Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch Rzędem równania nazwam najwższ rząd wstępującej w równaniu pochodnej cząstkowej niewiadomej funkcji Definicja Całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnm równania różniczkowego cząstkowego rzędu n w obszarze D nazwam funkcję która posiada ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie spełniającą dane równanie w każdm punkcie tego obszaru Przkład Sprawdzić że funkcja u( jest rozwiązaniem szczególnm równania u u w obszarze D Rozwiązanie Jest to równanie różniczkowe cząstkowe rzędu pierwszego Funkcja z u( ma ciągłe pochodne cząstkowe Podstawiając oraz równania widzim że równanie jest spełnione dla dowolnch ( D u u do Definicja Całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnm równania różniczkowego cząstkowego nazwam zbiór wszstkich całek szczególnch równania Przkład Znaleźć rozwiązanie ogólne równania: u Rozwiązanie u dlatego u C oraz C nie zależ od zmiennej Oznacza to że u H ( gdzie funkcja H jest dowolną funkcją określoną na która posiada ciągłą pochodną rzędu pierwszego Następnie: u H ( d F( C a tutaj C nie zależ od Rozwiązaniem ogólnm jest funkcja: u( F( G( ) natomiast funkcje F (t) oraz G (t) są dowolnmi funkcjami określonmi na o ciągłch pochodnch rzędu pierwszego także na Definicja Zagadnienie Cauch ego (zagadnienie początkowe) dla równania u f ( u ) polega na wznaczeniu takiego rozwiązania z u( tego równania w obszarze D warunek początkow u( ( u Twierdzenie Jeżeli funkcja f v v v ) jest analitczna w pewnm otoczeniu punktu ( 3 v4 które spełnia ( z v ) i funkcja ( jest analitczna w pewnm otoczeniu to istnieje takie otoczenie punktu ) w którm zagadnienie Cauche go ma dokładnie jedno rozwiązanie analitczne ( Przkład Znaleźć rozwiązanie równania spełniające warunek początkow u( u RRCz /9
Rozwiązanie Szukam funkcji z u( spełniającej dane równanie różniczkowe cząstkowe rzędu pierwszego której wkresem jest pewna powierzchnia nazwam ją powierzchnią całkową Z warunku początkowego wnika że częścią wspólną tej powierzchni oraz płaszczzn jest parabola z leżąca na tej płaszczźnie z Interpretacja warunku początkowego ) Znajdujem rozwiązanie ogólne równania: u u u d u C gdzie C nie zależ od u( F( ) - rozwiązanie ogólne F() dowolna funkcja określona na która posiada ciągłą pochodną ) Korzstam z warunku początkowego u( ) celem znalezienia funkcji F () : F( ) F( ) Odp Rozwiązaniem szczególnm równania spełniającm dan warunek początkowe jest funkcja: u ( z Paraboloida hiperboliczna z RRCz /9
Równania o pochodnch cząstkowch rzędu drugiego liniowe względem niewiadomej funkcji u ( Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm rzędu drugiego liniowm względem niewiadomej funkcji u( nazwam równanie: (*) A u B u C u D u E u F u G gdzie A A( B B( C C( D D( E E( F F( nazwam współcznnikami a G G( nazwam wrazem wolnm Jeżeli G ( to równanie (*) nazwam równaniem jednorodnm Zakładam że współcznniki równania oraz wraz woln mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego w pewnm obszarze płaskim D oraz że A B C dla każdego punktu należącego do D Definicja Wróżnikiem równania (*) nazwam funkcję: ( B 4 A C Definicja Jeżeli dla każdego ( należącego do obszaru D D : ) ( to równanie (*) nazwam równaniem tpu hiperbolicznego w obszarze D ) ( to równanie (*) nazwam równaniem tpu parabolicznego w obszarze D 3) ( to równanie (*) nazwam równaniem tpu eliptcznego w obszarze D Przkład Podać obszar w którch zachowuje się tp równania: ( ) u u ( ) u u u Rozwiązanie ( 4( ) ) 4( ) równanie tpu hiperbolicznego (na rs zielon D D D ) 4( ) równanie tpu parabolicznego (na rs czerwon - nie jest obszarem) 3) 4( ) równanie tpu eliptcznego (na rs niebieski) Odp: Równanie jest tpu hiperbolicznego na obszarze D a jest tpu eliptcznego na obszarze D oraz obszarze D W dalszm ciągu zajmiem się równaniami dla którch wróżnik jest stałego znaku na obszarze D Definicja Przekształcenie: h( g( nazwam przekształceniem nieosobliwm obszaru D wted i tlko wted gd w tm obszarze spełnione są warunki: a) funkcje h( g( mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego h ( h ( b) g ( g ( Twierdzenie Tp równania jest niezmiennikiem przekształcenia nieosobliwego obszaru D RRCz 3/9
