Wojciech Batko i Mariusz Ziółko ZASTOSOWANIE TEORII FALEK W DIAGNOSTYCE TECHNICZNEJ

Wojciech Batko i Mariusz Ziółko ZASTOSOWANIE TEORII FALEK W DIAGNOSTYCE TECHNICZNEJ Kraków

Spis treści. Wstęp. Klasyfikacja sygałów i ich modele matematycze.. Przestrzeie sygałów.3. Reprezetacja sygałów.4. Lokala aaliza widmowa sygałów. Podstawy teorii falek.. Od metod Fouriera do metod falkowych.. Falki.3. Fukcje skalujące.4. Ortoormale falki Dabechies.5. Zastosowaie falek do wieloskładikowej aalizy sygałów.6. Trasformacja falkowa 3. Trasformacja falkowa-fouriera 3.. Porówaie trasformacji Fouriera i trasformacji falkowej 3.. Własości trasformacji falkowej-fouriera 3.3. Filtracja widma WFT 4. Zastosowaie metod falkowych w defektoskopii magetyczej 4.. Badaia magetycze li stalowych zasady ogóle 4.. Algorytm falkowego przetwarzaia sygału z badań magetyczych 4.3. Badaie sygałów modelowych 4.4. Badaie sygałów rzeczywistych 5. Zastosowaie metod falkowych w systemach moitorigu wibroakustyczego 3

5.. Detekcja częstotliwości rezoasowych 5.. Diagostyka łożysk w urządzeiach wyciągowych 5... Idetyfikacja uszkodzeia elemetu łożyska koła liowego urządzeia wyciągowego 5... Aproksymacja sygału drgań łożysk 5.3. Filtracja sygałów w systemach moitorigu 6. Zastosowaie trasformacji falkowej do elimiacji zaburzeń w systemach moitorigu drgaiowego hydrodyamiczych węzłów łożyskowych 6.. Opis potrzeby realizacyjej 6.. Własości trasformacji falkowej przydate dla przetworzeń moitorowaych sygałów drgaiowych 6.3.. Nieparametrycza redukcja zakłóceń pomiarowych 6.3.. Porówaie charakterystyk 6.4. Trajektorie symptomatycze 6.4.. Uwagi wprowadzające 6.4.. Eergetycza reprezetacja zmia moitorowaych sygałów 6.5. Procedura estymacji trajektorii symptomatyczych TS 6.5.. Wymagaia i ograiczeia 6.5.. Przykłady trajektorii symtomatyczych dla moitorowaych obrazów drgań hydrodyamiczych węzłów łożyskowych 6.6. Ograiczeia i wioski 7. Literatura 4

. Wstęp Wstępem do iiejszej książki są podstawowe pojęcia i defiicje zaczerpięte z teorii przetwarzaia sygałów. Zasadiczą część pracy staowią wybrae fragmety teorii falek i ich przykładowe aplikacje w diagostyce techiczej. Zastosowaia te oparte są a lokalej aalizie częstotliwościowej zarejestrowaych sygałów. Wykorzystaie teorii falek przez iżyierów w latach osiemdziesiątych było sporadycze. Popularość tej problematyki gwałtowie wzrosła po ukazaiu się pierwszych książek [,] prezetujących podstawy teorii falek. W latach dziewięćdziesiątych lawiowo rosła liczba publikacji prezetujących zastosowaia falek w różych dziedziach. Były to aplikacje główie o charakterze iżyierskim związae z przetwarzaiem sygałów (lokala aaliza częstotliwościowa, dekompozycja, kompresja, odszumiaie, modulacja). Bardzo ciekawe wyiki otrzymao ie tylko w zastosowaiach iżyierskich, ale rówież w takich dziedziach jak medycya i biologia. W chwili obecej metody oparte a teorii falek stały się bardzo popularym arzędziem. Łatwość stosowaia tych metod wyika rówież z powszechie dostępych, dobrze przygotowaych i prostych w obsłudze programów komputerowych. Niiejsza książka składa się w zasadzie z dwóch części. W pierwszej przedstawioe są podstawy teoretycze dla wybraych metod falkowej aalizy sygałów. Początek książki awiązuje do dobrze zaych metod opartych a szeregach Fouriera i trasformacji Fouriera. Potem przedstawioe są podstawy teorii falek a jako ich przykłady fukcje Haara i ortoormale falki Daubechies. Cetralą część staowi wieloskładikowa aaliza sygałów i trasformacja falkowa. Część teoretycza kończy się prezetacją trasformacji falkowej-fouriera (skrót WFT od ag. wavelet-fourier trasform). Przedstawioo tam defiicję trasformacji WFT i podstawowe własości. 5

. Klasyfikacja sygałów i ich modele matematycze Obecość matematyki w teorii sygałów powoduje, że defiicje sygałów i ich klasyfikacja może być rówież prowadzoa w termiologii matematyczej. Każdy sygał będziemy zatem uważali za elemet s zbioru dopuszczalych sygałów S i ozaczali s S. Zbiór S może być różie zdefiioway. Zależy to zarówo od fizyczego charakteru sygału jak i sposobu jego matematyczej reprezetacji. Modelem matematyczym sygału akustyczego może być fukcja jedoargumetowa lub wektor w przypadku reprezetacji dyskretej. Charakter zbioru S jest defiioway przez określeie przestrzei do której o ależy. Przykładowo dla matematyczego modelu sygału akustyczego możemy powiedzieć, że zbiór S ależy do przestrzei fukcji całkowalych w drugiej potędze a odciku [,T] i zapiszemy zgodie z matematyczą otacją S L (, T) (.) Zapis te ozacza przede wszystkim, że każdy sygał s S spełia waruek T s ( t) dt, (.) czyli całka a przedziale,t z kwadratu sygału s ma wartość skończoą. Wybór przestrzei, do której ależą rozpatrywae sygały, ma zaczeie fudametale. Od iego trzeba rozpoczyać matematycze modelowaie sygałów, a podjęte decyzje pociągą za sobą istote kosekwecje. Zakwalifikowaie sygału do określoej klasy, będzie umożliwiało lub wykluczało wykoaie pewych operacji matematyczych. Z tego powodu klasyfikacja sygałów ajczęściej prowadzoa jest w oparciu o ich przyależość do określoych przestrzei. Sygały moża klasyfikować w róży sposób, zależie od przyjętych kryteriów podziału. Kryteria te wyikają z możliwości zastosowaia określoego aparatu matematyczego oraz iżyierskiej praktyki przetwarzaia i aalizowaia sygałów. Przyależość sygału do określoej klasy jest arbitrala. Te sam sygał w zależości od potrzeb lub możliwości jego aalizy, może zostać zakwalifikoway do różych klas. Na ogół jego przyależość do określoej klasy wyika z właściwości sygału lub możliwości jakie stwarza aparat matematyczy możliwy do zastosowaia w daej klasie sygałów. Na ogół istieją dwie fizycze iterpretacje dziedziy sygałów: czas i częstotliwość. Przykładowo czas jest dziedzią dla sygału akustyczego. Częstotliwość jako dziedzia sygału wykorzystywaa jest do aalizy częstotliwościowej sygałów. 6

