AnFunI.tex June 3, 2015 ANALIZA FUNKCJONALNA I

AnFunI.tex June 3, 2015 1. Wstęp. ANALIZA FUNKCJONALNA I W kursie lgebry rozwżne były tylko odwzorownie wielo-liniowe przestrzeni wektorowych. w szczególnosci, mow był o formch biliniowych. Dl przestrzeni nd R głównym przykłdem był iloczyn sklrny: dodtni, dwuliniow form symetryczne. Przykłdem iloczynu sklrnego dl V = R n jest form fx, y = x 1 y 1 + + x n y n, x = x 1,..., x n, y = y 1,..., y n. Dl przestrzeni wektorowych nd C iloczyn sklrny ϕ nie może być funkcją biliniową, jeżeli m być zchown interpretcj ϕv, v jko kwdrtu normy. W przestrzeni C n iloczyn sklrny zdje się wzorem ϕx, y = x 1 y 1 + + x n y n, x = x 1,..., x n, y = y 1,..., y n. Istnieje więc potrzeb rozptrywni odwzorowń posidjących włsności jk ϕ ze względu n pierwszą zmienną. 2. Odwzorowni ntyliniowe. Niech V, W będą przestrzenimi wektorowymi nd C. Odwzorownie F : V W nzywmy ntyliniowym, jeżeli STWIERDZENIE 1. F λv + µw = λf v + µf w. 1 Jeżeli F : V W, G: W U są ntyliniowe, to G F jest liniowe. 2 Jeżeli jedno z odwzorowń F : V W, G: W U jest liniowe, drugie jest ntyliniowe, to G F jest ntyliniowe. Zbiór odwzorowń ntyliniowych z V do W tworzy przestrzeń wektorową nd C, którą oznczć będziemy ALV, W. Podobnie jk odwzorowni liniowe, odwzorownie ntyliniowe jest wyznczone przez swoje wrtości n wektorch bzy. Istnieje więc reprezentcj mcierzow odwzorowń ntyliniowych: i-t kolumn mcierzy [F ] f e jest równ [F e i ] f. Poniewż F λ 1 e 1 + λ n e n = λ 1 F e 1 + λ n F e n, mmy [F v] f = [F ] f e [v] e. Znk sprzężeni nd mcierzą oznczą sprzężenie kżdego elementu mcierzowego. Zjmijmy się szczególnym przypdkiem W = C. Przestrzeń funkcjonłów liniowych LV, C oznczć będziemy V, przestrzeń ALV, C funkcjonłów ntyliniowych V #. Będziemy też używć oznczeni f, v dl ewlucji fv. Niech F : V W będzie odwzorowniem liniowym. Odwzorownie W V : f f F jest, jk widomo, liniowe. Nzywć je będziemy odwzorowniem dulnym lub sprzężonym do F i oznczć będziemy F. Podobnie, odwzorownie W # V # : f f F 1

jest liniowe. Nzywć je będziemy odwzorowniem ntydulnym lub hermitowsko sprzężonym do F i oznczć będziemy F #. Jeżeli F : V W jest odwzorowniem ntyliniowym, to wzór f f F zdje odwzorownie F : W V # : f f F, które jest, jk łtwo sprwdzić, liniowe: Podobnie, odwzorownie F λf = λf F F # : W # V : f f F jest liniowe. Mjąc bzę e = e 1,..., e n w przestrzeni V definiujemy bzę dulną e = e 1,..., e n w V kłdąc e i, e j = δ ij. W tki sm sposób dostjemy też bzę dulną e # w V #. Z kursu lgebry wiemy, że [F ] e f = [F ]f e T, 1 łtwym rchunkiem sprwdzmy, że [F # ] e# f # = [F ]f e T, 2 DEFINICJA 2. Sprzężeniem zespolonym funkcjonłu liniowego ntyliniowego f n V nzywmy funkcjonł ntyliniowy liniowy f n V, zdefiniowny przez fv = fv. Sprzężenie zespolone dje knoniczny ntyizomorfizm t. j. ntyliniowy izomorfizm V i V #. W konsekwencji dje ntyizomorfizm przestrzeni LV, W i LV #, W #, zdefiniowny wzorem G G : Gf = Gf, gdzie G LV, W. Niech F LV, W. Oczywistym jest związek F # = F. Jk widomo z lgebry, dl przestrzeni wektorowych wymiru skończonego mmy knoniczny izomorfizm liniowy V i V, zdny wzorem V v ϕ v V : ϕ v f = f, v dl f V. Liniowość tego izomorfizmu wynik z fktu, że ewlucj f, v jest liniow ze względu n ob rgumenty. Podobnie, ten sm wzór zdje bijekcję V i V #. Tym rzem jednk f, v jest liniowe ze względu n f i ntyliniowe ze względu n v, więc bijekcj jest izomorfizmem ntyliniowym. Mówiąc inczej, struktur przestrzeni wektorowej nd C, indukown n V z V # różni się od wyjściowej. Struktur indukown różni się mnożeniem przez liczbę: λ v = λv. Zbiór V z tką strukturą przestrzeni wektorowej ozncz się V. Pozostje jeszcze zuwżyć, że odwzorownie V v ϕ v V # # : ϕ v f = f, v dl f V #, jest izomorfizmem liniowym. W przypdku wymiru nieskończonego wzory powyższe dją injekcje, le nie surjekcje, przestrzeni V w V, V # i V # #. Podsumowując: 2

STWIERDZENIE 3. 1 Istnieje knoniczny izomorfizm przestrzeni V # i V #. 2 Istnieje knoniczn injekcj ntyliniow przestrzeni V w V #. 3 Istnieje knoniczn injekcj ntyliniow przestrzeni V w V #. 4 Istnieje knoniczn injekcj liniow przestrzeni V w V # #. Dowód: 1 Niech ϕ V #. Wzór V # f ϕf C określ, jk łtwo sprwdzić, odwzorownie liniowe, więc element z V #. Oznczmy go przez ϕ. Przyporządkownie ϕ ϕ jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych. Co się zmieni, jeżeli w powyższym wzorze ϕ zstąpimy przez ϕ? 2 Sprzężenie zespolone dje ntyizomorfizm V i V #. Sprzężenie zespolone złożone z knonicznym włożeniem V w V dje żądne włożenie ntyliniowe. 3 Otrzymujemy przez złożenie włożeni z punktu drugiego z izomorfizmem z punktu pierwszego. 4 Otrzymujemy przez złożenie włożeni z punktu poprzedniego ze sprzężeniem zespolonym. Jko proste ćwiczenie zostwimy dowód nstępującego stwierdzeni, będące odpowiednikiem znnego z lgebry twierdzeni o odwzorownich sprzężonych. STWIERDZENIE 4. Dl F, G liniowych ntyliniowych mmy związki 1 F + G # = F # + G #, F + G = F + G, 2 λf # = λf #, λf = λf 3 G F # = F # G #, G F = F G 4 F # # F, F F. W przypdku skończenie-wymirowym inkluzje stją się równościmi. Niech terz F : V V będzie odwzorowniem liniowym. Odwzorownie sprzężone F : V V V jest schrkteryzowne związkiem i podobnie F v, w = ϕ v F w = F w, v 3 F # v, w = ϕ v F w = F w, v. 4 Odwzorownie liniowe F : V V nzywmy symetrycznym, jeżeli F = F n V, czyli F v, w = ϕ v F w = F w, v. Odwzorownie liniowe F : V V # nzywmy hermitowsko symetrycznym, jeżeli F # = F n V, czyli F v, w = ϕ v F w = F w, v. Podobnie, jeżeli F : V V jest odwzorowniem ntyliniowym, to F : V V # jest odwzorowniem liniowym. Odwzorownie sprzężone F # : V # # V V jest więc schrkteryzowne związkiem, zgodnie z 4, Równość F # = F n V ozncz F # v, w = ϕ v F w = F w, v = F w, v. F v, w = F w, v. 3

