"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw. własności macierzy odwrotnej Jeżeli A,B M(n) i det A, det B, to:. -. (A T ) - (A - ) T. (A ) A. (αa) - α A- 5. (A B) - B - A - 6. (A n ) (A ) n 7. deta - 8. A - deta deta AD, gdzie A D Dowód:. - A A n A n A nn. A T (A - ) T (A - A) T T oraz (A - ) T A T (A A - ) T T. A A - A - A (A ) A T
. αa α A- A A - oraz α A- αa A - A 5. A B B - A - A A - A A - oraz B - A - A B B - B B - B 6. indukcja: I. n (A ) - (A - ) A - A - II. Z: (A n ) - (A - ) n T: (A n+ ) - (A - ) n+ D: (A n A) - A - (A n ) - A - (A - ) n (A - ) n+ O.K. 7. deta deta - det(a A - ) det 8. niech B deta AD B[b jl ] A lj deta n n A lj deta deta n n j (A B) j a ij b jl j a ij a ij A lj a ij A lj deta deta, j, l i czyli A B analogicznie dla B A B A l i Np. Oblicz macierze odwrotne.. + +( ) + + +( ) ( ) ( ) + T
Rozwiąż:. X 5 A X B C X A - C B - X 5 5,5,5,5,5,5,5. X A X B X A - B X 5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 Zadanie:. Oblicz macierz odwrotną: a), b). Znajdź macierz X z równania: a) 5 b) X, c) 5, c) X 6 X, X 5 5
Metoda bezwyznacznikowa wyliczania macierzy odwrotnej A. tworzymy schemat [A ]. wykonujemy operacje na wierszach: przestawianie, mnożenie przez liczbę, dodawanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę. otrzymujemy [ A - ] Np. Znajdź macierz odwrotną.. w w w w w +w w +w w w w w w w w +w w +w w w w w w w ( ) w ( )
Zadanie: Nie licząc wyznaczników oblicz macierz odwrotną: a), b) 5, c) Def. Minorem stopnia k ( k min{n,m} ) macierzy A M(n,m) nazywamy wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy A przez wykreślenie (n-k) wierszy oraz (m-k) kolumn. Def. Rzędem macierzy A M(n,m) nazywamy największy ze stopni niezerowych minorów macierzy A. (ozn. rka) Np. Oblicz rząd macierzy 7 5 7 5 5 8 minor stopnia 6 minorów stopnia 6 minorów stopnia 6 minorów stopnia w + w w w w w jeden z minorów stopnia : Odp.: rka 7 5 6 9 5 8 ( ) 6 9 7 5 5 8 + 6 9 w w
Tw. własności rzędu macierzy. rk A T rk A. rk k k n rk [k k n ]. rk k αk i k n rk k k i k n dla α. rk k k i + αk j k j k n rk [k k i k j k n ] 5. rk k k i k j k i k j+ k n rk k k i k j k j+ k n 6. rk k k i k j k n rk k k j k i k n 7. Rząd macierzy trójkątnej równy jest liczbie niezerowych elementów na diagonali. 8. rk A min n, m dla A M(n, m) Dowód:. Ponieważ detm detm T, to ten sam minor decyduje o rzędzie A i A T.. Niech kolumna zerowa stoi na i-tym miejscu. Każdy minor [k k n ] zawierający i-tą kolumnę jest minorem zerowym. O rzędzie macierzy decyduje minor nie zawierający i-tej kolumny.. Jeżeli minor decydujący o rządzie macierzy k αk i k n zawiera i-tą kolumnę, to ten sam minor podzielony przez α decyduje o rzędzie macierzy [k k i k n ].. Jeżeli minor decydujący o rzędzie [k k i + αk j k j k n ] zawiera i-tą kolumnę, to decyduje on również o rzędzie macierzy [k k i k j k n ]. 5. rk k k i k j k i k j+ k n rk k k i k j k i k i k j+ k n rk k k i k j k j+ k n rk k k i k j k j+ k n 6. Jeżeli minor decydujący o rzędzie [k k i k j k n ] zawiera kolumny: i-tą i j-tą, to ten sam minor ze znakiem przeciwnym decyduje o rzędzie [k k j k i k n ].