Dziedzia a której są określoe sygały, może być zbiorem ciągłym lub ieciągłym zwaym iaczej dyskretym. Dyskrety charakter może mieć ie tylko dziedzia, ale i wartość sygału. Ma to duże zaczeie w praktyczej realizacji, atomiast jest miej istote przy matematyczym modelowaiu. Sygał, który przyjmuje wartości z założoego dyskretego zbioru azyway jest sygałem skwatowaym. Jeżeli sygał jest rówocześie dyskrety i skwatoway, to azywa się go sygałem cyfrowym (ag. digital sigal). Oba powyższe przykłady są ilustracją kolejego bardzo ważego podziału a: sygały aalogowe (zwae iekiedy sygałami ciągłymi) i sygały cyfrowe. Układy elektroicze przetwarzają sygały cyfrowe a ie dyskrete. Wartość sygału może być bowiem w rozwiązaiach techiczych realizowaa tylko ze skończoą precyzją. Zatem w praktyce iżyierskiej musi występować efekt kwatyzacji. Zupełie iaczej jest w modelach matematyczych, ich aturalą cechą jest dyskrety a ie cyfrowy charakter. Rozbieżość ta ie zmiejsza jedak przydatości dyskretych modeli matematyczych do modelowaia cyfrowych sygałów elektroiczych. Aby zachować jedość termiologiczą, wszystkie modele dyskrete są często w literaturze azywae modelami cyfrowymi. Modelami matematyczymi aalogowych sygałów jedowymiarowych są fukcje zależe tylko od jedego argumetu. Na ogół posiada o fizyczą iterpretację czasu lub częstotliwości. Jeżeli zmieą iezależą jest czas, ozaczamy go literą t a wartość sygału s dla chwili t ozaczamy przez s(t). Częstotliwość ozaczamy literą f, atomiast wartość sygału, która a ogół jest liczbą zespoloą dla tej częstotliwości, będziemy ozaczać przez s( f ). Dziedzia sygału jedowymiarowego może być ograiczoa (p. t[,t]) lub ieograiczoa (p. t ) albo czasami t, czyli ograicza się do zbioru dodatich liczb rzeczywistych. Posługując się aparatem matematyczym a ogół wygodiej jest zakładać ieograiczoość dziedziy. W praktyce iżyierskiej wiemy jedak, że czas trwaia sygału jest skończoy. Czasami możemy przyjąć iterpretację, że poza obszarem ograiczoym sygał przyjmuje wartości zerowe. Obszar, a którym wartości sygału są róże od zera azywa się ośikiem sygału. A oto przykłady defiicji ośika sygału i ośika jego widma: supp s( t) t : s( t) (.3) supp s( f ) f : s( f ) (.4) Kreska ad powyższymi zbiorami ozacza domkięcie zbiorów, czyli pukty brzegowe też ależą do ośików. Sygał którego ośik jest mały, tz. krótkotrwały, azywa się impulsem. Impulsy są często wykorzystywae jako sygały próbe. Przepuszczoe przez obiekt ulegają odkształceiu charakterystyczemu ze względu a własości obiektu. 7

Niech wartości sygału będą określoe tylko w pewych wybraych, tzw. dyskretych, chwilach czasu. Na ogół chwile te są rozłożoe rówomierie, moża zatem gęstość dyskretyzacji (w teorii sygałów częściej mówimy gęstość próbkowaia) ozaczyć symbolem t. Jeżeli dokoamy dyskretyzacji sygału aalogowego s a (t) (czyość taka azywa się próbkowaiem), otrzymamy wartości sygału cyfrowego (ściśle biorąc dyskretego) zgodie ze wzorem sd ( i) sa ( i t) (.5) Modelem matematyczym cyfrowego sygału jedowymiarowego jest zatem ciąg liczbowy s d (t) gdzie i=,,...,i. Ilość elemetów tego ciągu może być ograiczoa lub ieograiczoa... Przestrzeie sygałów Pomimo fizyczej różorodości sygałów, potrafimy posługiwać się jedorodymi metodami zarówo do aalizy sygałów jak i projektowaia układów przetwarzających sygały. Tym wspólym, bardzo efektywym arzędziem jest aparat matematyczy. Aby się im posługiwać, musimy każdemu sygałowi przyporządkować model matematyczy. Po odpowiedio staraym wybraiu modelu będziemy mogli przeprowadzać a im skomplikowae operacje, zapomiając jaki sygał fizyczy jest reprezetoway przez model. Dla zwięzłości dalszych wypowiedzi, zamiast stwierdzeia "s jest modelem matematyczym sygału", będziemy posługiwali się krótkim określeiem "s jest sygałem". Dla każdego sygału bardzo waże jest przyjęcie założeń umożliwiających wykoaie a im pewych podstawowych operacji matematyczych. Założeia te są przyjmowae przez stwierdzeie, że sygał ależy do przestrzei posiadającej pewe ściśle określoe własości. Jest ią a przykład skończoa wartość całki z kwadratu sygału, iterpretowaa jako skończoa eergia sygału, lub założeie że sygał jest fukcją ciągłą. Załóżmy, że w wyiku przeprowadzoych obserwacji zamy trzy sygały i ozaczmy je s, s i s 3. Zaiteresowai jesteśmy porówaiem tych sygałów. W szczególości chcielibyśmy wiedzieć, który z sygałów, s czy s 3, jest bliższy sygałowi s? Odpowiedź a to pytaie powia być precyzyjie sformułowaa, zatem ie może być podaa w formie opisowej. Posługując się aparatem matematyczym, stopień podobieństwa określa się przy pomocy liczby ieujemej, azywaej odległością między sygałami lub krótko metryką. Aby zaleźć podobieństwo, trzeba ajpierw zdefiiować metrykę, to zaczy ustalić z jakiego puktu widzeia będzie rozpatrywae podobieństwo między sygałami. 8