Jeżeli ntomist F : V V # jest odwzorowniem ntyliniowym, to F : V V jest odwzorowniem liniowym. Odwzorownie sprzężone F : V V V jest schrkteryzowne, zgodnie z 3, związkiem Równość F = F n V ozncz F v, w = ϕ v F w = F w, v = F w, v. 3. Przestrzenie z iloczynem sklrnym. F v, w = F w, v. DEFINICJA 5. Iloczynem sklrnym w przestrzeni wektorowej V nd C nzywmy odwzorownie: h: V V C tkie, że dl v, w V i α C mmy 1 hv, αw = αhv, w, 2 hv, w + w = hv, w + hv, w, 3 hv, w = hw, v, 4 hv, v > 0 dl v 0 hv, v R. Często możn spotkć inny zestw ksjomtów iloczynu sklrnego: 1 hv, αw = αhv, w, hαv, w = ᾱhv, w, 2 hv, w + w = hv, w + hv, w, hv + v, w = hv, w + hv, w, 3 hv, v R, 4 hv, v > 0 dl v 0. Oczywistym jest, że 1-4 pociąg z sobą 1-4. W obu też przypdkch h jest odwzorowniem liniowym ze względu n drugą, ntyliniowym ze względu n pierwszą zmienną. Mówimy, że h jest formą półtorliniową. Pokżemy terz równowżność obu definicji. Wyprowdzimy njpierw formułę polryzcyjną dl odwzorowni półtorliniowego. Mmy orz hv + w, v + w = hv, v + hw, w + hv, w + hw, v hιv + w, ιv + w = hv, v + hw, w ιhv, w + ιhw, v, stąd, mnożąc drugą tożsmość przez ι i dodjąc do pierwszej, dostjemy korzystjąc z półtorliniowości h hv, w = 1 2 hv+w, v+w hv, v hw, w+ι1 hιv+w, ιv+w hv, v hw, w. 5 2 Podobnie, mnożąc drugą tożsmość przez ι i dodjąc do pierwszej, dostjemy hw, v = 1 2 hv+w, v+w hv, v hw, w ι1 hιv+w, ιv+w hv, v hw, w. 6 2 Z wrunku 3 wynik więc równość 3. Spostrzeżenie: Im h jest formą R-dwuliniową, ntysymetryczną i niezdegenerowną. Re h jest formą R-dwuliniową, symetryczną i niezdegenerowną, więc zdje n V strukturę przestrzeni unormownej. Możemy ztem stosowć oznczeni i konstrukcje włściwe przestrzeniom z normą. Przede wszystkim, jest to przestrzeń metryczn, więc topologiczn. Pondto, 1 hv, w oznczmy v w 2 hv, v 1 2 będziemy oznczć v i nzywć normą długością wektor v. 4

Jk i w przypdku euklidesowym, mmy równość równoległoboku v + w 2 + v w 2 = 2 v 2 + w 2 Dowód: v + w 2 + v w 2 = v + w v + w v w v w = 2v v + 2w w Przykłdy: 1 C n z iloczynem sklrnym x y = x 1 y 1 + + x n y n. 2 Przestrzeń funkcji ciągłych n odcinku [, b] z iloczynem sklrnym f g = fg. 3 Przestrzeń C[, b] funkcji różniczkowlnych w sposób ciągły z iloczynem sklrnym f g = fg + f g, gdzie prim ozncz pochodną. Przestrzenie z drugiego i trzeciego przykłdu są wymiru nieskończonego. Jko przestrzenie metryczne nie są zupełne i możn je, metodą stndrdową, uzupełnić. Otrzymne w ten sposób przestrzenie oznczmy H 0 [, b] i H 1 [, b]. 3.1. Podstwowe włsności iloczynu sklrnego. TWIERDZENIE 6 Nierówność Schwrz. Jeśli V jest przestrzenią wektorową z iloczynem sklrnym, to v w v w. 7 Równość zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy v i w są liniowo zleżne. Dowód: Jeśli v = 0, to twierdzenie jest trywilne. Jeśli v 0, to rozptrzmy funkcję α: R t tv + w 2 R, czyli αt = t 2 v v + 2t Rev w + v w. Oczywiście αt 0, ztem wyróżnik tego trójminu jest niedodtni, tzn., Dl pewnego rzeczywistego ϕ mmy Rev w 2 v w 2 0. 8 v w = e ιϕ v w, ztem v w = e ιϕ v w = e ιϕ v w = Ree ιϕ v w. Stąd i z 8 dostjemy v w 2 e iϕ v 2 w 2 = v 2 w 2. 5

Jeżeli w = λv, to v w = λ v 2 = λv v = v w. Niech terz v w = v w i v w = e ιϕ v w. Rozptrzmy funkcję β: t βt = e ιϕ tv + w 2 = t 2 v 2 + 2t v w + w 2 = = t 2 v 2 + 2t v w + w 2 = t v + w 2. β jest równe zero dl t 0 = w v, czyli w = eιϕ w v v. Bezpośrednim wnioskiem z nierówności Schwrz jest nierówność trójkąt: v + w 2 = v 2 + 2 Rev w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = v + w 2. Ztem spełni ksjomty normy w przestrzeni wektorowej. Z nierówności Schwrz wynik też, że iloczyn sklrny jest funkcją ciągł n V V z normą produktową. Przy okzji zuwżmy, że w iloczynie krtezjńskim V W przestrzeni z iloczynmi sklrnymi, odpowiednio V i W możemy zdefiniowć iloczyn sklrny wzorem v, w v, w = v v V + w w W. Poniewż iloczyn sklrny h jest formą półtorliniową, odpowidją mu dw odwzorowni F h : V V i h F : V V # zdefiniowne przez F h jest odwzorowniem ntyliniowym: F h v, w = v w h F v, w = w v. 9 F h λv, w = λv w = λ F h v, w = λf h v, w, ntomist odwzorownie h F jest liniowe i, jk łtwo zuwżyć, hermitowsko symetryczne. Pondto h F v, w = w v = v w = F h v, w = F h v, w, czyli h F = F h. Jeżeli v ker F h, to F h v = 0 i 0 = F h v, v = hv, v = v 2. Stąd v = 0, czyli h F jest injekcją. W przypdku przestrzeni wymiru skończonego ozncz to, że h F jest izomorfizmem. Nie jest tk dl wymiru nieskończonego, le, jk zobczymy w dlszym ciągu wykłdu, po ogrniczeniu się do funkcjonłów ciągłych i spełnieniu wrunku zupełności przestrzeni, znów dostjemy izomorfizm. Dl dowolnego podzbioru A V przestrzeni z iloczynem sklrnym definiujemy zbiór A = {w V : v A, w v = 0}. Oczywistym jest, że A jest domkniętą podprzestrzenią wektorową przestrzeni V. Mją też miejsce nstępujące oczywiste relcje 1 Jeżeli A B, to A B. 2 A zwier njmniejszą domkniętą podprzestrzeń zwierjącą A. Zuwżmy jeszcze, że A = F 1 h A, gdzie A = {f V : fv = 0 v A}. Możemy tu zstąpić F h przez h F i V przez V #. 6