Definicja Postacią kanoniczną równania (*) nazwam równanie: ) u ( u u u ) dla równania tpu hiperbolicznego ) u ( u u u ) lub u ( u u u ) dla równania tpu parabolicznego 3) u u ( u u u ) dla równania tpu eliptcznego Twierdzenie Istnieje przekształcenie nieosobliwe obszaru D za pomocą którego równanie (*) można przekształcić do postaci kanonicznej Definicja Krzwą ( const dla ( D nazwam krzwą charakterstczną lub charakterstką równania (*) gd funkcja ( ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i jest rozwiązaniem równania: B C A Twierdzenie Równania różniczkowe zwczajne: d d d d A B C gd A lub C B A gd C d d d d są równaniami krzwch charakterstcznch równania Ponadto jeżeli równanie (*) jest na obszarze D tpu: ) hiperbolicznego to ma dwie rodzin charakterstk rzeczwistch ) parabolicznego to ma jedną rodzinę charakterstk rzeczwistch 3) eliptcznego to ma dwie rodzin charakterstk zespolonch Metod sprowadzanie równania (*) do postaci kanonicznej ) Dla tpu hiperbolicznego: Mam dwie rodzin charakterstk rzeczwistch: d B d B a) gd A lub d A d A d B d B b) gd C d C d C Oznaczając równania charakterstk: h( C g( C stosujem przekształcenie h( g( )Dla równania tpu parabolicznego: Mam jedną rodzinę charakterstk rzeczwistch: d B a) gd A lub d A d B b) gd C d C Oznaczając h( C stosujem przekształcenie: h ( h ( h( g( gdzie g ( dowolna funkcja taka że g ( g ( Najczęściej wgodnie jest przjąć g( lub g( RRCz 4/9
3) Dla równania tpu eliptcznego: d B i d B i a) gd A lub d A d A d B i d B i b) gd C d C d C Oznaczając h( i g( C oraz h( i g( C stosujem przekształcenie: h( g( Przkład Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie: u u u u na obszarze D ( : Rozwiązanie Badam tp równania: A B C zatem B 4AC 4 dla ( D stąd wnioskujem że równanie jest eliptczne na D Tworzm równanie charakterstk d d d B i d B i ( ) ( ) a stąd d d d A d A d i d i d d ( ) i C ( ) i C Otrzmaliśm dwie rodzin charakterstk: ( ) i C oraz ( ) i C Sprowadzam wjściowe równanie do postaci kanonicznej dokonując zamian zmiennch wprowadzając nowe zmienne gdzie Wrażam wstępujące w rozpatrwanm równaniu pochodne cząstkowe względem zmiennch przez pochodne cząstkowe względem nowch zmiennch Ponieważ więc: u u u u u 4 u 8 u 4 u u u 4 u 4 u 4 u u Podstawiam obliczone pochodne do danego równania otrzmując: u u u u Ponieważ a postać kanoniczna wjściowego równania jest następująca: u u u u RRCz 5/9
Przkład Znaleźć rozwiązanie ogólne równania: ) u u ( u u ) Rozwiązanie a na obszarze D ( : Badam tp równania: A B C zatem B 4AC 4 dla ( D stąd wnioskujem że równanie jest hiperboliczne na D Tworzm równanie charakterstk d d d ( ) a stąd zatem C oraz C d d d Otrzmaliśm dwie rodzin charakterstk: C C gdzie C C dowolne stałe Sprowadzam wjściowe równanie do postaci kanonicznej dokonując zamian zmiennch wprowadzając nowe zmienne gdzie Wrażam wstępujące w rozpatrwanm równaniu pochodne cząstkowe względem zmiennch przez pochodne cząstkowe względem nowch zmiennch Ponieważ 4 4 u więc u u u 4 u u u u u u u u 4 4 4 4 u u u u u u 4 4 4 4 Podstawiam obliczone pochodne do danego równania otrzmując: u 4 Ostatecznie: u F( ) G( ) Wracając do starch zmiennch uzskujem odpowiedź: u( F( G( ) gdzie funkcje F (t) oraz G (t) są dowolnmi funkcjami o ciągłch pochodnch rzędu drugiego określonmi na D b ) u u u ( u u ) Rozwiązanie Postępujem analogicznie jak w poprzednim przkładzie Badam tp równania: A B C zatem B 4AC dla ( D wnioskujem że równanie jest paraboliczne na D stąd RRCz 6/9