Spełioych musi być kilka waruków. Po pierwsze, jeżeli oba sygały są idetycze, metryka musi być wtedy i tylko wtedy rówa zeru. Po drugie, odległość od sygału pierwszego do drugiego musi być taka sama jak odległość od sygału drugiego do pierwszego. Jest to symetria metryki, ozaczająca, że przestawieie kolejości sygałów ie może powodować zmiay odległości między imi. Trzeci i ostati postulat, zway ierówością trójkąta, wymaga, aby odległość między sygałem pierwszym i trzecim była miejsza lub rówa odległości sygału pierwszego od drugiego plus drugiego od trzeciego. Wymagaia te są zgode z aszym potoczym rozumieiem odległości między puktami w przestrzei euklidesowej. Przestrzeń metryczą będziemy uważali za zdefiiowaą, jeżeli określimy sposób obliczaia odległości między jej elemetami. Defiicja metryki determiuje charakter sygałów ależących do przestrzei metryczej. Przede wszystkim odczytujemy z iej czy sygały są aalogowe czy dyskrete oraz jaki jest wymiar dziedziy sygałów. Nie moża obliczać odległości między sygałami ależącymi do różych przestrzei. Nie możliwe jest a przykład bezpośredie porówaie sygału aalogowego z sygałem dyskretym. Musimy jede z ich sprowadzić do postaci drugiego sygału, czyli muszą oe być elemetami tej samej przestrzei. Najczęściej uzyskuje się to przez przetworzeie sygału aalogowego a sygał dyskrety. Moża jedak postąpić odwrotie i zamieić sygał dyskrety a sygał ciągły. W obu przypadkach uzyskamy możliwość porówywaia sygałów, albo w przestrzei sygałów dyskretych albo w przestrzei sygałów aalogowych. Defiicja.. Zbiór S azywamy przestrzeią metryczą, jeżeli każdej parze elemetów s, s S przyporządkowaa jest liczba ieujema ( s, s ) w taki sposób, że spełioe są astępujące waruki zwae aksjomatami metryki:. ( s, s ) s s (.6). ( s, s ) ( s, s ) (.7) 3. ( s, s ) ( s, s3 ) ( s, s3 ) (.8) Metrykę moża zdefiiować rozmaicie, byle tylko spełioe były powyższe aksjomaty. W teorii sygałów a ogół wykorzystuje się tylko dwa sposoby defiiowaia metryki dla sygałów aalogowych i dwa odpowiadające im sposoby w przestrzeiach sygałów dyskretych. Prezetację tych metryk rozpocziemy od przestrzei sygałów określoych a dziedziach ciągłych. Zbiór fukcji dla których T s( t) p dt (.9) 9

(gdzie p ) azywa się przestrzeią L p (, T) a odległość między dwoma elemetami zdefiiowaa jest wzorem L T p p (.) p ( s, s ) s ( t) s ( t) dt Zak ozacza moduł w przypadku obliczaia odległości między sygałami o wartościach zespoloych. Przestrzeń fukcji całkowalych z kwadratem a ograiczoej dziedziie jedowymiarowej jest ozaczaa przez L (, T). Przestrzeń ta ma ajwiększe zaczeie w praktyczych zastosowaiach. Metryka jest wtedy zdefiiowaa wzorem T ( s s s t s t dt L, ) ( ) ( ) (.) W przestrzei L metryka jest obliczaa jako istoty kres góry z modułu różicy obu sygałów s, s ) esssup s ( t) s ( ) (.) ( t L t W pewych zastosowaiach wygodie jest posługiwać się przestrzeią fukcji ciągłych. Ozaczamy ją przez C(,T) a metrykę oblicza się wtedy przy pomocy wzoru C ( s, s ) max s ( t) s ( t) tt (.3) Przykład.. Dae są dwa sygały: s ( t ) si( t ) oraz s ( t) cos( t). Jaka jest między imi odległość w przestrzei L (, ) i w przestrzei C(,)? Posługując się wzorem (.) i obliczając całki z fukcji trygoometryczych otrzymujemy wartość metryki L (.4) ( s, s ) si( t) cos( t) dt Nieco trudiej jest obliczyć metrykę w przestrzei C(,) gdzie ( s, s ) max si( t) cos( t) C t Przyrówując do zera pochodą d si( t) cos( t) dt (.5) cos( t) si( t) (.6)

otrzymamy tg(t) = -, czyli ekstremum zajduje się między iymi w pukcie t 3 4, a wartość metryki wyosi C ( s, s ) (.7) Trudości obliczeiowe w powyższym przykładzie uzmysławiają am kłopoty a jakie atrafiamy obliczając metrykę w przestrzei C(,T). Aby ich uikąć, często wybieramy przestrzeń L (, T). Nie jest to jedak jedya przyczya preferowaia tej przestrzei. Jej dalsze zalety pozamy późiej. Sygały dyskrete są reprezetowae przez ciągi liczbowe, które moża zapisać w postaci wektorów s [ s( ), s( ),...] ależących do przestrzei liczb rzeczywistych R N lub zespoloych C N. Jeżeli s( ) p (.8) czyli szeregi są zbieże, to wtedy przestrzeń taką ozaczamy przez l p p ). Metryki w tych przestrzeiach zdefiiowae są wzorami l (gdzie p p (.9) p ( s, s ) s ( ) s ( ) W przestrzei euklidesowej l metrykę oblicza się przy pomocy wzoru ( s, s ) s ( ) s ( ) (.) l gdzie ozacza moduł liczb zespoloych, jeżeli sygały mają wartości zespoloe. Te sposób obliczaia odległości między dwoma sygałami dyskretymi jest wykorzystyway ajczęściej. Ilość sumowaych elemetów może być ieograiczoa, jedak wartość sumy musi być zawsze skończoa. Własość tę zapisuje się przez deklarację przyależości sygałów do stosowej przestrzei, p. s, s l (.) Przez l będziemy ozaczali przestrzeń w której metryka jest obliczaa przy pomocy wzoru ( s, s ) max s ( ) s ( ) (.) l Kolejym pojęciem, które musimy zdefiiować, jest sposób obliczaia wielkości sygałów lub ich eergii. W aalizie matematyczej pojęcie to związae jest z ormą. Każdemu sygałowi przyporządkujemy liczbę ieujemą, która charakteryzuje rozmiar sygału a jej kwadrat eergię sygału. Przyporządkowaie

to powio spełiać trzy postulaty. Po pierwsze powio być rówe zeru wtedy i tylko wtedy, gdy sygał jest zerowy. Po drugie pomożeie sygału przez pewą liczbę, powio powodować pomożeie jego wielkości przez moduł z tej liczby. Ostatią, trzecią własością jest tak zwaa ierówość trójkąta. Wyika z iej, że orma sumy dwóch sygałów powia być miejsza lub rówa sumie orm sygałów składowych. Defiicja.. Zbiór S azywamy przestrzeią uormowaą jeżeli każdemu jej elemetowi s S, przyporządkujemy liczbę ieujemą s w taki sposób, że spełioe są astępujące waruki:. s s (.3). s s gdzie R (.4) 3. s s s s (.5) Istieją róże sposoby defiiowaia ormy a każdy z ich wyzacza odrębą przestrzeń uormowaą. W powyższej defiicji ozacza elemet zerowy ależący do rozpatrywaej przestrzei S. Przykładowo może to być fukcja przyjmująca wartości zerowe a całej dziedziie lub w przestrzei ciągów liczbowych wektor o wszystkich składowych rówych zeru. Zaiteresowaia asze ograiczymy do dwóch sposobów defiiowaia ormy. W przypadku przestrzei L fukcji całkowalych w kwadracie a odciku [, T ], orma jest obliczaa przy pomocy wzoru s s ( t ) dt (.6) L T Dla przestrzei sygałów ciągłych C orma ma postać s max s( t) (.7) C t gdzie maksimum jest poszukiwae po całym zbiorze określoości zmieych t. Przykład.. Jaka jest orma sygału s(t)=si(t) w przestrzei L (, ) i C(, )? Posługując się wzorami (.6) i (.7) obliczamy s L si ( t) dt s C t t si(t ) 4 max si( t) (.8) (.9)

