Mtemtyk II dl Wydziłu Zrządzni nottki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudk Uniwersytet Wrszwski Wydził Zrządzni Podręczniki. Bżńsk T., Krwowsk I., Nykowsk M., Zdni z mtemtyki. Podręcznik dl studiów ekonomicznych, PWN, 977, 997. Gurgul H., Suder M., Mtemtyk dl kierunków ekonomicznych, Kluwer, 0 3. Budnick F. D., Applied Mthemtics for Business, Economics, nd the Socil Science, McGrw Hill, Inc. 993 4. Kusik M., Pol R., Mtemtyk dl Wydziłu Zrządzni, skrypt dostępny n stronie www.mimuw.edu.pl/ mkysik/files/dydkt/skrypt.pdf 5. Bbul E., Czerwonk L., Zstosownie Mtemtyki w ekonomii i zrządzniu, Wydwnictwo Uniwersytetu Gdńskiego, Gdńsk 04. 6. Pisecki K., Anholcer M., Echust K., e-mtemtyk wspomgjąc ekonomię, Wydwnicteo C. H. Beck, Wrszw 03.. Funkcje dwóch zmiennych Funkcje wielu zmiennych Do modelowni procesów biznesowych zwykle nie wystrczją funkcje jednej zmiennej, bo produkcj zleży od większej liczby czynników. Wielu czynników nie d się przedstwić w postci jednorodnej (np. kpitł), bo nie wszystko możn kupić. Przykłd. Funkcj Cobb-Dougls to funkcyjne przedstwienie zleżności wielkości produkcji Q od nkłdów n czynniki produkcji. N przykłd: prcy, kpitłu i energii 3 : Q(,, 3 ) A α α α 3 3 gdzie 0 < α i < i i > 0 dl i,, 3. Dlsze rozwżni ogrniczmy tylko do funkcji dwóch zmiennych, ze względu n stopień skomplikowni nrzędzi do bdni funkcji wielu zmiennych. Określenie i dziedzin funkcji dwóch zmiennych Funkcj dwóch zmiennych to przyporządkownie prom liczb jednej liczby. Czyli dziedziną jest zwsze zbiór pr, więc dl funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych f, jej dziedzin D f R R. Przykłd.
() Pole prostokąt to funkcj dwóch zmiennych: długości boków prostokąt, któr dje w wyniku pole prostokąt o tkich bokch. Funkcj t jest określon tylko dl pr liczb dodtnich. (b) Stn zsobów finnsowych współmłżonków (gdy kżdy m oddzielne konto bnkowe) to sum zsobów finnsowych kżdego z nich. Dziedziną są wszystkie pry liczb (ujemne oznczją debet). Wykresem funkcji dwóch zmiennych jest powierzchni trójwymirow. Przykłd. Wyobrżmy sobie/oglądmy (www.wolfrmlph.com polecenie plot <wzór funkcji> np. plot ˆ-/yˆ) wykresy nstępujących funkcji: f(, y) f(, y) + y f(, y) y f(, y) f(, y) + y f(, y) f(, y) + y f(, y) + y f(, y) y f(, y) y f(, y) 3 f(, y) 3 + y f(, y) 3 + y f(, y) 3 + y 3 f(, y) 3 f(, y) 3 y f(, y) 3 y f(, y) 3 y 3 f(, y) + y f(, y) + y f(, y) ( + y ) Pochodne cząstkowe Jeżeli w funkcji dwóch zmiennych f(, y) ustlimy jedną z nich, np. y y 0 to otrzymmy funkcję jednej zmiennej f(, y 0 ). Jeżeli t funkcj m pochodną w punkcie 0 to mówimy, że funkcj dwóch zmiennych f(, y) m pochodną cząstkową względem w punkcie ( 0, y 0 ). Definicj. Niech f : D f R R R będzie funkcją dwóch zmiennych, i niech ( 0, y 0 ) D f. Wtedy () pochodną cząstkową funkcji f(, y) względem zmiennej w punkcie ( 0, y 0 ) nzywmy grnicę f( 0, y 0 ) lim h 0 f( 0 + h, y 0 ) f( 0, y 0 ) h o ile istnieje, (b) pochodną cząstkową funkcji f(, y) względem zmiennej y w punkcie ( 0, y 0 ) nzywmy grnicę f( 0, y 0 ) y lim h 0 f( 0, y 0 + h) f( 0, y 0 ) h o ile istnieje. (c) Funkcję, któr kżdemu punktowi dziedziny funkcji przyporządkowuje pochodną cząstkową w tym punkcie (względem tej smej zmiennej) nzywmy funkcją pochodnej cząstkowej względem tej zmiennej lub po prostu pochodną cząstkową rzędu pierwszego względem tej zmiennej. Oblicznie pochodnych cząstkowych poleg n stosowniu technik obliczni pochodnych funkcji jednej zmiennej gdy wszystkie zmienne, oprócz jednej trktuje się jk stłe. Przykłd.
() Niech f(, y) y. Wtedy f(, y) ( ) y y, f(, y) y ( y ) y y y. (b) niech f(, y) e y. Wtedy f(, y) (e y ) e y () e y, f(, y) y (e y ) y (e y ) y e y. Definicj. Pochodną cząstkową rzędu drugiego nzywmy pochodną cząstkową pochodnej cząstkowej rzędu pierwszego. Mogą być cztery pochodne cząstkowe rzędu drugiego, oznczne f(, y), f(, y) y, f(, y) y, f(, y) y. Przykłd. () Dl funkcji z poprzedniego przykłdu () mmy f(, y) f(, y) y ( ( ) y y, f(, y) y y (b) Dl funkcji z poprzedniego przykłdu (b) mmy ) ( ) y y, y y, ( ) f(, y) y y y. y 3 f(, y) (e y ) 0, f(, y) y (e y ) y ey, f(, y) y (e y ) e y, f(, y) y (e y ) y e y. Twierdzenie. (Twierdzenie Schwrtz) Jeżeli pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f(, y) istnieją i są ciągłe (grnic jest równ wrtości funkcji w kżdym punkcie) w otoczeniu pewnego punktu, to pochodne cząstkowe mieszne drugiego rzędu w tym punkcie są równe: f(, y) y f(, y) y. Zdnie. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. () f(, y) +y y, (b) f(, y) 5 y 3, (c) f(, y) ( y), (d) f(, y) 3 +y y + () f(,y) f(,y) + y, f(,y) y 0 3 y 3, f(,y) y, f(,y) 6 5 y, f(,y) y 0, f(,y) y f(,y) y 0, f(,y) y f(,y) y 5 4 y ; (c) f(,y) 3 ; (b) f(,y) y, f(,y) y 5 4 y 3, f(,y) y 3 5 y, y, f(,y),
f(,y) y, f(,y) y f(,y) y ; (d) f(,y) 6, f(,y) y 4y, f(,y) 6, f(,y) y 4, f(,y) y f(,y) y 0 Zdnie. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. () f(, y) y, (b) f(, y) + y, (c) f(, y) y + y, (d) f(, y) y () f(,y) y, f(,y) y f(,y) y, f(,y) y 6( +) y 4 f(,y) y 4 (+y) 3, f(,y) y y, f(,y), f(,y) y 0, f(,y) y f(,y) y y, f(,y) y f(,y) y y ; (b) f(,y) y, f(,y) y ( +) y, 3 4 y ; (c) f(,y) 3 y (+y), f(,y) y (+y), f(,y) 4y (+y), 3 f(,y) y f(,y) y ( y) (+y) ; (d) f(,y) 3 f(,y) y, y y, f(,y) 0, f(,y) y 4 y 3 f(,y) y y Zdnie 3. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. () f(, y) e y, (b) f(, y) ln(y), (c) f(, y) ln() ln(y), (d) f(, y) e y () f(,y) y ); (b) f(,y) ) ln(y), f(,y) y e y, f(,y) y e y, f(,y) y ln(y) +, f(,y) y ln() y, f(,y) e y, f(,y) y ye y, f(,y) y, f(,y) ln(y), f(,y) y e y, f(,y) y y 4 e y, f(,y) y, f(,y) y e y ( + y ), f(,y) y y, f(,y) y ln() y, f(,y) y f(,y) y f(,y) y f(,y) y ye y ( + f(,y) y ; (c) (ln() + ln()+ y ; (d) f(,y) e y, f(,y) y f(,y) y e y Ekstrem funkcji dwóch zmiennych Definicj. Grdientem funkcji f : D f pierwszego rzędu: f( 0, y 0 ) R R R nzywmy wektor pochodnych cząstkowych f(0, y 0 ) Grdient wskzuje kierunek njwiększego wzrostu funkcji. Przykłd., f( 0, y 0 ). y () Grdient funkcji f(, y) 3y jest równy f(, y), 3 i jest stły w kżdym punkcie. Istotnie wykresem tej funkcji jest płszczyzn, więc w kżdym kierunku rośnie w tkim smym tempie. (b) Grdientem funkcji f(, y) e y jest f(, y) e y, e y (por. przykłdy wyżej). Ztem np. w punkcie (0, 0) mmy f(0, 0), 0 czyli funkcj njszybciej rośnie w kierunku wzrostu zmiennej przy stłej (równej 0) wrtości zmiennej y, dl punktu (, ) f(, ) e, e czyli funkcj njszybciej rośnie tm gdzie jednocześnie wzrstją obie zmienne. Definicj. Sąsiedztwem punktu ( 0, y 0 ) nzywmy dowolne koło ze środkiem w ( 0, y 0 ) bez tego punktu, czyli dl δ > 0: S δ ( 0, y 0 ) {(, y) : 0 < ( 0 ) + (y y 0 ) < δ} Mówimy, że funkcj f : D f R R R m w punkcie ( 0, y 0 ) D f mksimum loklne (minimum loklne) jeżeli istnieje tkie sąsiedztwo punktu ( 0, y 0 ) zwrte w dziedzinie S δ ( 0, y 0 ) D f, że jeżeli (, y) S δ ( 0, y 0 ) to f(, y) < f( 0, y 0 ) (f(, y) > f( 0, y 0 )). 4