7. załóżmy, że A jest macierzą trójkątna górną(dla trójkątnej dolnej dowód analogiczny) a a a n a rk a ii a nn Jeżeli a ii dla i,, n to rk A n. Jeżeli któreś a ii, to można przyjąć, że a nn (jeśli nie, to przestawiamy odpowiednie wiersze i kolumny). Po rozwinięciu wyznacznika A względem n-tego wiersza otrzymujemy wyznacznik macierzy trójkątnej i powtarzamy tę operację tyle razy ile jest zerowych elementów na diagonali. Pozostaje niezerowy minor równy iloczynowi niezerowych elementów na diagonali. 8. Stopieo najwyższego minora jest nie większy niż min n, m Wniosek: Te same własności co dla kolumn macierzy spełnione są też dla wierszy. Np. Oblicz rząd macierzy 5. rk 6 rk 6 rk 5 6 6 6 6 6 6 k k rk rk 6 6 6 6 5 w w
. rk rk 5 5 7 7 7 9 5 7 6 w w w 5w w 7w rk rk 5 7 5 7 6 6 6 6 8 k k rk w w w w 7 6 5 Zadanie: Wylicz rząd macierzy: a), b) 6 5 7, c) 5 5 5 7 6
Def. Układem n równao liniowych na m niewiadomych nazywamy równanie macierzowe postaci A XB, gdzie A M(n,m) nazywamy macierzą współczynników, X M(m,) macierzą (kolumną) niewiadomych oraz B M(n,) macierzą (kolumną)wyrazów wolnych. Każdą macierz X spełniającą układ równao A XB nazywamy rozwiązaniem tego układu. Mówimy, że układ A XB jest oznaczony ma tylko rozwiązanie, mówimy, że układ A XB jest nieoznaczony ma nieskooczenie wiele rozwiązao, mówimy, że układ A XB jest sprzeczny nie da się rozwiązad, ma rozwiązao. Jeżeli kolumna wyrazów wolnych B, to układ A XB nazywamy jednorodnym. Wniosek: Układ jednorodny ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie X Tw. Cramera Jeżeli A M(n) i det(a), to układ równao A XB jest oznaczony i X det A W W W n jest rozwiązaniem, gdzie W i jest wyznacznikiem, który powstaje z macierzy A przez zastąpienie i tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B.
Dowód: n z rozwinięcia W i względem i tej kolumny W i j b j A ji A X B X A B układ ma dokładnie jedno rozwiazanie x n W x X A deta ji b j deta W i W deta x j n W n Np.. Rozwiąż układ x y + z x + y 5z x y + z deta + 9 + 6 W 5 + 5 9 5 6 W 5 6 + 7 + 9 W 6 9 + 9 6 X 6 6 6 A 5 X x y z B
. Dla jakiej wartości parametru p układ deta p 6 p p p + 5 p 5 p Odp.: Układ jest oznaczony dla p \{-,5} x + py z x + y 6z p będzie oznaczony? x y + pz p p + 6 p p p + 5 Zadanie: Rozwiąż układ: a) x y + z x + y z, b) x y + z 6 x + y z + t x y + z + t, c) x + y + z t x y + z t x + y z + u + v x + y z + u v x + y z u + v x y + z u + v x y + z u 5v
Def. Macierzą uzupełnioną układu A XB nazywamy macierz A z dopisaną na koocu kolumną B. (ozn. [A B]) Tw. Kroneckera Capelliego. Jeżeli A M(n,m) i rk A rk [A B], to układ A X B ma rozwiązanie. Ponadto jeżeli rk A rk A B m to układ jest oznaczony (m liczba niewiadomych). Jeżeli rk A rk A B k < m, to układ jest nieoznaczony (rozwiązanie zależy od m k parametrów). Jeżeli rk A rk[a B], to układ jest sprzeczny. Dowód: m rk A rk [A B] istnieją α,, α n takie, że B i α i k i, gdzie A [k k n ] Ponadto jeżeli rk A rk A B m n m n m wierszy macierzy A daje się przedstawid w postaci sumy pozostałych wierszy przemnożonych przez liczby równania układu odpowiadające tym wierszom można wykreślid. Wykorzystując metodę Gaussa otrzymujemy układ m równao na m niewiadomych i wyznacznik macierzy współczynników tego układu jest minorem stopnia m decydującym o rzędzie A. Z twierdzenia Cramera układ jest oznaczony. Jeżeli rk A rk A B k < m n k wierszy macierzy A daje się przedstawid w postaci sumy pozostałych wierszy przemnożonych przez liczby równania układu odpowiadające tym wierszom można wykreślid. Kolumny, które nie wchodzą do minora decydującego o rzędzie A można przenieśd na prawą stronę układu(jest ich m k). Pozostaje układ k równao na k niewiadomych, którego wyznacznik macierzy współczynników równy jest minorowi decydującemu o rzędzie A. Z twierdzenia Cramera układ ten ma rozwiązanie, a niewiadome przeniesione na prawą stronę pełnią rolę parametrów.
