POLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO. Wykład 9 lato 2016/17 1

Transkrypt

1 POLE MAGNETYZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYZNEGO Wykład 9 lato 2016/17 1

2 Definicja wektora indukcji pola magnetycznego F q( v) Jednostką indukcji pola jest 1T (tesla) 1T=1N/Am Pole magnetyczne zakrzywia tor ruchu ładunku elektrycznego. Wykład 9 lato 2016/17 2

3 Siła Lorentza Siła działająca na ładunek w obszarze, w którym występują jednocześnie pole elektryczne i magnetyczne F q( v E) Ruch w skrzyżowanych polach, tj. gdy E v jeżeli E to F 0 tor cząstki i jej prędkość nie ulegną zmianie Wykład 9 lato 2016/17 3

4 Doświadczenie Thomsona 1897 r. J.J. Thomson, ambridge, wyznaczył q/m dla elektronu, odkrycie elektronu q 10 17,5610 m kg Wykład 9 lato 2016/17 4

5 Zadanie 9.1 Wiązka elektronów przechodzi bez odchylenia przez lampę oscyloskopową kiedy natężenie pola elektrycznego wynosi 3000 V/m, a indukcja skrzyżowanego z nim pola magnetycznego wynosi 1,4 Gs; 1Gs (gauss) = 10-4 T. Długość płytek odchylających wynosi 4 cm, a odległość od końca płytek do ekranu wynosi 30 cm. Znajdź odchylenie wiązki na ekranie przy wyłączonym polu magnetycznym Wykład 9 lato 2016/17 5

6 Zadanie 9.2 Na podstawie podręcznika HRW, t.3 lub innych źródeł opracować dwa tematy: cyklotron i synchrotron zjawisko Halla Podać przykłady praktycznego wykorzystania Wykład 9 lato 2016/17 6

7 Definicja natężenia prądu i dq dt Natężenie prądu jest skalarem Jednostką natężenia prądu jest 1A=1/s (ale to nie jest definicja tej jednostki!) Umownie przyjmuje się, że prąd płynie tak jakby był to ruch ładunków dodatnich. W rzeczywistości prąd w metalu stanowią elektrony przewodnictwa Wykład 9 lato 2016/17 7

8 Siła elektrodynamiczna Siła działająca na przewodnik, przez który płynie prąd F i( l ) l Wykład 9 lato 2016/17 8

9 Zastosowania siły elektrodynamicznej Silnik elektryczny ramka z prądem w polu magnetycznym Analogowe mierniki woltomierz, amperomierz, galwanometr Na ramkę z prądem w zewnętrznym polu magnetycznym działa moment siły τ μ moment magnetyczny Przypomnienie: dla dipola elektrycznego Wykład 9 lato 2016/17 9 μ τ pe

10 Moment magnetyczny Pod wpływem momentu siły ramka ustawia się prostopadle do kierunku wektora indukcji pola magnetycznego, tak aby μ Moment magnetyczny definiowany jest dla każdego zamkniętego obwodu, przez który płynie prąd I: μ NIAnˆ liczba zwojów pole wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni A Wykład 9 lato 2016/17 10 powierzchni

11 Dipol magnetyczny Moment magnetyczny charakteryzuje każdy dipol magnetyczny. Dipolem magnetycznym jest nie tylko ramka (pętla, cewka), przez który płynie prąd lecz również: magnes sztabkowy (μ 5J/T) Ziemia (w przybliżeniu) μ 8, J/T większość cząstek elementarnych, np. elektron (μ 9, J/T), proton (μ 1, J/T), neutron Wykład 9 lato 2016/17 11

12 Energia potencjalna E p dipola magnetycznego z zewnętrznym polu magnetycznym: E p μ najwyższa energia E p najniższa energia E p Przypomnienie: dla dipola elektrycznego w zewnętrznym polu elektrycznym E p E p Wykład 9 lato 2016/17 12

13 Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda ( ) Kiedy przez przewodnik nie płynie prąd, igła ustawia się wzdłuż kierunku pola magnetycznego ziemskiego I=0 I 0 Kiedy przez przewodnik płynie prąd, igła odchyla się od kierunku pola magnetycznego Ziemi. Dlaczego? Wykład 9 lato 2016/17 13

14 PRAWO IOTA-SAVARTA d Prawo iota-savarta Zasada superpozycji Rozkład ładunku Prawo oulomba Zasada superpozycji μ o 4 π I d l r r 3 Wykład 9 lato 2016/17 14

15 Przykład 9.1 Znaleźć wektor indukcji pola magnetycznego w środku pętli o promieniu R, przez którą płynie prąd o natężeniu I. Z prawa iota-savarta μo d 4 π I dlsinθ R 2 o θ 90 μ I o I dl μo d 2 4 π R 4 π R 2 dl μoi 2R 2πR Wykład 9 lato 2016/17 15

16 Zadanie domowe 9.3 Pokazać, że (a) wartość wektora indukcji pola magnetycznego w punkcie P na osi pętli z prądem wynosi x μ 2 o IR x R 3 2 (b) a w dużej odległości od środka pętli x>>r μo x 2 π μ x 3 Wykład 9 lato 2016/17 16

