Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model

Transkrypt

1 Jadwga LAL-JADZIAK Unwersytet Zelonogórsk Instytut etrolog Elektrycznej Elżbeta KAWECKA Unwersytet Zelonogórsk Instytut Informatyk Elektronk Ocena dokładnośc estymacj funkcj korelacyjnych z użycem modelu wrtualnego korelatora Przedmotem badań jest nepewność towarzysząca cyfrowym pomarom korelacyjnym. Analtyczne modele błędów estymacj funkcj korelacyjnych są skomplkowane na ch podstawe trudno szacować dokładność w welu sytuacjach pomarowych. Opracowane odpowednego narzędza nformatycznego (modelu wrtualnego korelatora umożlwło przeprowadzene badań eksperymentalnych z tego zakresu. W artykule zaprezentowano model wrtualnego korelatora oraz wybrane wynk badań wykonanych w celu sprawdzena poprawnośc dzałana aplkacj. Evaluaton of estmaton accuracy of correlaton functons wth use of vrtual correlator model The subject of the research s uncertanty n dgtal correlaton measurements. Analytcal models of estmaton errors of correlaton functons are hghly complex, therefore evaluaton of accuracy s dffcult and n many cases s unachevable. For that reason a vrtual correlator model s proposed as an alternatve to analytcal modelng. The model enables determnng of dgtal measurements uncertanty. In ths artcle some prelmnary research results are presented and dscussed. A comparson of bas of the mean square value estmator modeled n athcad (Eq. 4 and obtaned by means of vrtual correlator model (Eq. s carred out.. Wstęp Funkcje korelacyjne znajdują wcąż wele zastosowań. Najważnejsze z nch to pomary sygnałów determnstycznych losowych w obecnośc zakłóceń oraz wyznaczane odległośc, prędkośc opóźneń. Estymatory funkcj korelacyjnych realzowane są za pomocą analzatorów sygnałów oraz specjalstycznej aparatury. Obecne wększość pomarów realzowanych jest cyfrowo. Na dokładność estymatorów parametrów charakterystyk sygnałów zdetermnowanych wpływa główne rozdzelczość kwantowana, natomast jakość estymacj sygnałów losowych zależy przede wszystkm od lczby użytych próbek. Newelke wymagana stawane kwantowanu sygnałów przypadkowych były nspracją opracowana przetwarzana a-c z losowym sygnałem dtherowym, które jest obecne ważnym sposobem udoskonalana systemów pomarowych.. Podstawy teoretyczne Funkcja autokorelacj ergodycznego procesu {x(t} może być wyrażona zależnoścą []:

2 ( τ x(tx(t T Rx lm τdt, ( T T natomast funkcja korelacj wzajemnej ergodycznych procesów {x(t} {y(t} wyrażenem []: gdze: x(t y(t realzacje procesów, τ opóźnene, T czas obserwacj. R ( τ x(ty(t T T lm τdt, ( T Każda z nch może być określana na podstawe cyfrowej reprezentacj sygnałów. Zastosowane konwersj a-c z dtherem w zastosowanu do korelacj wzajemnej oznacza, że do sygnałów x(t oraz y(t dodawane są dwa dodatkowe sygnały d (t d (t nazywane dtherowym. Uzyskane sygnały x (t y (t są przetwarzane odpowedno z krokem próbkowana t oraz kwantowana q q do postac cyfrowej x q ( y q (. Następne są one opóźnane względem sebe o k próbek, mnożone, a wynk mnożena jest uśrednany. Uzyskany w ten sposób estymator przyjmuje postać: R ( k x q( y q ( k. (3 Sygnały dtherowe d (t d (t mają wartośc średne równe zero są nezależne od sebe od sygnałów x(t y(t. Zastosowane kwantowana typu roundoff w każdym z dwóch kanałów korelatora jest źródłem obcążena estymatora []: b [ R ( k ] q π q π qq 4π ( π Φ ( v π / q, v Φ d q v ( v, v (, l ( π Φ ( v, v π l / q Φ d l l q v ( v, v (, l l ( l l l l Φ d π Φ q d π l Φ q π π, l q q gdze: Φ (v,v łączna funkcja charakterystyczna sygnałów badanych x y, Φ d (v, Φ d (v funkcja charakterystyczna sygnału dtherowego d (t, d (t. Jeśl przetwarzane a-c realzowane jest bez dthera, to obcążene jest postac []: (4

