Wielomiany Hermite a i ich własności

3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 4 Doatek B Wielomiany Hermite a i ich własności B.1 Definicje Jako postawową efinicję wielomianów Hermite a przyjmiemy wzór Roriguesa n H n (x) = ( 1) n e x2 x n e x2, który pozwala konstruktywnie obliczać kolejne wielomiany. I tak mamy (B.1) H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2 2, H 3 (x) = 8x 3 12x, H 4 (x) = 16x 4 48x 2 + 12. (B.2) Wiać więc, że wielomiany Hermite a stopnia parzystego n = 2k zawierają tylko parzyste potęgi argumentu są funkcjami parzystymi. Gy zaś n = 2k + 1, to H n (ξ) są nieparzyste. Można inaczej efiniować wielomiany Hermite a, a potem inaczej wyprowazać ich własności. Wybór efinicji jest jenak sprawą "smaku matematycznego". Zanim przejziemy o alszej yskusji, zauważmy, że zachozi następująca relacja n x n e (s x)2 = ( 1) n n e (s x)2, (B.3) która wynika z zasa różniczkowania funkcji złożonej. Zresztą łatwo jest przeprowazić owó tej relacji metoą inukcji. Zastosujmy więc (B.3) o wzoru Roriguesa H n (x) = ( 1) n e x2 n x n e (s x)2 s=0 = e x2 n e (s x)2 s=0 = n +2sx e s2 s=0. (B.4) Przypomnijmy teraz, że funkcję zmiennej s można zapisać w postaci rozwinięcia w szereg Taylora F (s) = ( n ) F (s) s=0. (B.5) Rozwinięcie to możemy zastosować o funkcji F (s) = e s2 +2sx pisząc e s2 +2sx = ( n ) +2sx e s2, (B.6) s=0 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 4

3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 5 ską, po postawieniu wyrażenia (B.4), otrzymamy e s2 +2sx = H n(x). (B.7) Funkcję stojącą po prawej nazwiemy funkcją tworzącą wielomianów Hermite a. Wzór Roriguesa efiniujący H n (x) jest równoważny efinicji (B.7) przez funkcję tworzącą. B.2 Relacje rekurencyjne i równanie różniczkowe Hermite a Szereg związków pomięzy wielomianami Hermite a ujmiemy w postaci krótkich twierzeń. Lemat B.1 Wielomiany Hermite a spełniają relację rekurencyjną H n+1 (x) = 2xH n (x) x H n(x). (B.8) Dowó. Różniczkując obustronnie wzór Roriguesa (B.1) mamy x H n(x) = ( 1) n (e n ) x2 x x n e x2 [ = ( 1) n 2xe n ] x2 x n e x2 x2 n+1 + e e x2 xn+! = 2xH n (x) H n+1 (x). (B.9) Po elementarnym przekształceniu mamy więc tezę. Lemat B.2 Pochona z wielomianu Hermite a wyraża się wzorem x H n(x) = 2nH n 1 (x). (B.10) Dowó. Definicję funkcji tworzącej (B.7) różniczkujemy obustronnie wzglęem x x e s2 +2sx = 2s e s2 +2sx = x H n(x), (B.11) gzie wyraz n = 0 po prawej znika, ponieważ H 0 (x) = 1. Ponownie stosując (B.7) mamy 2 s k+1 k! H k (x) = x H n(x). (B.12) Po lewej zamieniamy ineks sumowania k n = k + 1, przy czym n = 1, 2, lots i otrzymujemy 2 (n 1)! H n 1(x) = x H n(x). (B.13) Współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej s muszą być równe, wobec tego 2 (n 1)! H n 1(x) = 1 x H n(x). (B.14) Po uproszczeniu ostajemy tezę. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5

