Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta

Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada sie z za lożenia i tezy znajomość jednej z tych cze ści nie oznacza, że student zna twierdzenie. Zwyk la prośba: prosze o informacje o zauważonych b le dach, poprawie Nierówność Höldera Niech µ oznacza dowolna miare na przestrzeni X. Niech p, q > 0 be da liczbami rzeczywistymi, dla których 1 p + 1 q = 1, niech f, g be da funkcjami mierzalnymi takimi, że X f p dµ < i jednocześnie X g q dµ <. Wtedy funkcja fg jest ca lkowalna i zachodzi nierówność X fg dµ < ( X f p dµ 1/p ( X g q dµ 1/q. Skorzystamy z tego, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a 1, a 2,..., a n, b 1, b 2,..., b n zachodzi znana z I roku nierówność Höldera a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a m b m (a p 1 + ap 2 + + ap m 1/p (b q 1 + bq 2 + + bq m 1/q. Ponieważ ca lkowalność funkcji jest równoważna ca lkowalności jej modu lu, wie c możemy przyja ć, że funkcje f, g sa nieujemne. Niech (f n i (g n oznaczaja niemaleja ce cia gi nieujemnych funkcji prostych zbieżne odpowiednio do f i do g. Niech f n = k n i=1 α i χ A i, g n = l n j=1 β j χ B j, przy czym zbiory A 1, A 2,..., A kn sa parami roz la czne, również zbiory B 1, B 2,..., B ln sa parami roz la czne. Mamy f p n = k n i=1 αp i χ A i oraz g q n = l n j=1 βq j χ B j. Oznacza to, że (f p n jest niemaleja cym cia giem funkcji prostych zbieżnym do funkcji f zaś (g q n niemaleja cym cia giem funkcji prostych zbieżnym do g q. Z twierdzenia Legesgue a Levi ego o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki wynika, że X f ng n dµ = fg dµ, X lim X f n p dµ = X f p dµ i X gq n dµ = X gq dµ. lim lim Wystarczy wie c udowodnić nierówność Höldera w przypadku funkcji prostych. Zachodza równości f n g n = i,j α iβ j χ Ai B j, X f ng n dµ = i,j α iβ j µ(a i B j, X f n p dµ = i αp i µ(a i i wreszcie X gq n dµ = j βp j µ(b j. Niech a i,j = α i µ(a i B j 1/p, b i,j = β j µ(a i B j 1/q. Z tego określenia wynika od razu, że i,j a i,jb i,j = i,j α iβ j µ(a i B j 1/p+1/q = i,j α iβ j µ(a i B j = X f ng n dµ, i,j ap i,j = i,j αp i µ(a i B j = i αp i µ(a i = X f p n dµ oraz i,j bq i,j = i,j βq i µ(a i B j = = i βq i µ(b j = X gq n dµ. Sta d wnioskujemy, że X f ng n dµ = ( 1/p ( 1/q ( 1/p ( 1/q i,j a i,jb i,j i,j i,j ap i,j i,j bq = X f n p dµ X gq n dµ nierówność wynika oczywiście z nierówności Höldera zastosowanej dla m = k n l n sk ladników. Dowód zosta l zakończony. Zadanie H1 Wykazać, ze dla dowolnej liczby p > 1 i dowolnych funkcji mierzalnych f, g, dla których zachodza nierówności X f p dµ, X g p dµ < zachodzi nierówność (Hermanna Minkowskiego 132

( 1/p ( 1/p ( 1/p X f + g p dµ X f p dµ + X g p dµ. Zadanie H2 Zdefiniujmy L p (X jako zbiór z lożony z tych wszystkich funkcji mierzalnych f, dla których zachodzi nierówność X f p dµ < przy czym utożsamiamy funkcje, różnia ce sie jedynie na zbiorze miary 0. Wykazać, że jeśli f p = ( X f p dµ 1/p, to p jest norma na przestrzeni liniowej L p (µ. Zadanie H3 Przestrzeń metryczna L p (µ jest zupe lna udowodnić to stwierdzenie (można naśladować dowód zupe lności przestrzeni L 1 podany w poprzedniej cze ści notatek. Zadanie H4 Wykazać, że przestrzeń metryczna L p (l k jest ośrodkowa i podać przyk lad miary µ, dla której przestrzeń L p (µ NIE jest ośrodkowa. Zadanie H5 Wykazać, że operacja < f, g > fg dµ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni metrycz- X nej L 2 (µ. Zauważmy jeszcze, że