4. Przestrzenie Hilbert. Zupełn przestrzeń z normą jest przestrzenią Bnch. Zupełną przestrzeń z iloczynem sklrnym nzywmy przestrzenią Hilbert. Przestrzeń Hilbert jest przestrzenią Bnch, więc możn korzystć z rchunku różniczkowego i innych metod omwinych w kursie Anlizy. Wrto zwrócić uwgę n to, że nie kżd norm jest równowżn normie hilbertowskiej, tzn. pochodzącej od iloczynu sklrnego. Oczywiście, jest to możliwe dl wymiru nieskończonego. W przypdku wymiru skończonego, wszystkie normy są równowżne. Przypomnę tu, że dwie normy i n przestrzeni wektorowej V są równowżne, jeżeli istnieją liczby dodtnie, b tkie, że dl kżdego v V zchodzi nierówność v v b v. TWIERDZENIE 7 O rzucie prostopdłym. Niech H będzie przestrzenią Hilbert z iloczynem sklrnym h i niech W H będzie domkniętą podprzestrzenią wektorową. Wówczs H = W W w sensie lgebricznym i topologicznym. Dowód: Jeżeli v W W, to v v = 0, czyli v = 0. Czy H = W + W? Rozptrzmy funkcję H v αv = inf y W v y 2. Z definicji inf istnieje ciąg y n W tki, że αv = lim n v y n 2. Ztem możemy przyjąć, że Stąd i z równości równoległoboku αv v y n 2 αv + 1 n. y n y m 2 = v y m v y n 2 = = 2 v y m 2 + v y n 2 2v y m + y n 2 4α + 2 1 n + 1 m 4α = 2 1 n + 1 m 0 Ztem ciąg y n jest ciągiem Cuchy ego. Poniewż przestrzeń H jest zupełn, podprzestrzeń W jest domknięt jego grnic P v istnieje, nleży do W i αv = v P v. Pokżemy, że v P v W. Niech y W, wówczs funkcj m minimum w t = 0. Z drugiej strony czyli Pondto ft v P v + ty 2 ft = v P v 2 + 2t Rey v P v + t 2 y 2, 0 = f 0 = 2 Rey v P v. Imy v P v = Reιy v P v = 0, bo ιy W. Ozncz to, że v P v W. Rozkłd v = P v+v P v jest rozkłdem w sumie prostej lgebricznej! H = W W. Trzeb jeszcze pokzć, że sum t jest sumą topologiczną. Jest to ntychmistowy wniosek z poniższego rchunku v 2 = v v = P v P v + v P v v P v = P v 2 + v P v 2. Odwzorownie P zdefiniowne w dowodzie nzywmy rzutem ortogonlnym n podprzestrzeń W. Łtwym wnioskiem z twierdzeni o rzucie prostopdłym jet twierdzenie o reprezentcji funkcjonłu. 7

TWIERDZENIE 8 Riesz o reprezentcji funkcjonłu liniowego i ciągłego. Dl kżdego funkcjonłu liniowego i ciągłego f n przestrzeni Hilbert H istnieje dokłdnie jeden wektor w f H tki, że dl kżdego wektor v H zchodzi równość fv = w f v. Dowód: Niech W = ker f. Jest to domknięt podprzestrzeń liniow H. Domkniętość wynik z ciągłości f. N mocy twierdzeni o rzucie prostopdłym H = W W. Pokżemy, że W m wymir 1. Niech bowiem v, w W, to fvw fwv W i ffvw fwv = 0, więc fvw fwv W. Stąd fvw fwv = 0 co ozncz, że v, w są liniowo zleżne. Ztem istnieje dokłdnie jeden v 0 W tki, że v 0 = 1 i R fv 0 > 0. Połóżmy w f = fv 0 v 0. Mmy fw f = fv 0 2 = w f w f i stąd fv = w f v dl kżdego v H, bo rozkłdjąc v = λw f + w, gdzie w W, dostjemy fv = fλw f + w = λfw f = λw f w f = w f v. Uwg: OD TEGO MIEJSCA H H # oznczć będzie przestrzeń funkcjonłów liniowych ntyliniowych i CIĄGŁYCH n H. Przestrzenie H i H # są przestrzenimi Bnch przestrzeń odwzorowń liniowych i ciągłych między przestrzenimi Bnch jest przestrzenią Bnch. Twierdzenie Riesz ozncz, że odwzorowni F h : H H i h F : H H # 9 są surjektywne. Poniewż są też injektywne, są izomorfizmmi F h ntyliniowym, h F liniowym przestrzeni wektorowych. Pokżemy, że są izometrimi, czyli izomorfizmmi przestrzeni Bnch. TWIERDZENIE 9. Odwzorowni h F i F h są izometrimi zchowują normę. Dowód: Niech f = F h w f. Mmy f = sup fv = sup w f v = w f, v =1 v =1 bo z nierówności Schwrz w f v w f. Anlogicznie pokzujemy, że h F jest izometrią. Poniewż h F i F h są izometrimi, możn przy ich pomocy wyposżyć przestrzenie H i H # w iloczyn sklrny, zgodny z zstną normą: F h v F h w = w v h F v h F w = v w. Przykłd Przestrzeń l 2 ciągów liczb zespolonych, sumowlnych z kwdrtem, tzn. i l 2 jeżeli i 2 <, z iloczynem sklrnym i b i = ā i b i, jest przestrzenią Hilbert. Wykżemy njpierw, że szereg ā i b i jest zbieżny bezwględnie: z nierówności Schwrz w R N N i b i N i 2 N b i 2 i 2 b i 2 <, 1 1 1 czyli szereg definiujący iloczyn sklrny jest zbieżny. Trzeb terz wykzć zupełność przestrzeni l 2. Niech ciąg ā n będzie ciągiem Cuchy ego w l 2, ā n = n,i. Dl kżdego i ciąg n,i jest ciągiem Cuchy ego w C, więc zbieżnym do i. Niech ā = i. Pokżemy, że ā l 2 i że ā n ā w l 2. 8 1 1