3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 6 Lemat B.3 Wielomiany Hermite a spełniają relację rekurencyjną H n+1 (x) = 2xH n (x) 2nH n 1 (x). (B.15) Dowó. Teza wynika z postawienia wzoru (B.10) o relacji rekurencyjnej (B.8). Twierzenie B.1 Wielomiany Hermite a spełniają równanie różniczkowe (tzw. równanie Hermite a) 2 x 2 H n(x) 2x x H n(x) + 2n H n (x) = 0. (B.16) Dowó. Weźmy relację rekurencyjną (B.8) i zróżniczkujmy x H n+1(x) = 2H n (x) + 2x x H n(x) 2 x 2 H n(x). Stą wynika 2 x 2 H n(x) 2x x H n(x) 2 H n (x) = x H n+1(x). (B.17) (B.18) Do wyrażenia po prawej stronie stosujemy relację (B.10) otrzymując 2 x 2 H n(x) 2x x H n(x) 2 H n (x) = 2(n + 1)H n (x). (B.19) Po uproszczeniu mamy tezę. B.3 Całki z wielomianami Hermite a Wielomiany Hermite a wchozą o wielu całek spotykanych przy rozwiązywaniu różnoronych zaganień fizycznych. W tym rozziale skupimy się na przestawieniu metoy obliczania następujących całek I (p) = y H k (y) H n (y) y p e y2. (B.20) Posłużymy się funkcją tworzącą wielomianów Hermite a i zbaamy całkę pomocniczą J(s, t, a) = y e s2 +2sy e t2 +2ty e 2ay y2. (B.21) Przestawiając funkcje wykłanicze za pomocą ich rozwinięć ostajemy J(s, t, a) = = = y p=0 p=0 s k k! H k(y) (2a) p k! p! (2a) p k! p! t n H n(y) I (p). (2a) p y p e y2 p! p=0 y H k (y) H n (y) y p e y2 (B.22) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6

3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 7 Trzeba więc obliczyć całkę J, a następnie wynik rozwinąć w szereg. Porównując współczynniki rozwinięć przy opowienich potęgach parametrów s, t oraz a możemy później oczytać wartości całek I (p). Przee wszystkim więc trzeba obliczyć całkę J. Wychoząc z określenia (B.21) J(s, t, a) = e s2 t 2 y e y2 +2y(s+t+a) = e s2 t 2 +(s+t+a) 2 y e y2 +2y(s+t+a) (s+t+a) 2 = e s2 t 2 +(s+t+a) 2 y exp{ [y (s + t + a)] 2 } (B.23) Biorąc nową zmienną całkowania z = y (s + t + a), sprowazamy pozostałą całkę o postaci "tablicowej" i otrzymujemy J(s, t, a) = e s2 t 2 +(s+t+a) 2 z e z2 e a2 +2st+2sa+2ta (B.24) Uzyskane la całki J wyrażenie rozwijamy w szereg J(s, t, a) (a 2 + 2st + 2sa + 2ta) m [2st + (a 2 + 2sa + 2ta)] m 1 m l=0 ( ) m (2st ) l ( a 2 + 2sa + 2ta ) m l, (B.25) l gzie w ostatnim kroku skorzystaliśmy z rozwinięcia wumianowego. Zestawmy teraz rozwinięcia (B.22) i (B.25) całki pomocniczej J p=0 (2a) p k! p! I (p) = π m l=0 ( ) m (2st ) l ( a 2 + 2sa + 2ta ) m l. (B.26) l Możnaby alej ciągnąć ogólne rozważania i starać się porównywać współczynniki rozwinięć po obu stronach. Takie ogólne rachunki są jenak ość skomplikowane, poprzestaniemy więc na szczegółowym omówieniu wóch przypaków szczególnych. Przypaek p = 0 Przypaek opowiaa całce = y H k (y) H n (y) e y2, (B.27) czyli tzw. całce ortogonalizacyjnej wielomianów Hermite a. W tym przypaku (p = 0), po lewej stronie wzoru (B.26) interesują nas jeynie te człony rozwinięcia, w których nie występuje parametr a. Wobec tego parametr ten nie może również występować w opowienich członach po stronie prawej. Możliwe to jest jeynie w tych wyrazach, w których m = l. Symbol wumianowy aje wówczas 1 i możemy napisać k! I(0) = π ( 2st ) m (B.28) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 7

