T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych Definicja. Przez rodzinȩ skierowan a rozumiemy dowolny zbiór z porz adkiem czȩściowym (K, ), taki że (istnienie wspólnej majoranty). κ1,κ 2 K κ3 K κ 3 κ 1 oraz κ 3 κ 2 Uwaga. Latwo zauważyć, że wtedy dowolny skończony zbiór {κ 1,κ 2,...,κ n } K posiada wspóln a majorantȩ. PRZYK LADY: 1. (N, ), (R, ), ([,1), ). 2. (K, ) = ({podzbiory skończone jakiegoś ustalonego zbioru}, ) (wiȩkszy zbiór jest,,dalszy w porz adku, wspóln a majorant a jest suma zbiorów). 3. (K, ) = ({otoczenia ustalonego punktu w przestrzeni topologicznej}, ) (mniejsze otoczenie jest,,dalsze w porz adku, wspóln a majorant a jest przekrój otoczeń). Podobn a rodzinȩ skierowan a tworzy baza topologii w punkcie. 4. Jeśli (K 1, ) i (K 2, ) s a rodzinami skierowanymi, to (K 1 K 2, ) jest też rodzin a skierowan a, gdzie porz adek w produkcie jest zadany zależności a (κ 1,κ 2 ) (κ 1,κ 2) κ 1 κ 1 oraz κ 2 κ 2. Definicja. Ci agiem uogólnionym (netem) w przestrzeni X nazywamy dowoln a funkcjȩ f : K X, gdzie K jest dowoln a rodzin a skierowan a. Konwencja zapisu jest taka, że zamiast f(κ) piszemy x κ, a ca ly net zapisujemy jako (x κ ) κ K. PRZYK LADY: 1. Zwyk le ci agi (indeksowane n N). 2. NaprzestrzeniX rozważamyfunkcjecharakterystyczne1 A zbiorówskończonych. Dostajemy net funkcji z X w [, 1] indeksowany rodzin a zbiorów skończonych A X (jak w przyk ladzie drugim powyżej). 3. Z każdego otoczenia U punktu x w przestrzeni topologicznej X wybieramy po jednym punkcie i oznaczamy go x U. Dostajemy net punktów z X indeksowany rodzin a skierowan a otoczeń punktu x (z przyk ladu trzeciego powyżej). Definicja. Powiemy, że net (x κ ) κ K zbiega do x X, jeśli dla każdego otoczenia U x istnieje indeks κ U, taki że x κ U dla wszystkich κ κ U. PRZYK LADY: Net z przyk ladu 3 powyżej zbiega do x. Net funkcji z przyk ladu 2 powyżej zbiega do funkcji sta lej 1 w topologii zbieżności punktowej (to wyjaśnimy za chwilȩ). Definicja. Dany jest net (x κ ) κ K w przestrzeni X. Jego podnetem nazwiemy inny net (y λ ) λ Λ (również elementów przestrzeni X), jeśli istnieje funkcja φ : Λ K spe lniaj aca: (1) κ K λκ Λ λ λκ φ(λ) κ, (2) λ Λ y λ = x φ(λ).