5. Bzy w przestrzeni Hilbert. Niech V będzie przestrzenią wektorową. Bzą w V nzywmy zbiór B V tki, że kżdy jego skończony podzbiór jest liniowo niezleżny i kżdy wektor z V jest skończoną kombincją liniową wektorów bzy. W przypdku przestrzeni wektorowej z topologią, możemy zmodyfikowć pojęcie bzy żądjąc, by skończone kombincje liniowe tworzyły zbiór gęsty w V. Nie jest to jednk wystrczjące, i w przypdku ogólnej przestrzeni Bnch pojęcie bzy jest dość skomplikowne. W przestrzeni z iloczynem sklrnym możemy mówić o bzie ortogonlnej i bzie ortonormlnej, co zncznie uprszcz problem definicji. DEFINICJA 10. Bzą ortonormlną w przestrzeni Hilbert H nzywmy zbiór B H tki, że 1 kżdy skończony podzbiór B jest ortonormlny, 2 zbiór skończonych kombincji liniowych wektorów z B powłok liniow B jest gęsty w H. Wrunek drugi możn zpisć tk: njmniejszą domkniętą podprzestrzenią zwierjącą B jest cłe H. STWIERDZENIE 11. Niech B i B będą bzmi ortonormlnymi w przestrzeni Hilbert H. Wówczs B i B są zbiormi równolicznymi. Dowód: W przypdku wymiru skończonego jest to fkt znny z lgebry. Niech więc zbiory B i B będą co njmniej ℵ 0. Dl skończonego podzbioru {e 1,..., e k } B niech W będzie podprzestrzenią rozpiętą przez ten podzbiór. Z twierdzeni o rzucie ortogonlnym, dl kżdego b B b = P b + b P b P b, gdzie P : H W jest rzutem ortogonlnym. Poniewż ukłd wektorów {e 1,..., e k } jest ortonormlny, P b = e 1 be 1 + + e k be k i P b 2 = e 1 b 2 + + e k b 2 b = 1. Wynik stąd, że liczb vektorów z e B, dl których e b > 1 jest skończon dl n kżdego n. Ztem zbiór e B: e b 0 jest przeliczlny. W iloczynie krtezjńskim B B definiujemy podzbiór A = {e, b B B : e b 0}. Jest on mocy nie większej niż moc zbioru N B i nie mniejszej niż moc zbioru B dl kżdego b B istnieje conjmniej jeden wektor b B tki, że b b 0. Zbiór B jest nieskończony, więc moc N B jest równ mocy B. Wnioskujemy stąd, że moc A jest równ mocy B. Zmienijąc rolmi B i B dostjemy tezę. Mówimy, że przestrzeń Hilbert jest ośrodkow, jeżeli m przeliczlną bzę ortonormlną. Równowżnie, jeżeli m przeliczlny zbiór gęsty. STWIERDZENIE 12. Niech B będzie bzą ortonormlną w przestrzeni Hilbert H. Wówczs dl kżdego wektor v H v = e Be ve. 10 Dowód: Z dowodu poprzedniego stwierdzeni wiemy, że tylko przeliczln liczb wyrzów w sumie 10 jest różn od zer. Możemy więc ogrniczyć się do przypdku przestrzeni ośrodkowej z bzą {e 1, e 2,... }. Oznczmy przez W n podprzestrzeń rozpiętą przez n pierwszych wektorów bzy. Niech P n v = n 1 e i ve i. Oczywiście, P n v W n orz v P n v Wn, czyli P n v jest rzutem ortogonlnym v n W n. Z dowodu twierdzeni o rzucie ortogonlnym wiemy, że v P n v = inf v w, w W n 9

z czego wniosek, że ciąg v P n v jest mlejący. Poniewż n W n jest zbiorem gęstym w H, ciąg v P n v mleje do zer. Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilbert. Rozkłd 10 indukuje odwzorownie I B : H l 2 : v e i v. Odwzorownie to zchowuje iloczyn sklrny: w oznczenich z dowodu Stwierdzeni 12 v w = lim n P nv P n w = lim n n e i ve i w = e i v e i w. i Ozncz to, że bz w ośrodkowej przestrzeni Hilbert zdj jej izomorfizm będący izometrią z przestrzenią l 2. 5.1. Wżny przykłd. Niech H = L 2 [0, 2π], tzn. H jest uzupełnieniem przestrzeni funkcji ciągłych o wrtościch zespolonych n odcinku [0, 2π] z iloczynem sklrnym f g = 2π 0 ftgtdt. Niech e k t = 1 2π e ιkt. Sprwdzmy, że funkcje te tworzą ukłd ortonormlny w L 2 [0, 2π]: e l e k = 2π 0 { 0 dl k l e ιlt e ιkt dt = 1 dl k = l. Funkcje sin i cos rozdzielją punkty w [0, 2π[, więc z zespolonej wersji twierdzeni Weierstrss funkcje ciągłe n [0, 2π] z wrunkiem f0 = fπ możn jednostjnie przybliżć wielominmi od e 1 i e 1. Ale e 1 k = e k, więc powłok liniow ukłdu e k jest jednostjnie gęst w C[0, 2π] z wrunkiem brzegowym, więc gęst w L 2 [0, 2π]. Rodzin B = e k tworzy bzę w L 2 [0, 2π]. Odwzorownie I B : L 2 [0, 2π] l 2 nzyw się trnsformtą Fourier, reprezentcj L 2 [0, 2π] ft = k e ιkt szeregiem Fourier funkcji f. 6. Opertory w przestrzeni Hilbert. Zcznę od przytoczeni bez dowodu jednego z fundmentlnych twierdzeń Bnch: TWIERDZENIE 13 O wykresie domkniętym. Odwzorownie F : X Y między przestrzenimi Bnch jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jego wykres jest domknięty w X Y. To, że wykres odwzorowni ciągłego jest domknięty jest dość oczywiste. Trudny jest dowód wynikni w drugą stronę. Bezpośrednim wnioskiem jest stwierdzenie, że jeżeli F jest ciągłą bijekcją, to odwzorownie F 1 jest ciągłe. 6.1. Sprzężenie hermitowskie. Niech H będzie przestrzenią Hilbert i niech F EndH = LH, H. Dl kżdego w V odwzorownie H v w F v C jest liniowe, ztem n mocy twierdzeni o reprezentcji funkcjonłu liniowego istnieje w V tkie, że w F v = w v dl kżdego v. Oznczmy w = F w. Jk łtwo zuwżyć, odwzorownie F jest liniowe ddytywność oczywist: F λv w = λv F w = λv F w = λf v w = λf v w. 10

