LINIE PIERWIASTKOWE JAKO PODSTAWA SYNTEZY UKŠADÓW REGULACJI 1 Schemat sterowania (regulacji) w ukªadzie zamkni tym (rys. 1). Rysunek 1: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. Korekcja statyczna: regulator proporcjonalny Transmitancja regulatora G c (s) = k c. Poszukuje si takiego wzmocnienia k c, aby linie pierwiastkowe ukªadu zamkni tego znalazªy si w obszarze wyznaczonym przez specykacje projektu.
2 Uwagi: 1) Regulator proporcjonalny (regulator typu P) posiada tylko jeden stopie«swobody, co mo»e nie wystarcza dla speªnienia wszystkich wymaga«. W takiej sytuacji niezb dna jest korekcja ukªadu regulacji poprzez zastosowanie odpowiednich dynamicznych czªonów korekcyjnych. 2) W przypadku regulatora typu P mo»- na zatem mówi tylko o statycznej korekcji ukªadu sterowania. 3) Ograniczone mo»liwo±ci regulacji typu P wynikaj tak»e z faktu,»e na dynamiczne wªasno±ci ukªadu zamkni tego maj wpªyw równie» zera odpowiedniej operatorowej transmitancji tego ukªadu.
PRZYKŠAD 1 (REGULATOR P) 3 Obiekt o operatorowej transmitancji G p (s) = 3 + s s(5 + s)(6 + s)(2 + 2s + s 2 ) sterowany jest za pomoc regulatora typu P o transmitancji G c (s) = k c w ukªadzie zamkni tym z jednostkowym ujemnym sprz»eniem zwrotnym. Nale»y dobra wzmocnienie k c, przy którym odpowied¹ skokowa ukªadu zamkni tego posiada: przeregulowanie κ 0.15 oraz czas ustalania T s2% 8 s. Zauwa»my, i» specykacje (wymagania projektowe) podano w formie nierówno±ci co odpowiada cz sto stosowanej w praktyce zasadzie 'aby nie byªo gorzej ni»...'.
4 Rozwi zanie znaleziono, stosuj c przybli»on metod, opart na analizie obrazu linii pierwiastkowych zamkni tego ukªadu sterowania. Transmitancji ukªadu otwartego: G 0 (s) = k c G p (s), k c 0. Linii pierwiastkowe (uzyskane w rutynowym post powaniu) pokazano na rys. 2. Rysunek 2: Przykªad 1: linie pierwiastkowe ukªadu z regulatorem proporcjonalnym.
Bieguny oraz zero transmitancji G p (s): p 1 = 6, p 2 = 5, p 3,4 = 1±j1, p 5 = 0; z 1 = 3. Z rys. 2 wynika,»e istnieje taki przedziaª warto±ci wzmocnie«k c regulatora, któremu odpowiada stabilny ukªad zamkni ty. Krytyczn warto± k c = 35.519 tego parametru, przy której ukªad sterowania znajduje si na 'granicy stabilno±ci', wyznaczono na podstawie algebraicznego kryterium Routha. Poszukuj c wzmocnienia k c < k c, przy którym odpowied¹ skokowa ukªadu zamkni tego speªnia postawione wymagania, posªu»ymy si uproszczon procedur, opart na nast puj cej hipotezie. 5
6 HIPOTEZA O DOMINUJ CEJ PARZE BIEGUNÓW ZESPOLONYCH: Zakªada si, i» o dynamicznych wªasno±ciach zamkni tego ukªadu sterowania decyduje para sprz»onych biegunów jego transmitancji, poªo»onych na pªaszczy¹nie zespolonej w obszarze okre±lonym wymaganiami projektowymi, dotycz cymi przede wszystkim stabilno±ci oraz szybko±ci procesów przej- ±ciowych. W przypadku wska¹ników κ i T s2% odpowiedzi skokowej, obszar taki deniuje si jako wspóln cz ± (rys. 2): póªpªaszczyzny le» cej na lewo od póªprostej s = σ 0 σ 0 = ζ T s T s = 3 T s5% = 4 T s2%
sto»ka wyznaczonego k tami ϕ κ i ϕ ( ) κ π ϕ κ = arctan = arccos (ζ) ln(κ) gdzie ln(κ) ζ = π 2 + ln 2 (κ) za± T s to unormowany czas ustalania odpowiedzi skokowej czªonu drugiego rz du o wspóªczynniku tªumienia ζ. Obliczenia numeryczne: κ = 0.15 oraz T s2% = 8 s ζ = 0.51693 oraz T s2% = 5.74278 σ 0 = 0.37108 oraz ϕ κ = 58.873. 7
8 Przykªadowa warto± wzmocnienia regulatora, przy której wszystkie bieguny transmitancji ukªadu zamkni tego le-» w dopuszczalnym obszarze pªaszczyzny zespolonej (co potwierdza MATLAB): k c = 9.2403. Wska¹niki odpowiedzi skokowej ukªadu zamkni tego (symulacja): κ = 0.0641 < 0.15 oraz T s2% = 6.75 s < 8 s. Na rys. 3 pokazano t odpowied¹ oraz dla porównania odpowied¹ wzorcowego czªonu drugiego rz du o parametrach wynikaj cych z powy»szych rozwa»a«: ζ = 0.51693 oraz τ = T s2% T s2% = 1.3931 s.
9 Rysunek 3: Przykªad 1: odpowiedzi skokowe. MATLABowe funkcje wspomagaj ce projektowanie metod linii pierwiastkowych: rlocus(licznikgp, mianownikgp); % wykre±lanie linii pierwiastkowych; sgrid; % wykre±lanie 'siatki' staªych warto±ci wspóªczynnika tªumienia ζ oraz pulsacji naturalnej ω n = 1/τ; [k,bieguny]=rlocnd(licznikgp, mianownikgp); % funkcja wyznacza wzmocnienie kc oraz bieguny ukªadu zamkni tego, odpowiadaj ce wskazanemu punktowi pªaszczyzny zespolonej (wskazanie za pomoc myszy); [bieguny,zera]=pzmap(licznik,mianownik); % funkcja wyznacza bieguny i zera zadanej transmitancji wymiernej (licznik(s)/mianownik(s)).