Dla sygału dyskretego, reprezetowaego przez wektor s [ s( ), s( ),..., s( N)], orma w przestrzei l jest określoa wzorem s l N s( ) (.3) atomiast dla przestrzei l s max s( ) (.3) l Jeżeli sygał jest reprezetoway przez ieskończoy ciąg liczbowy we wzorze (.3) zmiaie ulegają tylko graice sumowaia, atomiast wzór (.3) przekształca się do postaci s sup s( ) (.3) l czyli poszukiwaie ajwiększego elemetu zostaje zastąpioe przez poszukiwaie kresu górego. W aalizie matematyczej bardzo ważą rolę odgrywa pojęcie iloczyu skalarego. Szczególie waża jest własość prostopadłości elemetów, gdyż umożliwia oa łatwe zalezieie aproksymacji fukcji w postaci szeregu Fouriera. Iloczy skalary zdefiiujemy zarówo dla sygałów dyskretych jak i sygałów aalogowych. Sygały dyskrete są reprezetowae przez ciągi liczbowe, zatem moża je zapisać w postaci wektorów. Są to więc elemety przestrzei euklidesowej, gdzie pojęcie iloczyu skalarego dwóch wektorów jest dobrze zae. Obecie postaramy się to pojęcie uogólić a przestrzeie fukcyje. Przestrzeń w której zdefiioway jest iloczy skalary azywa się przestrzeią uitarą. Defiicję iloczyu skalarego przedstawimy w postaci ogólej, to zaczy dla fukcji o wartościach zespoloych. Niech zatem S będzie przestrzeią zawierającą elemety s, s, s3 o wartościach zespoloych albo rzeczywistych. Przez ozaczymy liczbę która rówież może być zespoloa albo rzeczywista. Defiicja.3. Iloczyem skalarym pary elemetów ależących do S azywamy operację, która tej parze przyporządkowuje liczbę zespoloą lub rzeczywistą s, s w taki sposób, że spełioe są astępujące aksjomaty:. s, s dla s i s, s dla s (.33). s, s s, s C (.34) 3. s s, s s, s s, s (.35) 3 3 3 4. s, s s, s (.36) 3

Kreska ad iloczyem skalarym ozacza liczbę zespoloą sprzężoą. Jeżeli iloczy skalary dwóch elemetów jest rówy zeru, to wtedy mówimy, że elemety te są ortogoale. Iloczy skalary może być zdefiioway tylko w dwóch rozpatrywaych powyżej przestrzeiach: L i l. Pojęcia tego ie da się wprowadzić w pozostałych prezetowaych przestrzeiach. Jest to koleja i bardzo waża zaleta przestrzei L i l. Możliwość posługiwaia się iloczyem skalarym daje bowiem olbrzymie korzyści zarówo w aalizie teoretyczej jak i przy obliczeiach związaych z iżyierskimi zastosowaiami. Łatwo sprawdzić, że aksjomaty iloczyu skalarego są spełioe dla wzoru s, s s ( t) s ( t) dt (.37) L zatem przestrzeń L jest przestrzeią uitarą. T Przykład.3. Czy sygały s( t) si( t) oraz s( t) cos( t) są sygałami ortogoalymi w przestrzei L (, )? Aby otrzymać odpowiedź a to pytaie obliczymy iloczy skalary s, s si( t) cos( t) dt si( t) dt Zerowa wartość ozacza, że sygały s i s są prostopadłe w L (, ). (.38) Przykład.4. Czy sygały s ( t) i s ( t) t są ortogoale i jaka jest między imi odległość w przestrzei L (,)? Na wstępie obliczymy iloczy skalary dla zadaych sygałów s, s t dt t t (.39) Zerowaie iloczyu skalarego ozacza, że sygały są względem siebie prostopadłe. Odległość między sygałami wyosi ( s, s ) t dt (.4) 3 W przypadku ciągów liczbowych zapisaych w postaci wektorowej i reprezetujących sygały dyskrete, iloczy skalary ma postać T s, s s s s ( ) s ( ) (.4) 4

gdzie traspoowaie wektora s zostało ozaczoe symbolem T. Przestrzeń l z iloczyem skalarym (.4) jest zatem przestrzeią uitarą. Przestrzeń uitara jest szczególym przypadkiem przestrzei uormowaej, moża bowiem zawsze zdefiiować ormę poprzez iloczy skalary. Twierdzeie.. Fukcjoał zdefiioway wzorem s s, s (.43) dla s S jest ormą w przestrzei uitarej S. Dowód tego twierdzeia opiera się a spostrzeżeiu, że z aksjomatów (.33.36) defiiujących iloczy skalary, wyikają aksjomaty (.3.5) defiiujące ormę. Podobie porówaie aksjomatów metryki z aksjomatami ormy pozwala domyślać się, że istieje między imi zależość. Twierdzeie.. Fukcjoał zdefiioway wzorem ( s, s ) s s (.44) dla s, s S jest metryką w uormowaej przestrzei S. Dowód sprowadza się do wykazaia, że aksjomaty metryki wyikają z aksjomatów ormy. Wiosek z tego spostrzeżeia jest oczywisty: każda przestrzeń uormowaa jest przestrzeią metryczą. Reasumując powyższe rozważaia dochodzimy do wiosku, że każda przestrzeń uitara jest rówocześie przestrzeią uormowaą i przestrzeią metryczą. Niekiedy przestrzeń metrycza spełia dodatkowe waruki, dzięki czemu jest rówocześie przestrzeią uormowaą. Zaim podamy te waruki wprowadzimy dwie dodatkowe defiicje. Defiicja.4. Mówimy, że metryka w przestrzei S jest przesuwala jeśli spełioy jest waruek ( s s3, s s3 ) ( s, s ) (.45) dla dowolych s, s, s3 S. Defiicja.5. Metryka jest bezwzględie jedoroda jeśli zachodzi ( s, s ) ( s, s ) (.46) dla dowolych s, s S oraz dla każdego. Twierdzeie.3. Jeżeli metryka w przestrzei S jest przesuwala i bezwzględie jedoroda to wtedy i tylko wtedy przestrzeń S jest uormowaa, a orma daa jest wzorem s ( s, ) (.47) 5

