dwóch tarcz, b) trzech tarcz.. Reakcje podporowe Ustrój konstrukcjn, określon jako geometrcznie niezmienn według zasad omówionch w punkcie.., pozostaje w równowadze nawet wówczas, gd działając na niego układ sił zewnętrznch cznnch nie jest układem sił równoważącch się. W miejscach podparcia ustroju obciążonego takim układem sił powstają bowiem reakcje podporowe (sił bierne). Ich wznaczenie polega na określeniu i rozwiązaniu analitcznch (równania, ) lub wkreślnch warunków równowagi zgodnie z zasadami podanmi rozdziale. Sił zewnętrzne (cznne i bierne) działające na ustrój prętow tworzą płaski, zbieżn lub dowoln układ sił... Sił przekrojowe Omówione wcześniej zasad ustalania wartości reakcji podporowch pozwalają na szczegółowe określenie wszstkich sił zewnętrznch działającch na układ konstrukcjn. Jednak ich znajomość nie mówi wszstkiego o ustroju, w którm wstępują też sił przekrojowe wrażające oddziałwanie sił zewnętrznch w poszczególnch punktach (przekrojach) ustroju prętowego. Weźm belkę swobodnie podpartą, obciążoną jak na rsunku. Sił cznne, działające na belkę powodują powstanie reakcji podporowch (sił biernch) w więziach i wznaczonch na podstawie warunków równowagi. Jeżeli rozdzielim mślowo pręt dowolnm przekrojem αα odległm o α od podpor, to wzajemne oddziałwania tak powstałch części zastępujem siłami 9
przłożonmi w tm przekroju. Sił te zapewniają równowagę obu części, a nazwam je siłami przekrojowmi, wśród którch możem wróżnić: sił osiowe N α (podłużne), sił tnące T α (poprzeczne) oraz moment zginające α. oment zginając w danm przekroju αα jest sumą momentów statcznch sił działającch z jednej stron tego przekroju względem jego środka ciężkości. Stosując warunek równowagi Σ dla przkładowego elementu (belki) widzim, że: L, () gdzie: L ; odpowiednio moment zginając dla lewej i prawej stron pręta. Siła tnąca (poprzeczna) w danm przekroju αα jest sumą rzutów sił działającch po jednej stronie pręta na kierunek prostopadł do jego osi. Stosując warunek równowagi ΣY dla elementu przkładowego widzim, że: TL T, () gdzie: T L ; T odpowiednio siła poprzeczna dla lewej i prawej stron pręta. Siła osiowa (podłużna) w danm przekroju αα jest sumą rzutów sił działającch po jednej stronie pręta na kierunek stczn do jego osi. Stosując warunek równowagi ΣX dla elementu przkładowego widzim, że: N L N, () gdzie: N L ; N odpowiednio siła podłużna dla lewej i prawej stron pręta. α α 5 kn H T α Nα N α T α V a b R α L α Rs.. Wznaczenie sił wewnętrznch w dowolnm przekroju αα omiędz siłą tnącą a momentem zginającm zachodzi zależność, według której możem powiedzieć, że siła tnąca T α w dowolnm przekroju αα jest pierwszą pochodną momentu zginającego α względem zmiennej będącej współrzędną przekroju αα. Na podstawie tej zależności możem określić następujące wnioski: jeżeli na pewnej długości pręta T α, to moment zginając α jest stał, jeżeli w pewnm przekroju αα siła tnąca T α zmienia znak, to moment zginając α osiąga ekstremum (prz zmianie znaku z plusa na minus α osiąga maksimum, prz zmianie z minusa na plus minimum). onadto prz sporządzaniu wkresów sił wewnętrznch należ pamiętać, że w punkcie przłożenia sił skupionej wstępuje nieciągłość funkcji T α (skok o wartość ), natomiast w punkcie przłożenia momentu skupionego nieciągłość funkcji α (skok o wartość ).