Nzywmy je sprzężeniem hermitowskim opertor F. Uwg. Sprzężenie hermitowskie opertor F możemy zdefiniowć używjąc odwzorowni F h : H H : F = F 1 h F F h, lub odwzorowni h F : H H # : F = h F 1 F # h F. STWIERDZENIE 14. Dl F, G LH, 1 F = F, 2 F + G = F + G, 3 λf = λf, 4 F G = G F. λ C mmy Dowód: 1 Dl v, w H mmy w F v = F w v = v F w = F v w = w F v. Stąd F v = F v i F = F. 2 Oczywiste. 3 Mmy λf w v = w λf v = w F λv = F w λv = λf w v. Stąd λf = λf. 4 F G w v = w F Gv = F w Gv = G F w v. Wniosek. Przyporządkownie F F jest ntyliniowym izomorfizmem w przestrzeni LH. DEFINICJA 15. Opertor F : H H nzywmy hermitowskim, jeżeli F = F, to znczy dl wszystkich v, w H w F v = F w v. Łtwo zuwżyć, że jeżeli opertory F, G są hermitowskie, to F + G też jest hermitowski, F G n ogół nie jest hermitowski. Z kolei dl hermitowskiego F, opertor λf jest hermitowski wtedy i tylko wtedy, gdy λ R. DEFINICJA 16. Opertor F : H H nzywmy izometrią jeżeli dl wszystkich v, w H mmy F v F w = v w. Jeżeli izometri jest surjekcją, to mówimy, że jest odwzorowniem unitrnym. Z równości F v = v wynik ciągłość F, czyli nie trzeb jej zkłdć. Oczywiście, opertor unitrny jest też injekcją, bo F v = 0 implikuje F v = v = 0. Odwzorownie odwrotne też jest odwzorowniem unitrnym: STWIERDZENIE 17. F 1 v F 1 w = F F 1 v F F 1 w = v w. i F jest unitrny wtedy i tylko wtedy, gdy jest surjekcją i dl wszystkich v H mmy F v F v = v v. ii F jest unitrny wtedy i tylko wtedy, gdy F F = Id = F F, czyli F = F 1. iii Jeżeli F, G są unitrne, to F G też jest unitrny. 11

Dowód: i Wynik z formuły polryzcyjnej 5 i 6. ii Mmy v w = F v F w = v F F w. Stąd równość F F = Id jest równowżn izometrii F. Z równości F F = Id wynik surjekcj F. Równość t ozncz też, że F 1 jest izometrią. iii v w = Gv Gw = F Gv F Gw. Łtwo zuwżyć, że sum opertorów unitrnych n ogół nie jest opertorem unitrnym. Z kolei dl F unitrnego λf jest unitrny wtedy i tylko wtedy, gdy λ = 1. Terz kilk słów o opertorch rzutowych. Opertor P LH tki, że P 2 = P nzywny jest opertorem rzutowym. Zdje on rozkłd H = V W n sumę prostą podprzestrzeni domkniętych: V = im P = kerid P i W = ker P. Opertor rzutowy P jest opertorem rzutu ortogonlnego, jeżeli ker P = im P, to znczy, przestrzeń wzdłuż której się rzutuje jest dopełnieniem ortogonlnym przestrzeni n którą się rzutuje. STWIERDZENIE 18. P : V wtedy, gdy P 2 = P i P = P. V jest opertorem rzutu ortogonlnego wtedy i tylko Dowód: Niech P 2 = P i P = P. Równość P 2 = P ozncz, że P jest opertorem rzutowym. Mmy pokzć, że im P = ker P. Niech v ker P i niech w im P, tzn., w = P w. Wówczs, poniewż P = P, v w = v P w = P v w = P v w = 0. im P i ker P są domknięte i rozpinją H, więc ker P = im P. Złóżmy terz, że P jest opertorem rzutu ortogonlnego n podprzestrzeń V. Niech v, v 1 H i niech v = w + w, v 1 = w 1 + w 1 gdzie w, w 1 V w, w 1 V. Mmy wówczs v P v 1 = v w 1 = w w 1 = w w 1 + w 1 = P v v 1. Jeżeli P jest opertorem rzutu ortogonlnego n podprzestrzeń V, to Id P jest opertorem rzutu ortogonlnego n V. N koniec ciekwostk: STWIERDZENIE 19. Jeżeli F : H H jest jednocześnie unitrny i hermitowski, to 1 2 Id F orz 1 2 Id + F są opertormi rzutu ortogonlnego. Dowód: Zuwżmy, że 1 2 Id F jest hermitowski. Pondto 1 2 Id F 2 = 1 4 Id 2F + F 2 = 1 4 Id 2F + F F = 1 Id F. 2 N mocy poprzedniego stwierdzeni dostjemy tezę dl 1 2 Id F. Wystrczy terz zuwżyć, że 1 2 Id + F = I 1 2 Id F. 12

7. Teori Dystrybucji. Jk w skrypcie Anliz III. 8. Odwzorowni Fredholm i zwrte. Niech X i Y będą przestrzenimi Hilbert. Jk wiemy z Twierdzeni Riesz, możemy utożsmić funkcjonły liniowe n przestrzeni Hilbert z elementmi przestrzeni Hibert. Możemy, le nie musimy i w tym rozdzile robić tego nie będziemy. Będziemy ntomist korzystć z knonicznego izomorfizmu X = X i równości dl odwzorowń F = F. Niech F : X Y będzie odwzorowniem liniowym i ciągłym. Odzwzorownie sprzężone F : Y X : f f F jest też ciągłe ogrniczone i jego norm jest równ normie F : F = sup F x = sup x =1 x =1 sup f =1 f, F x = sup sup f =1 x =1 F f, x = sup F f = F f =1 Interesowć ns będzie równnie F x = b. Wrunkiem rozwiązlności jest b im F, więc pytnie o rozwiązlność równni sprowdz się do opisu obrzu odwzorowni F. Stwierdzenie 1. im F = ker F = {y Y g, y = 0 g ker F }. Dowód: Jeżeli y im F, to dl g ker F mmy y, g = F x, g = x, F g = 0. Stąd im F ker F, poniew ker F jest zbiorem domkniętym, również im F ker F. W drugą stronę: zwiernie im F ker F jest równowne zwierniu im F ker F. Jeżeli g im F, to dl kżdego x X 0 = F x, g = x, F g i stąd F g = 0. Ztem im F ker F, le im F = im F. Bezpośrednim wnioskiem jest Stwierdzenie 2. Jeżeli F : X Y jest injekcją w zbiór gęsty, to również F : Y X jest injekcją w zbiór gęsty. Dowód: ker F = im F = 0 i im F = ker F = ker F = 0 Z tką sytucją spotkliśmy się już przy omwiniu dystrybucji. Podstwowym dl dlszych rozwżń jest nstępujące twierdzenie: Twierdzenie 1. Dw wrunki są równowżne: 1 dim ker F < i im F jest domknięty, 2 z kżdego ciągu ogrniczonego x n tkiego, że ciąg F x n jest zbieżny, możn wybrć podciąg zbieżny. Dowód: 2 1 Jeżeli wybierzemy ciąg ogrniczony x n tki, że x n ker F, to możn z niego wybrć podciąg zbieżny. Stąd domknięt kul jednostkow w ker F jest zwrt, czyli wymir ker F jest skończony. Oznczmy V = ker F, ortogonlne dopełnienie ker F. Indukowne odwzorownie F : V Y jest injekcją. Pokżemy, że istnieje c tkie, że dl x V zchodzi nierówność x c F x. 11 13