Jeżeli funkcj m w punkcie ( 0, y 0 ) minimum lub mksimum loklne to mówimy, że m w tym punkcie ekstremum loklne. Twierdzenie. Jeżeli funkcj f(, y) m w punkcie ( 0, y 0 ) ekstremum loklne, orz m pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w tym punkcie to grdient jest wektorem zerowym, tzn. f( 0, y 0 ) 0 i f( 0, y 0 ) y 0. Punkty, które spełniją ten wrunek nzywmy punktmi stcjonrnymi. Twierdzenie. Jeżeli funkcj f(, y) m ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego w punkcie ( 0, y 0 ) D f i jest to punkt stcjonrny to funkcj m w tym punkcie ekstremum loklne jeżeli f( 0, y 0 ) f( 0, y 0 ) det y f( 0, y 0 ) f( 0, y 0 ) y y > 0. W tkim przypdku jeżeli f( 0,y 0 ) > 0 to w ( 0, y 0 ) jest minimum loklne, gdy f( 0,y 0 ) mksimum loklne funkcji f(, y). Mcierz z twierdzeni jest nzywn mcierzą Hessego jej wyzncznik hesjnem. Przykłd. Rozptrzmy funkcję f(, y) 3 + 3 y (wykres...) Obliczmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: < 0 to jest to Budujemy grdient Wyznczmy punkty stcjonrne: f(, y) 3 + 6, f(, y) y f(, y) 3 + 6, y y 3 + 6 0 i y 0 czyli (3 + 6) 0 i y 0 czyli ( 0 lub ) i y 0 Mmy ztem dw punkty stcjonrne: (, 0) i (0, 0). Obliczmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Budujemy mcierz Hessego: f(, y) 6 + 6, f(, y) y, H f(,y) 6 + 6 0 0 f(, y) y f(, y) y Obliczmy wyzncznik mcierzy Hessego w kżdym z punktów stcjonrnych. Poniewż det H f(,y) (6 + 6) ( + ), to w punkcie (, 0) wyzncznik ten jest równy ( + ), więc jest dodtni co ozncz, że w tym punkcie funkcj przyjmuje ekstremum loklne; w punkcie (0, 0) det H f(,y), więc jest ujemny, czyli w tym punkcie nie m ekstremum. Poniewż, w punkcie (, 0) f(, y) 6( ) + 6 + 6 6 < 0 to w tym punkcie jest mksimum loklne. Przykłd. Rozptrzmy funkcję f(, y) +y +6 4y 5 (wyobrżmy sobie wykres...). Spodziewmy się minimum, le nie w punkcie (0, 0). 5 0
Obliczmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: f(, y) + 6, f(, y) y y 4 Budujemy grdient f(, y) + 6, y 4 Wyznczmy punkty stcjonrne: Obliczmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu + 6 0 i y 4 0 czyli 3 i y f(, y), f(, y) y, f(, y) y f(, y) y 0 budujemy mcierz Hessego i obliczmy jej wyzncznik det 0 0 Terz już wiemy (n podstwie twierdzeni), że w punkcie ( 3, ) jest ekstremum loklne (bo hessjn jest dodtni) i jest to minimum loklne (bo pochodn cząstkow rzędu drugiego po jest dodtni). 4 Zdnie 4. Znleźć ekstrem loklne funkcji, określić czy jest to mksimum czy minimum () f(, y) ( ) + y, (b) f(, y) + y + 4y + 5, (c) f(, y) 3y 3 y 3, (d) f(, y) + y 3 6, (e) f(, y) 3 + y y, (f) f(, y) 4( y) y, (g) f(, y) 4y + + y, (h) f(, y) 3 + 3y 5 y, (i) f(, y) e ( + y ), (j) f(, y) 3 + ye y, (k) f(, y) ( 5) + y(y + 5), (l) f(, y) 3 e y + y 3 e, (m) f(, y) ln( + y), (n) f(, y) 4 + y 4 8y, (o) f(, y) 4 + y +, (p) f(, y) e y + y, (q) f(, y) ( y) ln( + y), (r) f(, y) 3 y () min (, 0); (b) min (, ); (c) m (, ); (d) nie m, (e) min (, ); (f) m (, ); (g) min ( 3 /, 3 /); (h) m (, ) min (, ); (i) nie m, (j) min ;(0, ) (k) min (5, 5 3 ); (l) nie m punktów stcjonrnych; (m) nie m; (n) min (, ), (, ), (, ), (, ), m (0, 0); (o) m (0, 0); (p) min (0, 0); (q) nie m; (r) m ( 3, 0) 6
. Cłk nieoznczon Definicj. Jeżeli f() jest funkcją ciągłą to cłką nieoznczoną tej funkcji jest f() d F () + c jeżeli F () f() i c R. Funkcję F () nzywmy funkcją pierwotną funkcji f(). Przykłd. Wiemy, że koszt krńcowy dnego produktu przy poziomie produkcji jest dny wzorem K k () + 00. Jk jest funkcj kosztu cłkowitego K c () jeżeli widomo, że wyprodukownie 00 egzemplrzy kosztuje 0 tyś. zł. Njpierw obliczmy cłkę nieoznczoną z funkcji K k () (bo koszt krńcowy jest pochodną funkcji kosztów, więc cłk z kosztu krńcowego jest kosztem cłkowitym): K k () d ( + 00) d + 00 + c. N koniec musimy wyznczyć wrtość stłej c. Podstwimy 00, przyrównujemy do 000 i rozwiązujemy otrzymne równnie ze względu n c. 00 + 00 00 + c 0000 5000 + 0000 + c 0000 c 5000. Ztem koszty cłkowite wyrżją się wzorem K c () + 00 + 5000. Twierdzenie. (reguły cłkowni) Jeżeli f() i g() są ciągłe i k R to () k f() d k f() d, f() ± g() d f() d ± g() d (b) (c) (d) k d k + c, d ln + c, cos d sin, k d k+ + c (k ) k + e d e + c sin d cos Zdnie 5. Obliczyć cłki nieoznczone. d, 3 d, ( 4) d, 5 d, 6 d, 3 3 d, 3 d, (4 3 3 + ) d, 3 d, d, 3 d ( 3 + + ) d, 3 3 d Zdnie 6. Obliczyć cłkę nieoznczoną i wyznczyć stłą tk by uzyskn funkcj przechodził przez wskzny punkt. 0 d, (, 0), 3 d, (6, 0), (0 + ) d, (, 7), d, (, ) 7
3. Metody cłkowni I Ze wzorów n oblicznie pochodnych wynikją pewne metody obliczni cłek. Rozwżmy dwie dodtkowe metody: cłkownie przez części i cłkownie przez podstwienie. Metod cłkowni przez podstwienie wynik ze wzoru n pochodną funkcji złożonej. Wzór (u(v()) u (v())v () cłkujemy po obu stronch i otrzymujemy wzór n cłkownie przez podstwienie (lub przez zminę zmiennych): u(v())v () d u(y) dy przy czym po prwej stronie, po obliczeniu cłki trzeb podstwić y v(). 3 + Przykłd. Obliczymy cłkę nieoznczoną ( 3 + ) d. 6 Przyjmijmy, że y 3 + wtedy y 3 + czyli dy może zstąpić (3 + )d. Podstwimy to w funkcji i otrzymujemy 3 + ( 3 + ) d y 5 dy 6 y6 5 + c 5(3 + ) + c 5 Przykłd. Obliczymy cłkę nieoznczoną 5 d. Podstwimy y 5. Wtedy y 5, więc y dy, więc y dy może zstąpić d. d Podstwimy to w funkcji i mmy: 5 d y y dy y dy y3 3 + c ( 5 ) 3 + c 3 Zdnie 7. Obliczyć cłki nieoznczone. (5 + ) 4 d, + d, + d, 3 d, e + e d, e 5 3e d, + 3 + 3 + 6 d, ( ) 5 d, (3 7) 5 d, ln d, e + d, ( + ) + + 3 d, 3 ( 4 + 4) d, + 3 d ( + ) d Podstwieni (odpowiednio): y 5 +, y +, y +, y, y + e, y 5 3e, y 3 + 3 + 6, y, y 3 7, y ln, y +, y + + 3, y 4 + 4, y + 3/, y + Zdnie 8. Obliczyć cłki nieoznczone. (ln ) d, ( )e +4 d, ( + )( + ln ) d Podstwieni kolejno: y ln, y + 4, y + ln 8