2 PRZYK LAD:JeśliK Kspe lnia κ K κ K κ κ,tok jestrodzin askierowan a i indeksowany ni a net (x κ ) κ K jest podnetem netu (x κ) κ K (funkcj a φ : K K jest wtedy funkcja identycznościowa). Jednak nie każdy podnet netu powstaje w ten sposób. Na przyk lad dla ci agów otrzymamy w ten sposób tylko znane nam klasyczne podci agi, podczas gdy istniej a podnety zwyk lych ci agów, które nie s a podci agami. Zobaczymy to na późniejszym przyk ladzie. Podamy teraz listȩ klasycznych faktów, których dowody pominiemy. Fakty: (1) Każdy podnet netu zbieżnego zbiega do tej samej granicy. (2) Zbiór w przestrzeni topologicznej jest domkniȩty wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym netem zawiera wszystkie jego granice. (3) Domkniȩcie zbioru A jest równe zbiorowi wszystkich granic wszystkich zbieżnych netów punktów z A. (4) AksjomatrodzielaniaT 2 jestrównoważnytemu,żekażdynetmaconajwyżej jedn a granicȩ. PRZYK LAD.NiechX = RiT = {dope lnienia zbiorów skończonych i zbiór pusty}. Jest to topologia T 1 ale nie T 2. Weźmy net (x) x R (indeksowany sam sob a ze zwyk lym porz adkiem w R). Latwo widać, że net ten zbiega do każdego punktu w R. Tȩ sam a w lasność ma de facto dowolny zwyk ly ci ag o parami różnych wyrazach. Zbieżność netowa determinuje topologiȩ w nastȩpuj acym sensie: Twierdzenie. Na przestrzeni X dane s a dwie topologie, T 1,T 2. Wtedy T 1 jest s labsza od T 2 wtedy i tylko wtedy, gdy każdy net w X zbieżny w T 2 jest zbieżny w T 1 do przynajmniej tych samych granic. Jeśli dwie topologie maj a te same nety zbieżne i nety te maj a te same zbiory granic, to topologie te s a tożsame. Dowód: Jest oczywiste, że jeśli T 1 T 2, to każdy net zbieżny w T 2 jest zbieżny w T 1 do przynajmniej tych samych granic (bo zbieżność w T 2 do jakiejś granicy x to pewien warunek spe lniony dla każdego otoczenia x w topologii T 2 jest on wtedy automatycznie spe lniony dla każdego otoczenia x w topologii T 1 ). Na odwrót. To, że każdy net zbieżny w T 2 jest zbieżny w T 1 do przynajmniej tych samych granic, można streścić mówi ac, że każdy net ma,,wiȩcej (de facto powinniśmy użyć s lów,,nie mniej ) granic w T 1 niż w T 2. Jeśli jakiś zbiór jest domkniȩtywt 1, tospe lniaonwarunek(2)dlakażdegonetuiwszystkichjegogranic w T 1, a wiȩc tym bardziej spe lnia on warunek (2) dla każdego netu i wszystkich jego granic w topologii T 2, a zatem jest w niej domkniȩty. Czyli topologia T 2 ma,,wiȩcej zbiorów domkniȩtych niż T 1. Ponieważ każdy zbiór otwarty, to dope lnienie zbioru domknier tego, przeto T 2 ma też,,wiȩcej zbiorów otwartych niż T 1, czyli po prostu jest jej nadzbiorem. Ostatnie zdanie tezy twierdzenia jest teraz oczywiste. Twierdzenie. Przestrzeń topologiczna jest (pokryciowo) zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy net ma podnet zbieżny (do przynajmniej jednej granicy). Dowód: Pokryciowa zwartość latwo t lumaczy siȩ na warunek, że każda rodzina scentrowana (zbiorów domkniȩtych) ma przekrój niepusty. Za lóżmy to i rozważmy dowolny net (x κ ) w X. Zbiory F κ = {x κ : κ κ} stanowi a, co latwo widać, rodzinȩ scentrowan a, a wiȩc ma ona przekrój niepusty F. Niech x F. Dla każdego otoczenia U x i każdego indeksu κ K przekrój U {x κ : κ κ} jest niepusty. Wybierzmy z niego jeden punkt (jest on postaci x κ dla pewnego κ κ) i przypiszmy go parze (U,κ) jako y (U,κ) = x κ, a jednocześnie określmy φ((u,κ)) = κ. Teraz latwo sprawdzić, że (y (U,κ) ) (jako net indeksowany parami