3 b ~ [ R ( k ] q π q π qq 4π ( Φ ( v π / q, v v ( v, v (, l ( Φ ( v, v π l / q l l v l ( v, v (, l ( π π Φ, l l l l q q (5 Warunk, jake muszą spełnać sygnały badane oraz dtherowe, aby obcążene ne wystąpło, szczegółowo analzowano m.n. w []. Zwrócono uwagę na konwersję a-c z dtherem jako doskonałe narzędze służące do zmnejszana obcążena estymatora. Nestety, stosując take przetwarzane należy lczyć sę z występowanem warancj. Jeśl sygnały dtherowe dobrane są tak, że estymator (3 jest neobcążony, to warancja może być wyrażona zależnoścą [3]: gdze: Var Var [ R ( k ] Var R ( k [ R ( k ] l E [ ] Var [ R ( k ], (6 [ x( y( k x( l y( l k ] R ( k (7 jest warancją korelatora, w którym ne występuje kwantowane z dtherem, natomast: Var [ R ( k ] E[ x ( y ( k ] E x ( y ( k { [ ]} q q (8 jest składową warancj powodowaną kwantowanem z sygnałem dtherowym. atematyczna analza warancj jest dość skomplkowana. W pracy [4] dokonano przykładowej analzy dla przypadku, gdy sygnały dtherowe mają rozkład prostokątny. Nestety, uzyskane wnosk są dosyć skąpe. Borąc pod uwagę złożoność analtycznych model obcążena warancj postanowono opracować oprogramowane, nazywane dalej modelem wrtualnego korelatora, które może być użyte do oceny jakośc estymacj. 3. odel wrtualnego korelatora Do realzacj modelu wrtualnego korelatora zastosowano środowsko LabWndows frmy Natonal Instruments w wersj 7.. Środowsko to umożlwa projektowane złożonych aplkacj pomarowych przeznaczonych do pracy w systeme operacyjnym Wndows [5]. 3

4 Wykonany model umożlwa m.n. przeprowadzane badań symulacyjnych wpływu kwantowana oraz kwantowana z sygnałem dtherowym na składowe nepewnośc cyfrowych estymatorów funkcj korelacyjnych: - autokorelacj sygnału w torze perwszym modelu korelatora (rys.; - korelacj wzajemnej sygnałów w torze perwszym drugm. Rys.. Sygnał harmonczny z dtherem o rozkładze normalnym oraz jego funkcja autokorelacj Fg.. A harmonc sgnal wth Gaussan dther and ts autocorrelaton functon W każdym kanale korelatora można generować sygnał okresowy (harmonczny, prostokątny, trójkątny n. o zadanych przez użytkownka parametrach oraz dodatkowo jeden z dwóch sygnałów dtherowych: - sygnał o rozkładze normalnym, zerowej wartośc średnej zadanej wartośc odchylena standardowego; - sygnał o rozkładze równomernym, zerowej wartośc średnej zadanej wartośc ampltudy. W obu kanałach korelatora możlwe jest kwantowane sygnałów. Przetwarzane a-c realzowane jest za pomocą bpolarnego przetwornka o podanych przez użytkownka parametrach przetwarzana takch jak: lczba B btów oraz zakres przetwarzana U FS [V]. Podczas przetwarzana należy zwrócć uwagę, aby sygnał z dtherem ne przekroczył zakresu przetwornka. W tym celu maksymalną wartość generowanego napęca należy oblczyć korzystając z zależnośc, dla dthera gaussowskego: U FS A 3σ max, (9 gdze: A ampltuda przetwarzanego sygnału, σ max przyjęta maksymalna wartość odchylena standardowego dthera, oraz dla dthera o rozkładze równomernym: U FS A A max, ( gdze A max jest maksymalną wartoścą ampltudy dthera. 4