4. Metody cłkowni II Ze wzorów n oblicznie pochodnych wynikją pewne metody obliczni cłek. Rozwżmy dwie dodtkowe metody: cłkownie przez części i cłkownie przez podstwienie. Metod cłkowni przez części wynik ze wzoru n pochodną iloczynu. Jeżeli u() i v() są różniczkowlne i u orz v są ciągłe to (u v) u v +u v. Cłkując obie strony tego równni (i zuwżjąc, że cłkownie jest dziłniem odwrotnym do różniczkowni, czyli (u v) d u v) otrzymujemy (u v) d u v d + u v d, stąd wzór n cłkownie przez części: u v d u v u v d. Przykłd. Obliczmy cłkę nieoznczoną z funkcji f() e Przyjmujemy: u i v e. Mmy wtedy u i v e, ztem e d e e d e e + c e ( ) + c Przykłd. Wybór metody cłkowni zleży do rodzju funkcji i nie zwsze jest oczywisty. N przykłd cłkę nieoznczoną z funkcji f() możn obliczyć obiem metodmi. Przez części. Przyjmujemy u i v +. Wtedy u cłkując v przez podstwinie). Ztem d + i v + (obliczmy to ( + ) 3 + c + d + 4 3 + (3 ( + ) 3 ) + c + ( ) + c 3 3 Przez podstwinie. Niech y +. Wtedy y i różniczkując obie strony otrzymujemy dy d. Mmy więc + d 3 y ( ) dy y y dy y y 3 3 y + c ( + ) 3 + + c 3 + ( + 3) + c + ( ) + c 3 9
Zdnie 9. Obliczyć cłki. 4 ln d, ln d, ln d, ( ) 4 d, ( + 4) ln d, ( 3) d ln d, e d, + d, ( + ) 7 d, 3 ln 3 d, ( + ) e d 3 d, ln d, cos d, 5 ( + 5) d, 6 e d ( + 5) + d Części: u 4, v ln ; u, v ln ; u, v ln ; u ( ) 4, v ; u + 4, v ln ; u ( 3), v ; u, v ln ; u e, v i u e, v ; u +, v ; u ( + ) 7, v ; u 3, v ln 3; u e, v ( + ) i u e, v + ; u 3, v ; u, v ln ; u cos, v ; u (+5), v 5; 6 u e, v i u e, v ; u +, v + 5 Zdnie 0. Obliczyć cłki. sin d, e cos d u sin, v i u cos, v ; u e, v cos i u e, v sin i powrót do początkowej cłki 0
5. Cłk oznczon Jeżeli wydjność robotnik w(t) (t czs w godzinch) jest stł w ciągu cłego dni prcy, czyli tk sm jk w pierwszej minucie, to ten robotnik wyprodukuje dziennie P 8 w(0) produktów. Jeżeli w kżdej godzinie jego wydjność jest inn to jego produkt obliczymy jko sumę produkcji z kżdej godziny: 7 3 P w(i). Gdyby wydjność zmienił się częściej, np. co pół godziny to P 0,5 w(i) itd. i0 RYSUNEK Ogólnie, jeżeli czs prcy 0, 8 dzieli się n odcinki: 0 t 0 < t < t <... < t n 8 to i0 A jeżeli wydjność zmieni się ciągle? RYSUNEK n P (t i+ t i )w(t i ). i0 Definicj. Niech f() będzie funkcją określoną n przedzile, b i niech dl dowolnego n N n b n orz k + k n dl 0 k < n ( n b). Wtedy cłką oznczoną funkcji f od do b nzywmy jeżeli t grnic istnieje. b n f() d lim f( i ) n n Jeżeli funkcj f() jest ciągł w przedzile, b to cłk oznczon ciągłe są cłkowlne). i0 b f() d istnieje (czyli funkcje Twierdzenie. Jeżeli funkcj f() jest ciągł w przedzile, b i F () jest funkcją tką, że F () f() (F () jest funkcją pierwotną do f()) to b f() d F (b) F (). Przykłd. Niech f() α + β wtedy b f() d f() + f(b) (b ). Istotnie, by znleźć funkcję F (), której pochodną jest α + β obliczmy cłkę nieoznczoną funkcji f(): f() d (α + β) d α + β + c. Ztem F () α + β jest funkcją pierwotną funkcji f() α + β. Mmy więc b f()d F (b) F () α b + βb α β b f() + f(b) (α( + b) + β) (b ). Zdnie. Obliczyć podne cłki oznczone. 5 0 d, 00 0 5 d, e 4 d, 6 d, d, 4 4 0 4 d, 3 d 3
Włsności cłki oznczonej Twierdzenie. Jeżeli funkcje f() i g() są ciągłe n przedzile, b i γ, b to () b f() d f() d, b f() d 0, b b cf() d c f() d (b) b f() ± g() d b f() d ± b g() d, c f() d + b c f() d b f() d Oblicz podne cłki oznczone. Zdnie. 0 0 5 d, 0 0 (5 + 3) d, 5 d, 0 ( + 4) d, 3 9 d, 4 0 (4 3 + 3 ) d Zdnie 3. 4 Zdnie 4. (5 3 + 5 ) d 4 ( + 8) d 4 4 (8 3 + 6 + 0) d, ( 6) d, 3 0 4 5e d + ( + 3 + ) d 0 3 3e d, 4 ( 7 + ) d 5 d + 3 d Zdnie 5. 3 ( + 3) d, 0 5e 5 d, 5 6 9
6. Zstosownie cłki Cłk oznczon wyrż pole pod krzywą, więc znjduje zstosownie wszędzie tm, gdzie pewne wrtości wyzncz się jko pole ogrniczone pewnymi krzywymi. Jednym z przykłdów jest liczb części wyprodukownych przez robotnik w ciągu dni prcy, gdy znmy funkcję opisującą jego wydjność. Przykłd. Dochód cłkowity ze sprzedży produktów w stłej cenie p obliczmy jko D p, co jest w istocie polem prostokąt ogrniczonego przez osie OX, OY, prostą pionową przechodzącą przez orz prostą wyznczoną przez cenę y p. RYSUNEK Ztem dochód cłkowity jest polem pod krzywą o równniu y p w przedzile 0,, więc cłką D 0. Przykłd. Wyznczyć pole obszru ogrniczonego krzywą y 6 + 8 i osią OX. p d RYSUNEK Zczynmy od wyznczeni punktów grnicznych obszru (czyli punktów n osi OX wysuniętych njdlej n lewo i prwo). W tym celu trzeb rozwiązć równnie 6 + 8 0. 6 4 8 36 3 4 orz 6 4 4 i 6+ 4. Ztem pole pod krzywą to 4 4 P y d ( 6 + 8) d 3 3 6 + 8 4 ( ) ( ) 64 8 3 48 + 3 3 + 6 4 3. Obszr m pole równe 4, minus sygnlizuje to, że obszr jest pod osią OX. 3 Przykłd. Obliczyć pole obszru ogrniczonego krzywą y ( )( + ) i osią OX. RYSUNEK Jk poprzednio, njpierw wyznczmy pierwistki:, 0 i 3. Zuwżmy, że obszr dzieli się n dw: od - do 0 leżący nd osią (oznczymy go A) i od 0 do leżący pod osią (oznczmy go B). Obliczmy pol tych obszrów oddzielnie, potem dodmy pol (ob ze znkmi dodtnimi). P A P B 0 0 ( 3 + ) d 4 4 + 3 3 0 0 (4 8 ) 3 4 8 3, ( 3 + ) d 4 4 + 3 3 4 + 3 5. Ztem łączne pole to P P A + P B 8 3 + 5 37. Przykłd. Obliczymy obszr między krzywą y i prostą y +. RYSUNEK Zczynmy od wyznczeni punktów brzegowych (n lewo i prwo), czyli rozwiązni równni +. Mmy 0, + 4 9 ztem 3 i +3. Poniewż krzyw leży pod prostą (sprwdzenie przez nierówność, lbo w jednym punkcie 0 w środku) to obszr wyrż się różnicą cłek P ( + ) d 3 0 ( ) d
Obliczenie: P ( + ) d ( ) d ( + + ) d ( + ) d 3 3 + ( 8 ) ( 3 + 4 + ) 3 9. Zdnie 6. Wyzncz pole obszru ogrniczonego przez krzywe () y 3 i oś OX; (b) y i linie 4 i 9, (c) y i oś OX, (d) y + i oś OX orz linie i 5, (e) y 4 oś OX orz linie y i y 4, (f) y 3 oś OY orz linie y i y 3, (g) y i linię, (h) y + i linię y 6. Zdnie 7. Wyzncz pole obszru między krzywymi. () y 3 i y, (b) y i 3y, (c) y 4 i y, (d) y, y i, (e) y + i y ( + ). Zdnie 8. Koszty utrzymni i używni smochodu w kolejnych ltch, wyrż się wzorem f(t) 00 + 0t. Jkie są łączne koszty utrzymni smochodu poniesione w oierwszych trzech ltch? jkie w 5-tym roku? 390, 303,33 Zdnie 9. Przeciwnicy wybudowni elektrowni tomowej w obszrze miejskim (populcj ok,5 mln mieszkńców) opisują ktstrofę w postci powżnej wrii elektrowni i skżeni okolicy z pomocą funkcji r(t) 00000e 0,t opisującej liczbę zgonów kżdego dni po ktstrofie - t ozncz czs w dnich. Ile osób zginie pierwszego dni po ktstrofie? Po ilu dnich zginie cł populcj tego regionu? 