Wprowadzenie do układów skorelowanych

Wprowadzenie do układów skorelowanych Rafał Topolnicki Wrocław, 16 grudnia 2010 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 1 / 53

Plan Plan Formalizm drugiej kwantyzacji, Idea modelu Bose-Hubbarda, Wybrane twierdzenia na przypadku 1D, Analityczne rozwiązanie dla kryształu składającego się z dwóch elektronów i dwóch węzłów, Symulacja komputerowa: Problemy numeryczne, Operacje na macierzach rzadkich, Schemat działania programu, Wyniki Literatura Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 2 / 53

Plan O modelu Model Hubbarda to skrajnie uproszczony model uwzględniający oddziaływania elektron-elektron w ciele stałym Ashcroft Mermin Fizyka ciała stałego Możliwości Mimo swojej prostoty model jest niezwykle trudny do rozwiązania. Niemniej jednak pozwala na opis takich zjawisk jak: antyferromagnetyzm, ferromagnetyzm, ferrimagnetyzm, nadprzewodnictwo, przewidywanie metal/izolator Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 3 / 53

Plan O potrzebie modelu Hubbarda Model prawie swobodnych elektronów: elektrony poruszają się w periodycznym U(r + R) = U(r) potencjalne rdzeni jonowy (oddziaływanie jon-elektron), istnienie słabego potencjału prowadzi do pasmowej struktury ciała stałego, przybliżenie Hartree-Focka może prowadzić do błędnych wyników, przykład: CoO ma nieparzystą liczbę elektronów w komórce elementarnej - zgodnie z teorią pasmową powinien być przewodnikiem. Niestety jest izolatorem. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 4 / 53

Formalizm drugiej kwantyzacji Pierwsze kwantowanie Ogólna postać Hamiltonaniu układu N oddziaływujących cząstek: H = N T (x k ) + 1 2 k=1 N k l=1 V (x k, x l ) x k - dowolne współrzędne (przestrzenne, V (x k, x l ) - oddziaływanie między spinowe) każdą parą cząstek Stan układu opisuje funkcja falowa Ψ(x 1,..., x N, t) będąca rozwiązaniem rsch: i t Ψ(x 1,..., x N, t) = HΨ(x 1,..., x N, t) Cel: Wyrażenie Hamiltonaniu za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 5 / 53

Formalizm drugiej kwantyzacji Stan n-cząstkowy Stan n bezspinowych nierelatywistycznych cząstek dany jest przez funckję falową Φ(x 1,..., x n ). Zbiór wszystkich takich funkcji całkowalnych z kwadratem tworzy przestrzeń Hilberta H n = L 2 (R 3n ) = {Φ(x 1,..., x n ); dx 1... dx n Φ(x 1,..., x n ) 2 < } Iloczyn tensorowy H - przestrzeń stanów jednocząstkowych. Przez stan układu n-cząstowego rozumiemy iloczyn φ 1... φ n = φ 1... φ n Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 6 / 53

Formalizm drugiej kwantyzacji Iloczyn tensorowy - właściwości liniowość φ 1... (αφ i + βψ i )... φ n = α φ 1... φ i... φ n +β φ 1... ψ i... φ n iloczyn skalarny między φ 1,..., φ n i ψ 1,..., ψ n φ 1,..., φ n ψ 1,..., ψ n = φ 1 ψ 1... φ n ψ n = możemy określić przestrzeń liniową: określamy obserwable jednociałowe H... H = H n A j = I... A... I A j φ 1... φ j... φ n = φ 1... Aφ j... φ n Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 7 / 53

Formalizm drugiej kwantyzacji Symetryzacja przestrzeni Statystyka układu zależy od jego zachowania przy zamianie cząstek w układzie. Operator permutacji P π : H n H n, P π φ 1... φ n = φ π(1)... φ π(n) Zasada symetryzacji: Stan n identycznych cząstek kwantowych jest albo symetryczny albo antysymetryczny za względu na zamianę cząstek. Wprowadzamy operatory symetryzacji S + i antysymetryzacji S S = 1 ( 1) π P π S + = 1 n! n! π przestrzenie na które rzutują S + i S są ortogonalne (bo S + S = 0). W przestrzeni H n interesujące są dwie podprzestrzenie cząstki symetryczne - bozony H+ n = S + H n cząstki antysymetryczne - fermiony H n = S H n π P π Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 8 / 53