Istotnie, gdyby tkie c nie istniło, to dl kżdego j możn by znleźć wektor x j tki, że 1 = x j j F x j. Dl tkiego ciągu F x j 0, więc możn wybrć podciąg x jk, zbieżny do pewnego x. Oczywiście x = 1 i x V, le z ciągłości F, F x = lim F x jk = 0. Sprzeczność, bo F n V jest injekcją. Nierówność 11 ozncz, że odwzorownie odwrotne n im F jest ciągłe, poniewż wykres jest domknięty, to nie możn go przez ciągłość rozszerzyć. Stąd jego dziedzin, czyli im F, musi być domknięty. 1 2 Niech x j będzie ciągiem ogrniczonym i tkim, że ciąg F x j jest zbieżny. Rozłożymy ten ciąg n sumę dwóch: x j = y j + z j, gdzie y j ker F i z j ker F. Ciągi te są też ogrniczone, bo x j 2 = y j 2 + z j 2. Przestrzeń ker F jest wymiru skończonego, więc możn wybrć podciąg zbieżny y jk. Pondto F z j = F x j, więc ciąg F z j jest zbieżny. Ale F : ker F im F jest izomorfizmem im F jest domknięty, więc odwrotne odwzorownie jest ciągłe, więc ciąg z j jest zbieżny. Stąd ciąg x jk = y jk + z jk jest zbieżny. 8.1. Odwzorowni zwrte. Odwzorownie liniowe i ciągłe K: X Y nzywmy zwrtym, jeżeli zbiory ogrniczone przeprowdz w prezwrte, tzn. z kżdego ciągu ogrniczonego x n możn wybrć podciąg x nk tki, że ciąg Kx nk jest zbieżny. Oczywistym jest, że złożenie odwzorowni ogrniczonego czyli ciągłego ze zwrtym jest odwzorowniem zwrtym mówimy tylko o odwzorownich liniowych. Stwierdzenie 2. Odwzorownie dulne do odwzorowni zwrtego jest odwzorowniem zwrtym Dowód: Niech K: X Y będzie odwzorowniem zwrtym, C X : X X i C Y : Y Y izomorfizmmi Riesz. Niech cig g n w Y będzie ogrniczony. Ciągi K g n i C 1 X K g n są też ogrniczone. Ztem istnieje podciąg g nk tki, że ciąg KC 1 K g nk jest zbieżny bo K jest zwrty. Mmy K g n g m 2 = C 1 X K g n g m C 1 X K g n g m = K g n g m, C 1 X K g n g m = g n g m, KC 1 X K g n g m = C 1 Y g n g m KC 1 X K g n g m C 1 Y g n g m KC 1 X K g n g m M KC 1 K g n g m bo ciąg g n jest ogrniczony. Ze zbieżności KC 1 K g nk wynik zbieżność K g nk. Podm terz brdzo wżny przykłd odwzorowń zwrtych. Niech Ω będzie obszrem ogrniczonym w R n, z głdkim brzegiem. Przestrzeń H s Ω definiujemy jko uzupełnienie przestrzeni funkcji głdkich względem normy iloczynu sklrnego f g s = α s Ω D α fd α g. Równowżną normę dl s > 0 dostniemy biorąc jko iloczym sklrny odwzorownie f, g α =s Ω D α fd α g + fg. Ω Przestrzeń H s Ω możemy też definiowć jko przestrzeń funkcji z L 2 Ω, których pochodne dystrybucyjne do rzędu s też nleżą do L 2 Ω. Mmy oczywisty ciąg gęstych włożeń H 0 Ω H 1 Ω H 2 Ω H s Ω. 14

Włożeni te są odwzorownimi zwrtymi Lemt Rellich. Mmy stąd dulny ciąg zwrtych i gęstych włożeń H 0 Ω H 1 Ω H 2 Ω H s Ω. Utożsmimy H 0 Ω = L 2 Ω z dulną do niej i oznczmy H s Ω = H s Ω. Otrzymujemy w ten sposób ciąg zwrtych i gęstych włożeń H s Ω H 1 Ω H 0 Ω H 1 Ω H 2 Ω H s Ω. 12 8.2. Odwzorowni Fredholm. Niech V będzie podprzestrzenią wektorową przestrzeni Hibert X. Przestrzeń ilorzow X/V m nturlną strukturę przestrzeni wektorowej, le jeżeli V nie jest podprzestrzenią domkniętą, to nie m w X/V topologii tkiej, że rzut knoniczny jest odwzorowniem ciągłym V jest przeciwobrzem zer, punkt jest zbiorem domkniętym. Niech więc V będzie podprzestrzenią domkniętą. Mmy oczywiste utożsmienie X/V z V, stąd nturlną strukturę przestrzeni Hilbert w X/V. Poniewż X = V + V i w konsekwencji X = V + V, przestrzeń duln do X/V może być utożsmion z V. W szczególności, dl liniowego i ciągłego odwzorowni F : X Y mmy Y/im F im F, Y/im F im F. Stąd i ze Stwierdzeni 1 wynik, że dim Y/im F = dim ker F. Przestrzeń Y/im F nzywn jest kojądrem F. Definicj 1. Odwzorownie liniowe i ciągłe F : X Y nzywmy Fredholm, jeżeli im F jest podprzestrzenią domkniętą, dim ker F orz dim Y/ im F są skończone. Stwierdzenie 3. Jeżeli odwzorownie F : X Y jest Fredholm, to dulne odwzorownie F : Y X jest też Fredholm. Dowód: Mmy im F = ker F i stąd ker F = Y/ im F, więc dim ker F = dim Y/ im F <. Odwzorownie F indukuje izomorfizm przestrzeni Hilbert F : X/ ker F im F, więc też izomorfizm dulny F : im F X/ ker F. Poniewż im F = ker F, to im F = Y / ker F, z równości im F = ker F wynik X/ ker F = ker F = im F. Mmy ztem izomorfizm F : Y / ker F im F, z drugiej strony bijekcję F : Y / ker F im F. Poniewż F = F sprwdzić!, to im F = im F. Oczywiście dimx / im F = dim ker F <. Brdzo wżny jest fkt, że zburzenie odwzorowni Fredholm odwzorowniem zwrtym pozostje odwzorowniem Fredholm. Twierdzenie 3. Jeżeli F : X Y jest Fredholm, K: X Y zwrty, to F + K: X Y jest też Fredholm. Dowód: Niech x n będzie ogrniczonym ciągiem w X tkim, że ciąg F + Kx n jest zbieżny. Ze zwrtości K istnieje podciąg x nk tki, że Kx nk jest ciągiem zbieżnym. Ztem F x nk jest też zbieżny, poniewż F jest Fredholm, to Twierdzenie 1 istnieje podciąg zbieżny x nkl. Z Twierdzeni 1 dim kerf + K < i obrz imf + K jest domknięty. Zstępując F, K przez ich dulne i korzystjąc ze Stwierdzeń 2, 3 dim kerf + K <. 8.3. Zgdnienie brzegowe. Dl prostoty, niech K = R. Niech B będzie funkcją symetryczną, biliniową i ciągł n przestrzeni Hilbert X. Odpowidjące jej odwzorownie 15