90 400, po 3,863 dnich. Zdnie 0. Kżdy dzień kmpnii zchęcjącej do wpłt n dobry cel kosztuje 300 zł. Zuwżono, że wpływy są njwiększe n początku zbiórki i mleją w mirę upływu czsu zgodnie z funkcją y 75 + 650. Ile netto przyniesie kmpni jeżeli będzie prowdzon do chwili zrównni kosztów i wpływów? 5 0 y 300 d 845 6 Zdnie. Użyteczność produktu możn mierzyć ceną, którą konsument jest w stnie zpłcić z dny produkt. Wedy wrtością ekonomiczną produktu jest przychód ze sprzedży wszystkich towrów w punkcie równowgi (gdy podż jest równ popytowi). Mogą być jednk klienci, którzy zechcą zpłcić więcej niż cen równowgi. Wrtość sprzedży towrów powyżej ceny równowgi nzywmy ndwyżką konsumencką. Jk jest ndwyżk konsumenck, gdy popyt jest opisny funkcją d(p) p 40p + 400, podż s(p) 0p gdzie p jest ceną towru. 333,34 Zdnie. Koszty wytworzeni i reklmy pewnego towru wyrżją się wzorem k() 0 +0 60, przychód wzorem p() 0 3 + 50 + 0 360 gdzie ilość produktów w tysiącch. Jki jest łączny zysk n tym towrze w okresie, w którym towr był rentowny (przychód pokrywł koszty wytworzeni i reklmy). 80, od 3 do 5 tygodni 4
7. Cłki niewłściwe Cłk oznczon zostł zdefiniown tylko dl funkcji określonych w przedzile domkniętym, b. Poniewż geometrycznie cłk oznczon to pole pod krzywą (wyznczoną przez funkcję podcłkową przyjmujemy n chwilę, że funkcj podcłkow jest dodtni), to możn wyobrzić sobie sytucje, w których musimy obliczyć pole pod krzywą n cłej półprostej (np. prwdopodobieństwo zdrzeń, których wyniki są odległe od średniej, czyli pole pod częścią krzywej rozkłdu normlnego od wyznczonej liczby do nieskończoności). Obliczenie tkiego pol poleg n obliczniu pól pod krzywą n corz większych przedziłch. Mówimy wtedy o cłce niewłściwej. Definicj. Jeżeli funkcj f jest cłkowln w kżdym przedzile, b gdzie b R i b > to cłką niewłściwą funkcji f w przedzile, + ) nzywmy grnicę f(y)dy lim f(y)dy + o ile tk grnic istnieje i jest skończon. Jeżeli podn grnic jest nieskończon to mówimy, że cłk niewłściw f()d jest rozbieżn. Z definicji orz podstwowego twierdzeni rchunku cłkowego wynik sposób obliczni cłek niewłściwych: f()d lim (F () F ()) + (gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f). Przykłd. Obliczmy cłkę d d: lim + y dy lim + y Anlogicznie definiuje się i oblicz cłki niewłściwe f()d, możn też mówić o cłkch niewłściwych + ( lim + + ) f()d. Tę smą technikę (przechodzenie do grnicy) wykorzystuje się wprowdzjąc pojęcie cłki oznczonej dl funkcji określonych n przedzile otwrtym (, b) lub otwrto domkniętym, b) i (, b. Zdnie 3. Obliczyć cłki. () 3 d, (b) e t dt, 0 (c) e 3, (d) d, (e) 0 ( + ) d i ( + ) d. () 4, (b), (c) e 3, (d) cłk rozbieżn, (e) 4 i 4 Zdnie 4. Obliczyć pole P 0 obszru zwrtego między wykresem funkcji e, prostą i osią OX. Które pole jest większe P 0 (z początku zdni) czy P między krzywą e w zkresie od do? P 0 e, P e e (większe jest P ). 5
8. Rchunek mcierzowy Mcierz i podstwowe opercje lgebriczne Dne często mją jkąś strukturę, którą wrto wykorzystć by je uporządkowć wtedy łtwiej wydobyć ukryte w nich informcje. N przykłd do porównni cen towrów w dwóch sklepch B i Ż możn zestwić te ceny w dwie kolumny: po jednej dl kżdego sklepu. W wierszch będą ceny tego smego towru, np. chleb,46 w B i 4,84 w Ż, ser żółty 5,77 w B i,95 w Ż, czy cytryny po 3,98 w B i 0,89 w Ż. Tbel będzie wyglądł tk Towry/ceny B Ż chleb,46 4,84 zer żółty 5,77,95 cytryny 3,98 0,89 Prostokątną tbelę złożoną z liczb nzywmy mcierzą. Mówimy, że mcierz m rozmir n m jeżeli m n wierszy i m kolumn. Mcierz Towry/ceny m rozmir 3. Mcierze oznczmy zwykle dużymi litermi, ich elementy (odpowiednimi) młymi litermi z indeksmi wskzującymi położenie elementu w mcierzy. N przykłd, w mcierzy M element znjdujący się w 3 wierszu i 5 kolumnie oznczmy m 3 5. W mcierzy T Towry/ceny t 4, 84, t 3 3, 98. Mcierz A rozmiru n m w postci ogólnej zpiszemy tk... m... m A..... n n... n m N mcierzch możn wykonywć niektóre dziłni mtemtyczne. N przykłd mcierze tkiego smego rozmiru możn dodwć. N przykłd, gdyby do ceny kżdego towru z mcierzy T trzeb było dodć cenę opkowni oczywiście zleżną od towru i sklepu to, jeżeli dodtkowe ceny zpiszemy w mcierzy O, możn npisć: T T + O,46 4,84 5,77,95 3,98 0,89 + 0,04 0,06 0,03 0,05 0,0 0,0,5 4,9 5,8 3,0 4,0 0,9 Dodwnie wykonujemy wyrz po wyrzie, czyli wyrzy mcierzy wynikowej są summi odpowiednich wyrzów dodwnych mcierzy. Podobnie wykonuje się odejmownie. Ob dziłni: dodwnie i odejmownie możn wykonywć tylko n mcierzch tego smego rozmiru. Jeżeli w obu sklepch B i Ż wprowdzono rbt w wysokości 0% to wszystkie ceny w mcierzy T trzeb przemnożyć przez 0,8. Możn to wykonć w jednym dziłniu: mnożeniu mcierzy przez sklr (liczbę rzeczywistą): C 0,8 T 0,8,5 4,9 5,8 3,0 4,0 0,9,00 3,9 0,64 0,40 3,0 8,7 W mcierzy wynikowej, kżdy wyrz jest iloczynem stłej i odpowiedniego wyrzu mcierzy początkowej. Mnożenie mcierzy Aby solidnie porównć ceny w sklepch B i Ż trzeb zbdć koszt koszyk zkupów zwierjącego np. jeden kilogrmowy bochenek chleb, ćwierć kilo ser i pół kilogrm cytryn. Obliczenie tego kosztu to pomnożenie kżdej ilości przez odpowiednią cenę i zsumownie wyników. Trzeb tk zrobić dl kżdego. 6
sklepu. Ilości możemy przedstwić w postci tblicy mjącej tylko jeden wiersz: 0,5 0,5 tką tblicę, któr jest mcierzą o rozmirze n nzywmy wektorem, wektormi nzywmy tkże mcierze o rozmirze n, mjące tylko jedną kolumnę. Oto obliczeni kosztów nszego koszyk: B + 0,5 0,64 + 0,5 3,0 8,76 Ż 3,9 + 0,5 0,4 + 0,5 8,7 0,90. Zuwżmy powtrzjący się wzór: kolejne wyrzy wektor (ilości) mnożyliśmy przez kolejne wyrzy kolumny (ceny) dl kżdego sklepu. Tkie dziłnie nzywmy mnożeniem wektor przez mcierz. Wynikiem są dwie liczby, więc wektor, czyli mcierz. Ztem, wynikiem mnożeni wektor n przez mcierz n m jest mcierz (wektor) m, w której kolejne wyrzy są wynikmi mnożeni wektor przez kolejne kolumny mcierzy. Tę procedurę możn rozszerzyć n mnożenie dwóch mcierzy. Wynikiem mnożeni mcierzy A rozmiru n m przez mcierz B rozmiru m k jest mcierz AB rozmiru n k tk, że element z wiersz i i kolumny j jest iloczynem wiersz i mcierzy A przez kolumnę j mcierzy B (iloczyn wiersz przez kolumnę obliczmy jko sumę iloczynów kolejnych elementów wiersz przez kolejne elementy kolumny). Przykłd. 