Formalizm drugiej kwantyzacji Przestrzenie ze zmienną liczbą cząstek Mamy przestrzeń stanów jednocząstkowych H, zsymetryzowaną przestrzeń H n ν n-cząstkową. Aby skonstruować przestrzeń, ze zmienną liczbą cząstek musimy wprowadzić przestrzeń H 0 = {λ Φ(0) ; λ C} Stan z nieustaloną liczbą cząstek dany jest jako ciąg: Φ = { Φ(0), Φ(1),..., Φ(n),...} = { Φ(n) } n Zbiór tych wektorów, które są normowalne tj: Φ Φ = Φ(n) Φ(n) < n=0 nazywamy przestrzenią Focka. Równoważnie możemy napisać F ν (H) = S ν H n n=0 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 9 / 53

Formalizm drugiej kwantyzacji Operatory kreacji i anihilacji Z każdym jednocząstkowym stanem φ i H wiążemy operator: kreacji c (φ) : S ν H n S ν H (n+1) zdefiniowany jako: c (φ) φ 1,..., φ n ν = n + 1 φ, φ 1,..., φ n ν anihilacji c(φ) : S ν H n S ν H (n 1) zdefiniowany przez: c(φ) φ 1,..., φ n ν = 1 n c(φ) = (c (φ)) n i=1 (ν) i 1 φ φ i φ 1,..., φ i 1, φ i+1,..., φ n ν Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 10 / 53

Formalizm drugiej kwantyzacji Reguły (anty)komutacji bozony fermiony [b k, b j ] = δ kj [b k, b j ] = [b k, b j ] = 0 {c r, c s} = δ rs {c r, c s } = {c r, c s} = 0 reguły te prowadzą do właściwej statystyki zakaz Pauliego (c s) 2 = (c s) 2 = 0 wartości własne operatora liczby cząstek 0,1 c sc s = 1 c sc s = (c sc s) 2 = c sc s Równanie Schrödingera w drugiej kwantyzacji Ĥ = r,s i Ψ(t) = Ĥ Ψ(t) t c r r T s c s + 1 c 2 rc s rs V tu c u c t Wprowadzenie do układow skorelowanych rstu Wrocław, 16 grudnia 2010 11 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Określenie modelu Założenia modelu: Sieć krystaliczna Λ składa się z węzłów Λ = {x, y,...} Zakładamy, że atomy sieci znajdują się w stanie podstawowym, Elektrony zewnętrznych powłok zostają uwspólnione - elektrony Blocha. Elektrony wewnętrznych powłok pozostają niezaburzone i związane z rdzeniem. Mogą jednak z niezerowym prawdopodobieństwem tunelować do sąsiednich węzłów. Pomijamy elektrony wewnętrznych powłok (za duża energia wzbudzenia) Pomijamy całkowicie strukturę wewnętrzną atomów. Elektrony żyją na sieci. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 12 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Przeskoki (hopping) elektronów Gdy pominiemy oddziaływania elektron-elektron H t = t ij c i c j ij Λ gdzie t ij = t ji odpowiada prawdopodobieństwu przejścia elektronu z węzła j do węzła i t ij i j = d 3 rφ(r R i ) φ(r R j ) φ(r R i ) - funkcja falowa elektronu na i-ty węźle. Uwzględniamy spin: H t = t ij c iσ c jσ ij Λ σ=, H t uwzględnia więc wszystkie możliwe przeskoki elektronów w układzie Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 13 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Przeskoki (hopping) elektronów W przybliżeniu ograniczamy się do najbliższych sąsiadów H t = t ij c iσ c jσ = 1D c iσ c (i+1)σ + c (i+1)σ c iσ iσ ij σ Bliskość w sensie geometrycznym nie musi oznaczać bliskości w sensie energetycznym. Gdy elektron znajduje się orbitalu s- lub d- wtedy łatwiej przeskoczyć mu do sąsiada po przekątnej. Najlepsze wyniki uzyskuje się uwględniając przeskoki do najbliższego i drugiego-najbliżeszego sąsiada. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 14 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Oddziaływanie elektronów ze sobą Najogólniejsza postać: U = d 3 r 1 d 3 r 2 φ(r 1 ) 2 V ( r 1 r 2 ) φ(r 2 ) 2 Oddziaływanie Columbowskie jest długo zasięgowe. W ciele stałym jest ono jednak ekranowane: V (r) = 1 r e rk długość ekranowania k 1 jest wielkością rzędu promienia Bohra stąd największy wkład mają dwukrotnie okupowane stany: H U = U i n i n i Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 15 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Hamitonian Hubbarda H = H t + H U = t ij c iσ c jσ + U ij Λ σ i Λ σ = t i,j,σ n iσ ( ) c iσ c jσ + c jσ c iσ + U iσ n iσ... i jego podstawowe właściwości fizyka układu zależy od U/t U podwójne obsadzanie węzłów jest energetycznie niekorzystne. Gdy N = Λ układ dąży stanu n jσ = 1 j, σ. Fluktuacje ładunku są kosztowne energetycznie - izolator. dla U < człon kinetyczny i potencjalny konkurują ze sobą dla U = 0 metal Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 16 / 53

