Firma produkująca płatki śniadaniowe rozważa wypuszczenie na rynek nowego produktu. Ma to być mieszanka pszenicy, ryżu i kukurydzy. Normy zawartości przedstawia tabela: Dane Pszenica Ryż Kukurydza Zawartość w opak. oz Białko (g/oz) 4 min. 7g Węglowodany (g/oz) 0 5 min. 40g Kalorie /oz 90 0 00 Max. 60cal Koszt /oz $0,03 $0,05 $0,0 Należy zminimalizować koszt mieszanki przy założeniu zachowania norm. Zapisz model matematyczny (wyszczególnij zmienne, podaj ich jednostki, zapisz funkcję celu, zapisz ograniczenia). Sprowadź model do postaci standardowej. Zakład dziewiarski wyspecjalizował się w produkcji wyrobów wełnianych. Wąskim gardłem procesu produkcji są maszyny R i R. W tablicy poniżej podano normy pracy poszczególnych maszyn, przy produkcji w oraz w i ich zdolności produkcyjne. Maszyna Liczba godzin pracy maszyny na jednostkę produkcji W W Max. ilość czasu pracy w ciągu dnia R R 0 Ustalić dzienny plan produkcji zapewniający max łączny przychód z jej sprzedaży (cena zbytu W wynosi 50zł, a W 75 zł), z tym, że ich uwarunkowania rynkowe dyktują by ilość produkcji Wbyła,5 razy większa niż produkcji W.. Zbudować model matematyczny.. Rozwiązać zadanie za pomocą algorytmu sympleks Dla danych z zadania pierwszego naszkicować: obszar rozwiązań dopuszczalnych, graficzną reprezentację funkcji celu, skomentować gdzie należy szukać rozwiązania optymalnego, wyznaczyć współrzędne (wartości zmiennych w wierzchołkach) wierzchołków, wyznaczyć wartość funkcji celu dla poszczególnych wierzchołków. Pyt.. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami programowania liniowego. Pyt.. Ile zmiennych bazowych mają kolejne rozwiązania dopuszczalne odpowiadające wierzchołkom bazowym (podać zależność ogólną i liczbę zmiennych bazowych z w zadaniu ). Sprowadzić model z zadań powyżej do postaci standardowej wyznaczyć wartości wszystkich zmiennych w poszczególnych wierzchołkach obszaru rozwiązań dopuszczalnych. Dla każdego z wierzchołków wskazać zmienne bazowe. Poniżej podany jest następujący problem maksymalizacyjny: x 6x x x, x 3x 36 6
a) naszkicować zbiór rozwiązań dopuszczalnych problemu oraz funkcję celu. b) wyznaczyć wierzchołki bazowe problemu c) wyznaczyć wartości funkcji celu dla wierzchołków bazowych, wskazać rozwiązanie optymalne Poniżej podany jest następujący problem: x 3x 5x x, x 3x 5x x 6 4 naszkicować zbiór rozwiązań dopuszczalnych problemu oraz funkcję celu. wyznaczyć wierzchołki bazowe problemu wyznaczyć wartości funkcji celu dla wierzchołków bazowych wskazać rozwiązanie optymalne Poniżej podany jest następujący problem maksymalizacyjny: x x x x x x 0 4 x, x d) naszkicować zbiór rozwiązań dopuszczalnych problemu oraz funkcję celu. e) wyznaczyć wierzchołki bazowe problemu f) wyznaczyć wartości funkcji celu dla wierzchołków bazowych, wskazać rozwiązanie optymalne. Tworzenie modeli problemów programowania liniowego Rolnik posiada 0ha ziemi. Chce ja przeznaczyć pod uprawę ziemniaków i jęczmienia, jako paszy dla planowanej hodowli tuczników. Jeden tucznik w okresie tuczu zjada 6q ziemniaków i 5q jęczmienia i wymaga 0 roboczogodzin obsługi. Uprawa hektara ziemniaków wymaga 00 roboczogodzin i daje plon 00q. Uprawa hektara jęczmienia wymaga 0 roboczogodzin i daje plon 40q. Zasób robocizny rolnika wynosi 800 roboczogodzin. Zysk ze sprzedaży jednego tucznika wynosi 50zł. Celem rolnika jest osiągniecie maksymalnego zysku ze sprzedaży tuczników. Zbudować model liniowy (wyszczególnić zmienne, podać ich jednostki, zapisać ograniczenia, zdefiniować funkcję celu) (ograniczenia tego problemu wynikają z posiadanych mocy-zasobów i zapotrzebowania ;-) )... ziemia pod uprawę... 800 ilość roboczogodzin...... zapotrzebowanie a produkcja ziemniaków...... zapotrzebowanie a produkcja jęczmienia