3 4 3 3 4 5 + ( 3) + 4 3 + ( 3) + 5 ( 4) + ( ) + 3 4 ( 4) 3 + ( ) + 3 5 0 5 6 Mnożenie mcierzy nie jest przemienne (zleży od kolejności czynników), nwet gdy ob iloczyny istnieją. Ntomist jest dziłniem łącznym ((AB)C A(BC )) o ile wszystkie mnożeni dją się wykonć. Wśród mcierzy kwdrtowych (rozmiru n n) istnieją tkże elementy neutrlne mnożeni, czyli odpowiedniki jedynki: elementy, które nie zmieniją mnożonej mcierzy: AI n I n A A dl dowolnej mcierzy A rozmiru n n. Mcierz jednostkow rozmiru n n: I n m n przekątnej od lewego górnego rogu do prwego dolnego i zer we wszystkich innych miejscch: i kk dl k n i i kl 0 dl k n, l n i k l. N przykłd: 0 0 0 0 0 0 I 4 0 0 0. 0 0 0 Przykłd. (Zstosownie mnożeni mcierzy). Przypuśćmy, że w supermrkecie możn kupić tylko różne btoniki: Orzechowy i Kokosowy. Z miesiąc n miesiąc zmieni się liczb kupujących te btoniki. Z nkiety przeprowdzonej wśród klientów supermrketu wynik, że 80% smkoszy Orzechowego pozostje mu wiern, le 0% zczyn kupowć Kokosowy. Z drugiej strony tylko 70% zjdczy Kokosowego w nstępnym miesiącu nie zmieni produktu, zś pozostłe 30% zczyn kupowć Orzechowy. N podstwie dnych z ks widomo, że w poprzednim miesiącu 400 osób kupowło Orzechowy, 5500 Kokosowy. Ile osób będzie kupowło Orzechowy, ile Kokosowy w nstępnych miesiącch? Jeżeli O n ozncz liczbę klientów kupujących btonik Orzechowy, K n btonik Kokosowy w miesiącu n, to przedstwioną sytucję opisują nstępujące równni: 7
O 0 400 K 0 5500 O n+ 0,8 O n + 0,3 K n K n+ 0, O n + 0,7 K n Dw pierwsze równni wynikją ntychmist z dnych początkowych. Nstępne równnie budujemy n podstwie obserwcji: w nstępnym miesiącu bton Orzechowy kupi 80% tych klientów, którzy kupili ten bton w poprzednim miesiącu, czyli 0, 8 O n orz 30% tych klientów, którzy w poprzednim miesiącu kupili bton Kokosowy, czyli 0, 3 K n. Anlogicznie budujemy osttnie równnie. Aby obliczyć liczbę kupujących btoniki w nstępnym miesiącu, nleży w dwóch osttnich równnich podstwić dne początkowe: O 0,8 O 0 + 0,3 K 0 0,8 400 + 0,3 5500 3570 K 0, O 0 + 0,7 K 0 0, 400 + 0,7 5500 4330. To smo otrzymmy, gdy pomnożymy mcierz współczynników przez wektor (pionowy) dnych początkowych: 0,8 0,3 400 0, 8 400 + 0, 3 5500 3570 0, 0,7 5500 0, 400 + 0, 7 5500 4330 Przy dużej liczbie towrów mnożenie mcierzy (zwłszcz wykonywne utomtycznie przez odpowiednie progrmy komputerowe) będzie szybsze i wygodniejsze. Mcierz trnsponown W przykłdzie korzystliśmy z wektor dnych początkowych w postci kolumny (wektor kolumnowego). Wygodniej jest jednk zpisywć tki wektor w postci wiersz: 400 5500 le wtedy nie możn mnożyć... Wyjściem z sytucji jest opercj trnspozycji, któr zstosown do wektor wierszowego dje wektor kolumnowy: 400 5500 T 400. 5500 Ogóln definicj trnsponowni mcierzy jest nstępując. Definicj. Mcierzą trnsponowną do mcierzy A rozmiru n m jest mcierz B rozmiru m n, tk, że b ij ji dl i m i j n. Mcierz trnsponowną do mcierzy A ozncz się symbolem A T. Mcierz trnsponown do A powstje z mcierzy A przez zminę wierszy w kolumny i kolumn w wiersze. Przykłd. 0 3 3 4 5 6 6 7 8 9 T 0 3 6 4 7 5 8 3 6 9 Wrto zuwżyć, że dl kżdej mcierzy A: ( A T ) T A., 0 0 30T 0 0 30. 8
Zdnie 5. Wykonć podne dziłni n mcierzch. 3 0 0 5 0 3 0, + 6 4 6 3 3, 0 67 4 5, 3 3, 6 5 8 4 8 4 3 4 + 6 8 4 Zdnie 6. Wykonć podne dziłni n mcierzch (tm gdzie jest to możliwe). 4, 3 8 5 4 T, 8 4 67 60, 8 4 6 0 3 4 0 9 6 7 8, 3 4 0 5 3 Zdnie 7. Wykonć podne dziłni n mcierzch (tm gdzie jest to możliwe). Nie możn mnożyć. 7 3 0 5 88 6, 6 0 4 8 6 84 44 8 48 6 94, 8 3 0 8 8, 0 4 0 5 7 8 4 Zdnie 8. Wykonć podne dziłni n mcierzch (tm gdzie jest to możliwe). 3 0 6 0 4 8 0 4 0, 5 95 35, 0 3 4 0 0, 5 0 3 8 9 5 5, + + Zdnie 9. Sprwdzić czy AB BA i czy C B BC B gdzie AB 4 0 3 BA A 0 4 3 0 0, B 0 4 3, C 0 0. 9
9. Wyznczniki Wyzncznik jest liczbą przyporządkowywną mcierzy kwdrtowej. Liczb t m szczególne zncznie w zstosowniu mcierzy do rozwiązywni ukłdów równń liniowych. Wyzncznik zdefiniujemy opisując uniwerslny sposób wyznczni tej liczby, czyli obliczni wyzncznik (jko definicję przyjmiemy tzw. rozwinięcie Lplce ). Definicj. Wyzncznikiem mcierzy A jest liczb det A tk, że () jeżeli A m rozmir czyli A to det A, (b) jeżeli A m rozmir n n gdzie n to det A ( ) j+ j det A j + ( ) j+ j det A j + ( ) j+3 j3 det A j3 +... + ( ) j+n jn det A jn n ( ) j+i ji det A ji, lub i det A ( ) +i i det A i + ( ) +i i det A i + ( ) 3+i 3i det A 3i +... + ( ) n+i ni det A ni n ( ) j+i ji det A ji, j gdzie i n, j n orz A pq ozncz mcierz powstłą z A przez wykreślenie p-tego wiersz i q-tej kolumny ( p n i q n). Przykłd. det 7 7, det 7 3 4 ( ) 7 det 4 + ( ) 3 ( ) det 3 7 4 ( ) 3 34 det 0 3 ( ) det 0 + ( ) 3 det 3 ( ) ( ( ) 0 det + ( ) 3 det ) + +( ) 3 ( ( ) det + ( ) 3 det 3 ) + +( ) 4 ( ) ( ( ) det + ( ) 3 0 det 3 ) + ( ) 4 ( ) det (0( ) ( )) (( ) 3) + ( ) (( ) 0 3) 3. 0 3 Oblicznie wyzncznik mcierzy jest żmudne (zwłszcz dl wyznczników mcierzy o dużych rozmirch). Dl njprostszych przypdków (mcierze i 3 3) możn zpmiętć metody ułtwijące ich oblicznie. Przykłd. Wyzncznik mcierzy rozmiru obliczmy jko różnicę iloczynów elementów leżących n przekątnych, przy czym przekątn od lewej do prwej w dół m znk dodtni, przekątn od prwej do lewej w dół m znk minus. det 3 4 7 + 7 3 4 4. 0
Przykłd. Wyzncznik mcierzy rozmiru 3 3 możn obliczć metodą Srrus. Metod t poleg n formlnym dopisniu do mcierzy z prwej strony pierwszej i drugiej kolumny i obliczeniu sumy iloczynów liczb stojących n linich skośnych, przy czym iloczyny liczone od lewej do prwej w dół bierzemy ze znkiem plus, iloczyny od prwej do lewej w dół ze znkiem minus: Obliczeni: + + + 3 3 3 + 3 + 3 3 3 + 6 + 6 9 0. Oblicznie wyzncznik możn nieco uprościć, włściwie skrócić. Wykorzystmy do tego celu tzw. opercje elementrne. Prwdziwe są bowiem nstępujące twierdzeni. Twierdzenie. Wyzncznik mcierzy nie zmieni swojej wrtości, jeżeli () do dowolnego wiersz dodmy inny wiersz pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą; (b) do dowolnej kolumny dodmy inną kolumnę pomnożoną przez dowoln liczbę rzeczywistą. Twierdzenie. () Zmin miejscmi dwóch wierszy lub dwóch kolumn zmieni znk wyzncznik n przeciwny. (b) Pomnożenie dowolnego wiersz lub dowolnej kolumny mcierzy przez dowolną liczbę rzeczywistą powoduje pomnożenie wyzncznik przez tę liczbę. Z pomocą tych opercji możn doprowdzić do sytucji, w której wiersz według którego rozwijmy wyzncznik m dużą liczbę zer, co zmniejsz liczbę wyznczników niższego rzędu do obliczeni. Przykłd. Zstosujemy opercje elementrne do obliczeni wyzncznik mcierzy 0 Dodjemy do kolejnych kolumn (od drugiej) pierwszą kolumnę mnożoną kolejno przez,,, i otrzymujemy 0 0 0 0 3 3 5 3. 3 3 0 0 6 5
