acta mechanca et automatca, vol. no.4 (8) ODPOWIEDŹ DYNAMICZNA IMPULSOWO ZGINANYCH DŹWIGARÓW Tomasz KUBIAK * * Katedra Wtrzmałośc Materałów Konstrukcj, Poltechnka Łódzka, ul. B. Stefanowskgo /5, 9-94 Łódź tomasz.kubak.pl@gmal.com Streszczene: W prac przedstawono zachowane sę cenkoścennch dźwgarów o przekroju prostokątnm obcążonch mpulsem momentu powodującego czste zgnane. Wkorzstując metodę analtczno-numerczną oraz metodę elementów skończonch wznaczono zależnośc ampltud mpulsu obcążena od maksmalnego ugęca, które mogą posłużć do określena welkośc krtcznch wboczena dnamcznego. Zajęto sę podpartm przegubowo segmentam dźwgarów, którch długość bła równa od jednej do trzech szerokośc. Przjęto do analz materał lnowo sprężst. Analzowano wpłw założononego kształtu mperfekcj na odpowedź dnamczną mpulsowo obcążonch dźwgarów.. WPROWADZENIE Konstrukcje rzeczwste obcążane są ne tlko w sposób statczn, ale równeż dnamczne. Reakcja konstrukcj cenkoścennch na obcążena dnamczne może bć rozpatrwana w aspekce różnch zjawsk fzcznch, o charakterze którch decduje zarówno czas trwana mpulsu obcążena jak jego ampltuda. W lteraturze śwatowej znaleźć można następujące pojęca dotczące mpulsu: natężene mpulsu (Ar-Gur Smonetta, 997) oraz prędkość mpulsu (Cu, ). Dla mpulsu o bardzo krótkm czase trwana dużm natężenu mam do cznena ze zjawskem uderzena. W przpadku mpulsu o małm natężenu bardzo długm czase trwana zagadnene staje sę quas-statczne. Zagadnene, w którm ampltuda mpulsu jest porównwalna ze statcznm obcążenem krtcznm a czas trwana mpulsu odpowada okresow częstośc drgań własnch, nazwam wboczenem dnamcznm. W analze tego zjawska często pomja sę wpłw tłumena (Kounads n., 997). Przedmotem nnejszej prac jest wboczene dnamczne, przez nektórch autorów nazwane odpowedzą dnamczną na obcążene mpulsowe. W lteraturze zagadnena wboczene dnamczne konstrukcj analzowane jest przede wszstkm dla obcążeń ścskającch dzałającch wzdłuż os konstrukcj, dlatego też w nnejszej prac postanowono zająć sę dźwgaram zgnanm. Z lteratur przedmotu znane są równeż rozwązana dotczące obcążeń skręcającch, tnącch cz też nad- podcśnena w przpadku powłok. Obcążena te są zmenne w czase dzałają na konstrukcję nagle, mogą meć skończon bądź neskończon czas dzałana. W prac rozpatrzone zostaną cenkoścenne słup o przekroju prostokątnm (rs. a) obcążone mpulsem odpowadającm czstemu zgnanu (rs. b). Jak wadomo, o wboczenu dnamcznm mów sę jedne dla konstrukcj posadającch mperfekcje geometrczne, dlatego też rozpatrzone zostaną różne form ugęć wstępnch, mędz nnm odpowadające postac wboczena dla obcążeń statcznch oraz postac drgań własnch. a) b) Rs.. Analzowan dźwgar o przekroju kwadratowm (a) obcążon mpulsowo (b) Utrata statecznośc dla konstrukcj z ugęcam wstępnm nema charakteru bfurkacjnego, dlatego też w lteraturze przedmotu można znaleźć wele krterów pozwalającch określać obcążene odpowadające utrace statecznośc konstrukcj obcążonch dnamczne. Ponadto dla konstrukcj dealnch (bez ugęć wstępnch) krtczna ampltuda obcążena powodująca utratę statecznośc rośne do neskończonośc (Budansk, 965). Najbardzej zna- 57
