MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem

Transkrypt

1 MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające (spanning tree) w grafie liczącym n wierzchołków to zbiór n-1 jego krawędzi takich, że dowolne dwa wierzchołki grafu można połączyć za pomocą krawędzi należących do tego zbioru. Minimalne drzewo rozpinające to drzewo wybrane spośród wszystkich istniejących drzew rozpinających, dla którego łączna długość krawędzi jest najmniejsza. 2. Najkrótsza droga (shortest path) między dowolnie wybranymi wierzchołkami w sieci to taki zbiór krawędzi łączących te wierzchołki, dla których suma długości jest najmniejsza.. Zagadnienie maksymalnego przepływu (maximal flow problem) wierzchołek początkowy zwany jest źródłem, wierzchołek końcowy zwany jest ujściem. Każda krawędź grafu opisana jest dwoma liczbami, charakteryzującymi przepustowości krawędzi. Należy zaplanować taki przepływ między źródłem a ujściem, aby jego wielkość była największa.

2 ALGORYTM KONSTRUKCJI MINIMALNEGO DRZEWA ROZPINAJĄCEGO Założenia modelu: 1. Liczba węzłów wynosi n. 2. Dane są odległości pomiędzy węzłami. Krawędzie/łuki dwukierunkowe. Cel: Znalezienie zbioru krawędzi, które łączą wszystkie węzły i których łączna długość jest najmniejsza. Przykład 1: Zadanie polega na opracowaniu regionalnej sieci komputerowej łączącej 5 komputerów satelitarnych z serwerem w taki sposób, aby długość linii łączącej komputery była jak najmniejsza. Rozważa się połączenia bezpośrednie wybranych komputerów z serwerem a także połączenia komputerów satelitarnych z serwerem za pośrednictwem innych komputerów satelitarnych.

3 Rysunek 1. Rozważana sieć połączeń komputerów systemu regionalnego. Węzeł 1. oznacza główny serwer systemu. Nad krawędziami podano długość łącza w km.

4 Odległość w Do węzła km M M 0 M 0 M M 10 - M M M Od węzła Tabela 1. Odległości w km pomiędzy węzłami sieci. Znak - na głównej przekątnej tabeli oznacza trasy nie brane pod uwagę. M oznacza brak połączenia.

5 Krok 1. Wybieramy w sieci dowolny węzeł i cechujemy go jako połączony (np. oznaczając odpowiadający wiersz tabeli odległości między węzłami). Krok 2. Wykreślamy w tabeli kolumnę odpowiadającą połączonemu węzłowi. Krok. We wszystkich wierszach odpowiadających węzłom połączonym znajdujemy wartość najmniejszą w niewykreślonych kolumnach i oznaczamy to połączenie jako wybrane (zaznaczając np. okręgiem). Krok. Odpowiadający numerowi wybranej kolumny węzeł cechujemy jako połączony. Wracamy do kroku 2., dopóki wszystkie węzły nie zostaną połączone. Krok 5. Minimalne drzewo rozpinające jest utworzone przez zidentyfikowane połączenia; całkowita długość połączeń jest równa sumie długości wybranych krawędzi.

6 W Przykładzie 1. zastosowano następujące etapy postępowania: Jako pierwszy połączono węzeł 1. i wykreślono kolumnę 1. Odległość w Do węzła km M M 0 M 0 M M 10 - M M M Od węzła W wierszu 1. znaleziono minimalną odległość równą 20 odpowiadającą połączeniu 1-2.

7 Odległość w Do węzła km M M 0 M 0 M M 10 - M M M Od węzła Węzeł 2. oznaczono jako połączony i wykreślono kolumnę 2. W wierszach 1. i 2. znaleziono minimalną odległość równą 0, która odpowiada połączeniu 1-.

8 Odległość w Do węzła km M M 0 M 0 M M 10 - M M M Od węzła Węzeł. oznaczono jako połączony i wykreślono kolumnę. W wierszach 1., 2.,. w niewykreślonych kolumnach (tj.., 5. i 6.) znaleziono minimalną odległość równą 10 odpowiadającą połączeniu -.

9 Odległość w Do węzła km M M 0 M 0 M M 10 - M M M Od węzła Węzeł. oznaczono jako połączony i wykreślono kolumnę. W wierszach 1., 2.,. i. w kolumnach niewykreślonych znaleziono minimalną odległość równą 20 odpowiadającą połączeniu -6.

10 Odległość w Do węzła km M M 0 M 0 M M 10 - M M M Od węzła Węzeł 6. oznaczono jako połączony i wykreślono kolumnę 6. W jedynej pozostałej niewykreślonej kolumnie 5. znaleziono minimalną odległość równą 0 odpowiadającą połączeniu -5.

11 Odległość w Do węzła km M M 0 M 0 M M 10 - M M M Od węzła Węzeł 5. oznaczono jako połączony i wykreślono kolumnę 5. Koniec postępowania wszystkie węzły zostały połączone.

12 Minimalne drzewo: 1-2, 1-, -, -6, -5 Długość łączy: = 110 km

13 Zadania do rozwiązania Zad. 1 Skarb państwa zakupił ziemię z przeznaczeniem na park krajobrazowy oraz obiekty rekreacyjne. Planiści wytypowali najlepsze lokalizacje dla różnych planowanych obiektów. Lokalizacje te reprezentowane są przez węzły sieci. Łuki sieci odpowiadają możliwym alternatywnym wariantom ścieżek/dróg w parku. Należy zaplanować połączenia obiektów w taki sposób, aby zminimalizować łączną długość niezbędnych dróg w kilometrach i jednocześnie zapewnić dostęp do wszystkich obiektów w parku

14 Zad.2 W dużej firmie produkcyjnej planowany jest nowy system kontroli jakości. Z różnych lokalizacji w fabryce dostarczane będą próbki produktów do laboratorium celem przeprowadzenia badań jakości. Podjęto decyzję o budowie systemu poczty pneumatycznej, aby usprawnić proces dostarczania próbek różnych produktów do laboratorium z różnych miejsc produkcyjnych. Prezentowany graf pokazuje sieć miejsc produkcji skąd docierają próbki oraz laboratorium (węzły). Łuki przedstawiają możliwe drogi poczty pneumatycznej. Zaplanuj połączenia poczty pneumatycznej i określ ich minimalną łączną długość. Odległości między węzłami podano w setkach metrów. Laboratorium