Dzięki temu wyzncznik tej mcierzy jest równy wyzncznikowi mcierzy 3 3 5 3 3 3 0. 0 6 5 Obliczenie tego wyzncznik też możemy uprościć z pomocą opercji elementrnych. Njpierw zmienimy miejscmi wiersz pierwszy z osttnim i zpmiętujemy, że obliczymy terz wyzncznik ze zmienionym znkiem. Wykonujemy opercję elementrną dodwni kolumn pomnożonych przez liczbę. Tym rzem dodjemy do kolejnych kolumn (od trzeciej w drugiej już jest zero) pierwszą kolumnę pomnożoną przez, odpowiednio 6 i 5 i otrzymujemy 0 0 0 9 8 3 9 0. 3 3 3 3 Ztem ten wyzncznik jest równy wyzncznikowi mcierzy 9 8 3 9 0, 3 3 3 ten wyzncznik obliczymy np. metodą Srrus: 9 8 det 3 9 0 9 3 + 9 0 3 + 8 3 3 8 9 3 0 3 9 3 3 3 3 3 Poniewż wcześniej przestwiliśmy wiersze to musimy zmienić znk w wyniku, więc szukny wyzncznik jest równy. Obliczyć wyznczniki podnych mcierzy. Zdnie 30. A 5, B 8 3 4 det A 5, det B 6, det C 8, det E 0 Zdnie 3. A 6 0 4 0 3 8 det A 40, det B 4, det C 30, B, C 7 4 8 3 8 0 5 4 8, D, C 8 6 4 3 4 7 3 4 0 Zdnie 3. det A 876 A 4 0 5 3 4 3 0 3 4 0 0 0 4 0 3 0 5 7
0. Mcierz odwrotn Równni postci b (gdzie i b są liczbmi rzeczywistymi) rozwiązuje się przez podzielenie obu stron przez o ile 0. Ozncz to pomnożenie obu stron przez odwrotność. Równnie mcierzowe postci AX B rozwiązujemy podobnie: mnożymy obie strony przez mcierz odwrotną odpowiednik odwrotności liczby. Odwrotność liczby to tk liczb b, że b. Mcierz odwrotną definiujemy podobnie. Definicj. Mcierzą odwrotną do kwdrtowej mcierzy A rozmiru n n, jest mcierz A tk, że gdzie I n jest mcierzą jednostkową rozmiru n n. AA A A I n Niestety nie zwsze istnieje mcierz odwrotn do dnej mcierzy. N szczęście jest możliwość sprwdzeni jej istnieni. Ten sprwdzin jest oprty n wrtości wyzncznik mcierzy. Twierdzenie. Jeżeli wyzncznik mcierzy kwdrtowej A jest różny od zer (det A 0 tką mcierz nzywmy nieosobliwą) to istnieje dl niej mcierz odwrotn A. Wyznczenie mcierzy odwrotnej do dnej mcierzy A może polegć n rozwiązniu ukłdu równń liniowych. Przykłd. Wyznczymy mcierz odwrotną do mcierzy A gdy A. Niech Wówczs AA A b A. c d Po wykonniu mnożeni otrzymujemy + c c czyli ukłd równń b c d b + d b d + c b + d 0 c 0 b d 0 0 0 0 I Po rozwiązniu otrzymujemy 0,, b 0,4, c 0, i d 0,, więc mcierz 0, 0,4. 0,4 0, Sprwdzenie 0, 0,4 0,4 0, Ztem 0 0 A i 0, 0,4 0,4 0, 0, 0,4 0,4 0, 0 0 Wyzncznie mcierzy odwrotnej w sposób pokzny w przykłdzie jest uciążliwe dl dużych mcierzy, dltego lepiej posługiwć się innymi metodmi. 3..
Dopełnieni lgebriczne Mcierz odwrotną możn wyznczyć z pomocą dopełnień lgebricznych, znnych z obliczni wyzncznik mcierzy. Dopełnieniem lgebricznym elementu ij mcierzy A jest: ij ( ) i+j det A ij gdzie A ij powstje z mcierzy A przez wykreślenie i-tego wiersz i j-tej kolumny (jk w definicji wyzncznik mcierzy). Metod dopełnień lgebricznych to wyznczenie mcierzy odwrotnej z pomocą dopełnieni lgebricznego kżdego jej elementu: det A A det A. n det A det A n det A det A n det A..... n det A nn det A T ( ) + det A det A ( ) + det A det A. ( ) +n det A n det A Przykłd. Wyznczmy mcierz odwrotną do mcierzy A 3 ( ) + det A det A ( ) + det A det A. ( ) +n det A n det A ( ) n+ det A n det A ( ) n+ det A n det A.... ( ) n+n det A nn det A Obliczmy wyzncznik: det A ( ) 3 8 orz uzupełnieni lgebriczne wszystkich elementów: ( ) +, ( ) + 3 3, ( ) + ( ), ( ) +. Ztem mcierzą odwrotną do A jest A 8 3 Ogólnie możn podć wzór n mcierz odwrotną do mcierzy rozmiru : b c d d bc d c b Opercje elementrne Opercje elementrne to pewne dziłni wykonywne n wszystkich elementch wyznczonego wiersz lub wyznczonej kolumny mcierzy. Gdy mówimy o mnożeniu wiersz (kolumny) przez liczbę to ozncz mnożenie kżdego elementu tego wiersz (kolumny) przez tę liczbę. Gdy mówimy o dodwniu dwóch wierszy (kolumn) to ozncz to dodwnie powidjących sobie elementów tych wierszy (kolumn). Definicj. Opercjmi elementrnymi nzywmy () pomnożenie wszystkich elementów jednego wiersz lub kolumny mcierzy przez liczbę rzeczywistą, (b) dodnie do pewnego wiersz (pewnej kolumny) innego wiersz (innej kolumny) pomnożonego przez liczbę rzeczywistą, (c) zmin miejscmi dwóch wierszy (kolumn). 4
W opisch wykonywnych czynności będziemy stosowć nstępujące oznczeni: () αw i ozncz pomnożenie wiersz o numerze i przez liczbę rzeczywistą α, np. mcierz 3 3 3 3 po opercji 3w m postć 6 6 6 6 3 3 3 3 (b) w i +αw j ozncz, że do wiersz i dodny zostł wiersz j pomnożony przez α, np. mcierz otrzymn w punkcie () po opercji w 3 + w m postć 6 6 6 6 5 5 5 5 (c) w i w j ozncz zminę miejscmi wiersz i z wierszem j, np. mcierz otrzymn w punkcie (b) po opercji w w m postć 6 6 6 6 5 5 5 5 Ciąg opercji wykonywnych po kolei, z kżdym rzem n mcierzy będącej wynikiem poprzedniej opercji znotujemy w nstępujący sposób 3 3 3 3 3w 6 6 6 6 3 3 3 3 w 3+w Zstosownie opercji elementrnych 6 6 6 6 5 5 5 5 w w 6 6 6 6 5 5 5 5 Metod wyznczni mcierzy odwrotnej do mcierzy A rozmiru n n z wykorzystniem opercji elementrnych poleg n dopisniu z prwej strony mcierzy A odpowiedniej mcierzy jednostkowej: A I n, potem n wykonywniu opercji elementrnych n wierszch otrzymnej mcierzy tk, by po lewej stronie uzyskć mcierz jednostkową. Drug część będzie wtedy mcierzą odwrotną do mcierzy A: I n A. Przykłd. Znjdziemy mcierz odwrotną do mcierzy A stosując opercje elementrne. Rozszerzmy mcierz A o mcierz jednostkową I 3 : A I 3 0 0 0 0 0 0.. 5
Poniewż celem jest mcierz jednostkow (któr m jedynki n przekątnej i dużo zer) to strmy się wyzerowć jk njwięcej elementów. Łtwo zuwżyć, że dodnie drugiego wiersz do pierwszego spowoduje powstnie kilku,nowych zer: 0 0 0 0 0 0 w +w 0 0 0 0 0 0 0 Odjęcie drugiego wiersz do trzeciego też wyzeruje niektóre wyrzy mcierzy: 0 0 0 0 0 0 0 w 3 w 0 0 0 0 0 0 0 0 Początek pierwszego wiersz jest trzecim wierszem mcierzy jednostkowej, początek trzeciego wiersz jest pierwszym wierszem mcierzy jednostkowej, wiec zmienimy te wiersze miejscmi: 0 0 0 0 0 0 0 0 w w 3 0 0 0 0 0 0 0 0 Wiersze pierwszy i drugi mją tką postć, jkiej oczekujemy. Pozostło uporządkowć drugi wiersz. Njpierw wyzerujemy pierwszą jedynkę przez odjęcie wiersz pierwszego: 0 0 0 0 0 0 0 0 w w.. 0 0 0 0 0 0 0 0 Terz zerujemy minus jedynkę w drugim wierszu przez dodnie trzeciego wiersz (zuwżmy, że zero n początku trzeciego wiersz gwrntuje, że nie zniszczymy włśnie zbudownego zer w drugim wierszu): 0 0 0 0 0 0 0 0 w +w 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 Pozostło zmienić dwójkę n jedynkę, co uzyskmy mnożąc drugi wiersz przez 0,5: 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0,5w 0 0 0 0 0 0,5,5 0,5 0 0 0 W lewej części mmy już mcierz jednostkową, więc prw część otrzymnej mcierzy jest szukną mcierzą odwrotną 0 A 0,5,5 0,5. 0 Sprwdzenie: A A 0 0,5,5 0,5 0 0 0 0 0 0 0.... I 3. Trzeb też sprwdzić mnożenie odwrotne: AA bo mnożenie mcierzy nie jest przemienne (pozostwimy to czytelnikowi). 6