jeśli X = {1, 2,..., m} i µ jest miara zdefiniowana na rodzinie wszystkich podzbiorów zbioru X tak, że µ({i} = 1, f: X IR jest zdefiniowana za pomoca równości f(i = a i, to X f p dµ = m i=1 a i p. Oznacza to, że nierówność Höldera znana z analizy 1.2 jest szczególnym przypadkiem nierówności Höldera dla funkcji mierzalnych, wystarczy odpowiednio dobrać miare. O przestrzeni L 2 ([ π, π], z miara Lebesgue a, wspominaliśmy, nie wnikaja c w szczegó ly, przy okazji omawiania szeregów Fouriera funkcje ca lkowalne w sensie Riemanna na przedziale [ π, π] by ly traktowane jako elementy tej przestrzeni. liniowej. Zadanko Podać przyk lad funkcji f: [ π, π] [0, 1], która jest mierzalna i dla której nie istnieje funkcja g: [ π, π] IR ca lkowalna w sensie Riemanna taka, że l 1 ( {x [ π, π]: f(x g(x} = 0. Zajmiemy sie teraz produktami miar. Chodzi o uogólnienie twierdzenia Fubiniego, które pozwala sprowadzać ca lkowanie funkcji wielu zmiennych do ca lkowania funkcji jednej zmiennej. W różnych sytuacjach rozpatrywanie iloczynu kartezjańskiego dwu przestrzeni, na których sa określone miary, jest naturalne o czym studenci przekonaja sie mie dzy innymi na zaje ciach z rachunku prawdopodobieństwa. Miary te jednak nie moga być ca lkiem dowolne. Be dziemy rozpatrywać tzw. miary σ skończone. Definicja miary σ skończonej Miara µ określona na przeliczalnie addytywnym ciele podzbiorów przestrzeni X nazywana jest σ skończona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja zbiory mierzalne X 1, X 2,... takie, że µ(x n < dla n = 1, 2,... i X = n=1 X n. 133

Przyk ladem miary σ skończonej jest miara Lebesgue a: l k ( B(0, n <, n=1 B(0, n = IR k. Przyk ladem miary µ, która tego warunku nie spe lnia jest miara licza ca na dowolnej przestrzeni nieprzeliczalnej, np. na IR, tzn. µ(a jest równe liczbie elementów zbioru A, w przypadku zbioru nieskończonego µ(a =. Definicja σ cia la produktowego Niech (X, F, µ i (Y, G, ν be da przestrzeniami z miara. Niech F G oznacza najmniejsze σ cia lo z lożone z podzbiorów produktu X Y zawieraja ce wszystkie prostoka ty mierzalne, tj. zbiory postaci A B, gdzie A F, B G. σ cia lo F G nazywane jest σ cia lem produktowym. Jeśli C X Y, to zbiór C x = {y Y : C wyznaczonym przez punkt x, a zbiór C y = {x X : oznaczenia już by ly używane. Twierdzenie o mierzalności przekrojów (x, y C} nazywamy przekrojem pionowym zbioru (x, y C} przekrojem poziomym, te Jeśli C X Y jest zbiorem mierzalnym, to dla każdego x X przekrój pionowy C x jest mierzalny i dla każdego y Y przekrój poziomy C y jest mierzalny. Ten dowód już raz by l podany (str. 122 w szczególnym przypadku. Powtarzamy: Dla dowolnych zbiorów C, C 1, C 2,... X Y zachodza wzory ( n C n x = n (C n x, ( n C n x = n (C n x oraz ( X Y \ C x = Y \ C x. Z tych równości wynika, że rodzina M tych zbiorów C X Y, dla których przekrój pionowy C x jest mierzalny dla każdego x X, jest σ cia lem zbiorów. σ cia lo M zawiera oczywiście wszystkie zbiory postaci A B X Y, wie c zawiera rodzine F G. Analogicznie jest dla przekrojów poziomych. Dowód zosta l zakończony. Twierdzenie o generowaniu σ cia la produktowego σ cia lo F G jest najmniejsza rodzina M spe lniaja ca naste puja ce cztery warunki: 1 jeśli A F i B G, to A B M, 2 jeśli C, D M i C D =, to C D M, 3 jeśli dla każdej liczby naturalnej n zachodzi C n M oraz C n C n+1, to n C n M, 4 jeśli dla każdej liczby naturalnej n zachodzi C n M oraz C n C n+1, to n C n M. Rodzine spe lniaja ca warunki 3 i 4 nazywamy rodzina monotoniczna. Rodzina F G jest σ cia lem, wie c dla niej wszystkie cztery warunki sa spe lnione. Za lóżmy teraz, że dla pewnej rodziny M 2 X Y spe lnione sa warunki 1 4. Wykażemy, że wtedy M F G. Jeśli zbiory A 1 B 1, A 2 B 2,..., A n B n sa parami roz la czne przy czym A i F, B i G, to n i=1 A i B i F G na mocy warunków 1 i 2. Jeśli A 1, A 2 F i B 1, B 2 G, to 134