Znakowanie sił wewnętrznch jest umowne. Najczęściej przjmujm zasadę, że: moment zginając określam znakiem dodatnim, jeśli jego działanie powoduje obrót lewej części pręta względem prawej, w kierunku zgodnm z ruchem wskazówek zegara. Inaczej mówiąc, moment taki wgina pręt ku dołowi (rs. 5a). Dolne włókna tak zginanego przekroju są rozciągane, a górne ściskane. W zadaniach praktcznch należ pamiętać, że wkres momentów zginającch odkładam zawsze po stronie włókien rozciąganch! siła poprzeczna przjmuje znak dodatni, jeśli powoduje przemieszczenie lewej stron rozpatrwanego pręta ku górze, prawej natomiast ku dołowi (rs. 5b), sił podłużne określam jako dodatnie, gd ich działanie powoduje rozciąganie pręta dwa sąsiednie przekroje oddalają się od siebie (rs. 5c). a) α α α α b) Tα T α Tα T α c) N α N α N α Nα Rs. 5. Zasad znakowania sił wewnętrznch: a) momentów zginającch, b) sił tnącch, c) sił osiowch
. elki proste.. Wiadomości ogólne elką nazwam pręt prost podpart w sposób zapewniając jego geometrczną niezmienność i obciążon siłami prostopadłmi bądź ukośnmi do jego osi. Na skutek tak działającch obciążeń belka jest głównie zginana i ścinana... rzkład liczbowe rzkład. Rozwiązać wkreślnie belkę swobodnie podpartą (rs. ). Rozwiązanie rozpocznam od narsowania w skali długości belki oraz działającego na nią obciążenia zewnętrznego (rs. a), które tworz dowoln układ sił. Następnie sporządzam w przjętej skali wielobok sił (rs. b) oraz przjmujem położenie bieguna, z którego prowadzim promienie i. Siła jest sumą wektorową sił F, F, odpowiadającm promieniom,. Z dowolnego punktu K, przjętego na prostej działania sił, wkreślam na planie sił proste, równoległe do promieni,. rosta przecina się z kierunkiem działania reakcji V w punkcie, natomiast prosta z kierunkiem reakcji R w punkcie. Szukana zamkająca znajduje się na kierunku. Reakcje podporowe są sumami wektorowmi sił F i Z (reakcja V ) oraz F i Z (reakcja R ). Zamkającą z przenosim równolegle do bieguna na wieloboku sił, określając wielkości reakcji podporowch. a) lan sił b) Wielobok sił 5 kn kn H (F) V,,, R V z (Z) O (biegun) z (zamkająca) R (F) ' ' n, m H5 kn K T V R Rs.. Odcztano: V 5 kn; R 5 kn; n H, 55 knm
ole wznaczone pomiędz prostmi i, a zamkającą z określa wkres momentów zginającch. Wartość liczbowa momentu zginającego w przekroju belki jest ilocznem długości odcinków n [m] i H [kn] n H. rzkład. Rozwiązać wkreślnie belkę swobodnie podpartą (rs. ). Obciążenie równomiernie rozłożone zastępujem wpadkową Qq l przłożoną w środku ciężkości tego obciążenia, następnie wznaczam reakcje podporowe dla takiego schematu zastępczego, jak w przkładzie. Wkres momentów zginającch wkreślim uwzględniając różnicę międz wartościami wznaczonmi dla obciążenia siłą skupioną Qq l ( ma.,5 Q l,5 q l ), a wartościami odpowiadającmi obciążeniu równomiernie rozłożonemu q ( ma.,5 q l ). Różnicę tę uwzględnim wznaczając środek odcinka n będąc wierzchołkiem paraboli określającej rozkład momentów zginającch (n odległość zamkającej od punktu K). a) lan sił b) Wielobok sił q,5 kn/m kn H Qq,5, kn V,,, R V Q z z (zamkająca) R O (biegun) H5 kn ' ' T K n/,5 m V q,5, R Rs.. Odcztano: V 5 kn; R 5 kn; n H,5 55 knm rzkład. Rozwiązać wkreślnie belkę swobodnie podpartą (rs. ). Dla potrzeb rozwiązania graficznego zadane obciążenie momentem skupionm zastępujem parą sił, którch działanie powinno odpowiadać działaniu tegoż momentu. rzjmijm więc, sił przłożone smetrcznie względem punktu przłożenia momentu skupionego. Odległość r międz prostmi działania sił, ustalim równą, m. ara sił oddziałwuje momentem statcznm o wartości r (gdzie, r,), zatem układ taki zastępuje działanie momentu skupionego danego w zadaniu.