liniowe X X jest też ciągłe, z powodu symetrii B, smosprzężone. Prostym rchunkiem sprwdzmy, że jest to pochodn funkcji ϕ: X R: x 1 2Bx, x. Weźmy terz, dl obszru spójnego Ω, X = H 1 Ω i Bf, g = Ω i f, i g, i. Widć, że Bf, g = f g Ω fg, gdzie iloczyn sklrny jest w H1 Ω. Ztem stowrzyszone odwzorownie liniowe F : X X jest różnicą F = C 1 C 0, gdzie C 1 : X X jest izomorfizmem Riesz, C 0 : X X jest izomorfizmem Riesz H 0 Ω H 0 Ω, złożonym z knonicznymi włożenimi H 1 Ω H 0 Ω i H 0 Ω H 1 Ω. Wiemy 12, że włożeni te są gęste i zwrte, ztem odwzorownie C 0 jest zwrte. Z Twierdzeni 3 wiemy, że odwzorownie F jest Fredholm. Poniewż form B jest symetryczn, F jest odwzorowniem smosprzężonym. Ztem im F = ker F. Z dodtniości funkcji kwdrtowej f Bf, f i z tego, że F jest pochodną funkcji 1 2Bf, f, z Bf, f = 0 wynik F f = 0. Ztem jądro F jest zbiorem zer funkcji kwdrtowej Bf, f. Mmy więc ker F = {f f, i = 0}, czyli f z ker F jest funkcją stłą. Zobczmy, jk możn interpretowć F f dl głdkich funkcji.z twierdzeni Guss-Green, ω i f, i g, i = fg + f n g, Ω Ω gdzie f n jest skłdową normlną do brzegu grdientu funkcji f. Pr ρ, D n nleży do obrzu f jeżeli Ω ρ + Ω D n = 0. W elektrosttyce ten wrunek ozncz, że cłkowity łdunek jest równy zero tw. Guss. 8.4. Alterntyw Fredholm. Brdzo istotne w zstosownich jest poniższe twierdzenie. Twierdzenie 4 Alterntyw Fredholm. Niech A: X X będzie zwrtym odwzorowniem przestrzeni Hilbert X w siebie. Możliwe są dwie, wykluczjące się sytucje 1 odwzorownie Id A jest surjekcją, czyli dl kżdego g X istnieje rozwiąznie równni Id Af = g, 2 jądro odwzorowni Id A jest nietrywilne, czyli równnie jednorodne Id Af = 0 m nietrywilne rozwiąznie, i pondto wymiry jądr i kojądr Id A są równe. Dowód: Twierdzenie to jest oczywiste w przypdku A smosprzężonego, bo wtedy obrz jest nihiltorem jądr opertor I A jest Fredholm, więc obrz jest domknięty. W przypdku ogólnym wystrczy pokzć, że dim kerid A = dim cokerid A. Istotnie, równość t ozncz, że kerid A = {0} wtedy i tylko wtedy, gdy imid A = X. Dowód przeprowdzimy w trzech etpch. Oznczmy T = Id A. i dim coker T = 0 dim ker T = 0 oznczmy M n = ker T n. Oczywiście {0} = M 0 M 1 M 2.... Ciąg ten stbilizuje się, bo gdyby M n M n+1 dl kżdego n, to istniłby ciąg ortonormlny f n tki, że f n M n, f n / M n+1. Dl tkiego ciągu Af n Af n 2 = f n T f n + f m T f m = f n 2 + T f n + f m T f m 2 f n 2 = 1 dl n > m, bo wtedy T f n + f m T f m M n 1, f n M n 1. Czyli z ciągu Af n nie możn wybrć podciągu zbieżnego, co jest sprzeczne ze zwrtością A. Ztem ciąg M n stbilizuje się. Przypuśćmy terz, że dim ker T 0, tzn. istnieje niezerowy f 1 tki, że T f 1 = 0. Ale im T jest cłą przestrzenią, więc istnieje f 2 tkie, że T f 2 = f 1. Podobnie f 2 = T f 3 itd. Ciąg f n m tą włsność, że f n M n i f n / M n 1. Istnienie tkiego ciągu ozncz, że ciąg podprzestrzeni M n nie stbilizuje się. Sprzeczność. ii dim ker T = 0 dim coker T = 0 Wystrczy udowodnić 3, czyli,+ że dim ker T = dim coker T, dim coker T = dim ker T i zstosowć i do opertor T. 16

iii dim ker T = dim coker T Niech ϕ 1,..., ϕ n będzie bzą ker T, ψ 1,..., ψ m bzą przestrzeni dopełnijącej im T. Przypuśćmy, że m > n. Modyfikujemy opertor A kłdąc à = A n ϕ i ψ i, T = Id λ à i=1 à jest opertorem zwrtym jk sum zwrtego i skończenie-wymirowego, więc możemy stosowć ii do T. Jeżeli T f = 0, to T f = 0 i n i=1 f ϕ iψ i = 0, stąd f ϕ i = 0. Ztem f = 0. Sprzeczność, bo z m > n wynik, że kojądro T nie jest zerowe. 9. Równni cłkowe. 9.1. Opertor cłkowy. Dl prostoty, zjmijmy się równnimi cłkowymi dl funkcji n odcinku I = [, b]. Opertorem cłkowym Fredholm nzywmy opertor A postci Oszcujmy Af w normie L 2 I: Afx = K A x, yfydy. [ ] b 2 b 2dx Afx = K A x, yfydy dx KAx, 2 ydy f 2 ydy dx = f 2 ydy K 2 Ax, ydy, czyli Af L 2 I K A x, y L 2 I I f L 2 I. Ozncz to, że K A L 2 I I definiuje ciągły opertor A: L 2 I L 2 I z szcowniem normy A K A x, y L 2 I I. Zuwżmy, że 1 K A x, y = K A y, x, 2 K AB x, y = K Ax, zk B z, ydz. Pokżemy terz, że opertor cłkowy jest zwrty. Przydtny tu będzie ogólniejszy fkt. Twierdzenie 5. K: X X jest opertorem zwrtym wtedy i tylko wtedy, gdy jest grnicą, w normie opertorowej, opertorów skończenie-wymirowych, tj. tkich, których obrz jest wymiru skończonego. Dowód: Niech K będzie opertorem zwrtym. Obrz kuli jednostkowej jest zbiorem prezwrtym, czyli jego domknięcie jest zbiorem zwrtym. Dl kżdego ε > 0 istnieje skończony zbiór x 1,..., x nε w X tki, że i Kx i, ε zwier obrz kuli jednostkowej. Ozncz to, że dl kżdego x < 1 odległość Kx od przestrzeni V ε rozpiętej n x 1,..., x nε jest mniejsz od ε. Stąd wniosek, że K P ε K ε, gdzie P ε jest rzutem ortogonlnym n V ε. K jest grnicą normową P ε K. W drugą stronę. Niech K K n < 1 n, gdzie K n jest opertorem skończenie-wymirowym. Weźmy ciąg ogrniczony x j, x j 1. Istnieje podciąg x j1,k tki, że ciąg K 1 x j1,k jest zbieżny. Nstępnie wybiermy podciąg x j2,k ciągu x j1,k, tk, by ciąg K 2 x j2,k był zbieżny, itd. Podciąg x jn,k jest więc tki, że dl m n ciąg k K m x jn,k jest 17

