Optymalizacja wypukªa: wybrane zagadnienia i zastosowania

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Optymalizacja wypukªa: wybrane zagadnienia i zastosowania"

Danuta Markowska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Optymalizacja wypukªa: wybrane zagadnienia i zastosowania 21 wrze±nia 2010 r.

2 Ogólne Wypukªe Sto»kowe Zadania sprowadzalne do SOCP/SDP

3 Ogólne Wypukªe Sto»kowe Zadania sprowadzalne do SOCP/SDP Ogólne zadanie optymalizacji minimalizuj f 0 (x) p. o. f i (x) 0, i = 1,..., m, h i (x) = 0, i = 1,..., p; x wektor zmiennych decyzyjnych, f 0 funkcja celu, funkcje f i oraz h i ograniczenia nierówno±ciowe i równo±ciowe.

4 Ogólne Wypukªe Sto»kowe Zadania sprowadzalne do SOCP/SDP Pewne klasy zada«optymalizacji Rozwi zuj c takie zadania natraamy na szereg trudno±ci, dlatego wolimy analizowa ich szczególne postacie: zadania programowania liniowego wszystkie funkcje s aniczne, zadania programowania wypukªego ograniczenia równo±ciowe s aniczne, pozostaªe funkcje s wypukªe. Wszystkie te problemy mo»na (wydajnie) rozwi zywa metod punktu wewn trznego.

5 Ogólne Wypukªe Sto»kowe Zadania sprowadzalne do SOCP/SDP Sto»kowe zadania programowania liniowego minimalizuj f T x p. o. Ax + b K 0 K ustalony sto»ek dodatni w R m (tj. generuj cy porz dek K ), wypukªa f R n, A R m n oraz b R m ustalone parametry zadania. Szczególne przypadki to: programowanie sto»kowe drugiego stopnia (SOCP), programowanie póªokre±lone (SDP).

6 Ogólne Wypukªe Sto»kowe Zadania sprowadzalne do SOCP/SDP Zadania SOCP minimalizuj f T x p. o. A i x + b i c T i x + d i, i = 1, 2,..., N; f R n, A i R (n 1 1) n, b i R n i 1, c i R n oraz d i R ustalone parametry zadania. Ograniczenia te okre±laj sto»ek drugiego stopnia, bowiem nierówno± A i x + b i c T i jest speªniona wtedy i tylko wtedy, gdy [ A i c T i x + d i ] x + [ b i d i ] C ni, gdzie C ni sto»ek drugiego stopnia wymiaru n i.

7 Zadania SDP Przegl d Ogólne Wypukªe Sto»kowe Zadania sprowadzalne do SOCP/SDP Niech F (x) = F 0 + m x i F i, i=1 gdzie F 0, F 1,..., F m ustalone macierze symetryczne. minimalizuj wektor x = (x 1, x 2,..., x m ) T c T x p. o. F (x) 0 zmienna decyzyjna, macierze F i oraz wektor c parametry zadania, warunek dodatniej póªokre±lono±ci macierzy F (x) ograniczenie (LMI).

8 Ogólne Wypukªe Sto»kowe Zadania sprowadzalne do SOCP/SDP Do postaci SOCP lub SDP mo»emy sprowadzi m. in.: zadania programowania geometrycznego, QCQP, (krzepkie) zadania programowania liniowego, krzepkie zadania najmniejszych kwadratów, zadania minimalizacji normy.

9 W pracy omówiono zastosowania w: rozpoznawaniu obrazów, projektowaniu ukªadów anten, robotyce, teorii portfela, regresji z ograniczeniami, projektowaniu ltrów cyfrowych.

10 Sformuªowanie problemu i motywacja Szukamy funkcji C(q), która jest (na prawej póªosi): nieujemna, niemalej ca, wkl sªo-wypukª. Chcemy, aby przybli»aªa ona pewne punkty empiryczne (c k, q k ).

11 Zadanie optymalizacji wypukªej minimalizuj K k=1 (c k (aq 3 k + bq2 k + cq k + d)) 2 p. o. a 0, b 0, c 0, d 0, b 2 3ac.