(A 1 B 1 \ (A 2 B 2 = ( (A 1 \ A 2 B 1 ( (A1 A 2 (B 1 \ B 2, wie c zbiór (A 1 B 1 \ (A 2 B 2 jest suma dwóch prostoka tów mierzalnych, zatem jest elementem rodziny M. Jednocześnie z tego zdania wynika, że suma skończenie wielu prostoka tów mierzalnych może być przedstawiona jako suma skończenie wielu parami roz la cznych prostoka tów mierzalnych. Sta d wynika, że rodzina K z lożona ze wszystkich skończonych sum mierzalnych prostoka tów jest cia lem zbiorów zawartym w rodzinie M. Wykażemy teraz, że najmniejsza rodzina monotoniczna N zawieraja ca cia lo K jest σ cia lem zbiorów, co zakończy dowód (bo z definicji N wynika, że N F G. Niech N (K = {C X Y : zbiorów, wie c N (K K. C D, C \ D, D \ C N dla D K}. Ponieważ K jest cia lem Jeśli C n N (K i C 1 C 2... oraz D K, to C 1 D C 2 D..., C 1 \D C 2 \D..., D \ C 1 D \ C 2... oraz C n D, C n \ D, D \ C n N, wie c na mocy warunku 3 mamy ( n C n D = n (C n D N i ( n C n \ D = n (C n \ D N a na mocy warunku 4 mamy D \ ( n C n = (D \ C n N. Wobec tego n C n N (K, zatem dla N (K spe lniony jest warunek 3. Niech C n N i niech C 1 C 2... oraz D K. Rozumuja c tak jak poprzednio i korzystaja c z warunku 4 stwierdzamy, że ( n C n D = n (C n D N, ( n C n\d = n (C n\d N, zaś z warunku 3 wnioskujemy, że D \ ( n C n = n (D \ C n N. Sta d wynika, że n C n N (K, a wie c rodzina N (K spe lnia również warunek 4. Wykazaliśmy, że N (K jest monotoniczna rodzina zbiorów zawieraja ca rodzinke K, zatem N (K N. Zdefniujmy Ñ = {C X Y : C D, C \ D, D \ C N dla D N (K}. W dok ladnie taki sam sposób jak przed chwila stwierdzamy, że Ñ K oraz że Ñ jest rodzina monotoniczna, wie c Ñ N. Wynika sta d, że jeśli C, D N Ñ, to C D, C \ D, D \ C N, a to oznacza, że N jest cia lem zbiorów. Jeśli C 1, C 2,... N, to również C 1 C 2... C n N dla każdej liczby naturalnej n. Ponieważ C 1 C 1 C 2 C 1 C 2 C 3... i N jest zamknie ta ze wzgle du na przeliczalne sumy wste puja cych rodzin zbiorów, wie c n C n = n (C 1 C 2... C n N, co kończy dowód tego, że N jest σ cia lem. Dzie ki tym nudnawym rozważaniom jesteśmy wyposażeni w kryterium pozwalaja ce na stwierdzanie, że jakaś rodzina jest przeliczalnie addytywnym cia lem w prostszy nieco sposób. Możemy teraz nie me cza c sie zbytnio posprawdzać naste pne detale zwia zane z określaniem miary produktowej. Niech f: X Y IR be dzie funkcja mierzalna. Definiujemy f x (y = f(x, y = f y (x. Twierdzenie o mierzalności ograniczeń funkcji mierzalnej do przekrojów Jeśli f: X Y IR jest funkcja mierzalna, to dla każdego x X funkcja f x : Y IR jest mierzalna, dla każdego y Y funkcja f y : X IR jest mierzalna. Wynika to od razu z twierdzenia o mierzalności przekrojów i tego że 135