Łatwo moża sprawdzić, że metryki w przestrzeiach L i l są zarówo przesuwale jak i bezwzględie jedorode..3. Reprezetacja sygałów Przetwarzaie sygałów może być bardziej efektywe, jeżeli przedstawimy je w postaci sumy elemetarych sygałów o dobrze zaych i specyficzych własościach. Na ogół taka reprezetacja ie jest ideala, ale zwiększając ilość elemetów, moża uzyskać dowolą dokładość aproksymacji. Jeżeli ilość elemetarych sygałów wyosi N, możemy dla dowolego sygału apisać s N a s (.48) gdzie a są odpowiedio dobraymi liczbami rzeczywistymi, atomiast s są ustaloymi sygałami elemetarymi ależącymi do tej samej przestrzei co sygał s. Jeżeli s jest sygałem aalogowym, to aproksymujące go zgodie ze wzorem (.48) elemety s są pewymi fukcjami. Jeżeli atomiast sygał s jest dyskrety, jego składikami s są wektory. Prawa stroa przybliżoej rówości (.48) jest aproksymacją sygału s. Współczyiki a są tak dobierae, aby odchyłka między sygałem s a jego aproksymacją a s była ajmiejsza w sesie arbitralie dobraego kryterium błędu. Kryterium tym jest ajczęściej metryka w odpowiediej przestrzei (p. L lub C dla sygałów aalogowych lub l albo l dla sygałów dyskretych). Sygały s są dobierae w taki sposób, aby łatwiej realizować określoe zadaie. Zatem sygały elemetare s są ściśle ustaloe, atomiast idywiduale cechy sygału są reprezetowae przez współczyiki a. Korzyści płyące z takiego postępowaia przeaalizujemy a przykładzie trasmisji sygałów. Załóżmy, że istieje adawca i odbiorca sygałów. Obaj zają postać sygałów elemetarych s. Wystarczy zatem, aby adawca przesłał ciąg liczb a do odbiorcy, a te w oparciu o wzór (.48) potrafi z zadawalającą dokładością odtworzyć sygał s. Korzyść polega a tym, że zaczie łatwiej jest przesłać pewie ciąg liczbowy iż komplety sygał s. Możemy zatem a N powiedzieć, że liczby a są reprezetacją sygału s..3. Baza przestrzei sygałów 6

Bardzo waże jest odpowiedie dobraie sygałów elemetarych s. Pewe ogóle zasady moża łatwo sformułować. Bardzo często postuluje się, aby sygały elemetare ie dublowały się. Każdy z ich musi mieć pewe specyficze cechy, to zaczy takie własości, których ie posiadają wszystkie pozostałe elemety bazy. W języku matematyczym ozacza to ich liiową iezależość. Defiicja.6. Elemety s są liiowo iezależe, gdy z waruku zerowaia ich kombiacji liiowej wyikają zerowe wartości współczyików a, tz. N as a. (.49),..., N Defiicja ta ozacza, że jeżeli suma ważoa elemetów liiowo iezależych jest rówa zeru, to wszystkie współczyiki a muszą być zerowe. Natomiast dla elemetów liiowo zależych, waruek N a s (.5) może być spełioy przy pewych iezerowych wartościach przyajmiej dwóch współczyików a. Możemy zatem elemet z iezerowym współczyikiem wyrazić jako kombiację liiową z pozostałych elemetów. Ozacza to, że elemet te jako zbędy, może być usuięty ze wzoru (.48). Postępowaie takie jest a ogół uzasadioe, poieważ jesteśmy zaiteresowai jak ajprostszą aproksymacją sygału. Wioskujemy zatem, że sygały elemetare powiy być liiowo iezależe. Defiicja.7. Jeżeli przestrzeń S zawiera co ajwyżej N elemetów liiowo iezależych, to S azywamy przestrzeią N-wymiarową a jej wymiar ozaczamy dims N. Dążąc do bezbłędej reprezetacji sygału chcielibyśmy otrzymać rówość s N a s. (.5) Poszukajmy zatem odpowiedzi a dwa pytaia. Po pierwsze, kiedy powyższy waruek może być spełioy? I po drugie, jaką wartość ma stała N? Jeżeli s są liiowo iezależe, to waruek (.5) może być spełioy tylko wtedy, gdy sygał s jest elemetem przestrzei N-wymiarowej. Przykładowo przestrzeń fukcji całkowalych w kwadracie L (, T) oraz przestrzeń fukcji ciągłych C(,T) są ieskończeie wymiarowe. Zatem sygały aalogowe są a ogół elemetami przestrzei o ieskończoym wymiarze. W praktyczych zastosowaiach możemy jedak operować tylko sygałami ależącymi do 7

przestrzei ze skończoym i to często iezbyt wysokim wymiarze. Wymiar przestrzei sygałów jest przyjmoway arbitralie i jest to kompromis pomiędzy dążeiem do łatwej realizacji (iski wymiar przestrzei) a rówocześie wystarczającej dokładości reprezetacji sygałów (wysoki wymiar przestrzei). Przykładowo sygał dyskrety ze skończoą ilością elemetów ależy do przestrzei skończeie wymiarowej. Defiicja.8. Bazą przestrzei S azywamy dowoly zbiór s : s S;,..., N; dims N (.5) elemetów liiowo iezależych. Odpowiedio dobraa baza bardzo ułatwia wykoaie zadań związaych z przetwarzaiem sygałów. Z powyższej defiicji wyika, że baza przestrzei sygałów może być utworzoa z dowolych jej elemetów. Waże jest tylko to, aby ich ilość była rówa wymiarowi przestrzei i by były oe liiowo iezależe. Po spełieiu tych waruków moża przy wyborze bazy kierować się już tylko jej użyteczością. Okazuje się, że ortogoalość elemetów bazowych bardzo ułatwia przetwarzaie sygałów. Te istote korzyści uzasadiają szczególe zaiteresowaie przestrzeiami uitarymi, to zaczy takimi, dla których zdefiioway jest iloczy skalary. Drugą korzystą własością, co prawda zaczie miej istotą, jest uormowaie elemetów bazowych. Defiicja.9. Bazę { s } N N-wymiarowej przestrzei uitarej S azywamy ortogoalą, jeżeli każde dwa jej elemety są prostopadłe, tz. s, s dla m. (.53) m Defiicja.. Jeżeli orma każdego elemetu bazy jest jedostkowa, tz. to bazę azywamy uormowaą. s (.54) Defiicja.. Jeżeli elemety bazowe są zarówo ortogoale jak i uormowae to bazę azywamy ortoormalą. Niech przestrzeń S N do której ależy rozpatryway przez as sygał s będzie skończeie wymiarowa i jej wymiar iech wyosi N. Możemy zatem zaleźć bezbłędą reprezetację sygału w postaci N-wyrazowego szeregu N s a s S N (.55) 8

Załóżmy, że zamy zarówo sygał s jak i elemety s, które są bazą zbioru sygałów S N. Niezae są współczyiki a. Aby je obliczyć, założymy, że zarówo baza jak i sygał s są fukcjami całkowalymi w kwadracie, tz. s N S L (, T). Możemy zatem pomożyć obustroie rówaie (.55) przez s m i scałkować po przedziale określoości sygału. Postępując tak dla wszystkich elemetów bazy otrzymamy układ N rówań gdzie N s, s s, s a m m T dla m=,...,n (.56) s, sm s( t) sm( t) dt (.57) jest iloczyem skalarym w przestrzei L (, T). Układ rówań (.56) moża zapisać w postaci macierzowej b = A a (.58) gdzie s, s a b a (.59) s, s N a N s, s A s, s N s, s s, s N s s N N, s, s N (.6) Dla liiowo iezależych elemetów bazy { s } N macierz A jest ieosobliwa, czyli det A i istieje dla iej macierz odwrota. Ostateczie zatem współczyiki { a } N moża obliczyć ze wzoru - a = A b (.6) Obliczaie macierzy odwrotej, szczególie przy jej dużych rozmiarach, jest a ogół kłopotliwe. Wyjątkiem jest macierz diagoala bo odwrotą do iej jest rówież macierz diagoala. Ze wzoru (.6) wioskujemy, że przy ortogoalej bazie, macierz A jest diagoala. Obliczeia ulegają dalszym uproszczeiom dla bazy ortoormalej. Macierz A staje się wtedy macierzą jedostkową i poszukiway wektor reprezetacji sygału a jest rówy wektorowi b..3.. Ortoormalizacja bazy 9

Przedstawioe powyżej rozważaia wykazały zalety bazy ortoormalej. Procedura Grama-Schmidta służy do trasformacji elemetów liiowo N iezależych { } do układu elemetów ortoormalych { } s N s. Procedurę rozpoczya się od ormalizacji elemetu s s s. (.6) s Kolejym krokiem jest utworzeie elemetu pomociczego v, który powstaje z odjęcia od s jego rzutu a s v s s, s s. (.63) Tak otrzymay elemet v jest ortogoaly do elemetu s. Łatwo to sprawdzić, możąc rówaie (.63) obustroie przez s i tworząc iloczyy skalare, s s, s s, s s, s. (.64) Prawa stroa jest rówa zeru, poieważ elemet s jest uormoway. Elemet s utworzymy ormalizując v v s (.65) v W kolejym kroku tworzymy elemet pomociczy v 3, który powstaje z odjęcia od s 3 jego rzutów a elemety s i s v s s, s s s, s s. (.66) 3 3 3 3 Otrzymay elemet v 3 jest prostopadły zarówo do s jak i s. Łatwo to sprawdzić możąc (.66) odpowiedio przez s lub s i tworząc iloczyy skalare 3, s s 3, s s 3, s s, s s 3, s s, s (.67), s s, s s, s s, s s, s s, s. 3 3 3 3 Prawe stroy (.67) są rówe zeru, poieważ elemety s i s są uormowae i ortogoale. Kolejym etapem jest obliczeie elemetu s 3 poprzez ormalizację v 3. Aalogiczie postępujemy z pozostałymi elemetami. Każdy kolejy elemet będzie ortogoaly do podprzestrzei liiowej o coraz większym wymiarze i rozpiętej a poprzedich elemetach. Za każdym razem geerujemy elemety ortogoale posługując się wzorem i astępie je ormalizujemy. v s s, s s m m m (.68)

Algorytm ortoormalizacyjej procedury Grama-Schmidta ma zatem astępującą postać:. Dae: s, s,...,s N - dowola baza, N - ilość elemetów bazy.. Obliczyć pierwszy elemet ortoormalej bazy s s: (.69) s i podstawić :=. 3. Powiększyć umer wskaźika :=+ i astępie obliczyć kolejy elemet v : s s, s s. (.7) m m m 4. Dokoać ormalizacji elemetu otrzymaego w poprzedim kroku v s: (.7) v 5. Jeżeli <N ależy przejść do puktu 3. Przeciwy przypadek ozacza zakończeie procedury ortoormalizacyjej..3.3. Aproksymacja sygałów w przestrzeiach ieskończeie wymiarowych Sygał ależący do ieskończeie wymiarowej przestrzei S a ogół ie może mieć bezbłędej reprezetacji w przestrzei skończeie wymiarowej S N. Możemy jedak, przy odpowiedio zdefiiowaej przestrzei aproksymującej, zaleźć elemet dostateczie dobrze go reprezetujący. Skończeie wymiarową aproksymację sygału s będziemy ozaczać przez s. Oczywiście poszukiwać będziemy możliwie ajlepszej aproksymacji sygału ss przez sygał s SN S. Załóżmy, że zaa jest baza w przestrzei S N i szukamy takich współczyików a rozwiięcia s N a s, (.7) że odległość między sygałem s a jego aproksymacją s jest możliwie ajmiejsza, czyli ( s, s) mi ( s, as ). (.73) a Iymi słowy współczyiki miimalizujące powyższe kryterium spełiają waruek N

* ( s, s) ( s, s ) dla każdego s S N. (.74) Sposób poszukiwaia optymalej aproksymacji zależy od defiicji metryki, czyli od przestrzei, w której ~ s jest poszukiwae. Bezpośredie posługiwaie się wzorem (.73) jest trude. Zadaie takie łatwiej jest rozwiązać przy pomocy twierdzeia o rzucie ortogoalym. Wymaga to jedak zdefiiowaia iloczyu skalarego, czyli może być zrealizowae tylko w przestrzei uitarej. Z tych powodów rzadko przestrzeią sygałów jest przestrzeń fukcji ciągłych C(,T) a a ogół posługujemy się przestrzeią L (, T) czyli taką, która zawiera fukcje całkowale w kwadracie. Twierdzeie.5. (O rzucie ortogoalym) Niech S będzie przestrzeią uitarą, a S N będzie N-wymiarową podprzestrzeią (tz. S N S ) rozpiętą a N ortoormalej bazie s. Dla każdego s S istieje jedyy elemet s S N określoy wzorem taki, że: ) dla każdego s S N ) elemet s s N s s, s s spełioa jest ierówość (, ) s s ( s, s ), jest ortogoaly do podprzestrzei S N, tz. (.75) s s, s dla każdego s S N. Twierdzeie o rzucie ortogoalym umożliwia łatwe zalezieie aproksymacji s dla sygału s. Jego treść mówi, że reprezetacja ta jest jedya i optymala w sesie metryki przyjętej w tej przestrzei. Ze względu a ortogoalość bazy łatwo moża zwiększać dokładość aproksymacji przez zwiększaie ilości rozwiięć szeregu aproksymującego. Dla ieskończeie wymiarowej aproksymacji w przestrzei S z bazą ortoormalą, możemy wykoać koleje przekształceia s a s a s a s a a L L L (.76) l L Otrzymujemy w te sposób rówość Parsevala s a (.77) L l gdzie T s s t dt L ( ) a a l. (.78)

Rówość (.77) ozacza, że jeżeli baza jest ortoormala to orma sygału jest rówa ormie jego reprezetacji. Przykład.5. W przestrzei L (, ) zaleźć ajlepszą aproksymację sygału t dla t s( t) (.79) dla t przy pomocy fukcji s ( t) s ( t) t s3( t) t Kwadrat odległości między sygałem a jego aproksymacją wyosi 3 ( s ~ s ) ( t a a t a t ) dt ( a a t a t ) dt 3 Nasze zadaie polega a dobraiu takich współczyików a, a, a 3, aby powyższy uimodaly i różiczkowaly fukcjoał osiągał wartość miimalą. Aby zadaie rozwiązać obliczamy pochode ( s ~ s ) ( t a at a3t ) dt ( a at a3t ) dt a ( s ~ s ) ( t a at a3t ) t dt ( a at a3t ) t dt a ( s ~ s ) ( t a at a3t ) t dt ( a at a3t ) t dt a 3. Po obliczeiu całek, przyrówujemy do zera powyższe pochode i otrzymujemy układ rówań 4 3 a 3 8 3 4 a 7 4 4 3 6 5 a3 9 5 który ma rozwiązaie a,5a,5 a3,4375 Ozacza to, że aproksymacja zadaego sygału ma postać ~ 3 7 s ( t) t t 4 6 3

.3.4. Wielomiay ortogoale Wielomiay ortogoale a odciku [,] geerowae są wzorem d s ( t) t t,,,... (.8)! dt i spełiają wzór rekurecyjy ( ) s ( t) ( 3)( t ) s ( t) ( ) s ( t) (.8) Siedem pierwszych wielomiaów ortogoalych a odciku [,] ma postać s ( t) s ( t) t s3 ( t) 6t 6t 3 s4 ( t) t 3t t (.8) 4 3 s5 ( t) 7t 4t 9t t 5 4 3 s6 ( t) 5t 63t 56t t 3t 6 5 4 3 s7 ( t) 94t 77t 35t 68t 4t 4t Wykresy tych wielomiaów przedstawioe są a rys... Dla t = przyjmują oe wartości a przemia i -. Dla t = wszystkie wielomiay mają wartość. Miejsca zerowe wielomiaów zajdują się zawsze wewątrz odcika [,]. Normy wielomiaów są malejące ze wzrostem ich wskaźika s (.83) Aby otrzymać ortoormalą bazę wielomiaową ależy każdy wielomia s geeroway wzorem (.8) pomożyć przez. Rys... Wielomiay ortogoale a odciku [,]. 4

.3.5. Fukcje Haara Zapropoowae przez Haara w 9 roku fukcje tworzą bazę ortoormalą w przestrzei L (, ). Wygodie jest posługiwać się dwoma ideksami porządkującymi te fukcje. Niech pierwszy ideks r,,... ozacza umer grupy fukcji Haara, a drugi ideks m iech będzie umerem kolejym fukcji w ramach daej grupy. Numery koleje fukcji r-tej grupy iech spełiają ierówości r m (.84) Możliwe jest też umerowaie przy pomocy jedego ideksu zgodie z regułą r m (.85) Zależości między ideksami przedstawioe są w tabeli.. Przy tych ozaczeiach fukcje Haara są zdefiiowae astępującym wzorem r m m dla r t r r m m ( t) r, m ( t) dla r t r (.86) dla pozostalych t [,] a ich przykłady przedstawioe są a rys... Dodatkowym elemetem bazy jest fukcja stała ( t) dla t [, ] (.87) Dla fukcji tej ie wprowadzamy ideksowaia. Rys... Osiem pierwszych fukcji Haara. 5

Tabela. Zależości między ideksami porządkującymi fukcje Haara i Walsha r m,, 3 3,, 3, 4 4, 5, 6, 7 4,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 8, 9,,,, 3, 4, 5.3.6. Fukcje Walsha Fukcje zapropoowae przez Walsha tworzą bazę ortoormalą w przestrzei L (, ). Pierwszy elemet tej bazy jest fukcją stałą w ( t) dla t (.88) Kolejy elemet powstaje z pierwszego przez wykoaie a im kilku charakterystyczych operacji. Dla t [, ) drugi elemet bazowy jest rówy pierwszej fukcji bazowej po przeskalowaiu jej argumetu, tz. w ( t) w ( t). Dla t (, ] druga fukcja bazowa powstaje z pierwszej przez przeskalowaie i przesuięcie argumetu oraz pomożeie fukcji przez -, czyli w ( t) w ( t ). W pukcie t / moża ie defiiować wartości fukcji Walsha, bo skończoe ich wartości w izolowaych puktach ie mają żadego zaczeia w przestrzeiach fukcji całkowalych. Ostateczie zatem drugi elemet bazowy jest zdefiioway astępująco w ( t) dla t dla t w ( t) (.89) w ( t ) dla t dla t Trzeci elemet jest idetyczy jak drugi w przedziale t [, ) a różi się od iego tylko zakiem w przedziale t (, ] w ( t) dla t dla t w ( t) (.9) w ( t ) dla t dla t Podobie jak w przypadku fukcji Haara, wygodie jest wprowadzić podwóje ideksowaie elemetów bazowych. Pierwszy ideks będzie wówczas ozaczał umer grupy r =,,... a drugi m =,... r- będzie kolejością w ramach m-tej grupy. Zgodie z tą zasadą każda fukcja bazowa będzie miała podwóje ozaczeia w ( t) w ( t) (.9) r, m 6

gdzie = r- +m-. Numerację tę rozpocziemy od trzeciego elemetu (umer grupy m=). Koleje fukcje tworzoe są w idetyczy sposób. Dla każdego elemetu z daej klasy geerowae są dwa elemety z klasy astępej. Oba elemety są jedakowe dla t (, ) i w tym przedziale powstają przez przeskalowaie argumetu fukcji z której zostały wygeerowae. Dla t (, ) przeskalowuje się i przesuwa argumet fukcji macierzystej i jedą z ich dodatkowo moży się przez mius jede. Procedurę tę moża zapisać w postaci wzorów rekurecyjych wr, m( t) dla t wr, m( t) m (.9) ( ) wr, m( t ) dla t wr, m ( t) dla t wr, m ( t) m ( ) wr, m ( t ) dla t Fukcje Walsha moża różie umerować i ustawiać w iej kolejości. Jedak przyjęty tutaj sposób jest ajczęściej stosoway. Dzięki iemu ozacza k rówocześie ilość przejść przez a fale prostokąte mają umery, gdzie k,,... Fukcje Walsha mają w przetwarzaiu sygałów bardzo duże zaczeie. Ich podstawowe zalety to: ortoormalość, wartości fukcji przedziałami stałe i przyjmują tylko dwie wartości ( lub -). W zastosowaiach są zatem jeszcze bardziej użytecze iż fukcje Haara. Rys..3. Fukcje Walsha. 7