Tomasz Kubak Odpowedź dnamczna mpulsowo zgnanch dźwgarów nm najczęścej stosowanm krteram wboczena dnamcznego są: krterum zaproponowane przez Volmra (Volomr, 97), zakładające, że utrata statecznośc płt obcążonch mpulsowo zachodz gd ch ugęca maksmalne równe są pewnej stałej wartośc. Najczęścej przjmowana jest krtczna wartość ugęca równa grubośc płt lub połowe jej grubośc; krterum Budansk ego-hutchnsona (Hutchnson Budansk, 966), które mów, że utrata statecznośc konstrukcj obcążonch dnamczne zachodz, gd dla newelkch przrostów obcążena wstępuje najwększ przrost ugęca; czter krtera dla płt zaproponowane na podstawe przeprowadzonch dośwadczeń przez Ar-Gura Smonetta e (Ar-Gur Smonetta, 997); krterum znszczenowe zaproponowane przez Petr ego Fahlbusha (Kolakowsk Kolak-Mchalska, 999). Zagadnene rozwązano zaproponowaną metodą analtczno-numerczną oraz komercjnm programem ANSYS wkorzstującm metodę elementów skończonch. Porównano otrzmane wnk.. METODA ANALITYCZNO-NUMERYCZNA Zagadnena statecznośc dnamcznej zgnanch dźwgarów rozwązano metodą analtczno-numerczną (Kolakowsk Kolak-Mchalska, 999; Kubak, 7). Analzowane dźwgar potraktowano jako konstrukcję złożoną z cenkch przmatcznch płt, dla którch uogólnone odkształcena opsują następujące zwązk geometrczne: ε = u, ( w ),, u, v, ε = v, ( w,,, ), u v () ε = γ = u, v, w, w, u, u, v, v,, gdze: u, v, w - składowe przemeszczeń płaszczzn środkowej -tej płt (ścan) odpowedno w kerunkach,, z lokalnego układu współrzędnch. Zgodne z zasadą Hamltona różnczkowe równana równowag dla pojednczej płt można zapsać następująco: ρ h u N N N u N u, ( N u ) ( N u ) ( ) ( ) h v N, N, ( N v, ) ( N, ), v, ( N v ) ( N v ) =, ρ,,,, ρh w ( N N ) w ( N N ),,,,, N w, N w, N w, M, M, M, =., =,,,,,,,,, w, () Stałe w czase warunk brzegowe odpowadające podparcu przegubowemu obcążonch końców dźwgara założono w następując sposób: b N b b ( =, ) d = N ( ) d = N, b v ( =, ) = v ( ) =, w ( =, ) = w ( ) =, M ( =, ) = M ( ) =. N, Warunk współprac sąsednch ścan założono dentczne jak w Kolakowsk Kolak-Mchalska, 999; Kubak, 7. Nelnowe statczne zagadnene statecznośc rozwązano korzstając z asmptotcznej metod Kotera dla układów zachowawczch. Rozważono jedne wboczene lokalne. W tm przpadku rozwnęce pola przemeszczeń dnamcznch U założono w postac: U ( u, v, w) = λu ξ( t) U ξ ( t) U. (4) gdze ξ jest ampltudą -tej postac wboczena (normalzowanej warunkem równośc maksmalnego ugęca grubośc perwszej płt h ), U jest polem przemeszczeń stanu dokrtcznego, U są polam przemeszczeń wznaczone w ramach perwszego rzędu przblżena U polam przemeszczeń w ramach drugego rzędu przblżena. Założono ugęce wstępne o ampltudze ξ * odpowadające postac wboczena otrzmanej dla mnmalnego obcążena krtcznego, a węc pole ugęć wstępnch można zapsać następująco: U = ξ * U Układ statcznch różnczkowch równań równowag (równana () po pomnęcu członów dnamcznch) w ramach perwszego drugego rzędu przblżena w przestrzen rozwązano zmodfkowaną numerczną metodą macerz przenesena. Modfkacja polegała na wkorzstanu metod ortogonalzacj Godunowa (Kolakowsk Kolak-Mchalska, 999) podczas wznaczana wektora stanu na końcowm brzegu na podstawe wektora stanu na brzegu początkowm poprzez całkowane numerczne metodą Rungego-Kutt równań statcznch w kerunku obwodowm. Przedstawone powżej postępowane pozwala na wznaczene nelnowch współcznnków: a, a, a, a równana opsującego pokrtczną śceżkę równowag (Kubak, 7; ANSYS). W zagadnenach dnamcznch nezależną dotchczas bezwmarową wartość ugęca ξ obcążena λ należ traktować jako funkcje czasu. Pomjając sł nercjne zwązane z członam nercjnm stanu dokrtczngo drugego rzędu przblżena oraz borąc pod uwagę warunk ortogonalnośc dla pól przemeszczeń w ramach perwszego U drugego rzędu przblżena U, równana Lagrange a można zapsać w postac: () 58