10 Korekcja dynamiczna: ogólne zaªo»enia Rozwa»my bardziej zªo»one zadania syntezy ukªadu zamkni tego z rys. 1, w których zakªada si u»ycie dynamicznych regulatorów (korektorów) G c (s). W pierwszej kolejno±ci rozpatrzymy reguªy strojenia regulatorów o typowych (standardowych) postaciach. Takie wyró»nione postacie regulatorów maj swoje zakorzenione w tradycji nazwy, wywodz ce si z typu dynamicznej operacji wykonywanej na sygnale uchybu (sygnale ró»nicowym), b d¹ te» sposobu, w jaki dany regulator oddziaªuje na fazow charakterystyk otwartego ukªadu regulacji. Wska»emy na podstawowe cele (cz stkowe zadania sterowania), które mo»na zrealizowa, posªuguj c si owymi standar-
dowymi czªonami korekcyjnymi. Mowa tu przede wszystkim o: stabilizacji ukªadu zamkni tego, ksztaªtowaniu zadanej szybko±ci przej- ±ciowych procesów regulacji, d»eniu do zapewnienia po» danej statycznej dokªadno±ci regulacji. Na wst pie rozwa»ane b d regulatory o transmitancjach pierwszego rz du. W zale»no±ci od sposobu parametryzacji takich transmitancji, rozpatrywa b dziemy nast puj ce regulatory (korektory): G c (s) = a 0 + a 1 s 1 + b 1 s, b 1 0 G c (s) = z + s p + s, z < p < 0. W ka»dym przypadku zakªada si zatem stabilno± regulatora. 11
12 Rozwa»ane b d tak»e bardzo popularne regulatory z rodziny PID, to znaczy regulatory o dziaªaniu proporcjonalnocaªkuj co-ró»niczkuj cym (Proportional-Integral-Derivative). Idealizowana transmitancja takiego regulatora ma posta G c (s) = k p + k i s + k ds. Oprócz wymienionych atrybutów ukªadu zamkni tego, wyznaczaj cych podstawowe cele projektowania (doda tu nale»a- ªoby jeszcze postulat tªumienia wpªywu zakªóce«), rozwa»ymy tak»e praktycznie (implementacyjnie) istotne o- graniczenia realizacji wybranych sposobów (algorytmów) regulacji, polegaj ce przede wszystkim na konieczno±ci respektowania nierówno±ciowych ogranicze«na warto± sygnaªu steruj cego.
Po zapoznaniu si z wªasno±ciami podstawowych standardowych bloków (sekcji) szeregowych regulatorów (korektorów), mo»na przyst pi do rozwi zywania bardziej zªo»onych (wielokryterialnych) zada«syntezy regulatorów. 13 Najprostsze podej±cie do 'kompleksowego' problemu syntezy regulatora polega na takiej dekompozycji zadania projektowego, aby rozwi zania poszczególnych cz stkowych zada«mo»na byªo uzyska w kolejnych, wzgl dnie autonomicznych krokach, polegaj cych na wyznaczaniu ('strojeniu', 'nastawianiu') owych wyró»- nionych standardowych sekcji bardziej zªo»onego regulatora.
14 Korekcja dynamiczna: stabilizacja oraz ksztaªtowanie szybko±ci regulacji (rozwa»ania ogólne) Obiekt o modelu G p (s) sterowany jest w ukªadzie danym na rys. 4 za pomoc regulatora pierwszego rz du G c (s) = a 0 + a 1 s 1 + b 1 s. (1) Rysunek 4: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. Parametry a 0, a 1 oraz b 1 tej transmitancji dobieramy w ten sposób, aby równanie charakterystyczne ukªadu zamkni tego posiadaªo par pierwiastków zespolonych sprz»onych o zadanej warto±ci (s, s ) (jest to warunek konieczny, ale nie wystarczaj cy sukcesu!).
Transmitancja ukªadu zamkni tego ma posta G rc (s) = G c(s)g p (s) 1 + G c (s)g p (s). Na tej podstawie zapisujemy równo± : 15 Niech 1 + G c (s)g p (s) s=s = 0. (2) s = s e jϕ oraz G p (s ) = G p (s ) e jϑ. Zakªadaj c,»e G p (s ) 0, ze wzoru (2) otrzymujemy, i» a 0 + a 1 s = 1 + b 1s G p (s ). Po przeksztaªceniach mamy a 0 + a 1 s (cos(ϕ ) + j sin(ϕ )) = cos(ϑ) j sin(ϑ) G p (s ) b 1 s (cos(ϕ ϑ) + j sin(ϕ ϑ)). G p (s )
16 Rozwa»aj c cz ± rzeczywist oraz urojon powy»szego wyra»enia, otrzymujemy dwa warunki, niezb dne do tego, aby zachodziªa relacja (2). Poniewa» transmitancja G c (s) okre±lona jest trzema niezale»nymi parametrami (a 0, a 1 oraz b 1 ), uzyskujemy w ten sposób rodzin rozwi za«, opisan pewnym wybranym (swobodnym) parametrem tej transmitancji. Przyjmuj c a 0 jako parametr swobodny (co okazuje si podej±ciem bardzo dogodnym), wyznaczamy nast puj cy u- kªad równa«liniowych na parametry a 1 (a 0 ) oraz b 1 (a 0 ) transmitancji rozwa-»anego regulatora gdzie A [ a1 b 1 ] = b
17 A = b(a 0 ) = [ s cos(ϕ ) s cos(ϕ ϑ) G p (s ) s sin(ϕ ) s sin(ϕ ϑ) G p (s ) [ ] a0 cos(ϑ) G p (s ) sin(ϑ). G p (s ) ] Rozwi zanie tego ukªadu (przy zaªo»eniu,»e det A 0) ma posta : a 1 (a 0 ) = a 0 G p (s ) sin(ϕ ϑ) + sin(ϕ ) s G p (s ) sin(ϑ) b 1 (a 0 ) = a 0 G p (s ) (sin ϕ ) sin(ϕ + ϑ) s sin(ϑ) gdzie, jak ju» powiedziano, a 0 peªni rol swobodnego parametru. Przypadek det A = 0 (co zachodzi dla sin(ϑ) = 0) ma mniejsze znaczenie praktyczne.