Punkt usługowy dostał zamówienie na wycięcie szyb do 300 jednakowych okien, z tym że na jedno okno wchodzą szyby typu e oraz 3 szyby typu e. Szyby wycina się z jednakowych płyt szklanych i można je wycinać trzema sposobami. Liczby szyb i odpad powstały w procesie wycinania przedstawiono w tablicy poniżej. Szyby typu Sposoby cięcia płyt I II III E 6 4 3 E 0 4 6 Odpad [kg] 0,6,6, Zapisać model matematyczny minimalizacji odpadu powstałego z cięcia. Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby w i w. W procesie produkcji zużywane są środki produkcyjne ś, ś które są limitowane. Limity wynoszą odpowiednio 96000 i 80000. Nakłady limitowanych środków na jednostkową produkcję w i w przedstawia tabela: w w ś 6 4 ś 0 6 Wiadomo ponadto, że ograniczone zdolności produkcyjne nie pozwalają produkować więcej w, w niż odpowiednio: 3000 i 4000 szt. Należy też przyjąć że optymalne proporcje wielkości produkcji w do w mają się jak :3. Jednostkowe zyski ze sprzedaży wynoszą odpowiedni0 0 i 30. Zbuduj model matematyczny zadania maksymalizacji zysku z produkcji wyrobów. Zbuduj model matematyczny do zadania minimalizacji odpadu. Do produkcji prętów stalowych o długości 0,9m,,8m oraz,9m używa się belek czterometrowych Na jeden komplet prętów składają się 3 drążki o długości 0,9m, 3 drążki o długości,8m i drążki o długości,9m. Jak zrealizować zamówienie na 50 kompletów prętów, aby odpad był jak najmniejszy? Rozważ sytuację gdy nadprodukcję potraktujemy jako odpad (zmodyfikuj odpowiednio funkcję celu). Dany jest problem x 6x x 3x 36 6 x, x zapisać funkcję celu w postaci standardowej, zapisać ograniczenia w postaci standardowej, zapisać pierwszą tabelkę algorytmu sympleks, wskazać zmienną która do bazy wejdzie, wskazać zmienną która z bazy wyjdzie, skonstruować drugą tabelkę.
Dany jest problem x x x x x x 4 zapisać zadanie w postaci standardowej, rozwiązać zadanie algorytmem sympleks (opisać kolejne przekształcenia), podać optymalną wartość funkcji celu. Dany jest problem x 6x x 3x 36 6 x, x zapisać funkcję celu w postaci standardowej, zapisać ograniczenia w postaci standardowej, zapisać pierwszą tabelkę algorytmu sympleks, wskazać zmienną która do bazy wejdzie, wskazać zmienną która z bazy wyjdzie, skonstruować drugą tabelkę. Firma produkuje telewizory, magnetofony i kolumny głośnikowe (zarabiając odpowiednio: 70$, 60$, 35$) używając standardowych części magazynowych: zasilaczy, głośników, obudów, itp. Dostawy części są ograniczone i musimy określić najbardziej zyskowny zestaw produktów. Zapasy odpowiednio: Obudów, Kineskopów, Głośników, Zasilaczy, Podzespołów to odpowiednio: 400, 00, 760, 400, 540. Zużycie materiałów (odpowiednio) przedstawia tabela: Telewizor y Magnetofon y Kolum ny 0 0 0 0 a) Zbuduj model matematyczny b) zapisz zadanie w postaci standardowej c) zapisz dwie pierwsze tabelki algorytmu sympleks (opisz dokładnie kroki jakie wykonałeś, skomentuj czy otrzymane rozwiązanie jest optymalne). Dany jest problem 4x 6x 3x x, x 8x 6x 36 4 a) zapisać funkcję celu w postaci standardowej, zapisać ograniczenia w postaci standardowej, zapisać pierwszą tabelkę algorytmu sympleks, wskazać zmienną która do bazy wejdzie, wskazać zmienną która z bazy wyjdzie, skonstruować drugą tabelkę. b) rozwiązać zadanie metodą graficzną (naszkicować zbiór rozwiązań dopuszczalnych,wyznaczyć współrzędne wierzchołków bazowych, narysować funkcję celu, wskazać rozwiązanie optymalne).