{(r, s: f(r, s > a} x = {s: f x (s > a} i {(r, s: f(r, s > a} y = {r: f y (r > a}. Uwaga: funkcja jednej zmiennej jest mierzalna jako funkcja dwu zmiennych Jeśli funkcja f: X IR jest mierzalna i f(x, y = f(x, to f: X Y IR jest mierzalna. {(x, y: f(x, y > a} = {x: f(x > a} Y. Twierdzenie o produkcie miar skończonych Jeśli µ(x <, ν(y < i C F G, to funkcje x ν(c x i y µ(c y sa mierzalne i zachodzi równość X ν(c xdµ(x = Y µ(cy dν(y =: (µ ν(c. Funkcja (µ ν: F G IR jest miara. Jest to jedyna miara na σ ciele F G, dla której (µ ν(a B = µ(a ν(b dla dowolnych A F i B G. Niech h C (x = ν(c x. Jeśli C = A B, A F, B G, to h C (x = 0 dla x A i h C (x = ν(b dla x A, zatem h C = ν(b χ A, wie c h C jest w tym przypadku funkcja mierzalna. Jeśli zbiory C, D F G sa roz la czne, to dla każdego x X zbiory C x i D x sa roz la czne. Sta d wynika, że h C D = h C + h D, jeśli wie c funkcje h C, h D sa mierzalne, to również funkcja h C D ma te w lasność. Niech M oznacza rodzine wszystkich zbiorów C F G, dla których funkcja h C jest mierzalna. Wykazaliśmy już, że rodzinie M przys luguja w lasności 1 i 2 twierdzenia o generowaniu σ cia la produktowego. Za lóżmy teraz, że C 1 C 2... sa elementami rodziny M. Ponieważ ν jest miara, wie c lim ν( (C n x = ν(cx, gdzie C = n C n, czyli h C (x = lim h C n (x dla każdego x X. Wobec tego funkcja h C jest mierzalna jako granica cia gu funkcji mierzalnych, czyli C M. Za lóżmy dla odmiany, że C 1 C 2... sa elementami rodziny M. Ponieważ ν ( (C 1 x <, wie c lim ν( (C n x = ν(cx, gdzie C = n C n. Wobec tego również w tym przypadku mamy h C (x = lim h C n (x dla każdego x X i wobec tego funkcja h C jest mierzalna, tzn. C M. W ten sposób wykazaliśmy, że dla rodziny M spe lnione sa warunki 1 4 twierdzenia o generowaniu σ cia la produktowego. Sta d wynika, że M = F G, a to oznacza, że dla każdego zbioru C F G funkcja h C jest mierzalna. Możemy wie c rozpatrywać ca lke X h C dµ = X ν(c xdµ =: (µ ν(c. Z twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy po znakiem ca lki wynika od razu, że µ ν jest miara (chodzi o przeliczalna addytywność. Z określenia wynika natychmiast, że (µ ν(a B = µ(a ν(b. Te same rozważania można przeprowadzić w przypadku funkcji przypisuja cej zbiorowi C F G liczbe Y µ(cy dν. Ta funkcja też jest miara i te obie miary pokrywaja sie na prostoka tach mierzalnych. Niech m oznacza dowolna miare na F G, która pokrywa sie z miara µ ν na prostoka tach mierzalnych. By wykazać, że µ ν = m sprawdzamy po prostu, że rodzina tych zbiorów C F G, dla których zachodzi równość (µ ν(c = m(c jest jest σ cia lem. Wynika to od razu z twierdzenia 136

o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki sprawdzamy, że rodzina tych zbiorów jest monotoniczna., czyli że spe lnione sa warunki 3 i 4 twierdzenia o generowaniu σ cia la produktowego. Cel jest już prawie zrealizowany. Trzeba jeszcze wykazać to samo twierdzenie przy nieco s labszych za lożeniach, bo cze sto trzeba rozważać miary, które nie sa skończone. Twierdzenie o produkcie miar σ skończonych Jeśli µ i ν sa miarami σ skończonymi oraz C F G, to funkcje x ν(c x i y µ(c y sa mierzalne i zachodzi równość X ν(c xdµ(x = Y µ(cy dν(y =: (µ ν(c. Funkcja (µ ν: F G IR jest miara. Jest to jedyna miara na σ ciele F G, dla której (µ ν(a B = µ(a ν(b dla dowolnych A F i B G. Niech X 1, X 2,... F, X = n X n, Y 1, Y 2,... G, Y = n Y n i µ(x n < oraz ν(y n < dla każdego n IN. Można przyja ć, że zbiory X 1, X 2,... sa parami roz la czne, jeśli nie, to zaste pujemy je zbiorami X 1, X 2 \ X 1, X 3 \ (X 1 X 2,..., które sa parami roz la czne, ich miary sa skończone i ich suma jest X. Analogicznie można przyja ć, że zbiory Y 1, Y 2,... sa parami roz la czne. Miare µ można ograniczyć do zbioru X m, miare ν do zbioru Y n. Wtedy na zbiorze X m Y n dana jest miara µ ν. Jeśli (m, n (i, j, to oczywiście (X m Y n (X i Y j =. Mamy też (m,n X m Y n = X Y. Niech M