rzeprowadzając rozwiązanie według omówionch już zasad (przkład ), wprowadzam korektę wkresu momentów zginającch. Rzeczwist jego przebieg wznaczam zgodnie z prostmi oraz, pomiędz którmi uzskujem skok w miejscu przłożenia momentu skupionego. Wartość tego skoku odpowiada wartości zadanego momentu skupionego. a) lan sił b) Wielobok sił 5 knm kn H V 5 kn, ',, 5 kn, z (zamkająca) R V R z, O (biegun) ' K ' n,67 m H kn T V R Rs.. Odcztano: V,5 kn; R,5 kn; n H,67 5 knm rzkład. Rozwiązać belkę wspornikową obciążoną jak na rsunku. kn q8 kn/m kn H R V,5,5,5,5 7, Rs.. Schemat statczn ROZWIĄZNIE GRFICZNE W rozwiązaniu wkreślnm obciążenie równomiernie rozłożone zastępujem wpadkową Qq l, przłożoną w środku ciężkości tego obciążenia (analogicznie jak w przkładzie ). Dla takiego schematu sporządzam plan sił (rs. 5) oraz wielobok sił (rs. 6). Z dowolnie określonego bieguna prowadzim promienie,, odpowiadające siłom F, F, F, (każda siła cznna jest sumą wektorową sił
odpowiadającch promieniom, np. siła Q jest sumą wektorową sił F i F ). Z dowolnie obranego punktu K na kierunku działa wpadkowej Q prowadzim proste oraz równolegle do promieni i. rosta przecina się z kierunkiem działania sił w punkcie, przez któr prowadzim prostą, przecinającą się z kierunkiem działania reakcji R w punkcie. rosta przecina się z kierunkiem działania reakcji V w punkcie C. Kierunek C jest kierunkiem poszukiwanej zamkającej z. rowadząc na wieloboku sił prostą równoległą do zamkającej z określam wartości reakcji podporowch, wiedząc, że reakcja R jest suma wektorową sił F i Z, natomiast reakcja V sił F i Z. Na wkresie momentów zginającch należ uwzględnić korektę w obszarze oddziałwania obciążenia równomiernie rozłożonego q (zastąpionego wpadkową Qq l). W tm celu prowadzim pomocniczą prostą na kierunku DE. Dzieląc odcinek międz prostą DE a punktem K na połowę, określim wierzchołek paraboli, wznaczającej wkres momentów zginającch. kn Qq, kn kn R,5,5,5 V H,5 D ' ' E K C ' z (zamkająca) Rs. 5. lan sił [m] kn (F) R (F) z(z) O (biegun) Q (F) V H H5 kn Rs. 6. Wielobok sił [kn] odcztano: R 5, kn; V 6,7 kn 5
ROZWIĄZNIE NLITYCZNE Reakcje podporowe: (),5 q,5 V () q,5 R 5,5 () X H z () V (,5 8,5) / 6,75kN z () R ( 8,5 5,5) / 5,5kN z () H kn Kontrola: R V q 6,75,5 8 Y Sił przekrojowe,t,n: W strefie działania obciążenia równomiernie rozłożonego wartości sił przekrojowch wznaczam metodą przepisów funkcjnch, polegającą na wznaczeniu wartości tch sił w dowolnm punkcie przedziału jako funkcji zmiennej. W pozostałch przedziałach zastosujem metodę rzędnch charakterstcznch. rzedział T kn knm L N,5,5 5kNm kn rzedział T R 5,5 5,5kN L 5kNm L R,5 5,5,5 N kn T rzedział < ; 5,5>,kNm R q ( ) ( ) 5,5 8 ( ) 5,5kN ( 5,5) 5,5 8 ( 5,5 ),75kN 5,5 8 ( ),9m ( ) ( ) R,5,5 q ( ) 5,5 (,5),5 8 ( ),knm et. (,9),9 5,5 (,9,5 ),5 8 (,9 ) 7,59kNm L ( 5,5) 5,5 5,5 ( 5,5,5 ),5 8 ( 5,5 ) 9kNm T T L (lokalne ekstremum ) N kn 6
rzedział <5,5 ; 7> R q ( ) V ( 5,5) 5,5 8 ( 5,5 ) 6,75 kn ( 7) 5,5 8 ( 7 ) 6,75 kn R (,5),5 q ( ) V ( 5,5) ( 5,5) 5,5 5,5 ( 5,5,5 ),5 8 ( 5,5 ) 6,75 ( 5,5 5,5) 9kNm L ( 7) 7 5,5 ( 7,5),5 8 ( 7 ) 6,75 ( 7 5,5) knm T T T L N H kn 5,, 7,59 9,,9 m T 5,5 5,5 q,5, V q,5 R,75,,, N H Rs. 7. Wkres sił przekrojowch, T, N rzkład 5. Rozwiązać belkę wspornikową obciążoną jak na rsunku 8. q kn/m knm 5 kn 6 H V R,,,5,5 7, 5 5 sin 6, kn 5 cos 6 5, kn Rs. 8. Schemat statczn 7