17 Pętla z prądem zachowuje się jak dipol magnetyczny wniosek z zadania 9.3 Pętla z prądem wytwarza pole magnetyczne jak dipol magnetyczny w dużych odległościach (pole magnetyczne zanika z odległością jak x -3, podobnie jak dla dipola elektrycznego) Wykład 9 lato 2016/17 17

18 (a) x=0 (b) (c) (d) Zadanie domowe 9.4 Pętla kołowa o promieniu r=5 cm ma 12 zwojów. Przez pętlę płynie prąd o natężeniu 4A. Układ odniesienia wybrano tak, że pętla leży w płaszczyźnie YZ (x=0) a początek układu odniesienia leży w środku pętli. Znaleźć wartość indukcji pola magnetycznego na osi x dla: x=3 cm x=15 cm x=3 cm w przybliżeniu dipolowym Wykład 9 lato 2016/17 18

19 Zadanie domowe 9.5 Mały magnes sztabkowy o momencie magnetycznym μ jest umieszczony w środku pętli z poprzedniego zadania. Wektor momentu magnetycznego leży w płaszczyźnie XY i tworzy kąt 30 o z osią OX. Znaleźć wektor momentu siły działającego na magnes. Zaniedbać efekty związane ze zmianami pola magnetycznego w obszarze zajmowanym przez magnes. Wykład 9 lato 2016/17 19

20 Pole magnetyczne a elektryczne -podobieństwa i różnice Linie pola elektrycznego zaczynają się i kończą na ładunku elektrycznym Linie pola magnetycznego tworzą zamknięte pętle. Na niczym się nie zaczynają i nie kończą Wykład 9 lato 2016/17 20

21 PRAWO GAUSSA Istnieje pojedynczy ładunek punktowy monopol elektryczny E d A S div E ρ ε o q 0 d A 0 Wykład 9 lato 2016/17 21 S div 0 rak monopoli magnetycznych. Magnes czy pętla z prądem stanowią dipol magnetyczny

22 Prawo Gaussa dla pola magnetycznego jest jednym z równań Maxwella. Jego treścią jest fakt, że pole magnetyczne jest bezźródłowe. Strumień pola magnetycznego przez powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru. Nie można wyodrębnić pojedynczego bieguna magnetycznego nie istnieją monopole magnetyczne. d A S div 0 0 Wykład 9 lato 2016/17 22

23 KRĄŻENIE POLA WEKTOROWEGO dl dl Krążenie (cyrkulacja) pola wektorowego F po konturze zamkniętym jest zdefiniowane jako całka krzywoliniowa: element drogi całkowania ma kierunek styczny do krzywej w danym punkcie Jeżeli F jest siłą, to krążenie Γ ma sens fizyczny pracy. Wykład 9 lato 2016/17 23 F dl Jeżeli F jest siłą zachowawczą (pole elektrostatyczne, grawitacyjne), to Γ=0. Krzywa ogranicza pewną powierzchnię zamkniętą rozpiętą na tej krzywej.

24 Wykład 9 lato 2016/17 24 ROTAJA POLA d l F 2 1 d d d l F l F l F Prowadząc krzywą tworzymy dwa zamknięte kontury 1 i 2 takie, że: i a a i i l F n F rot d lim ˆ ) ( 0 definicja operatora rotacji dl

25 Pytanie: Pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym (rotacja pola jest równa zeru w każdym jego punkcie). A co z rotacją pola magnetycznego? d dls E Przewodnik z prądem i E d l rot E 0 rot 0 Odpowiedź: Istotnie, pole magnetyczne jest polem wirowym. To określa prawo Ampère a. Wykład 9 lato 2016/ d l 0

26 Prawo Ampère a dl oi krążenie pola prąd wewnątrz magnetycznego konturu całkowania μ o - przenikalność magnetyczna próżni, stała uniwersalna 7 μ 4 π10 T m / A kontur całkowania o dl I =i 1 -i 2 Wykład 9 lato 2016/17 26

27 Twierdzenie Stokes a Wiąże krążenie wektora po krzywej z rotacją w punkcie, podobnie jak twierdzenie Gaussa- Ostrogradskiego wiązało strumień pola przez powierzchnię z dywergencją w punkcie F dl ( rot F) da Wykład 9 lato 2016/17 27 S całka powierzchniowa, po powierzchni S ograniczonej krzywą Prawo Ampère a w postaci różniczkowej rot μ o j gęstość prądu

28 Gęstość prądu Gęstość prądu jest to wektor, którego wartość równa jest natężeniu prądu przepływającemu przez element pola przekroju powierzchni na jednostkę pola tej powierzchni j di ds i j S 1 1 S 2 j 2 strumień j d S Wartość natężenia prądu pozostaje stała, zmienia się gęstość prądu prawo ciągłości przepływu, zasada zachowania ładunku Wykład 9 lato 2016/17 28