18 Par {s, s }, od której oczekuje si,»e b dzie peªniªa rol dominuj cych biegunów transmitancji ukªadu zamkni tego, wyznacza si na podstawie specykacji dotycz cych przede wszystkim: stabilno±ci ukªadu zamkni tego, szybko±ci procesów przej±ciowych. Po»adane stabilizuj ce oraz przyspieszaj ce dziaªanie stosowanego regulatora wi -»e si z wymaganiem (warunek niezb dno±ci regulatora przyspieszaj cego (forsuj cego) faz ) wprowadzenia przez transmitancj G c (s) tego regulatora odpowiedniego dodatniego przyczynku fazowego arg (G c (s )) > 0 do równania arg (G c (s )) + ϑ = π wynikaj cego ze wzoru (2).
KOMENTARZ: 19 1) Poniewa» dominuj cy biegun transmitancji ukªadu zamkni tego musi le»e w lewej otwartej póªpªaszczy¹nie (Re (s ) < 0), a zatem ϕ (90, 180 ] sin(ϕ ) 0. 2) Swobodny parametr a 0 okre±la statyczne wzmocnienie regulatora lim G c(s) = a 0 + a 1 s s 0 1 + b 1 s = a 0. s=0 Dalej przeto przyjmujemy,»e a 0 > 0. Wymaganie stabilno±ci regulatora (1) prowadzi do warunku b 1 0. daj c ponadto, aby G c (s) byªa transmitancj minimalnofazow (nie jest wskazane wprowadzanie do modelu odpowiedniego ukªadu otwartego zer le» cych w prawej póªpªaszczy¹nie), otrzymujemy kolejn ograniczaj c nierówno± a 1 > 0.
20 3) Kªad c zatem a 0 > 0, a 1 > 0, b 1 0 zauwa»amy,»e obowi zuje nast puj ce oszacowanie maksymalnej mo»liwej do uzyskania dodatniej korekty fazy arg (G c (s )) < 90. Na tej podstawie otrzymujemy istotny warunek wystarczalno±ci rozwa»anego regulatora G c (s): Mamy zatem: oraz ϑ ( 270, 180 ). sin(ϑ) > 0, sin(ϕ + ϑ) < 0 (ϕ ϑ) ( 90, 90 ).
Gdy powy»szy warunek wystarczalno±ci regulatora (1) jest speªniony, wówczas obowi zuje nast puj ce ograniczenie na wzajemne usytuowanie bieguna oraz zera transmitancji G c (s) tego regulatora: 1 b 1 < a 0 a 1 < 0 (co jest równowa»ne wymaganiu forsowania fazy arg (G c (s )) > 0). 4) danie stabilno±ci regulatora (b 1 0) prowadzi do oszacowania maksymalnej dopuszczalnej warto±ci swobodnego parametru a 0 jego transmitancji G c (s): a 0max = sin(ϕ + ϑ) G p (s ) sin(ϕ ). Dla a 0 = a 0max mamy b 1 = 0, co daje regulator PD o idealizowanej postaci. 21
22 5) Dla a 0 a 0max speªniona jest po» dana nierówno± : a 1 (a 0 ) > 0. 6) Pocz tkowa warto± u 0 = u(t) t=0 sygnaªu steruj cego u(t) przy jednostkowym pobudzeniu r(t) = 1(t) oraz zerowych warunkach pocz tkowych wynosi u 0 = lim s G ru (s) = lim s G c (s) 1 + G c (s)g p (s). Dla obiektu o ±ci±le wªa±ciwej transmitancji G p (s) mamy zatem u 0 = a 1 b 1. Na tej podstawie otrzymujemy u 0 (a 0 ) = a 0 G p (s ) sin(ϕ ϑ) + sin(ϕ ) G p (s ) [ a 0 G p (s ) sin(ϕ ) sin(ϕ + ϑ)]. Dobieraj c warto± parametru a 0, mo-»emy, do pewnego stopnia, ksztaªtowa posta sygnaªu steruj cego obiektem.
7) Zapewniaj c ukªadowi zamkni temu równanie charakterystyczne o pierwiastkach (s, s ), nie gwarantuje si, w ogólno±ci,»e dynamiczne wªasno±ci tego ukªadu b d zdeterminowane owymi pierwiastkami! Sytuacja, w której para (s, s ) nie okre- ±la dominuj cych biegunów ukªadu zamkni tego ±wiadczy zwykle o zbyt wygórowanych wymaganiach co do tempa regulacji, trudnych do speªnienia przy bardzo prostej strukturze regulatora: w projekcie optymistycznie kªadzie si zbyt maª warto± parametru τ skali czasu. 8) Parametr a 0 wpªywa na wzmocnienie u- kªadu otwartego w otoczeniu s = 0 co z kolei wi»e si z ustalonymi uchybami dla typowych wielomianowych sygnaªów odniesienia r(t). Ograniczenie a 0 < a 0max sprawia,»e regulator (1) mo»e nie wystarcza, gdy oczekujemy tak»e pewnej poprawy statycznej dokªadno±ci regulacji. 23
24 PRZYKŠAD 1 (REGULATOR PIERWSZEGO RZ DU) Obiekt o transmitancji G p (s) = 25 (1 + 6s)(1 + 0.2s)(1 + 0.03s)(1 + 0.18s + 0.0144s 2 ) jest sterowany za pomoc regulatora o transmitancji (rys. 4) G c (s) = a 0 + a 1 s 1 + b 1 s, b 1 0. Oblicz parametry tego regulatora, przyjmuj c specykacje dotycz ce stabilno±ci, szybko±ci oraz kosztów regulacji: zapas fazy p = 60, czas ustalania odpowiedzi skokowej T s5% = 1.35 s, pocz tkowa warto± sygnaªu steruj - cego dla jednostkowego pobudzenia skokowego u 0 = u(0) 3.0.
Wyznaczamy par» danych pierwiastków (s, s ) równania charakterystycznego u- kªadu zamkni tego (zamierzamy par t uczyni dominuj cymi biegunami transmitancji ukªadu regulacji): s = α + jβ = ζ τ + j 1 ζ 2 gdzie ζ = tan( p) cos p 2 τ T s5% = 1.25 T s5% 5.197 Zakªadaj c τ = 0.22 s τ = 0.61237 = 0.2598 s. (ze wzgl dów 'bezpiecze«stwa' przyj to τ < 0.2598 s), otrzymujemy: α = 2.78351 oraz β = 3.59350 s = 4.54545 oraz arg s = 127.7650. 25
26 Takiej warto±ci s odpowiadaj nast puj ce parametry transmitancji obiektu: G p (s ) = 2.16394 ϑ = arg G p (s ) = 231.297. Pocz tkowa warto± sygnaªu steruj cego u 0 (a 0 ) = 0.016363a 0 + 0.36532 1.71066a 0 + 0.97224. Przyjmuj c u 0 (a 0 ) = 3, uzyskujemy a 0 = 0.49875. Pozostaªe parametry regulatora: a 1 (a 0 ) = a 0 G p (s ) sin(ϕ ϑ) + sin(ϕ ) s G p (s ) sin(ϑ) = 0.10069 b 1 (a 0 ) = a 0 G p (s ) (sin ϕ ) sin(ϕ + ϑ) s sin(ϑ) = 0.033562.