z,,porz adkiem produktowym opisamym w przyk ladzie 4 na poprzedniej stronie) jest podnetem netu x κ zbieżnym do x. Za lóżmy,,netow a zwartość i weźmy rodzinȩ scentrowan a C, czyli tak a, że każdy jej poduk lad skończony C C ma przekrój niepusty. Wybierzmy z każdego takiego przekroju po jednym punkcie. Uzyskamy net (x C ) indeksowany skończonymi poduk ladami rodziny C. Net ten ma podnet zbieżny, powiedzmy (y κ ), do granicy y. Pokażemy, że y C, co zakończy dowód. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy w C znajdziemy element (zbiór domkniȩty F) nie zawieraj acy y. Oczywiście {F} jest jednoelementowym(a wiȩc skończonym) uk ladem C C. Powyżej pewnego indeksu wszystkie indeksy κ spe lniaj a φ(κ) C, czyli φ(κ) jest uk ladem skończonym w sk lad którego wchodzi zbiór F. To oznacza, że y κ = x φ(κ) F. Skoro F jest domkniȩty, to y, jako granica netu (y κ ), też należy do F. Sprzeczność. TOPOLOGIA PRODUKTOWA (TICHONOWA) Najpierw uzupe lnienie ze wstȩpu do topologii ogólnej. Definicja. Pó lbaz a topologii T nazywamy tak a rodzinȩ P zbiorów otwartych, że rodzina wszystkich skończonych przekrojów zbiorów z P stanowi bazȩ. Wymogiem na to aby rodzina zbiorów P by la pó lbaz a pewnej topologii jest jedynie to, aby pokrywa la ona ca l a przestrzeń i zawiera la zbiór pusty (co można latwo uzyskać dorzucaj ac do P zbiory X i ). Dlatego latwo jest definiować topologie przy pomocy pó lbaz. Można z dowolnej rodziny podzbiorów zrobić topologiȩ. Bȩdzie to najs labsza (czyli najmniejsza w sensie zawierania) topologia zawieraj aca tȩ rodzinȩ. Na przyk lad odcinki otwarte o d lugości 1 stanowi a pó lbazȩ w dla standardowej topologii w R. Albo, rodzina wszystkich pó lp laszczyzn otwartych stanowi pó lbazȩ dla standardowej topologii w R 2. Sprawdza siȩ elementarnie, że do tego aby funkcja f : Y X by la ci ag la wystarcza, aby przeciwobrazy wszystkich zbiorów z ustalonej pó lbazy w X by ly otwarte w Y. Niech (X ι,t ι ) ι J oznacza rodzinȩ przestrzeni topologicznych indeksowan a dowolnym zbiorem J. Przez produkt (kartezjański) ι J X ι rozumiemy zbiór wszystkich funkcji f : J ι J X ι, takich że dla każdego ι J mamy f(ι) X ι. Zgodnie z konwencj a, w miejsce f(ι) piszemy x ι, (pamiȩtaj ac, że jest to element X ι ), a zamiast f piszemy (x ι ) ι J. Czyli X ι = {(x ι ) ι J : ι J x ι X ι }. ι J Dla wybranego indeksu ι, rzutem na wspó lrzȩdn a ι nazywamy odwzorowanie π ι : ι J X ι X ι zadane wzorem π ι ((x ι )) ι J ) = x ι. W takim produkcie wprowadzimy teraz topologiȩ poprzez wskazanie bazy. Definicja. Topologi a produktow a (Tichonowa)wX = ι J X ι nazywamytopologiȩ, której baz a s a zbiory postaci U ι, ι J gdzie dla każdego indeksu ι U ι jest otwartym podzbiorem X ι, oraz tylko dla skończenie wielu indeksów U ι nie jest ca l a przestrzeni a X ι. Zbiory takie nazywamy cylindrami. Cylindry można zapisywać jako zbiory C(ι 1,...,ι n,u ι1,...,u ιn ) = {(x ι ) ι J : x ι1 U ι1,..., x ιn U ιn,}, 3