Dany jest problem 60x 4x x 3x x, x 50x 0x x 3x 80 80 54 zapisać funkcję celu w postaci standardowej, zapisać ograniczenia w postaci standardowej, zapisać pierwszą tabelkę algorytmu sympleks, wskazać zmienną która do bazy wejdzie, wskazać zmienną która z bazy wyjdzie, skonstruować drugą tabelkę. Zad.. Dany jest problem: x 6x x x, x 3x 36 6 - calkowite W pierwszym kroku algorytmu dziel i ograniczaj otrzymano rozwiązanie problemu postaci x, 5, x 5,5, wymagane jest rozwiązanie dwóch następujących podproblemów (uzupełnij): Zmaksymalizować : x 3x...... Zmaksymalizować : x 3x...... Zagadnienia transportowe Trzy magazyny M, M i M3 zaopatrują w mąkę 4 piekarnie : P, P, P3, P4. Jednostkowe koszty transportu (w zł za tonę), oferowane miesięcznie wielkości dostaw A i (w tonach) oraz miesięczne zaopatrzenie piekarń B j (w tonach) podaje tabela poniżej. Magazyn Piekarnie A i P P P3 P4 M 50 40 50 0 70 M 40 80 70 30 50 M3 60 40 70 80 zł 80 B j 40 60 50 50 00 Opracować dopuszczalny plan przewozów. Zapisać odpowiedni model programowania liniowego. Oraz pierwszą i drugą tabelkę algorytmu zmodyfikowanej dystrybucji.(opisać przekształcenia). W pewnej miejscowości w dwóch punktach A i B istnieje konieczność wprowadzenia dodatkowych linii komunikacyjnych. W punkcie A potrzeba 5 autobusów w punkcie B 7. Autobusy mogą dojechać z garaży G,G,G3 w ilości odpowiednio:4, 3, 5. Jak rozdzielić autobusy między punkty docelowe aby zminimalizować przebieg. Zapisz model matematyczny zadania. Podaj rozwiązanie dopuszczalne wyznaczone metodą rogu północno-zachodniego, rozwiąż zadanie według algorytmu zmodyfikowanej dystrybucji (opisz kolejne przekształcenia, podaj wykorzystywane wzory). Podaj optymalną wartość funkcji celu.
Minimalizujemy koszty przewozu towarów z zakładów produkcyjnych do centrów handlowych, nie przekraczając wielkości podaży dostępnej z każdej fabryki (Pomorze, Dln. Śląsk, Tatry) i zaspokajając popyt każdego centrum handlowego (Katowice, Bydgoszcz,...). Katowice Bydgoszcz Wrocław Gdańsk Warszawa Podaż Pomorze 0 8 6 5 4 30 Dln. Śląsk 6 5 4 3 6 60 Tatry 3 4 5 5 9 80 Popyt 80 80 00 60 30 Zapisz model matematyczny zadania. Podaj rozwiązanie dopuszczalne wyznaczone metodą rogu północnozachodniego, zapisz dwie pierwsze tabele algorytmu zmodyfikowanej dystrybucji (opisz dokładnie kolejne przekształcenia, podaj wykorzystywane wzory). Pewna firma posiada zakłady w miastach A B C. Do których ma być dostarczany surowiec z trzech magazynów m, m, m3. Zapotrzebowanie zakładów wynosi odpowiednio 50, 50 i 300 [t]. magazyny mogą dostarczyć odpowiednio: 00, 00 i 00 [t] surowca. Koszt przewiezienia tony z m do zakładu A, B, C wynosi odpowiednio 4, i 8. Podobnie koszt przewozu z magazynów m i m3 do zakładów A, B, C wynosi: 5, i 9 oraz 7, 6 i 3. Rozwiązać zadanie jako zagadnienie transportowe. Zapisać model matematyczny zadania. Pewna firma posiada zakłady w miastach Leeds i Cardiff. Dostarczają one towary do magazynów w Manchester, Birmingham i Londynie. Koszty transportu między miastami przedstawiono w tabeli. Zakład w Leeds produkuje w ciągu roku 800 ton towarów, w Cardiff 500 ton. Magazyn w Manchester mieści 400t, w Birmingham 600, w Londynie 300. Jak transportować towary aby zminimalizować koszty przewozów. Problem rozdziału : Do produkcji pewnego towaru firma musi zatrudnić czterech pracowników, do: przygotowania surowców(a), nadzoru metalizacji(b), nadzoru drukowania etykiet(c) oraz kontroli jakości(d). Po przeprowadzeniu testów oszacowano średni czas w minutach jaki zajmuje wykonanie poszczególnych czynności każdemu z pracowników, a następnie podano go w tablicy. Zapisz model matematyczny zadania. Zakładając specjalizację, oznaczającą, że każdy z pracowników będzie wykonywać tylko jedną czynność, określić optymalny przydział z punktu widzenia minimalizacji łącznego czasu (opisz poszczególne kroki algorytmu). Podaj minimalny czas wynikający z optymalnego przydziału. Pracownicy Czas niezbędny przy wykonywaniu czynności A B C D 60 86 84 08 7 96 7 96 3 60 7 96 84 4 48 7 84 96