Analiza ukªadu regulacji 27 Rysunek 5: Linie pierwiastkowe ukªadu regulacji: przed i po korekcji.
28 Charakterystyki ukªadu zamkni tego: zapas fazy p = 66, parametry odpowiedzi skokowej: T s5% = 1.301 s oraz κ = 0.0654. KOMENTARZ: 1) Transmitancja regulatora ma posta G c (s) = 0.49875 1 + 0.201885s 1 + 0.033562s. Zachodzi zatem arg G c (jω) > 0 ω > 0. Mamy do czynienia z regulatorem przyspieszaj cym faz (regulatorem typu lead). 2) Porównajmy wªasno±ci tak zaprojektowanego ukªadu regulacji z wªasno±ciami ukªadu, w którym u»yto prostszy regulator proporcjonalny (regulator typu P) G c (s) = k c.
Statyczne wzmocnienie k c tego regulatora dobiera si w ten sposób, aby zapewni ukªadowi» dany zapas stabilno±ci (przede wszystkim stabilno±!). Wzmocnienie k c uzyskamy (zob. przykªad 1 ), wyznaczaj c punkt przeci cia linii pierwiastkowych badanego u- kªadu z prost o nachyleniu arccos (ζ) = 52.24. Mo»na te» skorzysta z odpowiednich funkcji MATLABa (patrz dalej)! Tak post puj c, obliczono k c = 0.33366. Ukªad z regulatorem typu P charakteryzuje si wska¹nikami: - zapas fazy p = 66.2, - parametry odpowiedzi skokowej: T s5% = 2.275 s oraz κ = 0.0886. 29
30 3) Porównajmy statyczn dokªadno± o- bu badanych ukªadów regulacji (zauwa»- my jednak, i» jest to atrybut wynikowy, ta cecha ukªadu regulacji nie byªa bowiem przedmiotem projektu): statyczne wzmocnienie: regulator lead k lead p = a 0 G p (0) = 12.46875 regulator P k P p = k c G p (0) = 8.34143; ustalony bª d poªo»eniowy: regulator lead e lead p = regulator P e P p = 1 1 + k lead p 1 1 + k P p = 0.07425 = 0.10705.
WNIOSKI: 31 U»ycie dynamicznego regulatora przyspieszaj cego faz (korektora lead) znacz co poprawiªo wszystkie wªasno±ci projektowanego ukªadu regulacji (w stosunku do ukªadu, w którym stosuje si regulator proporcjonalny, nastawiony w ten sposób, aby zachowa zadany zapas fazy). W szczególno±ci, u»ycie dynamicznego regulatora do stabilizacji ukªadu regulacji zapewniªo tak»e pewien wzrost statycznego wzmocnienia ukªadu otwartego, w konsekwencji wzrosªa statyczna dokªadno± oraz poprawiªa si zdolno± ukªadu zamkni tego do przeciwdziaªania zakªóceniom oddziaªuj cym na o- biekt.
32 Zakªóceniowa transmitancja uchybowa G de (s) = E(s) D(s) = 1 1 + G c (s)g p (s). Dla krytycznego skokowego zakªócenia d(t) mamy oszacowanie ustalonego u- chybu, wywoªanego takim zakªóceniem e( ) = 1 1 + G c (0)G p (0). Zwi kszaj c statyczne wzmocnienie ukªadu otwartego, zmniejszamy warto± tego uchybu. W ukªadzie z regulatorem typu P zwi kszenie statycznej dokªadno±ci oraz popraw tªumienia wpªywu zakªóce«mo»na osi gn tylko kosztem zmniejszenia zapasu stabilno±ci tego ukªadu. Stosuj c regulator przyspieszaj cy faz, musimy jednak liczy si z konieczno±ci stosowania bardziej intensywnych sygna- ªów sterowania obiektem.
Rysunek 6: Porównanie wªasno±ci ukªadów sterowania: a) odpowiedzi skokowe, b) sygnaªy steruj ce. 33
34 Oto stosowne MATLABowe zakl cia. licz=25; % modelowanie obiektu; mian=conv(conv([6 1],[0.2 1]),[0.03 1]); mian=conv(mian,[0.0144 0.18 1]); % wykre±lanie linii pierwiastkowych; rlocus(licz,mian); % a wªa±ciwie tylko tego fragmentu, % który jest istotny ze wzgl du na synteze regulatora axis([-5 5-5 5]); % na wykres linii pierwiastkowych % 'nakªadana jest siatka' staªych ζ; sgrid; % na ekranie zaznaczamy wybrany punkt, % odpowiadaj cy ζ 0.61237 kc=rlocnd(licz,mian); Select a point in the graphics window selected_point = -1.5589 + 2.0088i %» dane wzmocnienie regulatora typu P; kc kc = 0.33366
35 % wyznaczanie zapasów stabilno±ci; [Gm,Pm]=margin(kc*licz,mian) % zapas wzmocnienia (w decybelach); Gm = 4.2016 % zapas fazy (w stopniach); Pm = % zapas fazy (w stopniach); 66.2300 Rysunek 7: Ilustracja strojenia regulatora proporcjonalnego. % modelowanie regulatora typu lead; Gclicz=[0.10069 0.49875]; Gcmian=[0.033562 1];
36 % modelowanie ukªadu otwartego z regulatorem typu lead [G0licz,G0mian]=series(Gclicz,Gcmian,licz,mian); % modelowanie ukªadu zamkni tego z regulatorem typu lead [liczz1,mianz1]=cloop(g0licz,g0mian); % modelowanie ukªadu zamkni tego z regulatorem typu P; [liczz0,mianz0]=cloop(kc*licz,mian); % wykre±lanie odpowiedzi skokowych ukªadów zamkni tych; [y,x,t]=step(liczz0,mianz0); step(liczz1,mianz1,t); axis([0 4 0 1.1]); hold on plot(t,y,'.') % statyczne wzmocnienie otwartego ukªadu z regulatorem P; kp0=dcgain(kc*licz,mian) kp0 = 8.3414 % statyczne wzmocnienie otwartego % ukªadu ze regulatorem lead; kp1=dcgain(g0licz,g0mian)
37 kp1 = 12.4688 % ustalony bª d poªo»eniowy ukªadu z regulatorem P; e0=1/(1+kp0) e0 = 0.1071 % ustalony bª d poªo»eniowy ukªadu z regulatorem lead; e1=1/(1+kp1) e1 = 0.0742 % modelowanie transmitancji G ru (s); [liczu0,mianu0]=feedback(kc,1,licz,mian,-1); [liczu1,mianu1]=feedback(gclicz,gcmian,licz,mian,-1); % modelowanie sterowania u(t); [u0,y,t]=step(liczu0,mianu0); step(liczu0,mianu0); step(liczu1,mianu1,t); hold on; plot(t,u0,'.'); axis([0 4-0.5 3]);
38 Korekcja dynamiczna: stabilizacja oraz ksztaªtowanie szybko±ci regulacji (uproszczona metoda) Rozwa»my uproszczon metod syntezy regulatora pierwszego rz du przyspieszaj cego faz. Zadanie stabilizacji ukªadu zamkni tego ª czy si tu z zadaniem przyspieszenia przej±ciowych procesów regulacji. Metod t zaprezentujemy na przykªadzie numerycznym. Obiekt opisany transmitancj G p (s) = 2 s(3 + s)(8 + s). jest sterowany w ukªadzie z ujemnym jednostkowym sprz»eniem zwrotnym za pomoc regulatora o transmitancji G c (s).