4 gdzie {ι 1,...,ι n } reprezentuje dowolny skończony podzbiór J, zaś dla każdego i {1,...,n} U ιi jest (dowolnym niepustym) otwartym podzbiorem X ιi. To, że wszystkie takie cylindry tworz a bazȩ, sprawdza siȩ elementarnie. Cylindry nad jedn a wspó lrzȩdn a C(ι,U ι ) stanowi a pó lbazȩ. Twierdzenie. 1. Net (x κ ) κ K punktów z X = ι J X ι (gdzie każdy x κ jest postaci (x κ ι) ι J ) zbiega do punktu x = (x ι ) ι J X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ι zachodzi zbieżność netu (x κ ι) κ K do x ι. Innymi s lowy, zbieżność w topologii produktowej, to to samo co zbieżność na każdej wspó lrzȩdnej (wspó lrzȩdnymi s a dla nas indeksy ι). 2. Rzuty π ι s a ci ag le. 3. Funkcja f : Y X (określona na dowolnej przestrzeni topologicznej Y) jest ci ag la wtedy i tylko wtedy, gdy ci ag le s a z lożenia π ι f dla wszystkich ι J. Dowód. Ad 2. Udowodnimy ci ag lość rzutu π ι. Przeciwobrazem zbioru otwartego U X ι jest, jak latwo widać, cylinder C(ι,U ι ), gdzie U ι = U. A to jest zbiór otwarty (a nawet bazowy) w topologii produktowej. Ad 3. Jeśli f jest ci ag la, to jej z lożenia z rzutami (które też s a ci ag le) s a ci ag le. Na odwrót. Niech f nie bȩdzie ci ag la. Wtedy istnieje zbiór otwarty, którego przeciwobraz nie jest otwarty. Musi istnieć taki zbiór bazowy, a nawet z pó lbazy. A wiȩc istnieje cylinder C(ι,U ι ), którego przeciwobraz przez f nie jest otwarty. Ale ten przeciwobraz pokrywa siȩ z przeciwobrazem U ι przez z lożenie π ι f. Zatem to z lożenie nie jest ci ag le. Ad 1. Jeśli net (x κ ) κ K zbiega do x, to z ci ag lości rzutów natychmiast dostajemy zbieżność na każdej wspó lrzȩdnej. Za lóżmy dla każdego ι J zbieżność (x κ ι) κ K do x ι. Weźmy dowolne otoczenie U (w topologii produktowej) punktu x. Otoczenie to zawiera bazowe otoczenie x, a wiȩc pewien cylinder C(ι 1,...,ι n,u ι1,...,u ιn ). To, że cylinder ten zawiera x oznacza, że x ιi U ιi dla każdego i {1,...n}. Ze zbieżnościpowspó lrzȩdnychwnioskujemy, żedlakażdegotakiegoiistniejeindeksκ i powyżej którego x κ ι i U ιi. Niech κ oznacza wspóln a majorantȩ dla {κ 1,...,κ n }. Wtedy powyżej κ punkt x κ wpada do naszego cylindra, a wiȩc i do U. Pozosta lo do udowodnienia jedno z najważnieszych twierdzeń w tym dziale. Twierdzenie Tichonowa. Przestrzeń produktowa X = ι J X ι (z topologi a produktow a) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy zwarte s a wszystkie przestrzenie sk ladowe (X ι,t ι ). Dowód. Jeśli produkt jest zwarty, to zwartość sk ladowych wynika natychmiast z ci ag lości rzutów i tego, że s a one surjekcjami (ci ag ly obraz zbioru zwartego jest zwarty). Dowód implikacji przeciwnej wymaga technicznego lematu na temat pó lbazy. Lemat (Twierdzenie Aleksandera). Do zwartości przestrzeni topologicznej X z ustalon a pó lbaz a P wystarcza, aby każde pokrycie X zbiorami z P zawiera lo podpokrycie skończone. Dowód lematu. Rodzina wszystkich pokryć nie maj acych podpokrycia skończonego spe lnia za lożenia lematu Kuratowskiego Zorna (suma wstȩpuj acej rodziny takich pokryć też nie ma podpokrycia skończonego to sprawdza siȩ elementarnie), a wiȩc istnieje maksymalne takie pokrycie U. Ma ono tȩ w lasność, że dorzucaj ac dowolny inny zbiór otwarty V otrzymamy pokrycie już posiadaj ace podpokrycie skończone. Innymi s lowy U zawiera pokrycie skończone dope lnienia V. Ustalmy x X. Skoro U jest pokryciem, to istnieje U U zawieraj ace x. Wtedy U zawiera też zbiór bazowy zawieraj acy x, w postaci przekroju P 1 P n zbiorów z P. Za lóżmy, że żaden z P i nie należy do U. Wtedy, dla każdego i, U zawiera
