INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA

Transkrypt

1 INDUKJA ELEKTROMAGNETYZNA W 83 ku, p dziesięciu latach wytwałych pób, M. Faadaywi udał się wykazać i keślić w jaki spsób zmienne ple magnetyczne pwduje pwstanie pla elektyczneg. Wyknał ekspeyment, któy miał w następstwie lbzymie znaczenie dla zwju fizyki i techniki. Paw Faadaya + K M + I K K G G Rys. 7.. Dświadczenie Faaday a pwadzące d dkycia zjawiska indukcji. I Rys. 7.. Pwstanie pądu indukcyjneg I w czasie uchu cewki z pądem I.

2 Φ x ds d Dga ds Dga x x ds v d Φ + A x Rys Zamknięty kntu pusza się z pędkścią v wzdłuż kieunku si x. Linią pzeywaną zaznaczn płżenie kntuu p czasie t. Paca wyknana pzeciwk siłm magnetycznym pzy pzemieszczeniu ładunku q na dległść wynsi dx dw F mag ds ( qv ) ds q ds ds

3 tsując tżsamść wektwą mamy a b c a b c ( x) ds ( dx ds) dw q Z ys 7.3 zauważamy, że dx ds d, wówczas d dw q ałkwitą pacę wyknaną pzy pzemieszczaniu ładunku q z punktu A d punktu p ddze kntuu zapiszemy w pstaci W A A dw q A d dφ q Analgiczna paca wyknana pzy pzemieszczeniu ładunku p ddze z punktu d punktu A + W A A dw q dφ

4 Paca zużyta na pzemieszczenie jednstkweg ładunku p całym kntuze W W A + W A dφ q a pnieważ d Φ + dφ znacza zmianę stumienia magnetyczneg pzez pwiezchnię ganiczną kntuem AA, więc dφ W q Pnieważ siłę elektmtyczną keślamy jak pacę zużytą na pzemieszczenie jednstkweg ładunku, więc EM + dφ W dφ (7.) q EM miezna jest w wltach (J/) i stanwi enegię pzypadającą na jednstkwy ładunek, dstaczną elektnwi pzewdnictwa pzy bejściu bwdu. Jeżeli źódł pla magnetyczneg pusza się i pwduje zmianę stumienia bejmwaneg pzez kntu, t w kntuze pwstaje ple elektyczne dφ E ds (7.)

5 adziej gólne ównanie (7.), słuszne dla dwlneg dmniemaneg bwdu zamknięteg w pzestzeni, mżna ównież zapisać w pstaci E ds d d Pnieważ ganice całkwania p d nie zmieniają się w czasie, mżna pzejść z óżniczkwaniem pd znak całki E ds d (7.3) Ple elektyczne wzbudzane pzez zmienne ple magnetyczne jest plem wiwym.

6 Faaday uważany jest za jedneg z twóców elekttechniki. Najpsplitszą częścią uządzeń elektycznych jest pętla lub cewka bacająca się ze stałą pędkścią w jedndnym plu magnetycznym indukcji (ys. 7.4). kładwa indukcji pstpadła d pwiezchni pętli wynsi I Pwiezchnia sinθ. Więc stumień indukcji płynący pzez pętlę w chwili t jest ówny ( t ) sin( ω t α ) Φ + gdzie jest pwiezchnią pętli. Rys Dwie cewki wytwazają w pzybliżeniu jedndne ple magnetyczne indukcji. Pętla baca się z pędkścią kątwą w. Indukuje się w niej sinusidalna EM. Indukwana siła elektmtyczna wynsi ( ω α ) EM ω cs t + (7.4)

7 Reguła Lenza W 834 ku Lenz ustalił następującą egułę: pąd indukwany w bwdzie ma zawsze taki kieunek, że wytwzny pzezeń stumień magnetyczny pzez pwiezchnię ganiczną pzez ten bwód pzeciwdziała zmianm stumienia, któe wywłały pjawienie się pądu indukwaneg. Matematycznym wyazem eguły Lenza jest znak w ównaniach (7.) (7.3). N v v N I I (a) (b) Rys Ilustacja eguły Lenza. Reguła Lenza jest knsekwencją spełnienia pawa zachwania enegii.

8 Jeżeli ezystancja bwdu (ys. 7.3) wynsi R, na pacę źódła pądu w czasie (EI) składa się paca na ciepł Jule'a (I R) i paca związana z pzemieszczeniem bwdu w plu magnetycznym (IdΦ). Mamy więc stąd gdzie E i E I I R + IdΦ d R Φ R ( E E ) I E + dφ / jest indukwaną siłą elektmtyczną. i Obwód zamknięty pądu indukwaneg twzy się samzutnie w pzewdniku. Nazywamy je pądami wiwymi (pądy Fucaulta).

