Są to belki ciągłe przegubowe i należą do układów statycznie wyznaczalnych (zatem n s = 0). Przykładowy schemat: A ELKI GERERA V V Wyznaczenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu: n s = R P 3 gdzie: - R liczba reakcji, - P liczba przegubów, - 3 liczba równań równowagi na płaszczyźnie. la powyższego schematu: R = 6; P = 3 zatem n s = 6 3 3 = 0. Sposób obliczania: Aby policzyć elkę Gerbera w najprostszy sposób dzielimy ją w przegubach A E F G uzyskując pojedyncze belki A E F G Aby móc policzyć konstrukcję, belki powstałe po podziale muszą być statycznie wyznaczalne i geometrycznie niezmienne, zatem muszą opierać się na dwóch podporach przegubowych lub skrajne mogą być utwierdzone. W powstałych po podziale belkach dokładamy fikcyjne podpory w przegubach tak aby stały się one geometrycznie niezmienne. Najniżej znajdują się belki które bezpośrednio po podziale są statycznie wyznaczalne i nie potrzebują dodatkowych podpór (utwierdzenie lub belka oparta na dwóch podporach). Najwyżej umiejscawiamy belkę, która po podziale nie ma żadnego podparcia i potrzebuje dwóch podpór fikcyjnych (schemat 1.) lub skrajna belka która po podziale opiera się na jednej podporze jeżeli w danym układzie nie ma części nieodpartej żadną podporą zawierającej się między dwoma przegubami (schemat 2.). Pozostałe belki umiejscawiamy schodkowo od tej położonej najwyżej do tej położonej najniżej. Jeżeli wyżej ulokowana belka ma w danym przegubie fikcyjną podporę to druga musi mieć w tym miejscu swobodny koniec.
Schemat 1.: A V V Krok 1.: okonujemy podziału belki gerbera w przegubach. A E F G Krok 2.: Wstawiamy podpory fikcyjne tak aby belki powstałe po podziale były geometrycznie niezmienne i umiejscawiamy je na odpowiedniej wysokości: A E F G HF HG HE HF HG V V - fikcyjna podpora
Wyznaczamy reakcje dla poszczególnych belek oddzielnie zaczynając od tej położonej najwyżej i schodzimy stopniowo w dół obciążając belki niżej położone wyliczonymi wcześniej reakcjami. W schemacie 1. najpierw liczymy część FG ( część ta jest przypadkiem belki statycznie niewyznaczalnej, aby policzyć reakcje poziome, należy wyznaczyć H G z sumy rzutów na oś x dla części G), później części EF lub G, na końcu zaś AE. Schemat 2.: A E F G V A E F G HF H HF H H V V H V W schemacie 2. najpierw liczymy część FG, później F, następnie, na końcu zaś A. Obciążenie w przegubie: Jeżeli zdarzy się, że siła skupiona przyłożona w przegubie to po rozbiciu w przegubach przykładamy ją na belce dolnej ( tylko i wyłącznie!!! nie wolno jej przyłożyć na obie belki ponieważ zwiększymy wartość tej siły dwukrotnie!).
Schemat 3.: A E F G HG V A M E P F G H V V H M HE V HE P HG Wykresy: Wykresy można rysować dla każdej belki osobno i później złożyć je w całość.