podpokrycie skończone U i dope lnienia P i. Rodzina n i=1 U i (która jest skończon a podrodzin a U) pokrywa sumȩ dope lnień zbiorów P i, czyli dope lnienie przekroju P 1 P n. Ale teraz wystarczy dorzucić zbiór U aby pokryć ca le X. W ten sposób uda lo siȩ skonstruować skończone pokrycie ca lej przestrzeni X wybrane z U, co jest sprzeczności a, bo U nie posiada skończonych podpokryć. Wykazaliśmy wiȩc, że każdy punkt jest pokryty zbiorem (nazwijmy go P x ) należ acym jednocześnie do P i do U. Tak wybrane zbiory {P x : x X} stanowi a pokrycie X zbiorami pó lbazy i bȩd ace zarazem podpokryciem U, co implikuje, że nie może ono mieć podpokrycia skończonego (bo nie ma go U). Ci ag dalszy dowodu twierdzenia Tichonowa: W przestrzeni produktowej X mamy pó lbazȩ cylindrów nad jedn a wspó lrzȩdn a. Ustalmy pokrycie U takimi cylindrami. Zak ladaj ac zwartość wszystkich przestrzeni sk ladowych mamy pokazać, że U zawiera podpokrycie skończone. Jeśli jednym z elementów pokrycia U jest X, to{x} jest podpokryciem skończonym, co kończy rozumowanie. W pozosta lym przypadku U sk lada siȩ z istotnych cylindrównadjedn awspó lrzȩdn a, czylizbiorówpostacic(ι,u ι ), gdzieu ι jestw laściwym podzbioremotwartymx ι. Indeksιjestdlatakiegocylindraokreślonyjednoznacznie (ι nie jest jednoznacznie określone jedynie wtedy, gdy U ι = X ι ; w tym wypadku nasz cylinder pokrywa siȩ z X i dowolna wspó lrzȩdna może być uznana za ι; dlatego ten przypadek musieliśmy rozważać osobno). Indeks ι wystȩpuj acy w tej roli w elementach U przebiega pewien podzbiór J J (to może, ale nie musi być ca le J). Ponieważ w pokryciu U może wyst apić wiele cylindrów z tym samym indeksem ι J, (i różnymi zbiorami U ι ), wprowadzimy dodatkowy indeks α numeruj acy te zbiory jako U α ι (dla różnych ι J, α przebiegać bȩdzie być może różne zbiory A ι ). W ten sposób nasze pokrycie zapisujemy jako U = {C(ι,U α ι ) : ι J, ι J α A ι }. Teraz dla ι J niech U ι oznacza rodzinȩ {Uι α : α A ι }. Jest to oczywiście rozdzina zbiorów otwartych w X ι. Twierdzimy, że istnieje ι J, dla którego U ι jest pokryciem X ι. Gdyby tak nie by lo, to dla każdego ι J istnia lby punkt x ι X ι nie pokryty przez U ι, a wtedy dowolny punkt y = (y ι ) ι J spe lniaj acy y ι = x ι dla wszystkich ι J nie by lby wcale pokryty przez U (każdy zbiór z U jest postaci C(ι,A α ι ) dla pewnego ι J i wtedy na wspó lrzȩdnej ι,,mija lby siȩ z y ι ). Zatem rzeczywiście, dla pewnego ι J, U ι pokrywa X ι. Ze zwartości X ι istnieje skończone podpokrycie {Uι αi,: i = 1,...,k}. Ale wtedy cylindry C(ι,Uι αi ) (i = 1,...,k) pokrywaj a ca le X (bo przeciwobraz pokrycia jest pokryciem, a zbiory C(ι,Uι αi ) s a w laśnie przeciwobrazami przez π ι zbiorów Uι αi ). PRZYK LADY Podamy teraz kilka przyk ladów pokazuj acych, że intuicje wziȩte z analizy ci agów czȩsto s a zawodne w odniesieniu do,,dużych przestrzeni, takich jak na przyk lad przestrzenie produktowe. 1) Zbiór wszystkich funkcji(bynajmniej koniecznie ci ag lych albo nawet mierzalnych) f : [,1] [,1] jest przestrzeni a produktow a x [,1] [,1] x (gdzie [,1] x = [,1]; indeks x dodanotylkopoto, żebyujawnićpozycjȩwspó lrzȩdnejiodróżnićprzestrzenie sk ladowe od zbioru indeksów, który też jest odcinkiem [, 1]). Ponieważ na każdej wspó lrzȩdnej wystȩpuje przestrzeń zwarta [,1] x, wiȩc przestrzeń produktowa jest zwarta. Zbieżność netu funkcji, to zbieżność na każdej wspó lrzȩdnej, czyli dobrze nam znana zbieżność punktowa (tylko teraz myślimy o netach, a nie tylko ci agach, funkcji). Rozważmy net funkcji charakterystycznych zbiorów skończonych (1 A ) A A indeksowanyrodzin askierowan aapodzbiorówskończonychodcinka[,1]. 5