zbieżny. Możn przy tym tk wybierć te podciągi, by dl k, l > n zchodził nierówność K n x jn,k Kx jn,l < 1 n. Ciąg Kx jn,n jest zbieżny, bo dl m > n Kx jn,n Kx jm,m Kx jn,n K n x jn,n + K n x jn,n K n x jm,m + K n x jm,m Kx jm,m 3 n. Dl pokzni, że opertor cłkowy A jest zwrty, wystrczy udowodnić, że jest grnicą opertorów skończenie-wymirowych. L 2 I możn wybrć przeliczlną bzę ortonormlną ϕ n. Funkcje ϕ nm x, y = ϕ n xϕ m y tworzą bzę ortonormlną w L 2 I I. Mmy więc K A = α nm ϕ nm, Af = α nm ϕ n fϕ m. n,m n,m Oznczmy przez P N rzut ortogonlny n podprzestrzeń rozpiętą przez N pierwszych wektorów bzy. Mmy N P N AP N f = α nm ϕ n fϕ m. n,m=1 Stąd P N AP N A w normie opertorowej, bo jądr zbiegją w L 2 I I. Zjmiemy się terz równniem cłkowym Id λaf = g, gdzie A jest, jk zwykle, opertorem cłkowym z jądrem K A. Istotn jest zwrtość tego opertor. 9.2. Wzory Fredholm. Spróbujmy rozwiązć równnie Id λaf = g, Afx = K A x, yfydy. 13 W pierwszym odruchu piszemy g = Id λa 1 f i Id λa 1 1 = Id λa = λ k A k, 14 le gwrncję zbieżności mmy tylko w przypdku λa < 1, co nm nie wystrcz. Przedstwmy Id λa 1 w postci Id + λr i spróbujmy wyznczyć opertor R, zwny rezolwentą równni. Jk łtwo zuwżyć, R = A Id λa. Poniewż A jest opertorem zwrtym, to tkże R jest opertorem zwrtym. Może cłkowym? Jeżeli tk, to jego jądro R nzywmy jądrem rozwiązującym. Poniewż mmy tożsmość Id λar = A, to jądro rozwiązujące spełni jeżeli istnieje równnie Rx, y λ k=0 K A x, zrz, ydz = K A x, y. 15 Oznczmy x1... x K m A = det [ Kx y 1... y i, y j ] 16 m 18

i zdefiniujmy dλ = 1 λ 1! orz dx, y; λ = K A x y y1 K A dy y 1 + + 1n λ n 1 n! λ 1! + 1n λ n n! x y1 K A y y 1 dλ nzywne jest wyzncznikiem Fredholm. Twierdzenie 6. dy 1 + K A x y1... y n y y 1... y n 1 Szeregi dλ i dx, y; λ mją nieskończony promień zbieżności. dx, y; λ 2 Rx, y =. dλ Dowód: Skorzystmy z nierówności Hdmrd det[ ij ] n n ij 2. j=1 Wynik z niej, że jeżeli sup K A x, y = M, to K x1... x m A y 1... y m i=1 y1... y K n A dy y 1... y 1 dy n + n 17 M m m m 2. Jeżeli więc oznczymy przez n współczynnik przy λ n w rozwinięciu dλ, to dy 1 dy n +. 18 n M n n n 2 n! b n i stąd n n Mb n n 1 2 n! n 0. Ztem promień zbieżności szeregu 17 jest nieskończony. Podobnie pokzujemy, że promień zbieżności szeregu 18 jest nieskończony. Zuwżmy terz, że z rozwinięci Lplce względem pierwszej kolumny mmy tożsmość x y1... y K n A = y y 1... y n K A x, yk A y1... y n y... y n y1 y K A x, y 1 K 2... y n A y y 2... y n + 1 k y1... y K A x, y k K k y k+1... y n A y... y k 1 y k+1... y n y1... y = K A x, yk n y1 y A K y... y A x, y 1 K 2... y n A n y y 2... y n + + K A x, y k K A yk y 1... y k 1 y k+1... y n y y 1... y k 1 y k+1... y n 19

czyli wszystkie skłdniki, począwszy od drugiego, dją ten sm wkłd do cłki y1... y K n A dy y 1... y 1 dy n. n Mmy więc x y1... y K n A y y 1... y n n dy 1 dy n = K A x, y K A x, sk A s y1... y n 1 y y 1... y n 1 y1... y K n A y 1... y n dsdy 1 dy n 1. dy 1 dy n Dostjemy stąd tożsmość dx, y; λ = K A x, ydλ + λ K A x, sds, y; λds, czyli dx, y; λ dλ jest rozwiązniem równni rezolwenty 15. Przykłd 1. Niech K A = m i=1 u x1... x ixv i y. Mmy w tym przypdku K n A = y 1... y n 0 dl n > m, czyli szeregi 17 i 18 są summi pierwszych m + 1 wyrzów. N przykłd, rozptrzmy równnie fx + 2 x + yfydy = gx, czyli K A x, y = x + y i λ = 2. Tutj x x1 x K A = K y A x, y = x + y, K 2 A = y 1 y 2 x 1 + y 1 x 1 + y 2 x 2 + y 1 x 2 + y 2, i stąd dλ = 1 λ 1 dx, y; λ = x + y λ W szczególności, 0 2y 1 dy 1 + λ2 2! 1 Dostjemy stąd rezolwentę 0 1 0 4y 1 y 2 y 1 + y 2 2 dy 1 dy 2 = 1 λ λ2 12, 2y 1 x + y x + y 1 y 1 + ydy 1 = x + y λx + y + λxy + 1 2 λx + y + 1 3 λ. d 2 = 1 + 2 1 3 = 8 3, dx, y; 2 = 2x + y 2xy 2 3. Rx, y = 3 4 x + y 3 4 xy 1 4 i rozwiąznie fx = gx 2 1 0 3 4 x + y 3 4 xy 1 4 gydy 20