Użyteczne obserwable Model Hubbarda i jego właściwości Operator całkowitej liczby cząstek Oczywiście 0 N 2 Λ Operator spinu w węźle i Λ Ŝ (α) i = 1 2 ˆN = i Λ,σ n i,σ c iσ (p(α) ) σ,τ c iσ σ,τ gdzie α = 1, 2, 3 i p (α) to macierze Pauliego: [ ] [ ] p (1) 0 1 =, p (2) 0 i = 1 0 i 0, p (3) = [ ] 1 0 0 1 Operator całkowitego spinu Ŝ (α) tot = i Λ S (α) i Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 17 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości... i ich własności [ ˆN, H] = 0 - hamiltonian nie zmienia liczby cząstek w układzie, [Ŝ(α) tot, H t ] = [Ŝ(α) tot, H U ] = 0 operatory Ŝ(α) tot nie komutują ze sobą. Postępujemy podobnie jak w wypadku momentu pędu. Operator kwadratu całkowitego spinu: (Ŝ tot ) 2 = 3 (Ŝ(α) tot ) 2 α=1 Wartości własne Ŝ(3) tot i (Ŝ tot ) 2 to odpowiednio S (3) tot i S tot (S tot + 1). Maksymalny spin { N/2 gdy 0 N Λ S max = Λ N/2 gdy Λ N 2 Λ Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 18 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Non-Hopping System Wróćmy do najogólniejszej postaci HH. Załóżmy, że t ij = 0. Wtedy macierz hamiltonianu jest diagonalna. Niech X σ Λ to zbiór wszystkich węzłów sieci zajętych przez elektrony o spinie σ. Stan własny hamiltonianu: Ψ = Energia własna: i X c i E = j X c j x X X U x Stan podstawowy dla danej liczby elektronów E można wybrać tak aby minimalizował energię E. Jeżeli N = X + X Λ stan można wybrać tak aby X X =, wtedy E = 0. Brak uporządkowania. Paramagnetyk Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 19 / 53