Do produkcji CD oraz DVD firma musi zatrudnić czterech pracowników, do: przygotowania surowców(), nadzoru metalizacji(), nadzoru drukowania etykiet(3) oraz kontroli jakości(4). Po przeprowadzeniu testów oszacowano średni czas w minutach jaki zajmuje wykonanie poszczególnych czynności każdemu z pracowników, a następnie podano go w tablicy. Pracownicy Czas niezbędny przy wykonywaniu czynności 3 4 840 960 480 70 960 840 600 70 3 840 080 600 860 4 70 960 70 960 Zakładając specjalizację, oznaczającą, że każdy z pracowników będzie wykonywać tylko jedną czynność, określić optymalny przydział z punktu widzenia minimalizacji łącznego czasu. Podaj minimalny czas wynikający z optymalnego przydziału. Cztery sekretarki należy przydzielić do prowadzenia czterech różnych prac biurowych (A B C D). Znany jest czas, jaki zajmuje tym sekretarkom wykonywanie poszczególnych prac. Zapisz model matematyczny zadania. Określić optymalny przydział z punktu widzenia minimalizacji łącznego czasu wykonywania prac (Opisz poszczególne kroki algorytmu). Podaj minimalny czas wynikający z tego przydziału. Sekretarki A B C D 4 36 48 30 44 4 4 30 3 48 36 4 4 4 48 48 36 36 Maksymalizacja przepływu w sieciach W kwadratach zaznaczono przepustowości krawędzi. Po przecinku podano wartości przykładowego przepływu. Czy przedstawiony na rysunku przepływ (ile on wynosi?) jest przepływem poprawnie zdefiniowanym? (podaj uzasadnienie) Określić maksymalny przepływ dla podanej poniżej sieci transportowej. Zbudować model programowania liniowego.
W tabeli przedstawiono przepustowości krawędzi. Narysuj sieć transportową, wyznacz jej maksymalny przepływ. Wyznacz przepływ dopuszczalny generujący przepływ maksymalny. Zbuduj model programowania liniowego. s a b c t s - 5-9 - a - - 8 - - b - - - 4 6 c - 3 - - 7 Na rysunku przedstawiono przepustowości krawędzi. Określić maksymalny przepływ dla podanej poniżej sieci transportowej. Zbudować model programowania liniowego. Problem minimalnego drzewa rozpinającego Wyznacz minimalne drzewo rozpinające dla grafu
Dla grafu poniżej, podać zbiór krawędzi należących do minimalnego drzewa rozpinającego. Podać zbiór krawędzi należących do minimalnego drzewa rozpinającego. Dla grafu poniżej zapisać model programowania liniowego (dla wyznaczania minimalnego drzewa rozpinającego). Podać zbiór krawędzi należących do minimalnego drzewa rozpinającego.
Podać zbiór krawędzi należących do minimalnego drzewa rozpinającego. Zapisać odpowiedni model programowania liniowego. Metoda CPM/PERT Dana jest sieć czynności i zdarzeń pewnego przedsięwzięcia. Stosując metodę CPM, wyznacz: Termin ukończenia przedsięwzięcia, Ścieżkę krytyczną, Narysuj harmonogram przedsięwzięcia. czynność DODATKOWE ograniczenia kolejnościowe czas trwania AB AC 3 BG CD,FD 8 BE CD,FD 4 CB CD CF 3 DE EG FD 3 FG 3
Jest dana sieć czynności i zdarzeń pewnego przedsięwzięcia. Stosując metodę CPM, wyznacz scieżkę krytyczną, oblicz luzy zdarzeń i rezerwy czasu czynności. Mając wszystkie informacje, narysuj harmonogram przedsięwzięcia. Mając dane o czasach poszczególnych czynnościach przedsięwzięcia. Narysować graf czynności z czynnościami na krawędziach. Określić oczekiwany najkrótszy czas trwania przedsięwzięcia oraz prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego równego 30 dni. Przyjmując że wcześniej wyznaczona ścieżka krytyczna przechodzi przez -4-5-6-7-8. a ij m ij b ij - 3-3 3 5 7-4 4 7-5 3 4-7 5 9 3-5 3 6 9 3-6 3 4-5 5 0 5 5-6 8 4 5-7 3 6-7 6 6 6 6-8 4 5 6 7-8 4 4 4 Gdzie: a ij - czas trwania czynności optymistyczny b ij - pesymistyczny m ij najbardziej prawdopodobny
Dana jest sieć czynności i zdarzeń pewnego przedsięwzięcia. Stosując metodę CPM, wyznacz: Termin ukończenia przedsięwzięcia, Ścieżkę krytyczną, Czynność i-j Czas t i-j - 6-3 -4 4-5 7 3-5 4-5 4-6 5 5-6 7