Dla G c (s) = 1 (regulacja bez korekcji), odpowied¹ skokowa ukªadu zamkni tego charakteryzuje si : przeregulowaniem κ = 0.0, czasem ustalania T s5% = 35 s. Wyznacz takie warto±ci nastawialnych parametrów k, T oraz α transmitancji regulatora przyspieszaj cego faz 1/T + s G c (s) = k 1/(αT ) + s, T > 0, 0 < α < 1 aby kosztem niewielkiego wzrostu warto±ci przeregulowania (κ 0.2) uzyska znaczne zwi kszenie szybko±ci regulacji (T s5% 1 s). Zakªada si,»e dynamiczne wªasno±ci u- kªadu zamkni tego zdeterminowane s par (s, s ) dominuj cych biegunów transmitancji tego ukªadu: s = α + jβ = ζ 1 ζ τ + j 2. τ 39
40 Warto±ci parametrów ζ oraz τ wynikaj z wymaga«wobec odpowiedzi skokowej: ζ = ln(κ) π 2 + ln 2 (κ) τ = T s5% T s5% = T s5% 5.2536 Biegun s ma zatem posta Z warunku = 0.4559 = 0.1904 s. s = 2.3959 + j4.6757. 1 + G c (s)g p (s) s=s = 0 wnioskujemy,»e: αt k = 1 G p (s ) s + 1 s + 1 T. (3) arg G c (s ) = ϑ c = 180 arg G p (s )
Przyjmuj c oznaczenia zgodnie z rysunkiem 41 Rysunek 8: Ilustracja strojenia regulatora przyspieszaj cego faz : przyczynki fazowe. stwierdzamy,»e arg G p (s ) = ϑ p1 ϑ p2 ϑ p3 gdzie ϑ p1 = 39.837, ϑ p2 = 82.632 oraz ϑ p3 = 117.126 s przyczynkami fazowymi wnoszonymi przez odpowiednie bieguny (p 1 = 8, p 2 = 3 oraz p 3 = 0) transmitancji obiektu.
42 Zachodzi zatem arg G p (s ) = 239.595. Wynika st d warto± przesuni cia fazowego, które dla s = s powinna zapewnia transmitancja regulatora ϑ c = 59.595. Poniewa» ϑ c > 0, zatem od regulatora wymaga si pewnego przyspieszenia ('forsowania') fazy. Mamy ϑ c = arctan ( β 1 T α ) arctan ( sk d otrzymujemy przydatn formuª β 1 αt α ) 1 αt = α + tan ( arctan β ( ) β 1/T α ϑ lead ). (4)
43 KOMENTARZ: 1) Nale»y podkre±li, i» opisana procedura doboru parametrów regulatora G c (s) o- piera si na zaªo»eniu dodatniej i niezbyt du»ej warto±ci k ta ϑ c 0 < ϑ c < 90. W przypadku, gdy warunek ten nie jest speªniony, niezb dna jest pewna wery- kacja wymaga«projektowych, wyra»onych w specykacji pary (s, s ) (chodzi tu zwªaszcza o korekt oczekiwa«co do szybko±ci regulacji). 2) Postawione zadanie syntezy regulatora G c (s) nie ma jednoznacznego rozwi zania: traktuj c T jako parametr swobodny, pozostaªe parametry tego regulatora (to znaczy k oraz α) wyznaczy mo»na ze wzorów (3) oraz (4).
44 3) Pewien praktyczny walor posiada nast puj ca reguªa tak zwanego kompensacyjnego strojenia rozwa»anego regulatora G c (s), wedªug której T równa si najwi kszej staªej czasowej obiektu. 4) Inny sposób racjonalnej parametryzacji transmitancji regulatora polega na takim wyborze T, aby iloczyn kα, istotny ze wzgl du na statyczn dokªadno± u- kªadu regulacji, przyjmowaª mo»liwie du-» warto± (mamy bowiem G c (0) = kα). 5) W obliczu ogranicze«na warto± sygnaªu steruj cego u(t), sformuªowa mo»- na, do pewnego stopnia przeciwstawn, reguª strojenia regulatora, nakazuj c stosowne zmniejszanie warto±ci parametru k. Pocz tkowa warto± sygnaªu steruj cego obiektem przy jednostkowym sygnale zadaj cym r(t) = 1(t) oraz zerowych warunkach pocz tkowych równa si bowiem u(0) = k.