Non-Interacting System Model Hubbarda i jego właściwości Oddziaływanie między elektronami znosimy przyjmując U i = 0 i Λ. Jednoelektronowe równanie Schrödingera: t xy ϕ y = εϕ x y Λ gdzie ϕ = (ϕ x ) (x Λ) - jednoelektronowa funkcja falowa, ε - jej energia własna. Oznaczmy stany własne powyższego równania przez ϕ (j) = (ϕ (j) x ) x Λ a energie własne przez ε j. Definiujemy operator kreacji w stanie własnym ϕ (j) jako: a jσ = x Λ ϕ (j) x c xσ Niech A i B to dwa dowolne podzbiory Λ spełniające A + B = N. Można pokazać, że stan własny i energia własna H = H t wynoszą: Ψ A,B = j A a j j B a j, E A,B = ε j + ε j j A j B Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 20 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Non-Interacting System Wybierając A i B tak aby minimalizować E A,B otrzymamy stan podstawowy Ψ GS. Gdy widmo energii własnych jest niezdegenerowane a N parzyste stan podstawowy jest zadany jednoznacznie N/2 Ψ GS = j=1 a j a j Całkowity spin tego stanu wynosi 0 a stan wykazuje właściwości paramagnetyczne. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 21 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Najniższa energia Niech N jest ustaloną liczbą elektronów. Dla S = 0, 1,..., S max. Określamy E min (S) jako najniższą możliwą energię własną stanów które spełniają ˆNΦ = NΦ oraz ( S ˆ tot ) 2 Φ = S(S + 1)Φ Magnetyczne właściwości układu Jeżeli całkowity spin stanu podstawowego jest proporcjonalny do wielkości układu Λ = ferromagnetism in broad sens Jeżeli dodatkowo całkowity spin stanu podstawowego jest równy S max to mówimy że system wykazuje saturated ferromagnetism Zgodnie z poprzednią definicją możemy napisać: E min (S) > E min (S max ) S < S max Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 22 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie Lieba-Mattisa Rozważmy model Hubbarda na jednowymiarowej sieci Λ = {1, 2,..., N} z otwartymi warunkami brzegowymi. Zakładamy, że t xx <, 0 < t xy < gdy x y = 1 i t xy = 0 w przeciwnym przypadku. Niech dodatkowo U x <, wtedy energia minimalna E min (S) spełnia nierówność: dla każdego S = 0, 1,..., S max. Wnioski E min (S) < E min (S + 1) stan podstawowy układu ma całkowity spin S tot = 0, brak ferromegnetyzmu, twierdzenie nie jest udowodnione dla periodycznych warunków brzegowych, zupełnie inne zachowanie układu gdy dopuszczamy przeskoki do drugiego sąsiada, Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 23 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie Koma-Tasakiego Rozważmy model Hubbarda w 1 lub 2 wymiarach z skończonymi przeskokami. Istnieją wtedy stałe α, γ oraz { c x y c c x c αf(β) dla d = 2 y c y + h.c β exp( γf(β) x y ) dla d = 1 i S x S y β { x y αf(β) dla d = 2 exp( γf(β) x y ) dla d = 1 dla odpowiednio dużego x y, gdzie... β to średnia kanoniczna w granicy termodynamicznej β = 1/kT a f(β) to malejąca funkcja β która dla małych β zachowuje się jak ln β a dla dużych jak β 1. Wnioski Nie tworzą się pary elektronowe nie ma nadprzewodnictwa. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 24 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Half-Filled Systems Half-Filled System - N = Λ - fizycznie najczęściej spotykana sytuacja. Przybliżenia U t Pokazaliśmy wcześniej, że można tak wybrać podsieci X, X żeby E = 0 W układach HF N = Λ X X = = X X = Λ. Stąd stan podstawowy ( ) Ψ σ =, σ = (σ(x)) x Λ x Λ c x,σ(x) Można pokazać, że zamiana spinu: prowadzi do obniżenia energii własnych. Zgodność z modelem Heisenberga antyferromagnetyzmu. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 25 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Definicja: Dwudzielność Rozważmy dowolny model Hubbarda na sieci Λ. Powiemy, że układ jest dwudzielny, jeżeli Λ może być przedstawiony jako rozłączna suma dwóch zbiorów A i B (tj. Λ = A B i A B = ) oraz t xy = 0 ( x, y A lub x, y B) Twierdzenie Lieba Rozważmy dowolny dwudzielny model Hubbarda na dowolnej spójnej sieci Λ. Zakładamy, że Λ jest parzyste oraz że U x = U > 0 x Λ. Wtedy stan podstawowy jest niezdegenerowany i jego spin całkowity wynosi S tot = A B /2 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 26 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie o znaku korelacji spinowych Przy założeniach poprzedniego twierdzenia zachodzi: Ψ GS ˆ Sx Ŝ y Ψ GS = { > 0 gdy x, y A albo x, y B < 0 gdy x A, y B albo x B, y A Ferrimagnetyzm na przykładzie CuO sieć możemy podzielić na dwie podsieci - czarną i białą, na czarnej sieci długości L znajduje się L 2 czarnych i 2L 2 białych węzłów, zakładamy, że t xy 0 dla każdej krawędzi, z tw. Lieba mamy S tot = A B /2 = L 2 /2 ale całkowity spin 3L 2 ferrimagnetyzm Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 27 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Prawdziwa sieć CuO Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 28 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Ferromagnetyzm w modelu Hubbarda Ferromagnetyzm - wszystkie spiny w tą samą stronę, Układy Half-Filled mają tendencję do antyferromagnetyzmu, Twierdzenie - brak ferromagnetyzmu dla małych U Niech {ε j } j=1,...,n to energie własne stanów jednoelektronowych ε j ε j+1. Jeżeli 0 U ε N ε 1 to E min (S max 1) < E min (S max ) i w stanie podstawowym nie zachodzi S tot = S max Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 29 / 53