6 Otóż net ten (wbrew pewnym intuicjom) zbiega do funkcji 1 (równej 1 w każdym punkcie). Faktycznie, ustalmy wspó lrzȩdn a x [,1] i niech A x = {x}. Jest to element rodziny A oraz dla każdego A A x (czyli A A x ) mamy 1 A (x) = 1. To dowodzi, że na wspó lrzȩdnej x net (1 A (x)) A A (w przestrzeni [,1] x ) zbiega do 1. Zatem net (1 A ) A A (w przestrzeni produktowej) zbiega do funkcji 1. Jest to o tyle nieintuicyjne, że wszystkie funkcje w tym przyk ladzie s a mierzalne i wspólnie ograniczone, wiȩc,,powinno zachodzić twierdzenie Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej (również net ten jest rosn acy, tzn. A A = 1 A 1 A, czyli,,powinno stosować siȩ monotoniczne twierdzenie Lebesgue a). Ale tak nie jest, bo ca lki z funkcji w necie s a zerami, a ca lka z funkcji granicznej jest równa 1. A wiȩc twierdzenia Lebesgue a nie stosuj a siȩ do netów! 2) Na zespolonym okrȩgu jednostkowym T = {z C : z = 1} rozważmy ci ag funkcji f n (z) = z n. S a to funkcje z T w T, a wiȩc należ a do przestrzeni zwartej z T T z (konwencja zapisu jak poprzednio). Zatem ci ag ten ma podnet zbieżny do funkcji f : T T. Jest to bardzo nieintuicyjne, gdyż, jak pokażemy, ci ag ten nie posiada podci agów zbieżnych (do żadnej funkcji). Faktycznie, ewentualny podci ag zbieżny by lby zbieżny punktowo, a wiȩc granica f by laby mierzalna i dla ci agu f nk f zachodzi loby twierdzenie Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej (wersja zespolona dla miary Lebesgue a na okrȩgu): f nk f dλ k f f dλ =. Czyli zachodzi laby zbieżność f nk do f w normie L 1 (λ), a co za tym idzie również w normie L 2 (λ). To jest jednak niemożliwe, gdyż funkcje f n s a uk ladem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta L 2 (λ), zatem odleg lości miȩdzy dowolnymi dwiema z nich wynosi 2, co oznacza, że ci ag ten nie ma podci agów podstawowych (a tym bardziej zbieżnych) w L 2 (λ). Jednak, jak już powiedzielśmy, istnieje podnet zbieżny. A wiȩc istnieje przyk lad podnetu ci agu, które nie jest podci agiem. (tekst nieobowi azkowy) Aby lepiej zrozumieć, jak takie podnety wygl adaj a, wskażemy explicie, że ci ag ten ma podnet zbieżny do każdej,,swojej funkcji f n (z) = z n. W tym celu ustalmy n. Nasz podnet bȩdzie indeksowany trójkami (A,n,ǫ), gdzie A jest podzbiorem skończonym T, n N i ǫ > (dla ǫ-ów stosujemy porz adek odwrócony: im mniejszy ǫ tym,,dalszy ). Otóż, nietrudno wykazać (co jednak pominiemy), że dla dowolnej takiej trójki istnieje takie n > n, że w każdym punkcie z A zachodzi z n 1 < ǫ. Umawiamy siȩ, że n oznacza najmniejszy taki numer powyżej n. Ponieważ mnożenie przez liczbȩ zespolon a o module 1 jest izometri a na C, mamy też z n +n z n < ǫ. Przyporz adkujmy g (A,n,ǫ) = f n +n oraz φ(a,n,ǫ) = n + n. Sprawdzenie, że (g (A,n,ǫ) ) jest podnetem ci agu (f n ) (maj ac już wskazan a funkcjȩ φ) jest natychmiastowe, podobnie jak sprawdzenie zbieżności punktowej tego podnetu do f n. Tomasz Downarowicz