I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć wartość siły F powodującej ruch. Podać maksymalną dopuszczalną wartość siły F, przy której bryła nie będzie tracić kontaktu z równią. Dane: m [kg], α [rad], β [rad], μ [-], v M =ct [m/s], c=const. [m/s 2 ]. Rys.A1 A2. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi pod działaniem poziomej siły F. Podać różniczkowe równania ruchu masy oraz inne niezbędne zależności i wyznaczyć kinematyczne parametry ruchu punktu M. Przyjąć zerowe warunki początkowe. Dane: F [N], m [kg], α [rad], μ [-], zerowe warunki początkowe, tzn. dla t=0 [s], v M (0)=0 [m/s], x M (0)=0 [m]. Rys.A2 A3. Bryła o masie m pozostaje na poziomej chropowatej równi. Współczynnik tarcia suchego μ jest znany. Punkt M należący do bryły poruszał się w chwili początkowej z prędkością v M (0)=v 0. W wyniku działania siły tarcia suchego masa zatrzymała się po czasie t 1. Korzystając z różniczkowych równań ruchu oblicz czas t 1. Dane: m [kg], μ [-], v M (0)= v 0 [m/s]. Rys.A3 A4. Punkt materialny M o masie m porusza się jedynie pod wpływem siły P. Podać różniczkowe równania ruchu punktu i rozwiązać je przyjmując warunki początkowe. Dane: P=P 0 cos(ωt) [N], P 0 =const. [N], ω=const. [rad/s], m [kg], warunki początkowe: dla t=0 [s], v M (0)= v 0 [m/s], x M (0)= x 0 [m].
A5. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi pod działaniem pionowej siły F, której wartość jest znana. Korzystając z różniczkowych równań ruchu oblicz wartość prędkości punktu M w chwili t 1, jeśli prędkość początkowa była równa 0 [m/s]. Dane: F= const. [N], m [kg], v M (0)= 0 [m/s], γ [rad], μ [-], t 1 [s]. Rys.A5 A6. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi pod działaniem siły P. Podać dynamiczne równania ruchu masy i wyznaczyć czas t 1, w którym prędkość bryły osiągnie wartość v 1. Przyjąć zerowe warunki początkowe. Dane: P [N], m [kg], α [rad], γ [rad], μ [-], v 1 [m/s], zerowe warunki początkowe, tzn. dla t=0 [s], v M (0)=0 [m/s], x M (0)=0 [m]. Rys.A6 A7. Na punkt materialny M o masie m na odcinku I-II działa siła F, która wywołuje stałe przyspieszenie a M punktu powodując jego rozpędzanie. Na odcinku II-III następuje spadek punktu materialnego z wysokości h na odległość s+d licząc od początku układu odniesienia. Przyjąć zerowe warunki początkowe. Na odcinku I-II należy uwzględnić opory ruchu w postaci tarcia suchego, na odcinku II-III opory ruchu należy pominąć. Stosując różniczkowe równania ruchu obliczyć wartość siły F, która zapewni, że punkt materialny znajdzie się w położeniu III Dane: m [kg], μ [-], s [m], h [m], d [m], zerowe warunki początkowe, tzn. dla t=0 [s], v Mx (0)=0 [m/s], x M (0)=0 [m], v My (0)=0 [m/s], y M (0)=0 [m]. Rys.A7
A8. Podać różniczkowe równania ruchu masy m zawieszonej na napiętej nierozciągliwej linie. Ruch można opisać w dowolnym układzie współrzędnych. Dane: m [kg], AB=r [m]. Rys.A8 B. ZASADA RÓWNOWAGI KINETOSTATYCZNEJ B1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi pod działaniem poziomej siły F, której wartość nie jest znana. Podać równania równowagi kinetostatycznej masy oraz inne niezbędne zależności i wyznaczyć wartość siły F. Podać maksymalną dopuszczalną wartość siły F. Prędkość punktu M v M (t) jest znana. Dane: m [kg], α [rad], μ [-], v M =λt [m/s], λ=const. [m/s 2 ]. Rys.B1 B2. Bryła o masie m przesuwa się po gładkiej równi pod działaniem poziomej siły F. Podać równania równowagi kinetostatycznej masy oraz inne niezbędne zależności i wyznaczyć kinematyczne parametry ruchu punktu M. Przyjąć zerowe warunki początkowe. Dane: F [N], m [kg], γ [rad], μ=0 [-], zerowe warunki początkowe, tzn. dla t=0 [s], v M (0)=0 [m/s], x M (0)=0 [m]. Rys.B2 B3. Bryła o masie m jest wyciągana pionowo w górę za pomocą liny. Przyspieszenie masy wynosi a M. Stosując równania równowagi kinetostatycznej oblicz wartość siły reakcji liny, jeśli na bryłę działa siła oporu ruchu R. Dane: a M =0.5g [m/s 2 ], m [kg], R=const. [N].