12 Wyniki (1) Przegl d Rozwa»ono 20 punktów empirycznych. Rysunek przedstawia wykresy funkcji trzeciego stopnia dopasowanych bez i z ograniczeniami.

13 Wyniki (2) Przegl d Analogiczne wyniki uzyskano dla 40 punktów empirycznych. Do oblicze«wykorzystano pakiet YALMIP pod MATLABem.

14 Przegl d ltry, które przetwarzaj dyskretne sygnaªy. Mog by m. in.: dolnoprzepustowe, górnoprzepustowe, o bardziej zªo»onej charakterystyce. Filtry takie s jednoznacznie okre±lone przez ci g n wspóªczynników h k zale»no±ci : n 1 jωt y(t) = e h k e jωk. k=0 Nazywamy je ltrami o sko«czonej odpowiedzi impulsowej.

15 Projektowanie ltrów cyfrowych Warto wymieni dwa podej±cia do projektowania ltrów i ich konsekwencje: mo»na zada minimaln warto± tªumienia w pa±mie zaporowym, mo»na zada transmitancj w caªym pa±mie. Kryterium jako±ci jest bª d (najcz ±ciej l lub l 2 ) przybli»enia po» danej charakterystyki przez zaprojektowan. Czasem mamy dodatkowe oczekiwania takie jak: równofalowo±, staªo± opó¹nienia grupowego (w pa±mie przenoszenia). Mo»liwo± ich speªnienia zale»y od wybranej metody projektowania.

16 Podej±cie SDP Sformuªowanie problemu Po» dana charakterystyka cz stotliwo±ciowa: H aim e j42ω dla 0 ω 0.45π, (ω) = 0 dla 0.5π ω π. Mo»na problem zaprojektowania takiego ltru sformuªowa jako: minimalizuj max ω Ω H(ejω ) H aim (ω). Jest to zbli»one do rozpatrzywania problemu: minimalizuj t p. o. H(e jω ) H aim (ω) 2 t, ω Ω. Jest to problem ci gªy, dlatego poddano go dyskretyzacji dla N = 300 cz stotliwo±ci próbnych. Rozwa»any b dzie ltr dªugo±ci ltru n = 85.

17 Po przeksztaªceniach, przyjmuj c oznaczenia: n 1 α 1 (ω i ) = w(ω i )[ k=0 h k c k (ω i ) H real n 1 i ], α 2 (ω i ) = w(ω i )[ h k s k (ω i )+H im i ], k=0 t α 1 (ω i ) α 2 (ω i ) oraz D i = α 1 (ω i ) 1 0 α 2 (ω i ) 0 1 stwierdzamy,»e D i 0 t α 2 1 (ω i) α 2 2 (ω i) 0. Š cz c N = 300 takich warunków do F (x) = diag(d 1, D 2,..., D N ) mo»emy sformuªowa ostateczny problem: minimalizuj t p. o. F (x) 0, gdzie x = (t, h 0, h 1,..., h n 1 ) T wektor zmiennych decyzyjnych.

18 Wyniki Przegl d Zaprojektowany ltr: jest równofalowy, ma staªe opó¹nienie grupowe.

19 Wyniki (2) Przegl d Zaprojektowany ltr: ma tak sam charakterystyk cz stotliwo±ciow jak ltr otrzymany przez Antoniou i Lu.

20 Podsumowanie Podstawowe przesªanki za stosowaniem optymalizacji wypukªej: wiele zada«mo»na przeksztaªci do takiej postaci zastosowania w licznych dziedzinach, wydajne algorytmy rozwi zywania zada«. Zastosowanie metod optymalizacji wypukªej w przypadku problemu regresji z ograniczeniami zagwarantowaªo uzyskanie poprawnego merytorycznie wyniku. W przypadku ltrów cyfrowych otrzymany ltr, pomimo wy»szych nakªadów obliczeniowych, ma lepsz charakterystyk ni» zaprojektowany klasycznymi metodami.

Podobne dokumenty

Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria