Cztey fundamentalne ddziaływania: 1. Gawitacyjne. Elektmagnetyczne 3. Słabe jądwe 4. Silne Elektmagnetyzm Elektycznść E, Q Magnetyzm B, Q M Równania Maxwella Wykład 6 015/16 1
ELEKTROSTATYKA Wykład 6 015/16
Kwantyzacja ładunku Każdy elektn ma masę m e i ładunek -e p Każdy ptn ma masę m p i ładunek e e1,60 10-19 C Ładunek elementany Każdy inny ładunek jest wielktnścią ładunku elementaneg Q Ne Wykład 6 015/16 3
Zasada zachwania ładunku p Całkwity ładunek układu dsbnineg, tzn. algebaiczna suma ddatnich i ujemnych ładunków występujących w dwlnej chwili, nie mże ulegać zmianie. Q całk cnst p -e Q całk Q e + Q p - e + e 0 Wykład 6 015/16 4
Pzykłady zasady zachwania ładunku Rzpad pmienitwóczy jąda 38 9 U 34 90 Th+ 4 He Liczba atmwa Z9 znacza 9 ptny w jądze i ładunek 9e Z zasady zachwania ładunku Emisja cząstki α 9e90e+e Wykład 6 015/16 5
Pzykłady zasady zachwania ładunku Pces anihilacji elektnu e - i antycząstki pzytnu e+ e + e + γ + γ Emisja dwóch kwantów pmieniwania elektmagnetyczneg Pces keacji pay γ e + e + Wykład 6 015/16 6
Empiyczne paw Culmba F 1 1 1, ˆ 1, ˆ 1, 1, 4 πε 1, k k q 1 1 4πε q 1 gdzie ε 8.85 10 q q C Nm F -F 1,,1 III zasada dynamiki 1785 waga skęceń Chales Culmb 1736-1806 Wykład 6 015/16 7
POLE ELEKTROSTATYCZNE A POLE GRAWITACYJNE PODOBIEŃSTWA F 1 4 πε q q 1 ˆ F m m 1 G ˆ k PRAWO COULOMBA 1 4πε 8,99 10 9 N m /C PRAWO NEWTONA G6,67 10-11 N m /kg Oddziaływanie gawitacyjne jest duż słabsze niż elektstatyczne Wykład 6 015/16 8
ZASADA SUPERPOZYCJI F cał F i i F R F L F q q q L 0 R FR + FL kq (q 0 0 L x q R ś x ) xˆ Ładunki q L, q 0 i q R są teg sameg znaku Wykład 6 015/16 9
Zadanie dmwe 1-1 Znajdź watść i kieunek siły wypadkwej działającej na ładunek q 0 Wykład 6 015/16 10
Definicja wekta natężenia pla elektyczneg E q E E ładunek póbny q 0 >0 Natężenie pla ładunku punktweg kq Natężenie pla pchdzące d wielu ładunków punktwych (zkład dysketny) kq E E i ˆ F q 0 ˆ i i i i Wykład 6 015/16 11
Linie pla linie ównległe d wekta natężenia pla Ple ładunku punktweg Symetia sfeyczna Wykład 6 015/16 1
Linie pla Dwa jednimienne ładunki punktwe Wykład 6 015/16 13
Linie pla Dipl elektyczny-dwa óżnimienne ładunki w badz małej dległści mment diplwy Wykład 6 015/16 14
Zadanie dmwe 1- (a) Znajdź natężenie pla w punkcie P gdy x > a (b) Rzważ pzypadek ganiczny x >> a Wykład 6 015/16 15
Dla ładunku, dq, natężenie pla elektyczneg w punkcie P dane jest zgdnie z pawem Culmba jak dla ładunku punktweg kdq d E ˆ Ciągły zkład ładunku Dla ładunków dysketnych ple wypadkwe E jest sumą wektów natężenia E i czyli E E i i Dla ciągłeg zkładu ładunku kdq E d E ple wypadkwe jest całką: Q ˆ Wykład 6 015/16 16
Ciągły zkład ładunku W zależnści d zkładu ładunku zóżniamy: gęstść liniwą ładunku λ, gęstść pwiezchniwą ładunku σ, + + + ds + + gęstść bjętściwą ładunku ρ Dla ciągłeg zkładu ładunku, w zależnści d dzaju gęstści ładunku, ple wypadkwe mże być całką liniwą, pwiezchniwą lub bjętściwą: + + + + + + E x E λ σ ρ V dq dx dq ds dq dv k ρ dv d ˆ Wykład 6 015/16 17
Pzykład 1-1 Liniwy zkład ładunku Znaleźć wekt natężenia pla elektyczneg w punkcie P na si liniweg zkładu ładunku Z pawa Culmba de x kdq (x x ) xˆ Z definicji gęstści liniwej ładunku dq λdx de x k λd x (x x ) xˆ Wykład 6 015/16 18
Wypadkwe natężenie pla jest sumą pól pchdzących d ładunków elementanych dq: E de x L 0 (x k λdx x) x kλ L (x L) Wykład 6 015/16 19
Zadanie dmwe 1-3 Wykazać, że (a) watść wypadkweg wekta natężenia pla elektyczneg na symetalnej pęta d długści L, naładwaneg jedndnie całkwitym ładunku Q wynsi E 1 πε y 4 y Q + L (b) Pzepwadzić analizę tzymaneg wzu dla L Wykład 6 015/16 0
STRUMIEŃ Φ - szybkść pzepływu (pwietza, cieczy) pzez pwiezchnię A czyli bjętść płynu pzepływająceg w jednstce czasu pzez amkę A v stumień zależy d pędkści płynu v i ientacji płaszczyzny amki Wykład 6 015/16 1
WEKTOR POWIERZCHNI A - wekt pwiezchni nˆ - wekt jednstkwy pstpadły d pwiezchni A nˆ A Anˆ b a Ple pwiezchni A blicza się zgdnie ze wzem na ple ównległbku A a b Wykład 6 015/16
STRUMIEŃ WIELKOŚCI WEKTOROWEJ Stumień wielkści pzez pwiezchnię A Φ v v A Stumień pla elektyczneg Stumień pla magnetyczneg Φ B Φ E E B A A v vacs θ Φ E E A EAcsθ Jednstka 1Nm /C ple pędkści Jednstka 1 Wb (webe) 1 T (tesla) m Wykład 6 015/16 3
gdy θ0 Pzypadki szczególne: A v Φ v max va gdy θπ/ A v A v 0 Φ v Wykład 6 015/16 4
STRUMIEŃ POLA ELEKTRYCZNEGO definicja dla dwlnej pwiezchni ΔΦ Φ E Φ E E E ΔA E ΔA E da definicja W pawie Gaussa występuje stumień pzez pwiezchnię E A d zamkniętą Wykład 6 015/16 5
PRAWO GAUSSA Dla ładunku punktweg, E~1/ Φ E Szacujemy stumień pla pzez pwiezchnię kuli Φ E 1 Q E A 4 π 4 πε Q ε Ple pwiezchni kuli A ~ W miaę ddalania się d źódła pla, zwiększa się pwiezchnia A ale maleje E, tak, że stumień pla (EA) pzstaje stały Wykład 6 015/16 6
PRAWO GAUSSA Całkwity stumień pla elektyczneg pzez pwiezchnię zamkniętą zależy wyłącznie d ładunku elektyczneg zawateg wewnątz tej pwiezchni. Pwiezchnię tę nazywamy pwiezchnią Gaussa Φ E Q ε wew Paw Gaussa dla pla elektyczneg w pstaci całkwej Jedn z ównań Maxwella Qwew E da ε S Wykład 6 015/16 7
Właściwści pwiezchni Gaussa: Pwiezchnia Gaussa jest twem hiptetycznym, matematyczną knstukcją myślwą, Jest dwlną pwiezchnią zamkniętą, lecz w paktyce pwinna mieć kształt związany w symetią pla, Pwiezchnię Gaussa należy tak ppwadzić aby punkt, w któym bliczamy natężenie pla elektyczneg leżał na tej pwiezchni. Wykład 6 015/16 8
Paw Gaussa stsujemy d bliczania natężenia pla elektyczneg gdy znamy zkład ładunku lub d znajdwania zkładu ładunku gdy znamy ple. Paw Gaussa mżemy stswać zawsze ale sens ma t tylk w tym pzypadku gdy ple elektyczne wykazuje symetię (sfeyczną, cylindyczną). Aby skutecznie skzystać z pawa Gaussa tzeba cś wiedzieć plu elektycznym na wybanej pwiezchni Gaussa. Kzystając z pawa Gaussa mżna wykazać ównważnść pawa Gaussa z empiycznym pawem Culmba Wykład 6 015/16 9
Od pawa Gaussa d pawa Culmba da 1. Ładunek punktwy q taczamy pwiezchnią Gaussa sfeą pmieniu (dlaczeg?). B wiemy, że ple ładunku punktweg ma symetię sfeyczną (A c t znaczy?) E II n ˆ E cnst. na pw. sfey cs 0 1. Obliczamy całkwity stumień pzez pwiezchnię Gaussa Φ E E d A E csθ da EdA d A ˆ n da Wykład 6 015/16 30
Od pawa Gaussa d pawa Culmba d A ˆ n da 3. Kzystamy z faktu, że E jest stałe c d watści na pwiezchni Gaussa da ΦE E da E(4 π ) 4. Kzystamy z pawa Gaussa Φ E q ε 5. Pównujemy stnami: E(4 π ) q ε E() q 4 πε Paw Culmba Wykład 6 015/16 31
ZASTOSOWANIA PRAWA GAUSSA W paktyce zastswanie pawa Gaussa jest ganiczne d knketnych pzypadków - symetii: a) ple (jedndne) d naładwanej nieskńcznej płaszczyzny (pwiezchniwy zkład ładunku) b) ple ( symetii cylindycznej) d nieskńczenie długieg pęta (liniwy zkład ładunku) lub walca (pwiezchniwy zkład ładunku walec pzewdzący, bjętściwy zkład ładunku - walec nie pzewdzący) c) ple ( symetii sfeycznej) d naładwanej kuli lub pwiezchni sfeycznej Wykład 6 015/16 3
JAK KORZYSTAĆ Z PRAWA GAUSSA? 1. Wybać właściwą pwiezchnię Gaussa dpaswaną d symetii zkładu ładunku. Uzasadnić ten wybó. Wyknać dpwiedni ysunek. Obliczyć stumień pla elektyczneg pzez pwiezchnię Gaussa (lewa stna pawa Gaussa). 3. Znaleźć ładunek zawaty wewnątz pwiezchni Gaussa (pawa stna pawa Gaussa). 4. Pównać bie stny pawa Gaussa wyznaczając watść wekta natężenia pla elektyczneg E. Wykład 6 015/16 33
Pzykład 1-. Ple elektyczne nieskńcznej pwiezchni Całkwity stumień pzez pwiezchnię Gaussa Φ E ES Z pawa Gaussa Φ E Q ε Watść wekta natężenia pla σ E ε σs ε Wykład 6 015/16 34
Pzykład 1-3. Ple elektyczne liniweg zkładu ładunku Całkwity stumień pzez pwiezchnię Gaussa Φ E π he Całkwity ładunek zawaty wewnątz pwiezchni Gaussa Φ E Q ε λh ε Watść wekta natężenia pla elektyczneg λ 1 E symetia cylindyczna πε Wykład 6 015/16 35
Zadanie dmwe 1-4. Badz długi walcwy pęt pzewdzący długści L całkwitym ładunku +q jest tczny pzewdzącą walcwą pwłką (także długści L) i całkwitym ładunku -q (jak na ysunku). Kzystając z pawa Gaussa, znajdź: (a) natężenie pla elektyczneg w punktach na zewnątz pzewdzącej pwłki, (b) zkład ładunku na pwłce, (c) natężenie pla elektyczneg w bszaze między pwłką i pętem Wykład 6 015/16 36
Pzykład 1-4. Ple elektyczne sfeyczneg zkładu ładunku pwłka sfeyczna Całkwity stumień pzez pwiezchnię Gaussa będącą sfeę pmieniu wynsi: Φ E 4 π E Z pawa Gaussa: Ładunek całkwity Q jest złżny tylk na pwiezchni sfey pmieniu R >R E Φ E Q 4 πε Q ε Ze względu na zkład ładunku zważmy dwa pzypadki: Q Ple na zewnątz pustej pwłki sfeycznej jest takie jakby cały ładunek był skupiny w śdku kuli Wykład 6 015/16 37
Pzykład 1-4 cd <R wewnątz pwiezchni Gaussa tj. sfey pmieniu nie ma ładunku czyli Q0, Φ E 0 a zatem E0 Q Ple wewnątz naładwanej pwłki sfeycznej wynsi ze Wykład 6 015/16 38
Rzkład natężenia pla E() dla pustej pwłki sfeycznej, pmieniu R, jedndnie naładwanej (Q-ładunek całkwity) Wykład 6 015/16 39
Ple elektyczne pzewdnika Ładunek znajduje się tylk na pwiezchni pzewdnika Wewnątz pzewdnika Q0, a zatem E0 Na pwiezchni pzewdnika wekt natężenia pla E jest pstpadły d tej pwiezchni Wykład 6 015/16 40
Ple elektyczne na pwiezchni pzewdnika Całkwity stumień pzez pwiezchnię Gaussa Φ EA E Z pawa Gaussa Φ E Q ε σa ε Watść wekta natężenia pla E σ ε Wykład 6 015/16 41
Związek stumienia z peatem dywegencji div Definicja peata dywegencji div E E lim V 0 E V d A jest w ganicy nieskńczenie małej bjętści V, stumieniem wychdzącym ze źódła i keśla jeg wydajnść Twiedzenie Gaussa-Ostgadskieg S EdA V divedv V Wykład 6 015/16 4
PRAWO GAUSSA w pstaci RÓŻNICZKOWEJ Kzystamy z twiedzenia Gaussa-Ostgadskieg: S Ed A V div Z pawa Gaussa w pstaci całkwej: E Q wew E d A ε S dv 1 ε V ρdv Pównując wyażenia pdcałkwe: div E ρ ε Wykład 6 015/16 43
POTENCJAŁ Wekt natężenia pla istnieje zawsze Ε q Ptencjał (skala) istnieje tylk dla pól zachwawczych (ptencjalnych) V F E q p definicja definicja Wykład 6 015/16 44
Wielkści chaakteyzujące: siła F enegia ptencjalna E p natężenie ptencjał V Ε ddziaływanie pmiędzy ładunkami punktwymi F E p 1 4 πε 1 4 πε q q 1 q 1 q ˆ ple elektstatyczne Ε V F q E q p Wykład 6 015/16 45
ple gawitacyjne ple elektstatyczne ładunku ujemneg Wykład 6 015/16 46
Związek ptencjału z natężeniem pla Dla dwlnej siły zachwawczej, zmiana enegii ptencjalnej de p dana jest: de p F d l q E d l Z definicji ptencjału: E dv d E q p gad V paca dw dv E d V b V a l b a E d l Wykład 6 015/16 47
V b V a b a E d l ΔV Vb Va W q Różnica ptencjałów V między dwma punktami jest ówna wziętej z pzeciwnym znakiem pacy W wyknanej pzez siłę elektstatyczną, pzy pzesunięciu jednstkweg ładunku z jedneg punktu d dugieg. Różnicę ptencjałów nazywamy napięciem U V Wykład 6 015/16 48
Jednstki Na pstawie wzu V E jednstką ptencjału jest wlt 1 V 1 J/C elektnwlt 1 ev jak jednstka enegii w skali atmwej Jest t enegia ówna pacy, ptzebnej d pzesunięcia pjedynczeg ładunku elementaneg e, na pzykład elektnu lub ptnu, między punktami óżnicy ptencjałów ównej jednemu wltwi 1 ev e (1V) (1,6 10-19 C) (1 J/C) 1,6 10-19 J Na pdstawie wzu q b nwa jednstka natężenia pla elektyczneg 1 V/m p V V a b a E d l Wykład 6 015/16 49
Pwiezchnie ekwiptencjalnepwiezchnie stałeg ptencjału Wykład 6 015/16 50
Ptencjał pla jedndneg V a >V b Ptencjał wyższy V a a b Ptencjał niższy V b d V b V a b a E d l b a b Edl E dl E( b a) a Ed Wykład 6 015/16 51
Ptencjał pla ładunku punktweg Pzesuwamy ładunek póbny q nieskńcznści V VP E d s R E d s E ds R Ed z punktu P d csθ E 1 4 πε q Pzyjmujemy V 0 V() 1 4 πε q Wykład 6 015/16 5
Ptencjał dla dysketneg zkładu ładunku Wypadkwy ptencjał V układu n ładunków punktwych q i bliczamy kzystając z zasady supepzycji V n n i Vi i 1 i 1 i 1 4 πε q Zadanie dmwe 1-5 Na ysunku pzedstawin tzy układy, zawieające p dwa ptny. Uszeeguj te układy według wypadkweg ptencjału pla, wytwzneg pzez ptny w punkcie P, zaczynając d największeg. a. + + + b. + + c. + Wykład 6 015/16 53