Model Hubbarda i jego właściwości Nagaoka s Ferromanetism Niech Λ to dowolna sieć. Niech txy 0, U x = i N = Λ 1. Istnieje wtedy stan podstawowy z S tot = S max. Jeżeli układ jest spójny to stan ten niezdegenerowany. Mielke s Ferromanetism Weźmy dowolny model Hubbarda na sieci typu kagome, wtedy dla każdego U > 0, stan podstawowy układu ma S tot = S max i jest niezdegenerowany. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 30 / 53

Nagaoka s Ferromanetism Model Hubbarda i jego właściwości Niech Λ to dowolna sieć. Niech txy 0, U x = i N = Λ 1. Istnieje wtedy stan podstawowy z S tot = S max. Jeżeli układ jest spójny to stan ten niezdegenerowany. Mielke s Ferromanetism Weźmy dowolny model Hubbarda na sieci typu kagome, wtedy dla każdego U > 0, stan podstawowy układu ma S tot = S max i jest niezdegenerowany. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 30 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 Weźmy skrajnie uproszczony przypadek - N=2 elektrony, Λ =2 węzły sieci Obserwacje: stan wektory bazowe binkod φ 1 c 1 c 0 0 1010 φ 2 c 0 c 0 0 0011 φ 3 c 0 c 1 0 1001 φ 4 c 1 c 0 0 0110 φ 5 c 1 c 1 0 1100 φ 6 c 0 c 1 0 0101 Macierz dowolnego operatora w bazie { φ i } i będzie macierzą 6x6, Suma jedynek w binkodzie jest równa ilości elektronów, Wektory bazowe nie są zadane jednoznacznie, Stany c iσ c iσ nie są dozwolone, Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 31 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Hamiltonian Hamiltonian Hubbarda redukuje się do: ( ) H = H t + H U = c 0 c 1 + c 1 c 0 + c 0 c 1 + c 1 c 0 + U (n 0 n 0 + n 1 n 1 ) Szukamy jego elementów macierzowych, tj: H ij = φ i H φ j = φ i (H t + H U ) φ j = φ i H t φ j + φ i H U φ j Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 32 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Hamiltonian. Część potencjalna Widać, że część potencjalna daje wkład jedynie gdy dany węzeł jest zajmowany przez 2 elektrony. Jest to miara ich elektrostatycznego oddziaływania. { 0 φi i = {1, 3, 4, 6} H U φ i = U φ i i = {2, 5} Stąd macierz potencjalnej składowej hamiltonianu ma postać: 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 H U = U 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 33 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Hamiltonian. Część kinetyczna Aby znaleźć stan H t φ i korzystamy z relacji antykomutacyjnych dla fermionów: {a r, a s} = δ rs a r a s = 1 a sa r Dla przykładu znajdziemy: { {a r, a a s} = {a r, a s } = 0 r a s = a sa r a r a s = a s a r H t φ 2 = t(c 1 c 0 + c 1 c 0 )c 0 c 0 0 = t(c ( 1 c 0 c 0 c 0 + c 1 c 0 c 0 c 0 ) 0 ) = t c 1 c 0 c 0 c 0 + c 1 (1 c 0 c 0 )c 0 0 ( ) = t c 1 c 0 (1 c 0 c 0 ) + c 1 (1 c 0 c 0 )c 0 0 = t c 1 c 0 + c 1 c 0 c 0 c 0 +c 1 }{{} c 0 c 1 c 0 c 0 c 0 0 }{{} ( =0 ) =0 = t c 1 c 0 + c 1 c 0 0 = t( 3 + 4 ) Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 34 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Hamiltonian. Część kinetyczna Stąd macierz H Podobnie znajdujemy pozostałe stany: t ma postać: 0 0 0 0 0 0 H t φ 1 = 0 H t φ 2 = t( φ 3 + φ 4 ) 0 0 1 1 0 0 H t φ 3 = t( φ 2 + φ 5 ) H t = t 0 1 0 0 1 0 H t φ 4 = t( φ 2 + φ 5 ) 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 H t φ 5 = t( φ 3 + φ 4 ) 0 0 0 0 0 0 H t φ 6 = 0 