9 Indukcyjnść. amindukcja Zgdnie z pawem --L, gdzie L nazywamy indukcyjnścią bwdu. Φ LI (7.5) Pwstanie EM w pzewdzącym bwdzie, na skutek zmiany natężenia pądu w tym bwdzie, nazywamy samindukcją. Jednstka indukcyjnści hen (H): jest t indukcyjnść takieg bwdu, kiedy pzy pądzie A stumień magnetyczny samindukcji wynsi Wb, bwiem H Wb/A Vs/A. Indukcyjnść slenidu. Zgdnie z (6.4) mamy gdzie n N/l µ µ ni ałkwity stumień płynący pzez slenid jest ówny N, czyli Φ µ µ N I l

10 Uwzględniając (7.5) L N µ µ (7.6) l czyli indukcyjnść slenidu zależy d liczby zwjów slenidu N, jeg długści l, pla pzekju i pzenikalnści magnetycznej dzenia slenidu µ. Indukcyjnść bwdu zależy tylk d jeg kształtu, zmiaów i pzenikalnści magnetycznej śdka, w któym się znajduje. W tym sensie indukcyjnść bwdu jest dpwiednikiem pjemnści elektycznej pzewdnika. Z pawa Faadaya tzymujemy, że EM samindukcji Jeżeli L cnst i E s dφ d ( LI) L + I di dl di E s L (7.7) Znak uwaunkwany egułą Lenza wskazuje, że becnść indukcyjnści w bwdzie pwadzi d zwalniania zmian pądu, c pzejawia się w bezwładnści elektycznej bwdu. W ten spsób indukcyjnść bwdu stanwi miaę jeg bezwładnści wbec zmian pądu.

11 Indukcyjnść wzajemna Rys Pąd natężeniu I płynący w pętli wywłuje stumień Φ w pętli. tumień indukcji pzez bwód wynsi Φ d MI tałą M nazywamy indukcyjnścią wzajemną. di M (7.8) E iła elektmtyczna indukwana w bwdzie na skutek zmian natężenia pądu w bwdzie di M (7.9) E Okazuje się, że dla dwlnych dwóch bwdów M M

12 Tansfmat Obwód wtóny Obwód piewtny Rys Tansfmat Niech n znacza ilść zwjów uzwjenia piewtneg, a n ilść zwjów uzwjenia wtóneg. Wówczas zgdnie z (7.) V n dφ Analgicznie EM w bwdzie piewtnym V n tsunek napięć jest ówny V V dφ Kiedy d bwdu piewtneg pzykładamy napięcie zmienne V zm, pąd wzasta d chwili dpóki n dφ / nie siągnie watści V zm. Tak więc V zm V. n n

13 Enegia pla magnetyczneg b +q -q a d L c Rys Dgający bwód L. Rzważmy psty bwód elektyczny (dgający L), w któym pjemnść i indukcyjnść są płączne ównlegle (ys. 7.8). Rezystancja bwdu jest zewa. W chwili t 0 ładunek kndensata wynsi q (enegia układu zmagazynwana jest w kndensatze). Zgdnie z ównaniem (4.35) gdzie q W V q V. Ładunek dq płynący pzez cewkę pzyjmuje enegię Vdq, gdzie V L di. Wbec teg enegia tacna pzez ładunek i pzyjmwana pzez cewkę wynsi di dq dw L dq LdI LIdI

14 Jeżeli pąd śnie d zea d I, t enegia gmadzna w cewce indukcyjnej wynsi W I LIdI LI (7.) W pzypadku długieg slenidu µ µ NI / l i L N µ µ / L Uzależniając I d i wstawiając wzó na L, z wyażenia (7.) tzymujemy Gęstść enegii pla magnetyczneg W w 0 µ µ l µ µ (7.3) Mżna udwdnić, że dla cewki indukcyjnej dwlneg kształtu całka p /µ µ w całej pzestzeni jest ówna LI /, gdzie L jest indukcyjnścią cewki. /µ µ jest enegią zmagazynwaną w jednstce bjętści pla magnetyczneg. W pzypadku gólnym, pla elektyczne i magnetyczne mgą jedncześnie występwać w pzestzeni, a całkwita gęstść enegii pla elektmagnetyczneg wynsi w ε ε E + µ µ (7.4)

15 Równania Maxwella Paw Faadaya E ds dφ Paw Ampea (wzó (6.3)) ds µ j d Wykażemy teaz, że w pzypadku zmieniająceg się pla elektyczneg statnie ównanie należy zmdyfikwać. Pąd pzesunięcia Z Rys. 7.9a zgdnie z pawem Ampea ds µ j d µ p kęk I czyli π µ I, a stąd µ I (7.5) π