acta mechanca et automatca, vol. no.4 (8) λ λ ξ () t ξ() t b ξ () t b ξ () t = ξ ;(5) ω λ λ *, tt cr gdze: ω a = m ; a a b = ; π b = ; T p = a a ω Założono, że w chwl początkowej t = zarówno bezwmarowe ugęce ξ jak prędkość jego narastana są równe zer ξ( t = ) =,. ξ( t = ) =. Równane ruchu (5) rozwązano numerczne korzstając z metod Rungego-Kutt z automatczne zmennm krokem rzędem całkowana.. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Do rozwązana zagadnena statecznośc dnamcznej konstrukcj cenkoścennch wkorzstano metodę elementów skończonch - program ANSYS. Analzę zagadnena statecznośc dnamcznej przeprowadza sę etapam. W perwszm etape rozwązuje sę statczne zagadnene wartośc własnch w celu wznaczena obcążeń krtcznch statecznośc odpowadającch m postac wboczena. W drugm etape przeprowadza sę analzę modalną, w której wznaczone zostają częstośc drgań własnch konstrukcj odpowadające m postace drgań. Częstość drgań własnch wkorzstuje sę do oblczena okresu drgań własnch a następne do określena czasu trwana mpulsu. W kolejnm etape przgotowuje sę model dskretn do dalszch oblczeń. Generuje sę nową satkę elementów skończonch zawerającch newelke ugęca wstępne odpowadające postac wboczena otrzmanej dla najnższej sł krtcznej lub postac drgań własnch. W drugm etape przeprowadza sę analzę dnamcznego zachowana sę konstrukcj w czase, podczas tuż po dzałanu mpulsu obcążena. W analze dnamcznej równane równowag konstrukcj zostaje uzupełnone o człon dnamczne przjmuje postać:. {P} = [M] {u} [C] {u} [K] {u}, (7) gdze [M] jest macerzą masową konstrukcj a [C] macerzą tłumena. Poneważ w zagadnenach statecznośc dnamcznej pomja sę wpłw tłumena (Kounads n., 997) to równana (7) przjmują postać: {P} = [M] {u} [K] {u}. (8) Po zastąpenu pochodnch przemeszczeń po czase {ü} różncam przemeszczena {u} w kolejnch dskretnch chwlach czasu t, otrzmujem dla każdego kroku czasowego nowe statczne równane równowag uwzględnające sł bezwładnośc [M]{ü}, a zatem możlwe jest zastosowane algortmów wkorzstwanch w analze statcznej. Całkowane po czase w programe ANSYS odbwa sę prz wkorzstanu metod Newmarka, a do cr (6) rozwązana równań w kolejnch krokach czasowch użt jest algortm Newtona-Raphsona. Take podejśce umożlwa analzę zachowana sę konstrukcj pod dzałanem mpulsu obcążena. Rs.. Model dskretn dźwgara z warunkam brzegowm o obcążenem Analzowane dźwgar zdskretzowano czterowęzłowm elementam powłokowm o sześcu stopnach swobod w każdm węźle. Warunk brzegowe na obcążonch brzegach przjęto dentczne jak w (Kubak, 7). Brzeg obcążono cśnenem o rozkładze odpowadającm rozkładow naprężeń prz czstm zgnanu. Zadawano ugęca wstępne ścan odpowadające postac wboczena bądź postac drgań o wartośc równej / grubośc ścan ξ * =,. 4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH Oblczena prowadzono dla dźwgarów o wmarach jak na rs., tj. o długoścach L równch mm mm. Przjęto następujące własnośc materałowe: moduł Younga E = GPa lczba Possona ν =,. Analzowano różne kształt ugęć wstępnch. W przpadku dźwgarów ścskanch postać wboczena oraz postać drgań własnch odpowadają sobe, natomast gd obcążene powoduje czste zgnane postać wboczena dla najnższej statcznej sł krtcznej jest zupełne nna nż postace drgań własnch dla najnższch częstośc. Postace drgań własnch wboczena przedstawono na rs.. Na rsunku tm zaprezentowano