ROZWIĄZNIE GRFICZNE Obciążenie równomiernie rozłożone q zastępujem siłą skupioną Qq l, natomiast moment skupion parą sił. Obciążenie zastępcze Q,, oraz pozostałe sił zewnętrzne przedstawiam na planie sił (rs. 9). Na wieloboku sił (rs. ) zaznaczam wszstkie sił cznne, dające rzut na oś pionową (Q,, i ) oraz obieram biegun, z którego prowadzim promienie,,, i 5 (odpowiadające siłom F, F, F, F i F 5 ). rzjmujem dowoln punkt K na prostej działania sił i rsujem proste, 5 równoległe do promieni, 5 (siła jest sumą wektorową sił F i F 5 ). rzez punkt przecięcia promienia z kierunkiem działania sił (punkt ) prowadzim prostą, która, przecinając się z kierunkiem działania sił, wznacza kolejn wierzchołek wieloboku sznurowego (punkt ). rosta, poprowadzona przez punkt, przecina się z kierunkiem działania wpadkowej obciążenia równomiernie rozłożonego Q w punkcie C, przez któr prowadzim prostą. rosta przecina się z kierunkiem działania reakcji V w punkcie E, natomiast prosta 5 z kierunkiem reakcji R w punkcie G. Szukana zamkająca znajduje się na kierunku EG. Reakcje podporowe są sumami wektorowmi sił F i Z (reakcja V ) oraz F 5 i Z (reakcja R ). rzenosząc zamkającą z do bieguna na wieloboku sił określim wartość reakcji podporowch. Wkres momentów zginającch należ skorgować stosownie do wprowadzonch obciążeń zastępczch. W punkcie przłożenia momentu wkres będzie przesunięt międz prostmi i (skok o wartość ). Natomiast w strefie działania obciążenia q prowadzim prostą, łączącą wznaczon już punkt określając wartość momentu zginającego w miejscu przłożenia momentu skupionego z punktem D. Środek odcinka międz tak poprowadzoną prostą, a punktem C określa wierzchołek paraboli, wznaczającej rozkład momentów zginającch. Qq,6 kn kn kn H, R V R R,,,,5,5, kn 5, kn ' K ' D ' E C ' 5' z (zamkająca) Rs. 9. lan sił [m] G 8
V H V (F) z(z) Q Q (F) (F), (F) O (biegun) R R 5(F5) kn R H kn Rs.. Wielobok sił [kn] odcztano: V,5 kn; H 9 kn; R 9,5 kn ROZWIĄZNIE NLITYCZNE Reakcje podporowe: () q R,5 6 () q,5 V,5,5 () X H R z () R R (, 6) /,5 6,96kN ; R 6,96 9,5kN z () V (,5,,5 )/,5,66kN z () H 6,96 5 8,96kN Kontrola: Y V R q,66 6,96, Sił przekrojowe,t,n: rzedział < ; > T q T ( ) kn ( ) kn T L,5 q ( ),5 knm ( ),5 knm L N kn T rzedział < ; > T T L q V ( ),66 8,66kN ( ),66,66kN H q Rs.. Schemat wznaczenia sił wewnętrznch w przedziale V Rs.. Schemat wznaczenia sił wewnętrznch w przedziale q 9
,5 q V ( ) L ( ) knm ( ),5,66 5,98kNm L N H 8,96kN (rozciąganie) rzedział T q V,66,66kN (,) V,,5 (,),66,,98kNm,5 q L q,,5 V,5,,5,66,5 6,97kNm N H 8,96kN (rozciąganie) rzedział T q V R,66 6,96,kN N,5,,5 6,95kNm (kontrola) H R 8,96 6,96 5kN (ściskanie) L 6,97 5,98,98, T,, q,, R, V q,, 8,66 8,96 N,66,66 R H Rs.. Wkres sił przekrojowch, T, N 5,
rzkład 6. Rozwiązać belkę wspornikową obciążoną jak rsunku. H 5 kn q kn/m kn knm V R,5,5,5,5 7, Rs.. Schemat statczn ROZWIĄZNIE GRFICZNE Obciążenie q podzielim na trz przedział (,, ), zastępując każd wpadkową Q. oment skupion zastąpim parą sił. H Q q,5,5 kn 5 kn Q q,57,5 kn Q q,9, kn kn kn kn, V R,75,75,5,5,5,5 ' ' z (zamkająca) 6' 8' 7' K ' ' 5' Rs. 5. lan sił [m] Q kn V Q z O (biegun) R 7 5 Q 6,8 H6 kn Rs. 6. Wielobok sił [kn] odcztano: V,9 kn; R, kn
ROZWIĄZNIE NLITYCZNE Reakcje podporowe: () q 7,5,5 R 5,5 () q 7,5 V 5,5 () H X z () R ( 7,5 5,5 ) /5,5,9kN z () V ( 7 5,5 ) /5,5,9kN Kontrola: V R q 7,9,9 7 5 Y Sił przekrojowe,t,n: Sił wewnętrzne będziem wznaczali metodą przepisów funkcjnch tlko w przedziałach działania obciążenia równomiernie rozłożonego. rzedział < ;,5> T V q ( ),9,9kN (,5 ),9,5,kN T T L V,5 q ( ),9,5 knm (,5 ),9,5,5 (,5 ),99kNm T L rzedział <,5 ; > V q (,5 ),9,5 5 5,kN ( ),9 5,9kN T T L,9 5,m (lokalne ekstremum momentu gnącego) V,5 q (,5 ) (,5 ),9,5,5 (,5 ) 5 (,5,5 ),99kNm.(,),9,,5 (,) 5 (,,5 ) 8,87kNm ( ),9,5 5 (,5 ) 8,kNm et L T rzedział < ; 5,5> V q ( ),9 5,9kN ( 5,5),9 5,5 5 6,59kN V,5 q (,5 ) ( ) ( ),9,5 5 (,5 ) ( ) 8,kNm L ( 5,5),9 5,5,5 ( 5,5) 5 ( 5,5,5) ( 5,5 ),7kNm T T L
rzedział <5,5 ; 7> T V q R ( 5,5),9 5,5 5,9,5kN ( 7),9 7 5,9 kn T T,5 q ( ) knm (,5),5 (,5 ),7kNm Sił osiowe na całej długości belki są równe zero (N).,7,,99, m 8,87 8,,9, V q,5,5 5, q,57,5,5 T q,5,5,9 R,9 6,59 Rs. 7. Wkres sił przekrojowch, T q,5,5 rzkład 7 Rozwiązać belkę utwierdzoną obciążoną jak na rsunku 8. H 5 kn q5 kn/m V,,,, Rs. 8. Schemat statczn ROZWIĄZNIE GRFICZNE Dla belki utwierdzonej, wszstkie obciążenia, dające rzut na oś pionową, muszą bć zrównoważone przez reakcję V, więc kierunek zamkającej jest nam znan