KONTYNUACJA OBLICZE : Zakªadamy ±cisª kompensacj dominuj cej staªej czasowej obiektu T = 1/3 s co, zgodnie ze wzorami (3) oraz (4), prowadzi do: 3 + s G c (s) = 229.0859 13.391 + s, α = 0.2240. Pocz tkowa warto± sygnaªu steruj cego obiektem wynosi u(0) = 229.0859. Zauwa»my ponadto, i» w rozwa»anym przypadku zastosowanie regulatora przyspieszaj cego faz zapewniªo tak»e pewne 'wynikowe' zwi kszenie statycznej dokªadno±ci regulacji (jednak nie zawsze tak musi by!): wzmocnienie pr dko±ciowe ukªadu regulacji przed i po korekcji wynosi bowiem, odpowiednio: 0.0833 oraz 4.2769. 45
46 Symulacja odpowiedzi skokowej ukªadu zamkni tego pozwala na oszacowanie: przeregulowania κ = 0.1886 czasu ustalania T s5% = 1.06 s. oraz Rysunek 9: Odpowiedzi skokowe. Widzimy tu tak»e przebieg odpowiedzi skokowej czªonu modelowanego wzorcow transmitancj drugiego rz du o wy»ej danych parametrach ζ oraz τ.
Porównuj c obie odpowiedzi, stwierdzamy, i» odpowied¹ 'rzeczywistego' ukªadu regulacji jest wolniejsza od odpowiedzi wzorcowej. W praktyce zaleca si zatem, aby do projektowych oblicze«przyjmowa 'nieco' mniejsz warto± parametru skali czasu τ w stosunku do warto±ci, która wynika ze wst pnych oszacowa«wywiedzionych z wymaga«(specykacji) odno±nie po-» danej szybko±ci przej±ciowych procesów regulacji lub pasma przenoszenia u- kªadu zamkni tego. 47
48 Korekcja dynamiczna: zwi kszanie statycznej dokªadno±ci regulacji Strukturalny schemat standardowego u- kªadu zamkni tego dano na rys. 10. Rysunek 10: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. O transmitancji G 0 (s) zakªada si, i» przy jednostkowej transmitancji G c (s) = 1 (brak dodatkowej korekcji) ukªad zamkni ty jest stabilny wewn trznie. Transmitancj G 0 (s) interpretuje si jako wypadkow transmitancj ukªadu o- twartego, uksztaªtowan (we wcze±niejszych etapach projektu) ze wzgl du na wymagania (specykacje) dotycz ce stabilno±ci oraz szybko±ci regulacji.
Rozwa»ymy mo»liwo± zwi kszenia statycznej dokªadno±ci regulacji. Stosujemy regulator (korektor) pierwszego rz du o transmitancji 49 G c (s) = z + s, z < p < 0. (5) p + s Jest to regulator opó¹niaj cy faz (lag) arg G c (jω) = arctan ( ω p ) arctan ( ω z ) Dla uproszczenia przyjmuje si,»e transmitancja G(s) ukªadu zamkni tego przy G c (s) = 1 ma posta < 0. G(s) = G 0(s) 1 + G 0 (s) = k m i=1 ( z i + s) n i=1 ( p i + s) gdzie p i < 0, i {1,..., n}, s rzeczywistymi biegunami tej transmitancji.
50 Takiej reprezentacji G(s) odpowiada transmitancja stosownego ukªadu otwartego G 0 (s) = G(s) 1 G(s) = m i=1 = k ( z i + s) n i=1 ( p i + s) k m i=1 ( z i + s). Ukªad o zerowym stopniu astatyzmu (ukªad statyczny, M = 0) O dokªadno±ci regulacji decyduje statyczne wzmocnienie ukªadu otwartego k 0 = lim G c (s) G 0 (s). Dla G c (s) = 1 s 0 m i=1 k 0 = k ( z i) n i=1 ( p i) k m i=1 ( z i). Wtedy ustalony uchyb dla poªo»eniowego sygnaªu zadaj cego r(t) = 1(t) wynosi m i=1 e( ) = 1 k ( z i) n i=1 ( p i).
Statyczne wzmocnienie ukªadu otwartego z regulatorem (5) k l 0 = k 0 z p > k 0. Mo»emy zatem zwi kszy warto± tego wzmocnienia. Ustalony bª d poªo»eniowy (zakªada si, i» ukªad po korekcji zachowuje stabilno±!) e l ( ) = 1 1 + k 0 z. p danie β-krotnego zwi kszenia statycznej dokªadno±ci, β > 1, prowadzi do warunku z p = β(1 + k 0) 1. k 0 W przypadku, w którym k 0 1, obowi zuje u»yteczna zale»no± z p β. 51
52 W jaki sposób dobiera parametry z oraz p regulatora lag? Projektowany regulator powinien: zwi ksza statyczn dokªadno± regulacji bez znacz cego obni»ania zapasu stabilno±ci (wzrostu przeregulowania) o- raz istotnego spadku szybko±ci przej- ±ciowych procesów regulacji (wzrostu czasu ustalania). Regulator typu lag, poprawiaj c dokªadno±, nie powinien zatem degradowa tych po» danych cech ukªadu regulacji (stabilno± + szybko± ), o które zadbano wcze±niej, ustalaj c transmitancj G 0 (s). Transmitancj G 0 (s) traktujemy tu bowiem jako transmitancj uprzednio u- ksztaªtowan, za pomoc np. korekcji typu P lub lead.
Przyjmijmy zatem, i» G 0 (s) uzyskano, stosuj c metod linii pierwiastkowych dla pary (s, s = α ± jβ ) dominuj cych biegunów transmitancji ukªadu zamkni tego. Parametry regulatora G c (s) nale»y dobiera w ten sposób, aby zapewni mo»liwie 'maªy wpªyw' G c (s) dla s = s : G c (s) s= α +jβ 1 arg G c (s) s= α +jβ 0. Nietrudno sprawdzi,»e: (α G c (s) s= α +jβ = + z) 2 + (β ) 2 (α + p) 2 + (β ) 2 arg G c (s) s= α +jβ = ( β ) (p z) arctan < 0. (α + p)(α + z) + (β ) 2 53
54 Speªnienie amplitudowego warunku G c (s) s= α +jβ 1 przy którym regulator G c (s) jest 'maªo' aktywny w obszarze, w którym rozgrywa si dramat walki o zachowanie zaªo»onego 'zapasu stabilno±ci' (czyli dla s = α + jβ ), uzyska mo»na, postuluj c α + z α α + p α. Co oznacza,»e para biegun-zero regulatora tpu lag powinna le»e w lewej póªpªaszczy¹nie zespolonej blisko pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. (KONFLIKT: uwaga na szybko± regulacji!)