Rys.B3 B4. Na ciało materialne o masie m spadające w polu ziemskim z pewnej wysokości działa stała siła oporu ruchu R. Stosując zasadę równowagi kinetostatycznej określ tę siłę, jeśli przyspieszenie ciała jest skierowane w kierunku ruchu i wynosi a. Dane: a=0.7g [m/s 2 ], m [kg]. B5. Punkt materialny M o masie m porusza się z prędkością o stałej wartości po gładkim torze w kształcie pętli o promieniu R. Jaka musi być prędkość punktu M aby masa w żadnej chwili nie oderwała się od toru? Rozwiąż zagadnienie stosując zasadę równowagi kinetostatycznej. Dane: m [kg], R [m]. Rys.B5 C. PĘD I POPĘD C1. Bryła o masie m pozostaje na poziomej chropowatej równi. Punkt M należący do bryły poruszał się w chwili początkowej z prędkością v M (0)=v 0. W wyniku działania siły tarcia suchego masa zatrzymała się po czasie t 1. Korzystając z teorii pędu i popędu oblicz wartość współczynnika tarcia suchego zakładając, że jest on stały. Dane: m [kg], v M (0)= v 0 [m/s], t 1 [s]. Rys.C1 C2. Bryła o masie m przesuwa się po gładkiej równi pod działaniem poziomej siły F, której wartość jest znana. Korzystając z teorii pędu i popędu oblicz wartość prędkości punktu M w chwili t, jeśli prędkość początkowa była równa 0 [m/s]. Dane: F [N], m [kg], γ [rad], μ=0 [-], v M (0)=0 [m/s].
Rys.C2 C3. Bryła o masie m porusza się pod wpływem siły P ze stałą prędkością v M. Stosując teorię pędu i popędu określić współczynnik tarcia μ, zakładając, że ma on stałą wartość. Dane: P [N], m [kg], v M =const [m/s]. W przygotowaniu D. RUCH WZGLĘDNY Rys.C3 E. METODY ENERGETYCZNE E1. Masa m z zamocowaną sprężyną znajduje się na poziomej chropowatej równi. Pod wpływem siły F masa m przemieściła się o λ z położenia I, w którym miała prędkość równa zero, do położenia II. Wykorzystując jedną z zasad energetycznych określić prędkość masy w położeniu II. Dane: F [N], m [kg], α [rad], μ [-], k [N/m], λ [m]. Rys.E1 E2 Masa m zawieszona na nieważkiej nierozciągliwej linie została wychylona z położenia równowagi statycznej II tak, że kąt odchylenia liny od pionu wynosi φ 0. Stosując zasadę zachowania energii mechanicznej wyznacz prędkość masy m w położeniu II, jeżeli w położeniu I prędkość masy była równa zero. Dane: m [kg], φ 0 [rad], AB=r [m], v B =0 [m/s].. Rys.E2 E3. Bryła o masie m znajduje się na poziomej równi. Pod wpływem siły P bryła przemieściła się z położenia I, w którym prędkość punktu M należącego do bryły była równa v M =v M, do