16 P P A c I I I I E (a) Rys (b) Paw Ampea pwinn być spełnine ównież dla pwiezchni ' na ys. 7.9b. Jednakże w tym pzypadku mamy j d 0 ' T pzeczy ppzedniemu wynikwi (7.5). W 860 ku Maxwell dszedł d wnisku, że wyażenie na paw Ampea pzytczne ppzedni jest niesłuszne w pzypadku zmienneg pla elektyczneg. Nieppawnść zapisu mżna usunąć ddając d pawej stny ównania (6.3) ddatkwe wyażenie v E ds µ j d + d c (7.6) t

17 Udwdnimy, że ównanie t pwadzi d jednznacznej watści w punkcie P niezależnie d pstaci pwiezchni całkwania lub. Dla części pwiezchni pmiędzy płytkami kndensata ple elektyczne Q E ε A c Różniczkując t wyażenie względem t mamy ałkwanie p pwiezchni daje c dalej pwadzi d związku Pnieważ / c µ ε, więc E t Q ε A t ε ' E t c d π c µ π I ε Otzymaliśmy więc wynik identyczny jak pzy całkwaniu p pwiezchni. I I ε A c I

18 Piewszy człn p pawej stnie wzu (7.6) pzedstawia ealny pąd płynący pzez pwiezchnię zpiętą na zamkniętym kntuze. Dugi człn mżna intepetwać jak pąd związany ze zmianą natężenia pla elektyczneg. Maxwell nazwał g pądem pzesunięcia. Pąd ten jest pzedłużeniem pądu pzewdzenia wpływająceg d kndensata i jest mu ówny. Pąd pzesunięcia zapewnia więc ciągłść bwdów zawieających kndensaty. Odcinki bezpzewdwe bwdów elektycznych mgą być wypełnine dielektykiem. Wtedy ównanie (7.6) pzyjmuje pstać. H ds j D + d (7.7) t a więc gęstść pądu pzesunięcia ma gólną pstać j p D t (7.8) Pnieważ D ε E + Pe, więc E Pe j p ε + (7.9) t t kładnik P e / t wyaża część gęstści pądu w dielektyku (pzesunięcie ładunków lub bót dipli) i nsi nazwę gęstści pądu playzacyjneg. Zatem j p stanwi sumę gęstści pądu pzesunięcia w póżni ε E/ t i pądu playzacyjneg.

19 Równania Maxwella w pstaci całkwej. Ugólnine paw Faadaya (7.3) E ds d t. Ugólnine paw Ampea (7.7) D H ds j + d t 3. Paw Gaussa dla pla elektyczneg (4.45) D d ρdv 4. Paw Gaussa dla pla magnetyczneg (6.5) d 0 zmienne ple magnetyczne wytwaza wiwe ple elektyczne, któe mże wywływać pąd elektyczny pąd elektyczny lub zmienne ple elektyczne wytwazają wiwe ple magnetyczne ładunek elektyczny wytwaza ple elektyczne nie istnieje w pzydzie ładunek magnetyczny, ple magnetyczne jest bezźódłwe Związki (4.43) i (6.8) między wektami elektycznymi i magnetycznymi D ε ε E µ µ H

20 Równania Maxwella stanwią fundamentalną pdstawę teii zjawisk elektmagnetycznych, pdbnie jak zasady dynamiki Newtna są pdstawą mechaniki. Mżna znaleźć pla E i w dwlnym punkcie pzestzeni i w dwlnej chwili czasu, jeżeli znane są współzędne i pędkści ładunków wytwazających pla. Równania Maxwella są niesymetyczne względem pól elektyczneg i magnetyczneg (istnieją ładunki elektyczne a bak jest ładunków magnetycznych. Dla pól stacjnanych ównania Maxwella pzyjmują pstać E ds 0 H ds j d W tym pzypadku pla elektyczne i magnetyczne są niezależne. D d d ρdv 0 Teia Maxwella jest teią makskpwą. Nie jest w stanie wyjaśnić tych zjawisk, w któych pzejawia się wewnętzna budwa ciała.

21 Równania Maxwella w pstaci óżniczkwej Istnieja dwa twiedzenia analizy wektwej: twiedzenie tkesa (wzó (.49)) i twiedzenie Gaussa- Ostgadzkieg (wzó (.50)) a ds ta d a d V diva dv tsując te twiedzenia mżna uzyskać układ ównań Maxwella w pstaci óżniczkwej: te (7.0) t th j + D (7.) t divd ρ (7.) div 0 (7.3) Jeżeli ładunek i pądy w danym śdku zmieszczne są w spsób ciągły, t bydwie fmy ównań Maxwella (całkwa i óżniczkwa) są ekwiwalentne. Jeżeli jednak istnieją pwiezchnie, na któych zachdzi skkwa zmiana tych wielkści, t całkwa fma ównań jest badziej gólna.