Przykład 1. Wyznacz reakcje w poniższej belce. Narysuj wykresy sił wewnętrznych. Policz ewentualne ekstrema. A M=4kNm q1=6kn/m q2=4kn/m P=15kN 4 2 3 6 2 1 1 2 E F 60 G H = 7,5kN q2=4kn/m x2=3,0 H E= 7,5kN x=2,0 H = 7,5kN M=4kNm q1=6kn/m V = 12kN H = 7,5kN H E= 7,5kN V E= 12kN Pcos60=7,5kN 60 P=15kN Psin60=12,99kN M A=10kNm V = 2,5kN V = 3,5kN V = 12kN V E= 12kN V F= 30,495kN V G= 5,505kN H A= 7,5kN H = 7,5kN V A= 2,5kN V = 2,5kN 18,495 2,5 - - 6 12 e e 2-12 24 5,505 T [kn] 5 9 12 5,505 M [knm] 10 18 7,5 7,5 N [kn] Wyznaczenie reakcji: zęść E: F X = -H H E =0 M = q 2 6 3-V E 6=0 V E =3q 2 =3 4=12kN M E = -q 2 6 3V 6=0 V =3q 2 =3 4=12kN F Y = V V E q 2 6 = 12 12-4 6 = 0 zęść EG: F X = -H E Pcos60 =0 H E = Pcos60 =7,5kN H = 7,5kN M F = - V E 2Psin60 1 V G 2=0 V G =0,5(2V E - Psin60 1) = 0,5(2 12 12,99 1)=5,505kN M G = - V E 4-Psin60 1 V F 2=0 V F =0,5(4V E Psin60 1) =0,5(4 12 12,99 1)=30,495kN F Y = V F - V E V G - Psin60 = 30,495 12-5,505-12,99= 0 zęść : F X = -H H = 0 H = H =7,5kN M = V 2 - M q 1 3 3,5 V 5=0 V =0,5 (M q 1 3 3,5 - V 5) = 0,5(4 6 3 3,5-12 5)=3,5kN
M = -V 2 - M q 1 3 1,5 V 3=0 V =0,5 (-M - q 1 3 1,5 V 3) = 0,5(-4-6 3 1,5 12 3)=2,5kN F Y = -V V V q 1 3= - 2,5 3,5-12 6 3= 0 zęść A: F X = -H A H = 0 H A = H =7,5kN M A = -V 4 M A =0 M A =4V = 4 2,5 =10kNm F Y = V A - V =0 V A = V =2,5kN M = -V A 4 M A = - 2,5 4 10 = 0 Wyznaczenie ekstremum: T[x]= V - q 1 x = 0 x = V /q 1 = 12/6 = 2m M[x] = V x q 1 x 2 /2 M[x = 2] = 12 2-6 2 2 /2 = 12kNm T[x 2 ] = V q 2 x 2 = 0 x 2 = V /q 2 = 12/4 = 3m M[x 2 ] = V x 2 q 2 x 2 2 /2 M[x 2 = 2] = 12 3-4 3 2 /2 = 18kNm Przykład 2. Wyznacz reakcje w poniższej belce. Narysuj wykresy sił wewnętrznych. Policz ewentualne ekstrema. A 60 P2=15kN M=9kNm P1=12kN q=6kn/m E F G 2 2 3 3 4 2 3 1 x=1,33 q=6kn/m H F= 0kN V F= 8kN V G= 16kN H = 0kN V = 7kN H F= 0kN H = 0kN P2=15kN Psin60=12,99kN M A=17,98kNm H A= 7,5kN V A= 10,99kN 60 Pcos60=7,5kN V = 2kN M=9kNm H = 0kN V = 2kN V = 7kN P1=12kN H = 0kN V = 7kN V E= 27kN V F= 8kN 20 10,99 10,99 2-5 2 7 5 8 - - 7 e 28 6 10 T [kn] 17,98 15 6 3 M [knm] 4 5,33 - N [kn] 7,5