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 35 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Całkowity hamiltonian Macierz całkowitego hamiltonianu układu wynosi więc: 0 0 0 0 0 0 0 U t t 0 0 H = H t + H U = 0 t 0 0 t 0 0 t 0 0 t 0 0 0 t t U 0 0 0 0 0 0 0 Struktura powyższej macierzy jest identyczna z macierzą operatora spinu S z +1 0 Stąd wniosek, że stan φ 1 odpowiada liczbie S z = 0 kwantowej S z = +1, stan φ 6 liczbie S z = 1 0 a stany φ 2... φ 5 liczbie S z = 0 0 1 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 36 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Zmniejszenie wymiaru macierzy H Zachowanie S z pod działaniem H, które wynika z ogólnego faktu [H, S z ] = 0, pozwala zredukować macierz 6x6 do dwóch macierzy 1x1 i jednej 4x4 Operator odbicia lustrzanego Zdefiniujmy operator odbicia lustrzanego na sieci Λ = {0, 1} M(0) = 1, M(1) = 0 Z operatorem M można stowarzyszyć operator M w przestrzeni Hilberta rozwiązań: Mc 0σ c 1π 0 = c M(0)σ c M(1)π 0 = c 1σ c 0π 0 σ, π {, } Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 37 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Symetrie w układzie Dla wektorów bazy φ i mamy: M φ 1 = φ 1 M φ 2 = + φ 5 M φ 3 = + φ 4 M φ 4 = + φ 3 M φ 5 = + φ 2 M φ 6 = φ 6 Stany φ 1, φ 6 wykazują (anty)parzystość. Chcemy aby pozostałe stany również miały taką właściwość. Dokonujemy zmiany wektorów bazowych na: ψ 1 = φ 1 ψ 2 = 1 2 ( φ 2 + φ 5 ) ψ 3 = 1 2 ( φ 3 + φ 4 ) ψ 4 = 1 2 ( φ 3 φ 4 ) ψ 5 = 1 2 ( φ 2 φ 5 ) ψ 6 = φ 6 Nowe wektory parzyste są symetryczne lub antysymetryczne: M ψ 1 = ψ 1 M ψ 2 = + ψ 2 M ψ 3 = + ψ 3 M ψ 4 = ψ 4 M ψ 5 = ψ 5 M ψ 6 = ψ 6 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 38 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Symetrie upraszczają H Największy zysk z wprowadzenia bazy { ψ i } i manifestuje się uproszczeniu macierzy H. H t ψ 1 = 0 H t ψ 2 = 2t ψ 3 H t ψ 3 = 2t ψ 2 H t ψ 4 = 0 H t ψ 5 = 0 H t ψ 6 = 0 H U ψ 2 = U ψ 2 H U ψ 5 = U ψ 5 U 2t 0 0 H (Sz=0) = 2t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 39 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Wartości własne H = 0 0 0 0 0 0 0 U 2t 0 0 0 0 2t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U 0 0 0 0 0 0 0 Wartości własne macierzy H E = 0 tryplet dla trzech wartości spinu (S z = +1, 0, 1), E = U wartość odpowiadająca wektorowi ψ 5, E ± = U/2 ± (U/2) 2 + 4t 2 Stan podstawowy ma energię odpowiada energii E < 0 i jest singletem. Pierwszy stan wzbudzony jest trypletem o energii E = 0. Funkcja falowa stanu podstawowego ( E = 4 ψ 2 + U + ) U t U 2 + 16 ψ 3 GGGGGGGGGGA ψ 3 φ 3 + φ 4 Dla U t mamy: E 4t2 U, E + U Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 40 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Zależność energii stanów od wartości U Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 41 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Efektywniejsze sposoby znajdywania elementów macierzowych Metoda obrazkowa Załóżmy, że mamy układa składający się z dwóch elektronów i trzech węzłów. Element macierzowy H ij między stanem ψ i i ψ j ψ j = H ij = t przeskok ψ i = ψ k = H ik = 0 obrót spinu ψ l = H il = 0 podwójny przeskok ψ n = H in = t przeskok Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 42 / 53