Drugi warunek 'maªej' aktywno±ci regulatora dla s = α +jβ, czyli warunek fazowy arg G c (s) s= α +jβ 0 przyjmuje posta 55 arg G c (s) s= α +jβ ( β ) (p z) arctan (α ) 2 + (β ) 2 0. St d ograniczenie na biegun p regulatora p k 0 (1 + k 0 )(β 1) (α ) 2 + (β ) 2 β tan(δ p ) gdzie δ p < 0 jest parametrem (stopniem swobody) projektu, wyznaczaj cym pewn dopuszczaln i dostatecznie 'maª ' (co do moduªu) warto± k ta fazowego arg G c (s) s= α +jβ.
56 W przypadku, w którym k 0 1 oraz β 1 otrzymujemy prostsz formuª p (α ) 2 + (β ) 2 ββ tan(δ p ). Mamy zatem u»yteczne oszacowania minimalnej warto±ci 'nastawy' p regulatora typu lag (dopuszczalnej ze wzgl du na akceptowalne 'zaburzenie fazy' δ p u- kªadu otwartego). Przy ustalonej warto±ci bieguna p, zero z tego regulatora wyznacza si ze wzorów lub z = β(1 + k 0) 1 k 0 z β p. p
Ocena wpªywu regulatora lag na wska¹niki odpowiedzi skokowej (analiza uproszczona, por. skrypt z zadaniami) Wprowadzenie regulatora (korektora) typu lag podwy»sza stopie«(rz d) transmitancji ukªadu zamkni tego. Maªy biegun tego regulatora poªo»ony w pobli»u pocz tku ukªadu wspóªrz dnych stwarza pewne niebezpiecze«stwo wydªu»enia procesów regulacji. Oszacujmy wpªyw takiego 'paso»ytniczego' modu odpowiedzi skokowej h lag (t) u- kªadu zamkni tego z regulatorem lag h e pt. Niech h lag ( ) oznacza stan ustalony odpowiedzi skokowej, za± e( ) oraz e lag ( ) b d ustalonymi bª dami poªo»eniowymi w ukªadzie przed i po korekcji lag, odpowiednio. 57
58 Z faktu, i» e lag ( ) = 1 h lag ( ) = e( ) β wynika (dla 'maªych' e( ) ) nast puj ce oszacowanie bieguna p p β(1 e( )) β e( ) z. Šatwo spostrzegamy, i» przy β 1 p (1 e( )) z. Ponadto zachodzi ( h 1 z p ) (1 e( )).
WNIOSKI: 1) Wspóªczynnik udziaªu najwolniejszego modu h e pt odpowiedzi skokowej ma posta h (1 β) β e( ). Wynika st d, i» h mo»e przyjmowa wzgl dnie du»e warto±ci, co grozi wydªu»eniem czasu ustalania odpowiedzi skokowej. 2) Przybli»ony czas zaniku modu h e pt (w przypadku, gdy s h lag ( ) < h ) dany jest wzorem T σ s β e( ) βz(1 e( )) ln 59 s (β e( )) (1 β)e( ) gdzie 2 s h lag ( ) oznacza szeroko± strefy kontrolnej deniuj cej stan u- stalony procesu przej±ciowego.
60 3) Z zale»no±ci h e( ) (1 β)/β wynika,»e u»ycie regulatora lag (w przypadku, gdy e( ) > 0) mo»e prowadzi do pewnego spadku warto±ci przeregulowania κ odpowiedzi skokowej ukªadu zamkni tego (w stosunku do ukªadu, w którym nie stosuje si takiego regulatora G c (s) = 1). Ukªad o niezerowym stopniu astatyzmu (ukªad astatyczny, M > 0) W tym przypadku mamy z = β p. Poniewa» zachodzi teraz h lag ( ) = 1 (co oznacza zerowanie si ustalonego bª du poªo»eniowego), zatem obowi zuje nast puj ce oszacowanie p βp h βp.
Czas zaniku najwolniejszego wolnego modu h e pt wyznaczamy ze wzoru ln s h T σ s dla s < h. p Ponadto warto zna 'zgrubn ' ocen p z = β p. 61 WNIOSKI: 1) W przypadku astatycznego ukªadu regulacji mo»liwe jest uzyskanie odpowiedzi skokowej, której najwolniejszy mod h e pt b dzie miaª zaniedbywalny wpªyw na czas jej ustalania T s s (co zachodzi przy s > h ). 2) Analiza linii pierwiastkowych dla transmitancji ukªadu otwartego G c (s)g 0 (s) w otoczeniu pocz tku ukªadu wspóªrz dnych potwierdza zasadno± przybli»enia p z (por. rys. 11a dla M = 1 oraz rys. 11b dla M = 2).
62 3) W stosunku do ukªadu bez korekcji (G c (s) = 1), regulator typu lag u»yty w ukªadzie o astatyzmie pierwszego stopnia prowadzi do wzrostu przeregulowania odpowiedzi skokowej ( h > 0), za± zastosowany w ukªadzie o a- statyzmie drugiego stopnia zapewnia spadek przeregulowania tej odpowiedzi ( h < 0). 4) Krzepi cy wniosek 1, odnosz cy si do mo»liwo±ci unikni cia niekorzystnego wpªywu regulatora typu lag na czas ustalania odpowiedzi skokowej a- statycznego ukªadu zamkni tego, nie dotyczy niestety czasu ustalania odpowiedzi takiego ukªadu na wielomianowe sygnaªy zadaj ce wy»szego stopnia (N 1) r(t) = tn N!, t 0.
63 Rysunek 11: Obraz linii pierwiastkowych w otoczeniu pocz tku ukªadu wspóªrz dnych dla astatycznych ukªadów sterowania ze regulatoriem lag: a) astatyzm pierwszego stopnia, b) astatyzm drugiego stopnia.