Wyznaczenie reakcji: zęść FG: F X = H F =0 M F = q 4 2-V G 3=0 V G =1/3(8q)=8/3 6=16kN M G = -q 4 1V F 3=0 V F =4/3q=4/3 6=8kN F Y = V F V G q 4 = 8 16-4 6 = 0 zęść F: F X = -H F H =0 H = H F =0kN M = - V E 4q 2 5 V F 6=0 V E =0,25(6V F 10q) = 0,25(6 8 10 6)=27kN M E = - V 4 q 2 1 V F 2=0 V =0,25(2V F 2q) =0,25(2 8 2 6)=7kN F Y = -V F 2q V E V = - 8 2 6 27-7= 0 zęść : F X = H - H = 0 H = H =0kN M = -V 3 - M P 1 6 - V 6=0 V =1/3 (-M 6P 1-6V ) = 1/3 (- 9 6 12-6 7)=7kN M = -V 3 - M P 1 3 -V 3=0 V =1/3 (-M 3P 1-3V ) = 1/3 (- 9 3 12-3 7)=2kN F Y = -V V V - P 1 = - 2 7 7 12 = 0 zęść A: F X = H A - H P 2 cos60 = 0 H A = P 2 cos60 H =7,5 0 = 7,5kN M A = -V 4 - M A 2 P 2 sin60 =0 M A =- 4V 2 P 2 sin60 = - 4 2 12,99 2 =17,98kNm F Y = V A V - P 2 sin60 =0 V A = P 2 sin60 - V = 12,99 2 = 10,99kN M = V A 4 - M A - 2 P 2 sin60 = 4 10,99 17,98-2 12,99 = 0 Wyznaczenie ekstremum: T[x]= V F - qx = 0 x = V F /q = 8/6 = 1,33m M[x] = V F x q x 2 /2 M[x = 1,33] = 8 1,33-6 1,33 2 /2 = 5,33kNm Przykład 3. Wyznacz reakcje w poniższej belce. Narysuj wykresy sił wewnętrznych. Policz ewentualne ekstrema. Wyznaczenie reakcji: zęść : F X = -H H P 1 cos45 =0 H = H P 1 cos45 M = -V 4 P 1 sin45 2=0 V =0,25 ( 2P 1 sin45 )=0,25 2 12,02=6,01kN M = V 4 - P 1 sin45 2=0 = V =0,25 ( 2P 1 sin45 )=0,25 2 12,02=6,01kN F Y = V V P 1 sin45 = 6,01 6,01-12,02 = 0 zęść E: F X = -H H E =0 H = H E M = q 5 0,5 V E 2 V 3=0 V E =0,5(3V 2,5q) = 0,5(3 6,01 2,5 6)=1,515kN M E = - V 2 q 5 2,5 V 5=0 V =0,5(-5V 12,5q) =0,5(- 5 6,01 12,5 6)=22,475kN F Y = -V 5q V V E = - 6,01 5 6 22,475 1,515 = 0
zęść EG: F X = - H E = 0 H E = 0kN H = 0kN H = 0 P 1 cos45 = 0 12,02 = 12,02kN M F = -V G 1 M 2 V E 1 =0 V G = M 2 1V E = 8 1 1,515 = 9,515kN M G = -V F 1 M 2 V E 2 =0 V F = M 2 2V E = 8 2 1,515 = 11,03kN F Y = -V F V E V G = - 11,03 1,515 9,515 = 0 zęść A: F X = - H A H = 0 H A = H = 12,02kN M A = V 4 - M A M 1 =0 M A = 4V M 1 = 4 6,01-4 =20,04kNm F Y = V A - V =0 V A = V = 6,01kN M = V A 4 - M A - M 1 = 4 6,01 20,04-4 = 0 Wyznaczenie ekstremum: T[x]= -V qx = 0 x = V /q = 6,01/6 = 1m M[x] = -V x q x 2 /2 M[x = 1] = -6,01 1 6 1 2 /2 = -3,01kNm T[x 2 ]= V E qx 2 = 0 x 2 = V E /q = 1,515/6 = 0,25m M[x 2 ] = -V E x 2 q x 2 2 /2 M[x = 0,998] = -1,515 0,25 6 0,25 2 /2 = -0,19kNm A M 1=4kNm P1=17kN 45 q=6kn/m E F G M =8kNm 2 4 2 2 3 2 1 1 1 H = 12,02kN P1=17kN Psin45=12,02kN 45 Pcos45=12,02kN H = 0kN x2=0,25 H A= 12,02kN M =20,04kNm A 1 V A= 6,01kN M =4kNm V = 6,01kN H = 12,02kN V = 6,01kN H = 0kN V = 6,01kN x=1 V = 6,01kN q=6kn/m V = 22,475kN H E= 0kN V E= 1,515kN H E= 0kN V E= 1,515kN V F= 11,03kN M 2=8kNm V G= 9,515kN 6,01 20,04 11,99 6,01 1,515 - - - 6,01 6,01 e e 10,485 2 9,515 T [kn] 12,02 4 12,02 12,02 3,01 8,97 0,19 1,515 8 M [knm] N [kn]