(pokrwa się z kierunkiem promienia ). Wartość momentu podporowego wznaczm mnożąc odcinek n [m] i odcinek H [kn], gdzie n jest odległością pomiędz promieniami, a zamkającą z na kierunku działania reakcji podporowej V. Q q,, kn H 5 kn V,,, n, m ' ' ' z (zamkająca) K Rs. 9. lan sił [m] odcztano: n H, 565 knm kn V Q,z O (biegun) H5 kn Rs.. Wielobok sił [kn] odcztano: V 5 kn ROZWIĄZNIE NLITYCZNE Reakcje podporowe: () q () Y V q () X H z () 5 5 65kNm z () V 5 5 5kN Kontrola: V q 5 65 5 5 Sił przekrojowe,t,n: rzedział T V 5kN
65kNm V 65 5 L rzedział T V 5 5 kn T knm knm L L V 65 5 5 rzedział < ; > knm V q ( ) ( ) 5 5 5 ( ) kn ( ) 5 5 5 ( ) kn V ( ),5 q ( ) ( ) 65 5 5 ( ),5 5 ( ) knm ( ) 65 5 5 ( ),5 5 ( ) knm T T Sił osiowe na całej długości belki są równe zero (N), ponieważ żadna z sił obciążenia zewnętrznego nie daje rzutu na oś poziomą. 65,,, V 5, 5,, T, q,, Rs.. Wkres sił przekrojowch, T rzkład 8. Rozwiązać belkę utwierdzoną obciążoną jak na rsunku. 5 kn q5 kn/m H 8 knm V,5,,5 Rs.. Schemat statczn 5
ROZWIĄZNIE GRFICZNE Dla dokładnego wznaczenia wkresu momentów zginającch obciążenie równomiernie rozłożone, należ podzielić na dwa przedział (, ) i każd z nich zastąpić wpadkową przłożoną w środku ciężkości przedziału obciążenia. H Q q,57,5 kn 5 kn Q q,5,5 kn 8 kn 8 kn, V,75,75,5,5 5' K n, m ' ' ' 6' z (zamkająca) ' Rs.. lan sił [m] odcztano: n H, 5 7 knm Q kn V O (biegun),6,z Q 5 H5 kn Rs.. Wielobok sił [kn] odcztano: V 5 kn ROZWIĄZNIE NLITYCZNE Reakcje podporowe: () q,5 () V q Y () X H z () 5 5,5 8 69,5kNm z () V 5 5 5kN Kontrola: V q,5 5 69,5 5 5,5 8 6
T Sił przekrojowe,t,n: rzedział < ;,5> V q ( ) 5 5 5kN (,5 ) 5 5,5 7,5kN T T L V,5 q ( ) 69,5 5,5 5 69,5kNm (,5) 69,5 5,5,5 5 (,5 ) 7,6kNm L N kn rzedział <,5 ; > T V q (,5 ) 5 5,5 5,5kN ( ) 5 5 5 kn V,5 q (,5 ) (,5 ) 69,5 5,5,5 5 (,5 ) 5 (,5,5 ) 7,6kNm ( ) 69,5 5,5 5 5 (,5 ) 8kNm T T N kn 69,5 7,6 8, V 5, T 7,5 q,57,5,5 q,5,5 Rs. 5. Wkres sił przekrojowch, T 7
.. rzkład do rozwiązania rzkład 9. Dla belek pokazanch na rsunku 6, wznaczć reakcje podporowe oraz sporządzić wkres sił przekrojowch, T, N. q kn/m 5 kn,5,5,5,5 a) 7, knm q5 kn/m,5,,,5 b) 7, q5 kn/m kn,5,,5 c) 7, knm q kn/m,5 5,5 d) 7, q8 kn/m 5 kn e),5,,,5 7, q kn/m q5 kn/m 5 kn 5 knm f),5,,5 g) Rs. 6. Schemat statczne belek do samodzielnego rozwiązania,5 8
. Ram statcznie wznaczalne.. Wiadomości ogólne Ramami nazwam ustroje prętowe, zbudowane z prętów prostch lub krzwoliniowch, charakterzujące się budową komorową. Geometrczna niezmienność układu ramowego jest zapewniana na ogół przez sztwne połączenie prętów oraz przez odpowiednie połączenie z fundamentem (odebranie wszstkich stopni swobod). Sztwne połączenie dwóch prętów oznacza, że odkształcenie pręta poddanego oddziałwaniu obciążenia zewnętrznego powoduje także odkształcenie się pręta drugiego, prz czm sam węzeł odkształceniu nie ulegnie. Jeśli pręt w węźle tworzą dowoln kąt, to po odkształceniu ram kąt ten nie zmieni się. Ram rozwiązujem zwkle analitcznie według ogólnch zasad: ustalenie schematu statcznego i obciążenia cznnego, obliczenie wartości reakcji podporowch, obliczenie sił wewnętrznch oraz sporządzenie wkresów tch sił. roste ram statcznie wznaczalne można rozwiązwać metodą wkreślną. W wniku oddziałwania dowolnie przłożonego obciążenia zewnętrznego w prętach układów ramowch powstają sił wewnętrzne: moment zginające (), sił tnące (T) oraz sił osiowe (N)... rzkład liczbowe rzkład. Rozwiązać analitcznie ramę przedstawioną na rsunku. α q6 kn/m α 5 H 5 kn,, Reakcje podporowe: V () q R 8 () V 8 q () H X R, 8,,, z () R ( 6 5 ) /8,75kN z () V ( 6 5 ) /8,65kN z () H 5kN Rs.. Schemat statczn 9
Kontrola: Y V R q,65,75 6 Sił przekrojowe,t,n: Wartości sił wewnętrznch w przedziałach i (strefa oddziałwania obciążenia q) obliczm korzstając z metod przepisów funkcjnch (dla zmiennej ). T rzedział < ; > q ( ) 6 kn ( ) 6 kn T T L,5 q ( ),5 6 knm ( ),5 6 knm L N kn rzedział < ; > T q V ( ) 6,65 9,6kN ( ) 6,65 8,9kN T T L 6,6 6,9m (lokalne ekstremum momentu gnącego),5 q V ( ) H 6 ( ),5 6,65 ( ) 5 6 knm.( 6,9),5 6 ( 6,9),65 ( 6,9 ) 5 6 8,86kNm ( ),5 6,65 ( ) 5 6 57kNm et L H 5kN N rzedział Sił wewnętrzne wznaczm metodą rzędnch charakterstcznch, biorąc pod uwagę obciążenia znajdujące się po prawej stronie przekroju (zmiana znaku). T kn T q 6 kn knm,5 6 N kn T rzedział H knm H 5kN knm 6 5 6 D 9kNm
N V,6kN (ściskanie) rzedział 5 T 5 kn 5 N 5 knm R,8kN (ściskanie) rzedział 5 a) T 5 5kN D N 5 5kNm R,8kN (ściskanie) 5 Kontrola równowagi węzłów: Równowaga węzła (rs. a): L D 9 b) L D Y T T N 9,6,6 L D X N N T 5 5 Równowaga węzła (rs. b): L D 57 5 L D,8 Y T T N 8,9,8 L D X N N T 5 5 Rs.. Równowaga węzłów Węzeł 9,6 5 5,6 Węzeł 8,9 5 57 5 5 9,,, 8,86 57,, 5, 9,6, 5, T, 8,9 5, N 5,,6,8 Rs.. Wkres sił przekrojowch, T, N
rzkład. Rozwiązać analitcznie ramę przedstawioną na rsunku. α q kn/m,, 5 kn H α R, V 8,,, Rs.. Schemat statczn Reakcje podporowe: () q 6 R () X H R () V 8 H q z () R ( 5 6) / 5,5kN z () H 5,5 5,5kN z () V (,5 5 ) /8 6kN Kontrola: V q 6 Y Sił przekrojowe,t,n: rzedział T H,5kN knm D H,5 6,5kNm N V 6kN (ściskanie) rzedział T H,5 5 5,5kN G D 6,5kNm D H 6,5 6 5 798kNm N V 6kN (ściskanie) rzedział < ; 8> T V q ( ) 6 6kN T
( 8) 6 8 kn T L H 6 V,5 q ( ),5 6 5 6,5 798kNm ( 8),5 6 5 6 8,5 8 66kNm L H,5 5 5,5kN N (ściskanie) rzedział Sił wewnętrzne obliczm względem prawej stron przekroju (zmiana znaku). T kn T q kn knm q knm N kn rzedział T R 5,5kN knm R 5,5 D N kn 58kNm 798 66 T 798 58 6 5,5 6,5 5,5,5 5,5 N 6 Rs. 5. Wkres sił przekrojowch, T, N
Kontrola równowagi węzła : L D 66 58 L D Y T T N L D X N N T 5,5 5,5 rzkład. Rozwiązać analitcznie ramę przedstawioną na rsunku 6. 6, q kn/m β α q 5 kn/m α H β R 5 kn,, V 8,,, Reakcje podporowe: Rs. 6. Schemat statczn () R q 6 q () X q 6 R H () q 6 q 6 V 8 H z () R ( 6 5 5 ) / 55kN z () H 6 55 5 kn z () V ( 6 5 6 5 ) /8 6kN Kontrola: V q 6 5 Y Sił przekrojowe,t,n: W przedziale działania obciążenia q sił wewnętrzne liczm dla przekroju ββ jako funkcję zmiennej, natomiast w przedziale (obciążenie q ) jako funkcję zmiennej. W innch przedziałach stosujem metodę rzędnch charakterstcznch. rzedział < ; 6> T R q T 55 55 ( ) kn ( 6) 55 6 5kN T D 55 5,5m (lokalne ekstremum momentu gnącego) R,5 q ( ) 55,5 knm
.( 5,5) 55 5,5,5 ( 5,5) 5,5kNm ( 6) 55 6,5 6 5kNm et D N kn rzedział < ; 8> T q ( ) 5 kn ( 8) 5 8 kn T T L R 6 q 6,5 q 55 6 6,5 5 L 8 55 6 6,5 5 8 N R q 6 55 6 5kN ( ) 5kNm ( ) knm (ściskanie) rzedział Sił wewnętrzne obliczm względem prawej stron przekroju (zmiana znaku). T kn T q 5 kn knm q 5 knm N kn T rzedział H knm kn D H knm N V 6kN (ściskanie) rzedział T H 5 5kN G D knm D H 5 N V 6kN (ściskanie) Kontrola równowagi węzła : knm L D L D Y T T N 6 L D X N N T 5 5 5
5 5,5 5 5 T 55 5 5 N 6 Rs. 7. Wkres sił przekrojowch, T, N rzkład. Rozwiązać analitcznie ramę przedstawioną na rsunku 8. α q5 kn/m knm,, α kn H 5, V R,5 5,5,, Reakcje podporowe: Rs. 8. Schemat statczn () R q () X H () q 6 H V z () R ( 5 ) / 7kN z () H kn z () V ( 5 6 ) / 6kN Kontrola: Y R q V 7 5 6 6
T Sił przekrojowe,t,n: rzedział < ;,5> q ( ) 5 kn (,5) 5,5 67,5kN T T L,5 q ( ),5 5 knm (,5),5 5 (,5) 5,88kNm L N kn rzedział <,5 ; > T R q (,5) 7 5,5 6,5kN ( ) 7 5 76kN T T L 7 5,9m (lokalne ekstremum momentu gnącego) R,5 q (,5) 7,5,5 5 (,5) 7,kNm.(,9) 7,9,5 5 (,9) 7,5kNm ( ) 7,5 5 8kNm et L N kn (rozciąganie) rzedział 5 < ; > T 5 R q V ( ) 7 5 6 kn ( ) 7 5 6 kn R,5 q V ( ) H ( ) 7,5 5 6 ( ) knm ( ) 7,5 5 6 ( ) knm T T 5 5 5 N kn rzedział b wznaczć wartości sił tnącch T oraz osiowch N, musim rozłożć reakcję podporową R na składowe prostopadłą i równoległą do osi pręta (rs. 9): R R,5/ 7,5 7,5/7,5,kN ; składowa prostopadła, II R R 6,/ 7,5 7 6,/7,5 59,kN ; składowa równoległa. T R,kN 7
knm N R,5 7,5 D II R 59,kN rzedział 66,5kNm 6,/7,5 6,/ 7,5 kn II,5/7,5,5/7,5 8kN T R, 68,kN N G D 66,5kNm D R,5 7,5 II II R 59, 8 rzedział knm,kn T H kn Rs. 9. Rozłożenie sił i R knm D H knm N V 6kN 6,,, R 7,5 α α R T R II,5,5,5 T α II T 5,88 68, 6,5 7, 66,5 7,5 8, 67,5 76 N 59,, 6 Rs.. Wkres sił przekrojowch, T, N Kontrola równowagi węzłów i : Równowaga węzła Określając sumę rzutów sił na oś i, należ pamiętać, że w przedziale. rzutują na tę oś zarówno sił tnące i osiowe działające w tm przedziale (rs. 9). 8
L D 5,88 7, L D D Y T T T,5/7,5 N 6/7,5 67,5 6,5 68,,5/ 7,5, 6/7,5 L D D X N N N,5/ 7,5 T 6/7,5,,5/7,5 68, 6/7,5 Równowaga węzła L D 8 L D Y T T N 76 6 L D X N N T rzkład 5. rzedstawione poniżej ram rozwiązać metodą graficzną (wznaczć reakcje podporowe oraz sporządzić wkres, T, N). Reakcje podporowe statcznie wznaczalnego układu prętowego (w przedstawionch zadaniach wstępować będzie podparcie podporą przegubową oraz przegubowoprzesuwną) obciążonego siłą skupioną wznaczm korzstając z jednego z podstawowch twierdzeń statki wkreślnej, które mówi, że trz nierównoległe sił są w równowadze wted, gd proste działania tch sił przecinają się w jednm punkcie. unkt zbieżności układu określim na przecięciu prostej działania danej sił z prostą działania reakcji o znanm kierunku (wstępującej w podporze przegubowoprzesuwnej). rostą działania drugiej reakcji określa prosta przechodząca przez wznaczon punkt podparcia oraz przez wznaczon już punkt zbieżności. Wartości oraz zwrot reakcji podporowch określim sporządzając wielobok sił. Znajomość podstawowch zasad statki pozwala na szbkie wznaczenie w pamięci sił wewnętrznch, wnikającch z oddziałwania zadanego obciążenia.. SCHET NR I (siła nachlona pod kątem 5 ) R R R R,5,5 Rs.. lan sił oraz wielobok sił dla zadanego obciążenia siłą. Odcztano: R, ; R 9
T N,7,7,7,7,7,,,7 Rs.. Wkres sił przekrojowch, T, N. SCHET NR II (siła o kierunku poziomm) R R,5,5 R R,5,5 Rs.. lan sił oraz wielobok sił dla zadanego obciążenia siłą. Odcztano: R ; R, T N,5,5,5,5,5, Rs.. Wkres sił przekrojowch, T, N 5
. SCHET NR III (siła o kierunku pionowm) R R,5,5 R R,5,5 Rs. 5. lan sił oraz wielobok sił dla zadanego obciążenia siłą. Odcztano: R, ; R T N,5,7,7 Rs. 6. Wkres sił przekrojowch, T, N. SCHET NR IV (siła o kierunku pionowm) R, R R,5,5 R Rs. 7. lan sił oraz wielobok sił dla zadanego obciążenia siłą. Odcztano: R,5 ; R, 5
,5 T N,5,6,5,5,7,5,5,5,6,6 Rs. 8. Wkres sił przekrojowch, T, N.. rzkład do rozwiązania rzkład 6. Dla ram pokazanch na rsunku 9 wznaczć reakcje podporowe oraz sporządzić wkres sił przekrojowch, T, N. q kn/m 5 kn 5 kn,, q kn/m 6,,, 5, 5, a), b), q5 kn/m q kn/m kn m,, q 5 kn/m,,,,,,,, c) d) Rs. 9. Schemat statczne ram do samodzielnego rozwiązania 5
5. Łuki trójprzegubowe 5.. Wiadomości ogólne Łukiem nazwam pręt zakrzwion w płaszczźnie działania sił i podpart na końcach w sposób zapewniając jego geometrczną niezmienność. Działanie sił cznnch powoduje powstanie reakcji podporowch o dowolnm kierunku. Składowa pozioma reakcji zwana siłą rozporu może bć przeniesiona przez odpowiednio ukształtowane fundament lub podpor bądź też przez zastosowanie ściągu. ojęcie sił wewnętrznch zdefiniowane w rozdziale. możem rozszerzć w stosunku do łuków, określając siłę osiową N α jako rzut wszstkich sił działającch po jednej stronie przekroju αα na kierunek stczn do osi łuku w punkcie, będącm środkiem ciężkości tego przekroju (rs. 5). Siłę tnącą T α definiujem natomiast jako rzut sił opisanch wżej na kierunek normaln do stcznej w