Np. Rozwiąż x + y z. x + y + z x + y + z x + y + z rk w + w w w rk 6 w + 6w rk w w + w + 8w 8 5 w w rk w w w rk 5 w w rk rka, rk[a B] układ jest sprzeczny 8x + y + 9z + u v. x + y + z + u v 5x + y + z + u v x + y + z + u v rk 8 9 5 w 8w w 5w w w rk 6 8 7 5 w w
rk rk rk 6 8 7 6 56 8 6 8 7 7 x + z + y + u v z y 6u + v 5 8y 7u + 7v 7 v 7 x 9 + y z 5 y u y v 7 y 7 5 5 5 7 7 k k rk 6 8 7 w rk 6 8 7 7 8 5 7 7 rka, rk[a B] układ jest nieoznaczony x + z + u v y z 6u + v 5 + y 7u + 7v 7 + 8y 7 v 5 w + w w + w w 8 7 w x + z + u + 7 y z 6u 5 9 + y 7u 7 9 + 8y v 7
. W zależności od parametrów a,b przedyskutuj rozwiązywalnośd układu x + y + z u + v x + 6y + 5z u + v 5 ax + y + 7z u + v x + y + z u + v b rk a 6 5 7 rk 7 5 k k 5 rk 6 5 5 7 a b b 5 b w a + w rk b w + w rk 5 b a a w w w w w w a 5 b 7 dla a rka, rk[a B] układ sprzeczny dla a b rka, rk[a B] układ nieoznaczony, rozwiązanie zależy od parametru u
Zadanie:. Dla jakich wartości parametrów a,b,c układ jest oznaczony (dla wyznaczonych wartości parametrów rozwiąż układ): a) x y + z b 5x 8y + 9z, b) x + y + az. Zbadaj, czy układ ma rozwiązanie: a) x y + z x + 7y + 5z, b) x y + 6z 5. Rozwiąż układ: a) x + y + z x + y + z 5, b) x + y + 5z 7 x + y z x + y + z 9 x y + z x + 7y z 8 ax by + cz ax + by + cz ax + by cz 6 x + y + z x y + z, c) 5x y + z 7x y + z 5, c) x + y + z + t x + y + z + 5t 9x + y + z 5t x + y + z + t 5 7x + y + 6z t 7. Dla jakich wartości parametrów a,b,c układ jest sprzeczny: a) x y + z ax y + 5z, b) x + y z 5 ax + y + z + t x + ay + z + t a x + y + az + t a x + y + z + at a x 5y + z + t 7x y + z + t 5 5x + 7y z 6t, c) ax by + cz ax 6by + 5cz abc 5ax by + cz abc 6x + y + 5z + u + v x + y + z + u + v x + y z + u 7 9x + 6y + z + u + v, c) y + z + t a x + z + bt x + y + t a x + y + z b
5. Dla jakich wartości parametrów a,b układ ma rozwiązanie: x y z ax + y z x y + z + t x + y + az x y + t a) x + y z + t, b), c) bx + y z 6x + y + z t 9 x + 7y z + t a x y + z x y bz + t