3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 8 Po prawej parametry s i t występują w tej samej potęze, a zatem po lewej zostają jeynie te wyrazy, w których k = n. Oznacza to, że = I(0) nn δ, (B.29) biorąc to po uwagę, z (B.28) alej otrzymujemy t n π () 2 I(0) nn = 2 m s m t m. (B.30) Stą już bez truu oczytujemy wartość poszukiwanej całki nn = 2n π. (B.31) Łącząc formuły (B.27), (B.29) oraz (B.31) finalnie mamy = y H k (y) H n (y) e y2 = 2 n π δ, (B.32) co kończy obliczenia całki ortogonalizacyjnej wielomianów Hermite a. Przypaek p = 1 Baamy więc teraz całkę = y H k (y) H n (y) y e y2. (B.33) Tym razem w relacji (B.26) powinniśmy wyorębnić człony, w których p = 1, a więc z parametrem a w pierwszej potęze. A zatem po prawej także interesują nas skłanik w których występuje a = a 1. Człony takie opowiaają więc przypakowi, w którym m l = 1. Zauważmy przy tym, że człon m = 0 nie może ać wkłau, zatem możemy go pominąć, co więcej przyczynek o a 2 także jest nam niepotrzebnego więc i jego możemy także pominąć. W ten sposób, z (B.26) ostajemy 2a I(p) k! = m=1 π ( ) m 2a (2st) m 1 (s + t). m 1 (B.34) Czynnik 2a występujący po obu stronach się skraca, symbol wumianowy jest równy m. Wobec tego π k! I(p) = (m 1)! (2st)m 1 (s + t) m=1 2 m s m t m (s + t), (B.35) m gzie "przesunęliśmy" ineks sumacyjny. Rozpisując prawą stronę, gzie zamieniamy ineks sumowania, otrzymujemy k! I(1) = 2 k π k! ( s k+1 t k + s k t k+1) P. (B.36) Aby teraz oczytać współczynniki rozwinięcia, zajmiemy się opowienim przekształceniem prawej strony. P 2 k k! tk δ n,k+1 + π 2 k k! sk t n δ n,k+1 (B.37) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8

3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 9 W pierwszej sumie zamieniamy nazwy ineksów sumowania n k, otrzymując P 2 n tn s k δ k,n+1 + π k! (2 n k! δ k,n+1 + 2 k δ n,k+1 ) 2 k k! sk t n δ n,k+1 (B.38) Ponieważ δ k,n+1 = δ n,k 1, więc przyrównując lewą stronę (B.36) i prawą (B.38) mamy poszukiwane współczynniki rozwinięcia. A zatem = y H k (y) H n (y) y e y2 = ) π (2 n k! δ n,k 1 + 2 k δ n,k+1 = [ ] π 2 n (n + 1)! δ n,k 1 + 2 n 1 δ n,k+1 gzie w rugiej linii skorzystaliśmy z własności elt Kroneckera. Całka "o końca". B.4 Inne sposoby obliczania całek Całka Ponownie zajmiemy się całką = y H k (y) H n (y) y e y2, (B.39) jest więc obliczona (B.40) ale teraz policzymy ją zupełnie inną metoą. Występujący w obliczanej całce czynnik y H n (y) wyrazimy za pomocą relacji rekurencyjnej (B.15), która pozwala napisać y H n (y) = 1 2 H n+1(y) + n H n 1 (y), (B.41) co po wstawieniu o (B.40) aje nam = y H k (y) ( 1 2 H n+1(y) + n H n 1 (y) ) e y2. (B.42) Całka ta jest złożona z wóch całek, przy czym każa z nich jest typu całki ortogonalizacyjnej (B.32). Wobec tego bez truu otrzymujemy [ 1 = 2 2k k! π δ k,n+1 + n 2 k k! ] π δ k,n 1. (B.43) Korzystając z własności elt Kroneckera otrzymujemy [ 2 n (n + 1)! δ n,k 1 + 2 n 1 δ n,k+1 ]. (B.44) co kończy obliczenia całki, bowiem mamy rezultat ientyczny z wynikiem (B.39). Powyżej przestawione obliczenia za pomocą funkcji tworzącej są nieco barziej złożone niż te, w których korzystaliśmy z relacji rekurencyjnej la wielomianów Hermite a. Mimo to jenak, w wielu innych zastosowaniach, metoa funkcji tworzącej bywa niezwykle pożyteczna. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 9