wnk otrzmane za pomocą metod analtczno-numercznej (rs. a) oraz metod elementów skończonch (rs. b - f). Wnk lczbowe zestawono w tablc. Indeks doln w oznaczenu częstotlwośc drgań oznacza lość półfal wzdłuż długośc dźwgara. Otrzmano dobrą zgodność wnków jakoścowch lczbowch. Maksmalna różnca dla naprężeń krtcznch wnos %, a częstotlwośc drgań własnch około,5%. Tab.. Porównane wnków częstośc drgań statcznch sł krtcznch długość MES AN MES AN MES AN dźwgara L [mm] σ kr [MPa] n [Hz] n 4 [Hz] 98 48 48 - - 96 97 68 67 67 666 59
Tomasz Kubak Odpowedź dnamczna mpulsowo zgnanch dźwgarów a) na podstawe krterum Budansk ego-hutchnsona oraz krterum Volmra. Rsunek 4 przedstawa wnk oblczeń otrzmane z metod analtczno-numercznej oraz z MES dla zgnanego mpulsowo dźwgara o przekroju kwadratowm o długośc L = mm różnch kształtów ugęć wstępnch - odpowadającch postac drgań własnch dla najnższej częstośc (rs. b) oraz postac wboczena dla najnższego obcążena krtcznego (rs. c). Czas trwana mpulsu odpowada okresow podstawowej gętnej częstośc drgań własnch.,5,5 ξ MES wboczene MES drgana własne AN wboczene b) c),5 f) d) e) Rs.. Postace wboczena drgań własnch Mając wnk z analz modalnch można przeprowadzć oblczena pozwalające określć odpowedź układu na obcążene dnamczne. Wnk tch oblczeń przedstawono w postac krzwch prezentującch zależność bezwmarowego maksmalnego ugęca ścan dźwgara ξ w funkcj współcznnka obcążena dnamcznego (DLF - Dnamc Load Factor) zdefnowanego jako stosunek ampltud mpulsu obcążena do statcznego obcążena krtcznego. Tak przgotowane wkres pozwalają określać krtczną wartość współcznnka obcążena dnamcznego DLF kr,5 DLF,5,7,9,,,5,7,9,,,5 Rs. 4. Bezwmarowe ugęce w funkcj współcznnka obcążene dnamcznego dla zgnanego dźwgara o długośc L = mm Z otrzmanch wnków wnka, że dla krótkego segmentu dźwgara ugęca wstępne odpowadające postac drgań własnch powoduję, że DLF kr otrzmane po zastosowanu krterów Budask ego-hutchnsona oraz Volmra są znaczne mnejsze nż dla ugęć wstępnch odpowadającch postac wboczena. I tak DLF kr według Budansk ego-hutchnsona wnos,, dla ugęć wstępnch odpowadającm postac drgań,6,8 prz założenu ugęć wstępnch odpowadającch postac wboczena. Krzwe otrzmane z MES metod analtcznonumercznej mają nne przebeg, ale wartośc krtczne według Budask ego-hutchnsona są prawe dentczne. Zupełne nne wnk otrzmuje sę po zastosowanu krterum Volmra. Znaczne mnejsz wpłw ugęć wstępnch zaobserwowano dla dłuższch dźwgarów (rs. 5). Rs. 5 przedstawa bezwmarowe ugęce ξ w funkcj współcznnka obcążena dnamcznego DLF dla zgnanego dźwgara o przekroju kwadratowm długośc L = mm. Zakładano różne ugęca wstępne, a także czas trwana mpulsu. Krzwą otrzmano dla ugęca wstępnego odpowadającego postac wboczena dla m = 4 (rs. e) czasu trwana mpulsu T p =.7 ms odpowadającego okresow drgań własnch dla najnższej częstośc drgań. Krzwa odpowada ugęcu wstępnemu odpowadającemu postac drgań własnch (rs. f) czasu trwana mpulsu jak dla krzwej. Krzwa otrzmano po założenu ugęć wstępnch odpowadającch postac wboczena m = 4 (rs. e) czase trwana mpulsu T p =.5 ms odpowadającm okresow drgań własnch o postac m = 4. Dla takego samego czasu trwana mpulsu 6