Toy-Model N=2, Λ =2 Efektywniejsze sposoby znajdywania elementów macierzowych Reprezentacja liczb obsadzeń c i n 1,..., n M = n i + 1 n 1,..., n i + 1,..., n M c i n 1,..., n M = n i n 1,..., n i 1,..., n M ˆn i n 1,..., n M = n i n 1,..., n i,..., n M dla bozonów dla fermionów n i = {0, 1,..., N}, n i = N n i = {0, 1}, n i = N i i Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 43 / 53

Problemy numeryczne Wartości własne Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić że: 1 Macierze są bardzo duże np: ( ) ( 2N M 2N ) ( M = 18 ) ( 9 18 ) 9 = 48620 48620. Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla typu double 2,2GB; dla int 1,1GB) 2 Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe, 3 Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu, podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U, 4 Interesuje nas 10% wartości własnych Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 44 / 53

Problemy numeryczne Jak szukać wartości własnych Istnieje wiele bibliotek numeryczncyh umożliwiających szukanie wartości własnych. Skupimy się na dwóch: GSL W stylu C, Prosta w obsłudze, Nie obsługuje macierzy rzadkich, Działa jedynie na double, Bardzo popularna. ARPACK++ Obiektowość, Trudna i nieintuicyjna w obsłudze, Obsługa macierzy rzadkich, Nie narzuca typu danych, Niewiele szybsza niż GSL. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 45 / 53

Problemy numeryczne Definicja: Macierz rzadka Macierz rzadka to macierz, której większość elementów stanowią zera. Format CSC (Harwell-Boeing) Istnieją specjalne formaty przechowywania macierzy rzadkich. ARPACK++ używa formatu CSC 1 7 8 0 val = 1 2 3 7 8 1 3 M = 2 0 0 0 row = 1 2 4 1 1 3 4 0 0 1 0 3 0 0 3 col = 1 4 5 7 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 46 / 53

Problemy numeryczne Przykłady macierzy w modelu Hubbarda Rysunek: Niezerowe elementy macierzy dla 7 elektronów i 7 węzłów, stanowią jedynie 0.2% wszystkich elementów Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 47 / 53