64 Wspóªczynnik udziaªu h N najwolniejszego modu h N t N 1 exp( pt) takiej odpowiedzi opisuje wzór h N h p N. Jak widzimy, pomimo 'niewielkiego' h, moduªy wspóªczynników h N mog przyjmowa znaczne warto±ci. 5) Analiza stabilno±ci ukªadu zamkni tego prowadzi do formuªy przydatnej przy syntezie regulatora lag p (α ) 2 + (β ) 2 (β 1)β tan(δ p ). 6) W obliczu wymaga«odno±nie stabilno±ci, szybko±ci oraz dokªadno±ci si gamy po regulatory typu lead-lag. Zwykle musimy si te» zmierzy z konieczno±ci ograniczenia wpªywu zakªóce«. Synteza regulatorów to zatem problem wielokryterialny, a jego rozwi zania nosz cechy kompromisu.
Korekcja dynamiczna: regulator PID Obiekt o modelu G p (s) jest sterowany (rys. 12) za pomoc regulatora proporcjonalno-caªkuj co-ró»niczkuj cego (PID) o idealizowanej transmitancji G c (s) = k p + k i s + k ds. 65 Rysunek 12: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. Podamy warunki, jakie musz speªnia nastawy k p ('wzmocnienie'), k i ('staªa zdwojenia') oraz k d ('staªa wyprzedzenia') tego regulatora, aby równanie charakterystyczne ukªadu zamkni tego posiadaªo zadan par pierwiastków zespolonych sprz»onych (s, s ).
66 Przyjmijmy nast puj ce oznaczenia: s = s e jϕ oraz G p (s ) = G p (s ) e jϑ. Poniewa» dla s = s zachodzi 1 + G c (s )G p (s ) = 0 zatem (pod warunkiem,»e G p (s ) > 0) mo»na zapisa równo± k p s + k i + k d (s ) 2 = s e jϑ G p (s ). Po przeksztaªceniach mamy k p s (cos(ϕ ) + j sin(ϕ )) + k i + k d s 2 (cos(2ϕ ) + j sin(2ϕ )) = = s G p (s ) (cos(ϕ ϑ) + j sin(ϕ ϑ)). Analizuj c cz ± rzeczywist i urojon tego wyra»enia, otrzymamy poszukiwane warunki na nastawy regulatora PID.
Regulator PID ma trzy stopnie swobody, zatem jedn z jego nastaw uczyni mo»na parametrem swobodnym, co pozwala na po» dan parametryzacj rodziny rozwi za«. Swobodnym parametrem dogodnie jest uczyni staª caªkowania k i, co prowadzi do ukªadu równa«liniowych na warto±ci nastaw k p (k i ) oraz k d (k i ): [ ] kp A = b gdzie A = b = k d [ ] s cos(ϕ ) s 2 cos(2ϕ ) s sin(ϕ ) s 2 sin(2ϕ ) [ ] ki s cos(ϕ ϑ) G p (s ) s sin(ϕ ϑ). G p (s ) det (A) = s 3 sin (ϕ ), zatem ukªad ten posiada jednoznaczne rozwi zanie przy s = 0 oraz ϕ r π, r = 0, ±1,.... 67
68 Sparametryzowana rodzina nastaw: k p (k i ) = 2k i s cos(ϕ ) sin(ϕ + ϑ) G p (s ) sin(ϕ ) k d (k i ) = k i s + sin(ϑ) 2 s G p (s ) sin(ϕ ). Jak dobiera swobodn nastaw k i? Nastaw t dogodnie jest wyznacza na podstawie wymaganej statycznej dokªadno±ci regulacji. Zauwa»my,»e zastosowanie regulatora PID podwy»sza stopie«astatyzmu projektowanego ukªadu. Odpowiednie wymaganie przyjmuje zatem posta» dania okre±lonej warto±ci wzmocnienia pr dko±ciowego lub przyspieszeniowego ukªadu regulacji. Zachodzi bowiem lim sg c(s) = k i. s 0
Praktyczne aspekty strojenia regulatorów PID: intensywne dziaªanie ró»niczkuj ce regulatora mo»e by niewskazane w sytuacji, w której wyst puj szumowe (szerokopasmowe) zakªócenia w torze pomiarowym ukªadu regulacji; istotnym ograniczeniem procedury doboru nastawy toru ró»niczkuj cego regulatora PID jest dopuszczalna maksymalna warto± nominalnego sygna- ªu steruj cego obiektem. Podane formuªy nastawiania regulatora PID odnosz si do idealizowanej postaci jego transmitancji, w której wyst puje nierealizowalny czªon 'czystego' ró»niczkowania k d s. 69
70 Model realizowalnego czªonu ró»niczkuj cego ma posta k d s 1 + T D s = 1 T D k d s 1/T D + s, T D > 0 za± staªa czasowa T D tego czªonu dobierana jest w taki sposób, aby: speªni wymagania na dopuszczaln pocz tkow warto± sygnaªu steruj cego (wyj±cie sterownika) dla nominalnej skokowej zmiany wielko±ci zadaj cej, ograniczy wpªyw zakªóce«(szumów) pomiarowych. Ubocznym skutkiem wprowadzenia dodatkowego bieguna 1/T D do transmitancji ukªadu otwartego mo»e by pewne spowolnienie procesów regulacji, a tak»e obni»enie zapasu stabilno±ci ukªadu zamkni tego. Dlatego zwykle zaleca si stosowanie mo»liwie 'maªych' warto±ci parametru T D.
Rozwa»aj c transmitancj 71 G ru (s) U(s) R(s) = G c (s) 1 + G c (s)g p (s) otrzymujemy nast puj c formuª na pocz tkow warto± u(0) sterowania u(t) przy skokowym sygnale zadaj cym r(t) u(0) = lim s sg ru (s)r(s) = k p + k d T D. Wynika st d, i»» daj c aby u(0) u 0 max gdzie u 0 max > k p oznacza maksymaln dopuszczaln warto± sygnaªu sterowania, jako oszacowanie staªej czasowej T D toru ró»niczkowania nale»y przyj T D k d u 0 max k p.
72 W przypadku regulatora proporcjonalno-ró»niczkuj cego PD kªadziemy k i = 0. Co prowadzi do formuª: k p = sin(ϕ + ϑ) G p (s ) sin(ϕ ) sin(ϑ) k d = s G p (s ) sin(ϕ ). W przypadku regulatora proporcjonalno-caªkuj cego PI nastaw k i uzyskuje si z warunku k d (k i ) = 0. Wtedy: k p = sin(ϕ ϑ) G p (s ) sin(ϕ ) k i = s sin(ϑ) G p (s ) sin(ϕ ) Rozwa»my przykªady syntezy! piotrjsuchomski