oznacza rodzine wszystkich takich zbiorów C F G, że C (X m Y n jest zbiorem mierzalnym dla każdej pary (m, n. Jeśli C M, to (X Y \C M, bo (X Y \C = [ (m,n (Xm Y n \C ] = [ (m,n (Xm Y n \ ( C (X m Y n ] M. Jeśli C j M dla j = 1, 2,..., to C j ( X m Y n jest zbiorem mierzalnym, wie c mierzalny jest również zbiór ( j Cj (X m Y n = ( j C ( j Xm Y n, a to oznacza, że j C j M. Udowodniliśmy w laśnie, że rodzina M jest σ cia lem. Jeśli A F, b G, to (A B (X m Y n = (A X m (B Y n jest zbiorem mierzalnym, wie c A B M. Wobec tego M F G, wie c M = F G. Za pomoca równości (µ ν(c = (m,n (µ ν( C (X m Y n możemy zdefiniować miare µ ν na F G. Sprawdzenie, że jest ona przeliczalnie addytywna to czysta formalność. Niech C F G. Z podanej definicji miary wnioskujemy, że (µ ν(c 1 == (m,n (µ ν( C (X m Y n 2 == (m,n = (m,n X m ν(c x Y n Równości te wynikaja kolejno 1 z definicji µ ν, 4 == m n X m ν(c x Y n 2 z w lasności µ ν na produkcie przestrzeni skończonej miary, 3 z definicji przekroju C x, 137 X m ν (( C (X m Y n x 3 == 5 == ( m X m n ν(c x Y n 6 == = m X m ν(c x 7 == X ν(c x

4 z w lasności sumy podwójnej, 5 z twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki 6 z przeliczalnej addytywności miary ν, 7 z elementarnych w lasności ca lki. Z mierzalnościa ca lkowanych funkcji nie ma żadnych k lopotów, bo funkcje mierzalne określone na zbiorach X m Y n można przed lużać na X Y przyjmuja c, że sa równe 0 poza X m Y n, naste pnie korzystaja c z tego, że granica cia gu funkcji mierzalnych (np. suma szeregu funkcji mierzalnych jest mierzalna. Wykazaliśmy, że zdefiniowana przez nas miara µ ν jest niezależna od sposobu przedstawienia przestrzeni X i Y w postaci sumy przeliczalnej rodziny zbiorów skończonej miary. Jest jasne, że miara jest jednoznacznie wyznaczona jako ca lka z miary przekrojów, bo tak jest na przestrzeni X m Y n, bowiem µ(x m, ν(y n <. Teraz możemy sformu lować twierdzenie Fubiniego dla produktu dwu miar σ skończonych. Twierdzenie Fubiniego Jeśli µ jest miara σ skończona na przestrzeni X, ν jest miara σ skończona na przestrzeni Y, f: X Y IR funkcja mierzalna nieujemna lub ca lkowalna, to dla każdego x X funkcja f x : Y IR zdefiniowana wzorem f x (y = f(x, y jest mierzalna, funkcja f y : Y IR zdefiniowana wzorem f y (x = f(x, y jest mierzalna, funkcja x Y f x dν jest mierzalna, funkcja y X f y dµ jest mierzalna i zachodza równości X ( Y f x dν dµ = X Y f d(µ ν = Y ( X f y dµ dν. W tym przypadku mamy do czynienia z miara produktowa, wie c nie musimy pisać dla prawie każdego. Miara l k+l nie jest produktem miar l k i l l, bo niektóre zbiory C IR k+l sa niemierzalne z wzgle du na miare l k l l i jednocześnie l k+l (C = 0. Jest to jedyny problem. Poza ta jedna kwestia nie ma różnicy i dowodu nie warto powtarzać jest po prostu taki sam (poprzednie twierdzenie to twierdzenie Fubiniego dla funkcji charakterystycznych zbiorów mierzalnych. Zadanie 6 Wykazać, że istnieje funkcja różnowartościowa ϕ: [0, 1] na [0, 1] [0, 1] taka, że zbiór A [0, 1] jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór ϕ(a jest mierzalny i dla każdego zbioru A [0, 1] zachodzi równość l 1 (A = l 2 (ϕ(a. Oznacza to, że z punktu widzenia teorii miary odcinek nie różni sie od kwadratu, zupe lnie inaczej niż z punktu widzenia topologii! Zadanie 7 Niech µ oznacza jednowymiarowa miare Lebesgue a ograniczona do przedzia lu [0, 1], ν miare licza ca na przedziale [0, 1]. Wykazać, że dla tej pary miar twierdzenie Fubiniego nie zachodzi. 138