Problemy numeryczne Przykłady macierzy w modelu Hubbarda Rysunek: Zależność procentowej ilości niezerowych elementów od ilości elektronów dla przypadku N = M. Prawo potęgowe! Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 48 / 53

Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 Znajdujemy przestrzeń Hilberta. Na sieć M = Λ węzłów można nanieść 0 N 2M elektronów na 2 2M sposobów. W tym celu wprowadzamy innną numerację stanów węzeł 0 1 2... spin... nr 0 1 2 3 4 5... Wtedy każdemu stanowi odpowiada liczba w systemie dwójkowym np: węzeł 0 1 2... spin... bin 0 1 1 1 0 0... Spośród wszystkich wszystkich możliwych stanów wybieramy te z ustaloną liczbą elektronów N - ilość jedynek w binkodzie musi być równa N c 0σ c 1σ + h.c = c 0 c 1 + c 0 c 1 + h.c = c 0 c 2 + c 1 c 3 + h.c σ Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 49 / 53

Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 W takiej reprezentacji niezwykle łatwo jest zaprogramować operatory kreacji i anihilacji: a j b1, b2,..., bj,..., b2m = { 0 gdy bj = 1 b 1, b 2,..., b j 1, 1, b j+1,..., b 2M gdy b j = 0 a j b 1, b 2,..., b j,..., b 2M = operator liczby cząstek iloczyn skalarny { 0 gdy bj = 0 b 1, b 2,..., b j 1, 0, b j+1,..., b 2M gdy b j = 1 n j b 1, b 2,..., b j,..., b 2M = b j b 1, b 2,..., b j,..., b 2M b 1, b 2,..., b j,..., b 2M b 1, b 2,..., b j,..., b 2M = δ b 1... δ b b 2M b 1 2M Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 49 / 53

Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 Szukanie elementów macierzowych Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 49 / 53

Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 Szukanie wartości własnych Istnieją specjalne metody szukania wartości własnych macierzy rzadkich - metoda Lanczosa, metoda Arnoldiego. GSL nie potrafi obsługiwać macierzy rzadkich stąd szukanie wartości własnych z jego użyciem jest niezwykle czasochłonne. ARPACK++ potrafi w bardzo efektywny sposób szukać wartości własnych macierzy rzadkich. Przykład: N = 6, Λ = 6, U = {100, 101,..., 110}, t = 1 Elementy macierzowe 28,5s + wartości własne GSL 200.9-28.5=172,4s Elementy macierzowe + wartości własne ARPACK ++ 39.2s j.w z indeksowaniem 25.5s Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 49 / 53

Wyniki symulacji Energia stanu podstawowego Energia stanu podstawowego w funkcji U. N = 2, Λ = 2, t = 1 Zgodność wyniku symulacji z teorią. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 50 / 53

Wyniki symulacji Energia stanu podstawowego Wartości energii własnych są wielokrotnie zdegenerowane Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 51 / 53

Literatura Literatura 1 Hal Tasaki, The Hubbard Model - Introduction and Selected Rigorous Results arxiv:cond-mat/9512169v4, 19 Dec 1997 2 Samuel Bieri, Some Introductory Notes on the Hubbard Model 3 S. Akbar Jafari, Intoduction to Hubbard Model and Exact Diagonalization 4 Philippe A. Martin, Francois Rothen, Many-Body Problems and Quantum Field Theory 5 A.L. Fetter, J.D. Walecka, Kwantowa teoria układów wielu cząstek 6 Witold Baryluk, Silnie skorelowany kwantowy układ wielu ciał - model Bose-Hubbarda i metody numeryczne jego badania 7 Bogdan Damski, Jakub Zakrzewski, The mott insulator phase of the one dimensional bose-hubbard model arxiv:cond-mat/0603030 8 ARPACK++ user s guide, http://www.ime.unicamp.br/~chico/arpack++/arpackpp.ps.gz Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 52 / 53

Literatura Dziękuję za uwagę Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia 2010 53 / 53