położenia II, w którym punkt M osiągnął prędkość o wartości v M =v M (II). Wykorzystując jedną z zasad energetycznych określić drogę s M punktu M przebytą w czasie ruchu z położenia I do II. Dane: P [N], m [kg], α [rad], μ [-], v M [m/s], v M (II) [m/s]. Rys.E3 E4. Bryła o masie m jest wyciągana pionowo w górę. Ruch masy jest spowodowany przez siłę P. Dodatkowo na masę działa siła oporu ruchu R. Oblicz pracę całkowitą układu sił przy przemieszczeniu s masy z położenia I do II. Dane: m [kg], s [m], P=const. [N], R=const. [N]. Rys.E4 E5. Bryła o masie m znajduje się na chropowatej poziomej równi. Bryła została rozpędzona tak, że w położeniu I jej prędkość wynosiła v M =v M. Następnie pod wpływem siły tarcia bryła zatrzymała się w położeniu II po przebyciu drogi s M. Oblicz drogę hamowania s M stosując jedną z metod energetycznych. Dane: m [kg], μ [-], v M [m/s]. Rys.E5 E6. Ciało o masie m wyrzucono z powierzchni ziemi pionowo w górę z prędkością początkową v=v 0. Oblicz maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało. Zastosuj jedną z metod energetycznych opisu ruchu. Dane: m[kg], v 0 [m/s]. E7. Oblicz potencjał układu jeśli bryła o masie m przemieściła się względem położenia równowagi statycznej o s. Dane: m [kg], k [N/m], s [m].
Rys.E7 E8. Znany jest potencjał pola: V=V(x,y)=Asin(ωx)+Bcos(ωy), A=const., B=const. Określić π π wektor siły pola wówczas, gdy współrzędne punktu będą: x = [m] ; y = [m]. 2ω ω E9. Punkt materialny przemieszcza się w polu potencjalnym i znany jest potencjał tego pola: V=V(x,y,z)=ax 2 +by 2 +cz 2, a=const., b=const., c=const. Określić wektor siły tego pola. a b E10. Znany jest potencjał pola: V = V( x, y) = +, a=const., b=const. Określić x + 1 y + 1 wektor siły pola wówczas, gdy współrzędne punktu będą: x=-2, y=-2. E11. Punkt materialny przemieszcza się w polu potencjalnym i znany jest potencjał tego pola V=V(x,y)=Ae -x +Be -2y, A=const., B=const. Określić wektor siły tego pola. E12. Znany jest potencjał pola: V = V( x, y) = a x + 1 + b y + 1, a=const., b=const. Określić wektor siły pola wówczas, gdy współrzędne punktu będą: x=3, y=3. E13. Bryła o masie m znajduje się na równi pochylonej pod kątem α i jest przymocowana sprężyną o współczynniku sprężystości k. Sprężyna jest wstępnie zdeformowana o λ S. Znane jest przemieszczenie bryły x M. Określić potencjał układu oraz energię kinetyczną. Dane: m [kg], k [N/m], λ S [m], x M =Asin(ωt) [m], A=const. [m], ω=const. [rad/s], α [rad/s]. Rys.E13 E14. Bryła o masie m przemieszcza się z prędkością v M po chropowatej pochyłej równi pod wpływem układu sił. Określić moc układu sił. Dane: m [kg], P=P 0 cos(ωt) [N], P 0 =const. [N], ω=const. [rad/s], α [rad], μ [-], v M [m/s]. Rys.E14
E15. Bryła o masie m przemieszcza się z prędkością v M po chropowatej równi pod wpływem układu sił. Określić moc układu sił. Dane: m [kg], F [N], α [rad], μ [-], k [N/m], v M [m/s]. Rys.E15 E16. Określić pracę wykonaną przez układ sił działających na masę m, która z położenia I pod wpływem sił F i P przesunęła się do położenia II o λ. Określić moc układu sił gdy wiadomo, że prędkość bryły wynosi v M. Dane: m [kg], F [N], P [N], α [rad], β [rad], μ [-], λ [m], v M [m/s]. Rys.E16