acta mechanca et automatca, vol. no.4 (8) ugęć wstępnch odpowadającch postac drgań własnch o m = 4 (rs. d) otrzmano krzwą 4. Krzwe od do 4 otrzmano prz pomoc MES, a krzwe 5 6 po zastosowanu metod analtczno-numercznej. Krzwa 5 odpowada krzwej, a krzwa 6 odpowada krzwej.,5,5,5 ξ 4 5 6,5 DLF,5,7,9,,,5,7,9,,,5 Rs. 5. Bezwmarowe ugęce w funkcj współcznnka obcążene dnamcznego dla zgnanego dźwgara o długośc L = mm Dla dłuższch segmentów dźwgarów nż najwększ wmar przekroju wpłw form ugęć wstępnch na lokalna postać wboczena dnamcznego jest bardzo mał. Wdać natomast wpłw czasu trwana mpulsu na krtczną wartość współcznnka obcążena krtcznego DLFkr otrzmaną zarówno po zastosowanu krterum Volmra jak Budansk ego-hutchnsona. Krzwe bezwmarowch ugęć w funkcj współcznnka obcążena dnamcznego otrzmane z MES metod analtczno-numercznej mają neco nn przebeg, ale podobne jak dla pojednczch segmentów dźwgara (L=mm) DLFkr otrzmane po zastosowanu krterum Budansk ego-hutchnsona są bardzo zblżone. a) b) DLF =. Dla krzwch otrzmanch z metod analtczno-numercznej (rs. 5) spadek ugęć ξ ne wstępuje poneważ w metodze tej założona jest stała lość półfal wzdłuż długośc dźwgra, co może równeż meć wpłw na przebeg krzwch w całm analzowanm zakrese DLF. Należ jednak zauważć, że nema to zbt dużego wpłwu na DLFkr wznaczone według krterum Budansk ego-hutchnsona. LITERATURA. Ar-Gur J., Smonetta S.R. (997) Dnamc pulse bucklng of rectangular composte plates, Compostes Part B, 8B, - 8.. Budansk B. (965) Dnamc bucklng of elastc structures: crtera and estmates, Report SM-7, NASA CR-667.. Cu S. et al. () Dnamc bucklng and collapse of rectangular plates under ntermedate veloct mpact, Proc. of Thrd Internatonal Conference of Thn-Walled Structures, Cracow, 65-7. 4. Hutchnson J.W., Budansk B. (966) Dnamc bucklng estmates, AIAA Journal, 4-, 55-5. 5. Kolakowsk Z., Kowal-Mchalska K. (eds.), (999) Selected problems of nstabltes n composte structures, A Seres of Monographs, Techncal Unverst of Lodz. 6. Kounads A.N., Gantes C., Smtses G. (997) Nonlnear dnamc bucklng of mult-dof structural dsspatve sstem under mpact loadng, Int. J. Impact Engneerng, Vol. 9 No., 6-8. 7. Kubak T. (7) Interakcjne wboczene dnamczne cenkoścennch słupów, Zeszt Naukowe Nr 998, Poltechnka Łódzka, Łódź. 8. Kubak T. (7) Metoda elementów skończonch jako eksperment numerczn statecznośc dźwgarów cenkoścennch obcążonch statczne dnamczne, Rozdzał prac p.t. Analz Numerczne Wbranch zagadneń mechank: pod red. Nezgoda T., Wojskowa Akadema Technczna, Warszawa, str. 9-8, 9. Petr D., Fahlbusch G. () Dnamc bucklng of thn sotropc plates subjected to n-plane mpact, Thn-Walled Structures 8, 67-8.. Volmr S.A. (97) Nonlnear dnamcs of plates and shells, Scence, Moscow.. User s Gude ANSYS, Anss, Inc, Houston, USA. DYNAMIC RESPONCE OF THIN-WALLED GIRDERS SUBJECTED TO PURE BENDING PULS LOADING Rs. 6. Maksmalne ugęca ścan dźwgara dla DLF =. (a) DLF =. (b) Abstract: The paper deals wth the dnamc bucklng of thnwalled grder wth rectangular cross-secton subjected to pure bendng. The local dnamc bucklng was analsed. The analsed grders was short (grder s segment between daphragm) wth the length L equal or three tmes greater then wdth a of grder s web. The materal s subject to Hooke s law. It was assumed that loaded edges of grders are smpl supported. Influence of dfferent shape mperfecton was analsed. Spadek wartośc ugęć dla wększch ampltud mpulsu obcążena (rs. 5) spowodowan jest zmaną postac-lośc półfal na długośc słupa. Na rsunku 6 przedstawono odpowedź dnamczną segmentu dźwgara z założonm ugęcam wstępnm odpowadającm postać wboczena dla współcznnków obcążena krtcznego równch 6