cz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski

Transkrypt

1 Wykład 2: lektrostatyka cz. 2. dr inż. Zbigniew zklarski

2 Dygresja matematyczna - operatory Operator przyporządkowuje np. polu skalarnemu odpowiednie pole wektorowe F g grad p p gdzie iˆ x + ˆj y + kˆ z Gradient funkcji skalarnej to pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. 2

3 Dywergencja (źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. div div lim V d V A jest w granicy nieskończenie małej objętości V, strumieniem wychodzącym ze źródła i określa jego wydajność V 3

4 Rotacja lub wirowość operator różniczkowy działający na pole wektorowe, tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Krążenie (cyrkulacja) pola wektorowego F po konturze zamkniętym jest zdefiniowane jako całka krzywoliniowa: dl dl F dl Krzywa ogranicza pewną powierzchnię zamkniętą rozpiętą na tej krzywej. to element drogi całkowania - ma kierunek styczny do krzywej w danym punkcie. Jeżeli F jest siłą, to krążenie Γ ma sens fizyczny pracy. Jeżeli F jest siłą zachowawczą to Γ. 4

5 5 Rotacja pola dl l d F + 2 d d d l l l F F F Prowadząc krzywą B tworzymy dwa zamknięte kontury i 2 takie, że: i a a l i i d lim ˆ ) ( F n F rot definicja operatora rotacji

6 rotacja wektora F: rotf F iˆ x F x ˆj y F y kˆ z F z Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym). 6

7 Przykład: Zbadać wirowość pola elektrostatycznego oraz pola magnetycznego przewodnika. ds Przewodnik z prądem i d l rot B dl rot B Pole magnetyczne jest polem wirowym. To określa prawo Ampère a. 7

8 Zadanie ztery z przedstawionych pól wektorowych mają znikającą dywergencję w przedstawionym obszarze. a), c), d), e) Trzy z nich mają znikającą rotację. b), c), d) Proszę ocenić, które z pól mają omawiane własności? 8

9 Przykłady z rachunku operatorowego Mając zdefiniowane: - pole skalarne - pole wektorowe - wektory: r xiˆ + yj ˆ + zk oraz oblicz: 2 a) grad r b) ( A r ) c) ( x, y, z) div d) V ( x, y, z) iv ˆ (,, ) ˆ (,, ) ˆ x y z + jv2 x y z + kv3 ( x, y, z) ˆ grad A div A x rota iˆ + A ˆj + y e) A z kˆ ( ) 9

10 Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót d A V div dv Z prawa Gaussa w postaci całkowej: d A Q wew ε o gdzie Q wew V ρdv d A V ε ρ o dv Porównując wyrażenia podcałkowe: div ρ ε o

11 Potencjał pola Wektor natężenia pola istnieje zawsze Ε F o Potencjał (skalar) istnieje tylko dla pól zachowawczych (potencjalnych) V p o

12 Wielkości charakteryzujące: siła F energia potencjalna p natężenie potencjał V Ε oddziaływanie pomiędzy ładunkami punktowymi F p 4 πε o 4 πε o r 2 2 r rˆ 2 pole elektrostatyczne Ε V F o p o 2

13 Związek potencjału z natężeniem pola Dla dowolnej siły zachowawczej, zmiana energii potencjalnej d p dana jest wzorem: d p F d l o d l Z definicji potencjału: dv d o p grad V praca dw dv d l b V b V a d a więc l 3

14 V b V a b d a l ΔV Vb Va W o Różnica potencjałów ΔV między dwoma punktami jest równa wziętej z przeciwnym znakiem pracy W wykonanej przez siłę elektrostatyczną, przy przesunięciu jednostkowego ładunku z jednego punktu do drugiego. Różnicę potencjałów nazywamy napięciem UΔV Jednostki: V p U V o V m J 4

15 Potencjał pola jednorodnego V a >V b Potencjał wyższy V a a b Potencjał niższy V b d V b V a b a d l b b a dl dl ( b a) a d 5

16 Potencjał pola ładunku punktowego Przesuwamy ładunek próbny o do nieskończoności d s ds z punktu P cosθ V VP d s R R dr Przyjmujemy V i 2 4 πε r o zatem V(r) 4 πε o r 6

17 Potencjał ciągłego rozkładu ładunków Dla naładowanej ładunkiem powierzchniowym Q powłoki sferycznej, gdy r < R jest:, czyli potencjał V jest wielkością stałą, niezależną od r. Dla r>r, V zanika z odległością r jak /r Zadanie: Pokazać, że potencjał dla powłoki sferycznej wykazuje taką zależność V(r) jak na powyższym wykresie 7

18 Pojemność Q ΔV Jednostką pojemności jest F (farad). W praktyce używamy μf, pf, nf V F Analogia między kondensatorem mającym ładunek i sztywnym zbiornikiem o objętości V, zawierającym n moli gazu doskonałego: n V RT p V Przy ustalonej temperaturze T, pojemność kondensatora pełni podobną funkcję jak objętość zbiornika. 8

19 Kondensator Powierzchnia Gaussa Natężenie pola między okładkami obliczamy z prawa Gaussa: σ o ε o ε o o ε o 9

20 o ε o z definicji ΔV Dla pola jednorodnego pokazaliśmy, że V d εo εo d d nergia kondensatora, gęstość energii nergia naładowania energii rozładowania kondensatora W U d d W 2 n Objętość kondensatora 2 V obj d Gęstość energii U d Wn W d 2 n 2 2 W V n obj 2 J 2 m 2 3 2