punkcie. α α N α T α H α H V Rs. 5. Wznaczenie sił wewnętrznch w łuku dla dowolnego przekroju αα Obciążając wiotkie cięgno dowolnm układem sił, uzskam odkształcenie tegoż cięgna, na skutek którego będzie ono włącznie rozciągane. nalogicznie, odpowiednie ukształtowanie łuku pozwala na całkowite weliminowanie momentu zginającego i sił tnącej. ręt łuku będą zatem ściskane osiowo (co wmaga ich określonej sztwności). ożem to uzasadnić korzstając z zależności momentu zginającego α od sił osiowej N α, którą wraża równanie: α N α n, (5) gdzie n jest mimośrodem sił N α, określającm punkt N zaczepienia wpadkowej W α (rs. 5). Krzwą, będącą zbiorem punktów N, nazwam linią ciśnień. α V T α Wα α N n α N α Rs. 5. Określenie punktu N prznależnego linii ciśnień Łuk jest ściskan osiowo tlko wted, gd jego oś pokrwa się z linią ciśnień! 5
5.. rzkład liczbowe rzkład 5. Rozwiązać metodą analitczną kolist łuk trójprzegubow przedstawion na rsunku 5. 5 kn q5 kn/m C, R R R 5,, 7,, R 5 Reakcje podporowe: Rs. 5. Schemat statczn Reakcje podporowe wznaczm, rozpisując trz warunki równowagi, dotczące całego układu (Σ, ΣX, ΣY). Czwarte, brakujące równanie, określim wkorzstując fakt, że w przegubie C moment zginając jest równ zeru. () 5 q 7,5 R () R 9 q 7,5 () p C q 7,5 R 7 R () X R R z () R ( 5 5 5 7,5) /,6kN z () R ( 5 9 5 7,5) / 8,9kN z () R ( 5 7,5,6 7) /,69kN z () R,69kN Kontrola: Y R R q 7 8,9,6 5 5 7 Sił przekrojowe,t,n: Obliczenie promienia łuku oraz kąta początkowego: r L /(8 f ),5 f /(8 ),5 8,5m sinα,5 L/r,5 /8,5,86 α 59, 9 Sił przekrojowe wznaczm w punktach charakterstcznch łuku (rs. 56), na podstawie określonch niżej funkcji zmiennej α w trzech przedziałach obciążeń:
, C i C (gdzie α jest kątem nachlenia przekroju αα do osi pionowej, od którego uzależnione są również odcięte i rzędne punktu danego przekrojem αα). rzedział (rs. 55a) α <,8 ; 59,9 > a) T R cosα R sinα α α R R, gdzie, są odciętmi i rzędnmi punktu, danego przekrojem αα (rs. 5): 7 r sinα (r r cosα) r ( cosα) N α R sinα R cosα rzedział C (rs. 55b) α < ;,8 > T R cosα R sinα cosα b) α α R R ( 5) gdzie, jak w przedziale N R sinα R cosα sinα α rzedział C (rs. 55c) α < ; 59,9 > ; zmiana znaku! R cosα R sinα q cosα Tα α R R 7 r sinα r ( cosα),5 q Nα R sinα R cosα q sinα c) R R N α R R T α α α 5, 5, 59,9 q5 kn/m α,,,5 T α 5 kn α α N α,5 α 8,5 C 8,5 r r cosα 7, r sinα C C T α α α, 59,9 przekrój α α α r cosα r 8,5 m 8,5 α 59,9 N α R R 7, Rs. 5. Odcięte i rzędne przekroju αα Rs. 55. rzedział obciążeń zewnętrznch 55
Odcięte i rzędne punktów określonch przez podział prętów C i C na czter odcinki (kąt początkow α dzielim przez czter) oraz punktów charakterstcznch (podpor i, przegub C oraz punkt przłożenia sił ) wznaczono według określonch powżej wzorów i przedstawiono w tablic 5. ołożenie wszczególnionch punktów pokazano na rsunku 56. ręt Nr przekroju α sinα r sinα 7r sinα cosα cosα r (cosα) C C 59,9,86 7,,,58,9,,6,7 5,7,9,7,88,66 9,75,96,,97,868,,9,87,57,9,9,967,,7,5,6, 5,,969,,75 C,, 7,,,, C,, 7,,,, 5,87,57,9,9,967,,7 6 9,75,96,,97,868,,9 7,6,7 5,7,9,7,88,66 59,9,86 7,,,58,9, Tab. 5. Wartości odciętch i rzędnch poszczególnch punktów Wartości sił przekrojowch, w punktach o tak wznaczonch odciętch i rzędnch, obliczam na podstawie zapisanch wżej funkcji zmiennej α (kąt nachlenia przekroju αα) w wszczególnionch przedziałach obciążenia łuku. Wniki przeprowadzonch obliczeń zestawiono w tabeli 5, natomiast wkres sił wewnętrznch, T, N przedstawiono na rsunku 57. ręt Nr przekroju C C 56 α T α α N α m m kn knm kn wg tab. 5 wg wzorów zapisanch dla przedziałów obciążenia 59,9,,,9, 8,8,6,9,66,5 7,6,9 9,75,97,9,7 7,7,56,87,9,7,,66 8,58,5 5,,75,95,6 8,7,5 5,,75,6,6,78 C 7,,,9 ~,,69 C 7,,,9 ~,,69 5,87,9,7,6,9 5,67 6 9,75,97,9,,5 9,76 7,6,9,66,56,5 5, 59,9,, 5,, 9,77 Tab. 5. Wartości sił wewnętrznch