Tworzm równanie charakterstk d d d B d ( ) a stąd zatem C d d d A d Otrzmaliśm jedną rodzinę charakterstk: C gdzie C dowolna stała Sprowadzam wjściowe równanie do postaci kanonicznej dokonując zamian zmiennch wprowadzając nowe zmienne gdzie Określiliśm przekształcenie nieosobliwe ponieważ Wrażam wstępujące w rozpatrwanm równaniu pochodne cząstkowe względem zmiennch przez pochodne cząstkowe względem nowch zmiennch Ponieważ więc: u u u u u u u u u u Podstawiam obliczone pochodne do danego równania otrzmując: u u u u u u Sprowadzam powższe równanie do równania różniczkowego zwczajnego dokonując podstawienia v Uwzględniając że v u rozwiązaniem jest funkcja: Wobec przjętch oznaczeń dv u otrzmujem równanie liniowe jednorodne: v v którego d v C e gdzie C nie zależ od u F( ) e u F( ) e d F e C tu również C nie zależ od Ostatecznie: u F( ) e G( ) Wracając do starch zmiennch uzskujem odpowiedź: u( F( e G( Funkcje F ( t) G t są dowolnmi funkcjami o ciągłch pochodnch rzędu drugiego na D oraz Przkład 3 Znaleźć rozwiązanie równania: 9u 9u u spełniające warunki początkowe: () u ( () u ( z P stczna Interpretacja graficzna warunków początkowch RRCz 7/9
Warunek pierwsz obrazuje czerwona linia która przedstawia krzwą będąca częścią wspólną szukanej powierzchni z =u( i płaszczzn = Jest nią parabola z leżąca na płaszczźnie XOZ Warunek drugi mówi że stczna (zielona prosta) do krzwej będącej częścią wspólną szukanej powierzchni i płaszczzn w punkcie P ( u( ) ) ma współcznnik kierunkow równ to znacz jest równoległa do osi OY Uwzględniając dodatkowo warunek pierwsz P ( ) Rozwiązanie Sprowadzam równanie do postaci kanonicznej: Badam tp równania: A ( 9 B( 9 C( zatem B 4AC 44 stąd wnioskujem że równanie jest hiperboliczne na całej płaszczźnie Tworzm równanie charakterstk d d d B 9( ) 9 a stąd czli d d d A d 5 d 5 zatem C oraz C d 3 d 3 3 3 Otrzmaliśm dwie rodzin charakterstk: 5 3 C 3 C3 gdzie C C3 dowolne stałe Sprowadzam wjściowe równanie do postaci kanonicznej dokonując zamian zmiennch wprowadzając nowe zmienne gdzie 5 3 3 Wrażam wstępujące w rozpatrwanm równaniu pochodne cząstkowe względem zmiennch przez pochodne cząstkowe względem nowch zmiennch Ponieważ 5 3 u 3 5u u 4u u więc 5u 9u 6u u Podstawiam obliczone pochodne do danego równania otrzmując: u oraz u F( ) G( ) Wracając do zmiennch otrzmujem ogólne rozwiązanie równania ( ) u( F(5 3 G( 3 9u 8u 9u gdzie F ( t) G( t) są dowolnmi funkcjami które mają ciągłe pochodne rzędu drugiego na Celem znalezienia funkcji F ( t) G( t) korzstam a warunków początkowch ( ) u( oznacza że u( ) Jednocześnie z postaci ( ) otrzmujem: u( ) F (5) G () a stąd F ( 5) G () () u ( można zapisać następująco u ( ) Korzstając z rozwiązania ogólnego ( ) obliczam: u ( F (5 3 3 G ( 3 ( 3) Przjmując otrzmujem ( ) 3F (5) 3G () To znacz że 3F (5) 3G () u oraz F (5) G () Całkując ostatnie równanie stronami względem zmiennej widzim że: F(5) G() C a co za tm idzie: F(5) 5G() C 5 RRCz 8/9
Podkreślone równania tworzą układ F(5) G() F(5) 5 C którego rozwiązaniem jest para funkcji: F(5) 5G() C G() 6 C Podstawiając t 3t t 5 funkcję F zapisujem w postaci F( t) 5 C F( t) C 5 5 t 3t Przjmując t funkcję G zapisujem w postaci G( t) 6 C G( t) C Podstawiam znalezione funkcje do postaci rozwiązania ogólnego ( ) dla funkcji F przjmując: t 5 3 a dla funkcji G : t 3 3(5 3 3( 3 Otrzmujem: u( C C 5 Po redukcji wrażeń podobnch rozwiązanie wjściowego równanie spełniające dane warunki początkowe przbiera postać u( 89 Wkresem tej funkcji jest paraboloida eliptczna z P Niebieskim kolorem narsowano część wspólną paraboloid i płaszczzn RRCz 9/9