Wyznczyć mcierze odwrotne do podnych. Zdnie 33. A 5, B Zdnie 34. A 0 3 6 A 0 4 4 9 3 A 5, B, C 0, C 0 4 0, B 0,4 0, 0, 0,, B 4 4, C 7 3 5 5 3 3 4 3 5 6 4 7, C 3 Zdnie 35. A 5 4 3 6 4 4 9 8 8 6 5 A, B 0 0 0 3 0 3 0 7 0 0 7 0, B 3 0 0 0 3 0 0 4 0 7
. Ukłdy równń liniowych Przykłd. Motywcj. Mkler giełdowy dostł zdnie skompletowni portfel kcji dl pewnego klient. Złożeni, postwione przez klient są nstępujące: wrtość portfel w momencie zkupu m być równ 50 000 zł, spodziewny roczny zysk m być równy %, średni współczynnik ryzyk 0%. Mkler m do dyspozycji nstępujące kcje lp. Spółk spodziewny zysk (w %) współczynnik ryzyk (w %). Domybud 6. Autrob 8 9 3. Zsobykop 8 Oznczmy przez,, 3 kwoty przeznczone n kcje spółek odpowiednio, i 3. Wtedy podstwowe złożenie klient o wrtości portfel wyrż równnie + + 3 50000. Spodziewny zysk z pkietu kcji poszczególnych spółek możn obliczyć jko wrtości wyrżeń: 0,6, 0,08 i 0, 3, poniewż klient określił zysk n poziomie % to jego cłkowity spodziewny zysk m wrtość 0, 50 000 6 000 ztem wrunek dotyczący stopy wzrostu wyrż równnie: 0,6 + 0,08 + 0, 3 6000. Trzecie ogrniczenie dotyczy średniego ryzyk cłego portfel i może być obliczon jko średni wżon współczynników ryzyk, gdzie wgmi są kwoty przeznczone n kcje poszczególnych spółek: 0, 0 0, + 0,09 + 0,08 3 0, + 0,09 + 0,08 3, + + 3 50000 stąd otrzymujemy równnie 0, + 0,09 + 0,08 3 5000. Ztem problem mkler to odpowiedź n pytnie: czy istnieją tkie kwoty,, 3, które spełniją jednocześnie wszystkie trzy równni, więc: czy istnieje rozwiąznie ukłdu równń: + + 3 50000 0,6 + 0,08 + 0, 3 6000 0, + 0,09 + 0,08 3 5000 Jeżeli tkie rozwiąznie istnieje to, oczywiście, mkler chciłby je poznć. 0 000, 0 000, 3 0 000 N początek ogrniczmy zinteresownie do ukłdów równń, w których liczb równń jest równ liczbie zmiennych, więc postci + +... + n n b + +... + n n b......... n + n +... + nn n b n Tki ukłd możn zpisć jko równnie mcierzowe: AX B, w którym... n... n A...., X.., B n n... nn n Ukłd równń liniowych możn rozwiązć kilkom sposobmi. Między innymi stosując wzory Crmer, znjdując mcierz odwrotną A lub z pomocą metody zwnej elimincją Gus, któr wykorzystuje opercje elementrne (tkie jk przy wyznczniu mcierzy odwrotnej). 8 b b. b n.
Wzory Crmer Wzory Crmer opierją się n wyzncznikch. Gdy dny jest ukłd równń AX B, w którym liczb równń jest równ liczbie zmiennych, to njpierw obliczmy wyzncznik mcierzy współczynników A. Jeżeli det A 0 to istnieje dokłdnie jedno rozwiąznie tego ukłdu. Aby je wyznczyć obliczmy wyznczniki mcierzy A i, które powstją z mcierzy A przez zstąpienie kolumny i przez mcierz B. Rozwiąznie tego ukłdu jest dne wzorem dl kżdego i n. Przykłd. Aby rozwiązć ukłd równń i det A i det A { 3 3 4 + 6 0 obliczmy wyzncznik mcierzy współczynników det A det 3 4 6 3 6 ( ) 4 6. Poniewż jest różny od zer to obliczmy wyznczniki mcierzy A i A : det A det 3 0 6 3 6 ( ) 0 78, det A det 3 3 4 0 3 0 ( 3) 4 5. W końcu obliczmy rozwiąznie det A det A 78 6 3, det A det A 5 6. Zdnie 36. Rozwiązć ukłdy równń stosując wzory Crmer. () { 5 4 8 3 + 5 47 (b) { 5 85 + 4 40 (c) { 3 5 9 + 6 5 () det A 37, 4, 7; (b) det A 4, 0, 5; (c) nie m jednozncznego rozwiązni Zdnie 37. Rozwiązć ukłdy równń stosując wzory Crmer. () + 3 3 4 4 + 3 3 + 6 + 9 3 6, (b) 3 + 3 + 5 3 4 + 4 3 0 + 3 () det A 60, 80 3, 3, 3 ; (b) det A 4, 0 3, 3, 3 9
Ukłdy nieoznczone i sprzeczne Ukłd równń liniowych, który m jednoznczne rozwiąznie nzywmy ukłdem oznczonym. Ukłd równń liniowych, który m nieskończenie wiele rozwiązń nzywmy ukłdem nieoznczonym. Ukłd równń liniowych, który nie m rozwiązni nzywmy ukłdem sprzecznym. Przykłd. Rozwiązć ukłd równń + 5 + 3 0 4 + 40 8 + + 4 3 0 Obliczmy wyzncznik mcierzy głównej: 5 det 4 0 4 + 5 0 8 + 4 8 0 5 4 4 0 8 4 Ztem ten ukłd nie m jednozncznego rozwiązni. Możemy jednk szukć dlej. Rozszerzymy mcierz główną tego ukłdu o kolumnę wyrzów wolnych i wykonmy n tej nowej mcierzy kilk opercji elementrnych (n wierszch) jk przy wyznczniu mcierzy odwrotnej: 5 0 4 0 40 8 4 0 w w 5 0 0 4 60 8 4 0 w 3 4w 5 0 0 4 60 0 4 60 Wiersze drugi i trzeci są identyczne, to ozncz, że jeden z nich jest kombincją liniową pozostłych wierszy, czyli jedno z tych równń nie wnosi nic nowego (wynik z pozostłych). Ztem trzeb usunąć lbo drugie lbo trzecie równnie. Usuwmy trzecie (bo w drugim jest jeden współczynnik równy 0 co może ułtwić obliczeni). Mmy terz ukłd { + 5 + 3 0 4 + 40 dwóch równń z trzem niewidomymi. Musimy zredukowć liczbę zmiennych do dwóch (by było ich tyle smo co równń). Uznjemy jedną ze zmiennych, np. 3, z prmetr i otrzymujemy nowy ukłd równń: { + 5 3 0 4 + 40 Ukłd ten rozwiązujemy stosując wzory Crmer: 5 det 5 4 0 4 3 0 5 det ( 40 3 0) 5 40 3 0 00 3 30 3 0 det 40 ( 4 40 3 0) 4 80 + 8 3 + 40 8 3 + 0 Ztem rozwiązniem ukłdu są 3 30 3 55 i 8 3 + 0 4 3 + 60 Osttecznie, rozwiązniem wyjściowego ukłdu równń jest kżd trójk liczb postci ( p 55, 4p + 60, p) 30
gdzie p jest prmetrem (dowolną liczbą rzeczywistą). Podstwijąc dowolną liczbę w miejsce p otrzymmy jkieś rozwiąznie bdnego ukłdu równń. Przykłd. Rozwiązć ukłd równń + + 5 3 9 3 + 3 3 + 7 8 3 Zczynmy od obliczeni wyzncznik mcierzy głównej: det 5 3 7 8 ( 3) ( 8) + + 5 ( ) 7 5 ( 3) 7 ( ) ( 8) 0 Ukłd nie m jednozncznego rozwiązni, le szukmy innych możliwości, z pomocą opercji elementrnych. 5 9 3 3 7 8 w 3+w 5 9 3 3 3 9 3 3 w 3+3w 5 9 3 3 0 0 0 Otrzymliśmy wiersz, w którym są sme zer oprócz kolumny wyrzów wolnych, odpowid on równniu, które m po lewej stronie zero (sum zmiennych mnożonych przez zer), po prwej stłą różną od zer. Tkie równnie jest oczywiście sprzeczne. Ztem cły ukłd nie m rozwiązni jest sprzeczny. Zdnie 38. Rozwiązć ukłdy równń. () 0 + 6 3 5 + 3 3 0 5 + 3 3 5 (b) + + 3 0 + + 3 7 + 5 + 5 3 5 () ukłd nie m rozwiązni, (b) nieskończenie wiele rozwiązń w postci (, 9 3, 3 ) rozwiąznie otrzymujemy po podstwieniu dowolnej liczby w miejsce 3. Zdnie 39. Rozwiązć ukłdy równń. () + + 3 + 3 3 6 5 4 + 3 (), i 3 ; (b), 4, 3., (b) + 3 3 7 4 + 3 6 5 + 4 3 Metod mcierzy odwrotnej Metod mcierzy odwrotnej rozwiązywni ukłdu równń liniowych jko równni mcierzowego: AX B poleg, n pomnożeniu obu stron równni mcierzowego przez mcierz odwrotną do mcierzy współczynników (jeżeli istnieje jeżeli tk mcierz nie istnieje to nie m jednozncznego rozwiązni tego ukłdu): X I X A AX A B, co dje X A B, więc wrtościmi kolejnych zmiennych są kolejne elementy (pionowego) wektor A B. 3