29 Przykład 9-2 Gęstość prądu w przewodniku o kształcie walca o promieniu R =2 mm jest jednakowa na całym przekroju przewodnika i równa j= A/m 2. Ile wynosi natężenie prądu, przepływającego przez zewnętrzną warstwę przewodnika, w obszarze pomiędzy R/2 i R? R R/2 j Rozwiązanie: i js' bo j=const na całym przekroju walca S' R Odpowiedź: 2 i R 2 1,9 A R 2 Wykład 9 lato 2016/17 29

30 Przykład 9-3 Załóżmy, że gęstość prądu w przewodniku o kształcie walca o promieniu R =2 mm nie jest jednakowa na całym przekroju przewodnika i zmienia się z odległością r od środka walca zgodnie ze wzorem j = αr 2, gdzie α= A/m 4. Ile wynosi natężenie prądu, przepływającego przez zewnętrzną warstwę przewodnika, w obszarze pomiędzy R/2 i R? Rozwiązanie: i j ds jds R R / 2 r 2 2 π rdr i πα R R Odpowiedź: 4 i 7,1A R/2 j Wykład 9 lato 2016/17 30

31 Zadanie domowe 9.6 ztery z przedstawionych pól wektorowych mają znikającą dywergencję w przedstawionym obszarze. Trzy z nich mają znikającą rotację. zy możecie ocenić, które z pól mają omawiane własności? Wykład 9 lato 2016/17 31

32 Zastosowania prawa Ampère a pole magnetyczne wokół przewodnika prostoliniowego d l =const na krzywej (kontur całkowania jest okręgiem ) krążenie wektora indukcji magnetycznej po okręgu o promieniu r korzystając z prawa Ampère a d l 2 π r μo 2 π r Wykład 9 lato 2016/17 32 i dl dl Odpowiedź: μ o i 2 π r

33 Zadanie domowe 9.7 Ten sam rezultat można otrzymać poprzez żmudne całkowanie, korzystając z prawa iota-savarta. Proszę spróbować, aby móc docenić prawo Ampère a. Odpowiednie obliczenia znajdziemy w Rozdz.30, &30.1 podręcznika HRW, t. 3. Wykład 9 lato 2016/17 33

34 Zastosowania prawa Ampère a pole magnetyczne wewnątrz przewodnika o promieniu R, przez który płynie prąd I (r<r) krążenie wektora indukcji magnetycznej po okręgu o promieniu r wyraża się tym samym wzorem dla r<r i r>r d l 2 π r trzeba znaleźć natężenie prądu I wewnątrz konturu gęstość prądu j jest stała Wykład 9 lato 2016/17 34 j I π r 2 I π R 2

35 j I π r 2 I π R 2 I z prawa Ampère a Wykład 9 lato 2016/17 35 I R 2 r 2 dl 2 π r Odpowiedź: μ oi o μ o I R I 2 π R 2 2 r r 2

36 Zastosowania prawa Ampère a pole magnetyczne wewnątrz solenoidu Solenoid wytwarza jednorodne pole magnetyczne i pełni podobną rolę jak kondensator płaski w elektrostatyce solenoid magnes sztabkowy Wykład 9 lato 2016/17 36

37 Wykład 9 lato 2016/17 37 a d d c c b b a d d d d d l l l l l h dlaczego? pole jednorodne l d l d =0 l d

38 d l h μ o I I (nh)i liczba zwojów na jednostkę długości natężenie prądu w uzwojeniu solenoidu solenoid idealny μ o ni Wykład 9 lato 2016/17 38

39 Zadanie domowe 9.8 Toroid Wykorzystać prawo Ampère a do znalezienia wartości wektora indukcji wewnątrz toroidu, przez który płynie prąd o natężeniu I. a < r < b a b μ o NI 2 π r N - liczba zwojów toroidu Wykład 9 lato 2016/17 39

40 Siły działające między dwoma równoległymi przewodami z prądem Te przewody się przyciągają. Dlaczego? pole magnetyczne wytworzone przez prąd i a μo ia 2 π d Wykład 9 lato 2016/17 40 a siła działająca na przewód z F prądem i b ba ibla Definicja ampera: 1A jest to natężenie prądu stałego, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich Fba przewodach o znikomo małym przekroju poprzecznym, umieszczonych w próżni w odległości 1m, wywołuje między tymi przewodami siłę o wartości N na każdy metr długości przewodu μ o Li a 2 π d i b

41 Podsumowanie Ruch ładunku w polach magnetycznym i elektrycznym odbywa się pod wpływem siły Lorentza. Pole magnetyczne nie zmienia energii kinetycznej lecz zakrzywia tor ładunku. Różnice pomiędzy polem elektrostatycznym i magnetycznym można prześledzić posługując się prawem Gaussa dla elektryczności i magnetyzmu. Nie istnieją monopole magnetyczne. Na przewodnik z prądem w polu magnetycznym działa siła elektrodynamiczna. Ładunek w spoczynku wytwarza pole elektrostatyczne, ładunek w ruchu (prąd elektryczny) jest źródłem pola magnetycznego Wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez przewodnik z prądem można obliczyć korzystając z prawa iota-savarta lub prawa Ampère a, które jednak stosujemy tylko do rozwiązywania problemów o wysokiej symetrii. Wykład 9 lato 2016/17 41