Ptencjał ciągłeg zkładu ładunku Dla naładwanej ładunkiem pwiezchniwym Q pwłki sfeycznej gdy <R, E0, czyli ptencjał V jest wielkścią stałą, niezależną d. Dla >R, V zanika z dległścią jak 1/ Zadanie dmwe 1-6 Pkazać (bliczając), że ptencjał dla pwłki sfeycznej wykazuje taką zależnść V() jak na pwyższym wykesie Wykład 6 015/16 54
POJEMNOŚĆ Definicja C Q ΔV Jednstką pjemnści jest 1F (faad). W paktyce używamy μf, pf, nf Analgia między kndensatem mającym ładunek q i sztywnym zbinikiem bjętści V, zawieającym n mli gazu dsknałeg: n V RT p q CΔV Pzy ustalnej tempeatuze T, pjemnść kndensata C pełni pdbną funkcję jak bjętść zbinika Wykład 6 015/16 55
Kndensat Służy d magazynwania enegii Stanwi isttny element bwdu Linie pla elektyczneg Wykład 6 015/16 56
POJEMNOŚĆ KONDENSATORA PŁASKIEGO E σ ε q ε A Pwiezchnia Gaussa q E ε A Dla pla jedndneg pkazaliśmy, że V E d z definicji pjemnści C εa d Pjemnść zależy tylk d paametów gemetycznych: A-pwiezchni kładki, d-dległści kładek Wykład 6 015/16 57
Pzykład 1-5: Jaka musiałaby być pwiezchnia kładki kndensata płaskieg, aby, pzy dległści kładek d1 mm, uzyskać pjemnść C1 F? C εa d A Cd ε A 1 8,85 10 1F 10 3 C m /N m 1,13 10 8 m mał paktyczne związanie!!! Wykład 6 015/16 58
Zadanie dmwe 1-7 Udwdnić, że pjemnść kndensata cylindyczneg wyaża się wzem C πε ln ( R R ) L 1 Wykład 6 015/16 59
Enegia zmagazynwana w plu elektycznym Paca W wyknana pzy ładwaniu kndensata zstaje zmagazynwana w pstaci elektycznej enegii ptencjalnej E E, w plu elektycznym między kładkami. Paca elementana dw wyknana gdy zstaje pzeniesiny ddatkwy ładunek dq wynsi W dw Vdq q dw dq C 1 Q 1 W EE QV C q C 1 1 dq Q C CV Wykład 6 015/16 60
Gęstść enegii Gęstść enegii u E jest t enegia ptencjalna pzypadająca na jednstkę bjętści u EE Ad E C V Ad u E 1 u E ε 1 ε V d C E ε A d Wykład 6 015/16 61
Kndensat w bwdzie Pzykład 1-6: Kndensat pjemnści C6 μf jest pdłączny d zacisków 9 V bateii. Jaki ładunek zgmadzi się na kładkach kndensata? + - C QCV54 μc Wykład 6 015/16 6
Płączenie ównległe kndensatów Va Vb U U U Q 1 U C Q Q 1 1 C C Q Q + Q C U + C U C C ) U 1 1 ( 1 + C C 1 + C Pjemnść kndensata zastępczeg Wykład 6 015/16 63
Płączenie szeegwe kndensatów Q U U1 + U + C 1 C 1 C 1 1 1 + C Q C Pjemnść kndensata zastępczeg Wykład 6 015/16 64
Zadanie dmwe 1-8 (a) (b) Znajdź pjemnść zastępczą układu kndensatów pzedstawinych na ysunku Znajdź ładunek i spadek ptencjału na każdym kndensatze jeżeli układ pdłączn d bateii 6V. Wykład 6 015/16 65
PODSUMOWANIE Elektstatyka pisuje pla statyczne utwzne pzez ładunki elektyczne w spczynku. Ple elektstatyczne jest zachwawcze (ptencjalne). Ple t jest chaakteyzwane pzez wekt natężenia pla i ptencjał. Watść natężenia pla pchdząceg d knketnych zkładów ładunku bliczamy bądź z zasady supepzycji i pawa Culmba bądź z pawa Gaussa. Kndensat jest uządzeniem, w któym magazynwana jest ptencjalna enegia elektstatyczna. Gęstść enegii zmagazynwanej jest ppcjnalna d kwadatu pla E. Paw Gaussa w pstaci całkwej lub óżniczkwej stanwi jedn z ównań Maxwella Wykład 6 015/16 66