Przykłd. Rozwiążemy ukłd równń Mcierzą współczynników jest mcierz 5 0 3 0 { 5 + 4 3 + 9 5 3 w w 0 3 0. Ztem szukmy mcierzy odwrotnej do niej: w 0 3 0 Mcierzą odwrotną do mcierzy współczynników jest ztem mcierz wrtości zmiennych 3 5 4 9 ( )( 4) + ( 9) 3( 4) + ( 5)( 9) w 3w 0 0 3 5 3 5 4 3. Pozostło tylko obliczyć.. Ztem rozwiązniem podnego ukłdu równń jest 4 i 3. Metod elimincji Gus Rozwiąznie ukłdu równń AX B, w którym liczb równń jest równ liczbie niewidomych (mcierz A jest kwdrtow) metodą elimincji Gus poleg n wykorzystniu opercji elementrnych. Njpierw tworzymy nową mcierz przez dopisnie do mcierzy współczynników A mcierzy wyrzów wolnych B: A B. Potem wykonujemy opercje elementrne n wierszch tej mcierzy tk by otrzymć mcierz I n B (przyjmujemy, że mcierz A m rozmir n n). Wektor (pionowy) B jest wektorem wrtości zmiennych stnowiących rozwiąznie. Jeżeli nie ud się doprowdzić mcierzy A B do wymgnej postci (z mcierzą jednostkową po lewej stronie) to znczy, że ukłd równń nie m rozwiązni. Przykłd. Rozwiązć ukłd równń Budujemy mcierz A B: i wykonujemy opercje elementrne: 9 3 4 4 w w 3 5 w 3 w w 0 0 3 5 0 0 0 0 0 0 0 + 3 + 3 + 3 9 + 3 + 4 3 4 w +3w 3 w +w 3 9 3 4 4 0 3 5 3 4 4 0 0 0 5 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 w 3 w w w 3 w w 3 0 3 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 3 0 0 0 0 Ztem (trnsponowny) wektor rozwiązń to 3, więc rozwiązniem jest 3, i 3. 3
Zdnie 40. Rozwiązć ukłd równń (wyznczyć wszystkie rozwiązni podnego ukłdu). 3 0 + 5 4 5 0 + 6 9 0 3 + 9 () 0 + + 3 3 (b) 3 0 3 3 (c) 5 0 8 6 0 6 + 8 0 4 30 3 3 0 + 0 7 3 + y 4z 9 (d) + y + 8z 38 4y 8z 0 3 + y 4z 9 (e) + y + 8z 38 4y 8z 0 + y 4z 5 (f) 6y z 4y + 4z () 0 3, 3 +, (b) 0,, (c) 0 3 +, Zdnie 4. Pewn firm produkuje trzy typy piłeczek do golf: Stnd, Super i Etr. W poniższej tbeli podne s czsy prcy i koszty mteriłu potrzebne do wyprodukowni jednej piłeczki kżdego typu. Piłeczk Stnd Piłeczk Super Piłeczk Etr Godziny prcy 3 5 Koszt mteriłu (w zł) 6 8 0 Firm ztrudni tylu robotników, że n produkcję piłeczek do golf może przeznczyć 500 godzin prcy. Pondto może zkupić mterił z 3 800 zł. Firm otrzymł zmówienie n 500 piłeczek. Ile jkich piłeczek może t firm wyprodukowć by w pełni wykorzystć wszystkie zsoby? 00, 00, 3 00 Zdnie 4. Pewn Blended Scotch Whisky jest produkown z trzech skłdników single mlt, przy czym, w miesznce, skłdnik pierwszego powinno być dw rzy więcej niż skłdnik trzeciego. Firm chce przeznczyć n wyprodukownie 60 000 litrów swojego trunku 900,000 zł. Ceny z litr poszczególnych skłdników są nstępujące: pierwszego 0,00, drugiego 4,00 i trzeciego zł (dl producent miesznki). Jkie ilości skłdników trzeb kupić by zrelizowć pln wykorzystując cłą przeznczoną n mteriły kwotę? pierwszego skłdnik 000, drugiego 4 000, trzeciego 6 000 litrów Zmodyfikown elimincj Guss Tę metodę możn zstosowć zrówno do ukłdów równń z kwdrtową mcierzą główną jk i do ukłdów równń, w których jest więcej niewidomych niż równń lub więcej równń niż niewidomych. W kżdym przypdku zsd postępowni jest jednkow. Tworzymy mcierz współczynników przy zmiennych rozszerzoną o kolumnę wyrzów wolnych (jk w metodzie elimincji Guss) i z pomocą opercji elementrnych n wierszch strmy się zbudowć po lewej stronie tzw. mcierz schodkową, to znczy tką, w której kolejne wiersze zczynją się corz większą liczbą zer. Jeżeli w czsie tej budowy (lub n jej końcu) pojwi się wiersz, w którym będą sme zer po lewej stronie, le coś różnego od zer w kolumnie wyrzów wolnych to znczy, że ukłd jest sprzeczny nie m rozwiązni. Jeżeli są rozwiązni to zczynmy wyzncznie wrtości zmiennych od njniższego wiersz, w którym jest jkiś wyrz różny od zer. Pmiętjąc, że kolejnym kolumnom odpowidją kolejne zmienne zpisujemy wiersz w postci równni (znk równości powinien znleźć się między przedosttnim osttnim wyrzem przed wyrzem z kolumny wyrzów wolnych). Jeżeli jest więcej niż jedn zmienn to znczy, że ukłd m nieskończenie wiele rozwiązń i musimy uznć wszystkie zmienne występujące w tym równniu, oprócz jednej z prmetry i wyznczyć wrtość pozostłej zmiennej (zleżną od prmetrów). Jeżeli jest tylko jedn zmienn to oczywiście wyznczmy jej wrtość liczbową (jest jednoznczne rozwiąznie). Nstępnie 33
zpisujemy wiersz bezpośrednio wyższy w postci równni i podstwimy w nim wyznczoną zmienną. Z tego równni wyznczmy wrtość kolejnej zmiennej. Powtrzmy tę procedurę ż do wyznczeni wrtości wszystkich zmienny, które nie są prmetrmi. Przykłd. Rozwiążemy ukłd równń: + 3 3 4 6 + 3 4 + 3 + 4 4 + 3 3 4 3 Tworzymy mcierz współczynników przy zmiennych i wyrzów wolnych: 3 6 4 0 3 3 Wykonujemy opercje elementrne by otrzymć postć schodkową, np. po wykonniu opercji: w w, w 3 + w, w 3 w, w w 4, w 3 + 3w i w 4 w otrzymujemy 3 6 0 0 3 0 0 4 0 0 0 0 0 Njniższym wierszem z jkąkolwiek niezerową liczbą jest trzeci, więc zpisujemy go w postci równni (pmiętjąc, że pierwsz kolumn odpowid zmiennej, drug zmiennej itd.): 3 4 4 Są tu dwie zmienne, więc ukłd m nieskończenie wiele rozwiązń. Uznjemy jedną ze zmiennych, np 4 z prmetr p i wyznczmy wrtość zmiennej 3 : 3 p +, 4 p gdzie p R Zpisujemy w postci równni drugi wiersz (bo jest bezpośrednio nd wierszem trzecim, który włśnie rozptrzyliśmy), podstwimy w miejsce 3 obliczoną uprzednio wrtość i wyznczmy zmienną : 3 3 (p + ) 3 p + 3 p. Wykonujemy te sme opercje n pierwszym wierszu: + 3 3 4 6 (p ) + (p + ) 3p 6 p +. Otrzymliśmy rozwiąznie ukłdu wyjściowego w postci: p +, p, 3 p +, 4 p gdzie p R. Ukłd m nieskończenie wiele rozwiązń, kżde z nich otrzymmy wstwijąc jkąś liczbę rzeczywistą w miejsce prmetru p. N przykłd dl p 0 rozwiązniem ukłdu jest czwórk liczb: (, 09,, 0). Otrzymne metodą mcierzy schodkowej rozwiąznie ogólne możn (nleży!) sprwdzić podstwijąc otrzymne wyrżeni we wszystkich równnich: (p + ) (p ) + (p + ) 3p p + p + + p + 4 3p 6 (p + ) + (p ) (p + ) p p + + p p p (p + ) (p ) + (p + ) + 4p 4p p + + p + + 4p (p + ) + 0(p ) + (p + ) 3p p + + p + 3p 3 34