21 Zadanie Okładki kondensatora płaskiego o powierzchni znajdują się w położeniach x i x d i naładowane są odpowiednio z gęstościami powierzchniowymi ładunku + i -. fekty brzegowe są do zaniedbania. Korzystając z prawa Gaussa oblicz wypadkowe natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kondensatora (rysunek!) oraz narysuj wykres (x). Korzystając ze związku między natężeniem pola a potencjałem V oblicz różnicę potencjałów między okładkami oraz wyprowadź wzór na pojemność tego kondensatora. Oblicz energię tego kondensatora przy zadanej gęstości powierzchniowej ładunku. 2

22 Przykłady Jaka musiałaby być powierzchnia okładki kondensatora płaskiego, aby, przy odległości okładek d mm, uzyskać pojemność F? 3 mln m 2 Udowodnić, że pojemność kondensatora cylindrycznego wyraża się wzorem 2 πεol ln( R 2 R) Kondensator kulisty, którego okładki są współśrodkowymi sferami naładowano ładunkiem Q. Jeżeli nastąpi przesunięcie wewnętrznej sfery (przy chwiejnej równowadze mogą zadziałać siły elektryczne) zaburzenie współśrodkowości, to czy pojemność kondensatora wzrośnie czy zmaleje? 22

23 Powłoka sferycznego balonika została naładowana z jednorodną gęstością powierzchniową ładunku. Do wnętrza tego balonika wprowadzono punktowy pyłek o ładunku tego samego znaku co powłoka. zy spowoduje to zmianę średnicy balonu? Oto rozumowania dwóch studentów: Jednoimienne ładunki się odpychają, a zatem dowolny element powłoki będzie odpychany od ładunku co doprowadzi do wzrostu średnicy balonu. Równomiernie naładowana powłoka sferyczna nie wytwarza w swoim wnętrzu pola, co oznacza brak oddziaływania pomiędzy powłoką i ładunkiem. A zatem średnica balonu się nie zmieni się. Który student jest z kierunku TI? 23

24 dielektryki Dielektryki piezoelektryki ferroelektryki Dielektryki ładunki nie mogą się swobodnie przemieszczać ale możliwe są przesunięcia ładunków w skali mikroskopowej. HRW t.3 24

25 ładunek swobodny ładunek polaryzacyjny d - bez dielektryka d ' - z dielektrykiem d ' d d diel ε o ' ' ' d

26 Wektor polaryzacji: P ' ' d d D P D zwrot wektora: od ładunku ujemnego do dodatniego ładunku indukowanego - jak w każdym dipolu. p ` d jest to moment dipolowy ' : ' + Wektor indukcji elektrycznej: D 26

27 A więc D P D T D D + P D wektor indukcji - łączy ładunki polaryzacyjne - dotyczy wszystkich ładunków - łączy ładunki swobodne (jest taki sam dla próżni i dielektryka) A T histereza ferroelektryka gdzie A stała urie-weissa. D D D P Podatność dielektryczna : P P ferro- T para elektryk T 27

28 Przykłady: Po naładowaniu płaskiego kondensatora zawierającego dielektryk, odłączono go od źródła, a następnie wysunięto dielektryk. Określ i uzasadnij jak zmieni się: Pojemność kondensatora jego ładunek Natężenie pola oraz napięcie między okładkami nergia kondensatora Do próżniowego, płaskiego kondensatora dołączonego do źródła napięcia wsunięto dielektryk. Jak wówczas zmienią się powyższe parametry kondensatora? 28

29 Połączenia kondensatorów Równoległe Va Vb U U2 U Q Q 2 2 Q U Q Q + Q U + U ) U 2 2 ( + 2 Pojemność kondensatora zastępczego

30 zeregowe Q U U + U 2 + Q 2 Pojemność kondensatora zastępczego + 2 3

31 Zadanie: Dwa kondensatory o pojemności każdy jeden próżniowy, a drugi zawierający dielektryk o stałej r połączono równolegle i naładowano do napięcia U. Następnie, po odłączeniu od źródła napięcia, z jednego kondensatora wyjęto dielektryk i wprowadzono do kondensatora próżniowego. Obliczyć wykonaną przy tym pracę. 3

32 Podsumowanie lektrostatyka opisuje pola statyczne utworzone przez ładunki elektryczne w spoczynku. Pole elektrostatyczne jest zachowawcze (potencjalne). Pole to jest charakteryzowane przez wektor natężenia pola i potencjał. Wartość natężenia pola pochodzącego od konkretnych rozkładów ładunku obliczamy bądź z zasady superpozycji i prawa oulomba bądź z prawa Gaussa. Kondensator jest urządzeniem, w którym magazynowana jest potencjalna energia elektrostatyczna. Gęstość energii zmagazynowanej jest proporcjonalna do kwadratu pola. Prawo Gaussa w postaci całkowej lub różniczkowej stanowi jedno z równań Maxwella. 32

33 Wzory różniczkowe podsumowanie Funkcja skalarna: Funkcja wektorowa: ( x, y, z) W ( x, y, z) iˆ x + ˆj y + kˆ z grad divw W rotw W Dla pola elektrostatycznego: grad V ρ div rot ε o 33