5 Program umożlwa ustawene następujących parametrów przetwarzana: - częstotlwośc próbkowana sygnału; - lczby próbek sygnału; - wartośc przesunęca czasowego funkcj korelacj oraz umożlwa oblczene: - wartośc średnej arytmetycznej z N wynków estymacj funkcj autokorelacj lub korelacj wzajemnej; - oceny obcążena estymatora (mary błędu systematycznego; - oceny warancj estymatora opsującej losową składową błędu; - oceny względnego błędu standardowego (względnej nepewnośc standardowej typu A. W opracowanym programe do realzacj przetwarzana a-c, korelacj sygnałów oraz wyznaczana składowych nepewnośc, zastosowano funkcje spoza bblotek LabWndows. W celu zobrazowana sposobu przeprowadzana badań symulacyjnych z użycem modelu korelatora przedstawono nżej przebeg przykładowego eksperymentu. 4. Przebeg eksperymentu, uzyskane wynk oraz ch ocena Ważnym etapem eksperymentu było porównane wynków uzyskanych za pomocą modelu korelatora z teoretycznym błędam estymacj wartośc średnokwadratowej sygnału harmoncznego [6]. Badana wykonano dla sygnału dtherowego o rozkładze normalnym. Wartość średnokwadratowa jest wartoścą funkcj autokorelacj dla argumentu równego zero. Względne obcążene estymatora określono na podstawe zależnośc: Rx ( (, N Rx ( δ σ / q, ( A / ~ x, jest średną arytmetyczną z N wynków estymacj wartośc funkcj autokorelacj dla argumentu równego zero. gdze R d ( N Eksperyment przebegał w ten sposób, że w wrtualnym korelatorze zostały wygenerowane sygnały harmonczne dtherowe o rozkładze normalnym oraz wartośc skutecznej σ,.q,.3q,.5q,.8q, q. Aby sygnał z dtherem ne przekroczył zakresu przetwornka, dobrano maksymalną wartość generowanego sygnału dla dthera o odchylenu σ max q zgodne z zależnoścą (9 oraz wzorem: U q FS, ( B gdze: q krok kwantowana, U FS zakres przetwarzana, B lczba btów przetwornka bpolarnego. Następne oblczono wartość średnokwadratową sygnału harmoncznego z dtherem: R ( A x σ. (3 5

6 Po wprowadzenu do programu oblczonych parametrów dokonano estymacj względnego obcążena dla lczby powtórzeń eksperymentu N. Otrzymane wynk porównano z oblczonym za pomocą programu athcad na podstawe zależnośc [6]: δ J ( σ / q 6 ( A q σ A q q ( β β J ( β e β σ π q A gdze β π. q Na rys. przedstawono przykładowe wynk badań uzyskane z eksperymentu zgodne z ( oraz analz matematycznych na podstawe (4. Jak wynka z wykresów, względne obcążene estymatora maleje wraz ze wzrostem stosunku odchylena standardowego sygnału dtherowego do kroku kwantowana przetwornka, a uzyskane z eksperymentu wynk są zbeżne z oblczonym w programe athcad. Wartośc względnego obcążena estymatora dla A/q σ /q,5 wynoszą odpowedno: δ (,5,65, (,5,65 δ, natomast dla A/q 9: 4 δ,5,3, δ (,5,. ( 4 (4 Rys.. Względne obcążene estymatora wartośc średnokwadratowej sygnału harmoncznego z gaussowskm dtherem w funkcj σ /q: a A/q, b A/q9 Fg.. Relatve bas of the mean square value estmator of the harmonc sgnal wth Gaussan dther as functon of σ /q: a A/q, b A/q9 6

7 5. Podsumowane Analtyczne modele błędów estymacj określanych cyfrowo funkcj korelacyjnych mają ogranczone zastosowane praktyczne z powodu dużej złożonośc. W tej sytuacj dla celów badawczych został opracowany w środowsku LabWndows frmy Natonal Instruments model wrtualnego korelatora. W programe zostały użyte orygnalne procedury określana estymatorów funkcj korelacyjnych, poneważ dostępne funkcje paketu LabWndows prowadzły do newarygodnych wynków. Zaprezentowane w artykule rezultaty badań obcążena estymatora w zależnośc od pozomu sygnału dtherowego, będące częścą prowadzonych badań, są zbeżne z wynkam analz teoretycznych. Planowane jest zastosowane modelu korelatora w badanach wpływu sygnałów dtherowych na warancję estymatorów funkcj korelacyjnych odpowedzalną za nepewność typu A. 6. Lteratura [] J. S. Bendat, A. G. Persol: Random data: analyss and measurement procedures. Wley, New York 986. [] J. Lal-Jadzak.: Accuracy n determnaton of correlaton functons by dgtal methods. etrology and easurement Systems, vol. VIII, no.,. [3] K. Y. Chang, A. D. oore: odfed dgtal correlator and ts estmaton errors. IEEE Trans. on IT, 97, pp [4] J. Lal-Jadzak: Bas and varance of crosscorrelaton functon estmator determned on the bass of sgnals resultng from A/D converson wth dther. etrology and easurement Systems, vol. X, no. 4, 3. [5] LabWndows/CVI Internet Developers Toolkt Onlne Help. [6] J. Lal-Jadzak: Kształtowane dokładnośc w pomarach korelacyjnych. onografa, no., Wyd. Pol. Zelonogórskej, Zelona Góra. 7