.3.7. Fukcje trygoometrycze Aproksymacja sygałów przy pomocy fukcji trygoometryczych ma szczególie duże zaczeie. Wyika to z bliskich związków między aproksymacjami w postaci szeregów trygoometryczych i aalizą harmoiczą sygałów. Ważą własością jest rówież ortogoalość fukcji trygoometryczych. Tworzą oe bazy w przestrzeiach fukcji całkowalych w kwadracie a zbiorach ograiczoych, p. w przestrzei L (, T), oraz bazy dla fukcji okresowych w przestrzeiach fukcji ciągłych, p. C(-,). Długość okresu ozaczać będziemy rówież przez T. Załóżmy, że dla pewego zaego sygału s(t) chcemy zaleźć reprezetację w postaci ieskończoego szeregu s( t) a a cos( t / T) b si( t / T) (.93) Rozwiązaie tego zadaia polega a obliczeiu wartości współczyików a i b. Aby wyzaczyć a scałkujmy obustroie rówaie (3.46), otrzymując T T s( t) dt a dt (.94) Zero po prawej stroie powyższego rówaia jest wartością sumy całek z fukcji trygoometryczych. Całki są obliczae po okresie lub jego całkowitej krotości, zatem wszystkie ich wartości są rówe zeru. Ostateczie z (.94) otrzymujemy a T T s( t) dt (.95) Podobie obliczymy pozostałe współczyiki. Rówaie (.93) pomożymy przez cos( t / T) i obustroie scałkujemy T T s( t) cos( t / T) dt a cos ( t / T) dt (.96) Po prawej stroie otrzymujemy tylko jedą całkę, poieważ pozostałe są rówe zeru ze względu a ortogoalość fukcji trygoometryczych. Korzystając z tożsamości T T T cos( 4t / T) t T T cos ( t / T) dt dt si( 4t / T) 8 otrzymujemy (3.5) 8

a zatem T s( t) cos( t / T) dt a T (.97) a T Postępując podobie otrzymamy pozostałe wzory b T T T s( t) cos( t / T) dt (.98) s( t) si( t / T) dt (.99) Współczyiki szeregu (.93) moża obliczyć dla sygałów ależących do przestrzei L (, T) poieważ całki we wzorach (.95), (.98) i (.99) mają wtedy skończoe wartości. Rówież wartości całek dla sygałów okresowych, ależących do przestrzei C(, ) są ograiczoe. Możemy zatem w przestrzei C(, ) posługiwać się wyprowadzoymi powyżej wzorami - pomimo, że ie jest to przestrzeń uitara. W przypadku pierwszym całkowaie odbywa się po całej dziedziie określoości sygału, a w przypadku drugim wystarczy całkować tylko po okresie sygału. W przestrzei C(, ) reprezetacja (.93) zalezioa przy pomocy wzoru (.95), (.98), (.99) jest dla t sygałem okresowym s( t). W przypadku aproksymacji sygału w przestrzei L (, T) waruek idetyczości sygału s(t) i jego aproksymacji (.93) jest spełioy tylko prawie wszędzie, tz. poza skończoą ilością puktów. Mogą to być pukty ieciągłości sygału lub pukty brzegowe. Sygały, które różią się wartościami tylko dla skończoej ilości izolowaych puktów, mają takie same reprezetacje w postaci szeregu zdefiiowaego wzorem (.93). Wartości całek we wzorach (.95), (.98) i (.99) ie ulegą bowiem zmiaie, jeżeli wartości sygału s(t) zmieimy w skończoej ilości puktów..4. Lokala aaliza widmowa sygałów Trasformacja Fouriera wykorzystywaa jest do globalej aalizy częstotliwościowej sygałów, czyli a całym przedziale czasu, w którym są oe określoe. Bardzo często jedak jesteśmy zaiteresowai lokalymi własościami sygałów. Chcemy obserwować jak ich lokale widma zmieiają się w czasie. Przykładowo dla sygału akustyczego podstawowa iformacja zawarta jest w czasozmieej charakterystyce częstotliwościowej. Oglądając a ekraie zarejestroway sygał mowy dostrzegamy w im bardzo charakterystycze przedziały czasowe o długości a ogół od 3 do 4 milisekud. Odpowiadają oe 9

czasom trwaia wypowiadaych dźwięków (azywa się je foemami). W przedziałach tych sygał ma charakterystycze widmo i dzięki tym specyficzym własościom, rozróżiamy poszczególe dźwięki i odbieramy iformację zawartą w mowie. Warto zatem przeprowadzić lokalą, tz. dla stosukowo krótkich odcików czasu, aalizę widmową sygałów. Powyższe zadaie, przedstawioe przykładowo dla sygału mowy, moża ajprościej zrealizować przez podzieleie czasu trwaia sygału a pewe odciki i astępie przeaalizowaie własości częstotliwościowych dla każdego odcika osobo. Aby tę propozycję zrealizować pomożymy sygał s(t) przez fukcję dla t ( t) (.) dla t i dla tak "obciętego" sygału zajdziemy tzw. krótkotrwałą trasformatę Fouriera (ag. short-time Fourier trasform) j f t j f t s ( f ) s( t) ( t) e dt s( t) e dt w (.) Zaletą takiego postępowaia jest możliwość aalizy widmowej wybraego wycika sygału. Niestety występuje rówież poważa wada. Postać krótkotrwałej trasformaty Fouriera zależy bowiem ie tylko od samego sygału, ale rówież od fukcji wyciającej i to iestety w sposób bardzo istoty. Trudo wtedy iterpretować otrzymae wyiki. Nie wiadomo jakie własości widma wyikają ze specyfiki sygału a jakie są tylko artefaktami czyli własościami ie występującymi w sygale a powstałymi w wyiku obliczaia krótkotrwałej trasformaty Fouriera. Zjawisko to prześledzimy a poiższym przykładzie. Przykład.6. Załóżmy, że s( t) cos( f t) (.) Jak wiemy uogólioa trasformata Fouriera tego sygału ma postać s( f ) 5. ( f f ), 5 ( f f ) (.3) Obliczmy teraz jego krótkotrwałą trasformatę Fouriera, ograiczoą do przedziału [ 4, 4 ]. Odpowiada to zalezieiu widma sygału s ( t ) t / 4 cos( w f t ) (.4) czyli j f t j f t s ( f ) cos( f t) ( t / 4) e dt cos( f t) e dt (.5) w Posługując się wzorem a trasformatę sygału zmodulowaego otrzymujemy si 8 ( f f ) si 8 ( f f ) s w ( f ) (.6) 8 ( f f ) 8 ( f f ) 4 4 3

Porówując wzory (.3) i (.6) dostrzegamy różice pomiędzy widmem sygału kosiusoidalego (.) i widmem fragmetu tego sygału. Oba widma mają maksymale wartości w puktach f. Sygał (.) ma widmo o wartościach ieograiczoych i skupioe w dwóch puktach. Natomiast widmo sygału (.4) posiada wartości skończoe, ale jego ośik jest ieograiczoy. Różica między widmami wyika ze sposobu "wycięcia" fragmetu sygału. Fukcje przez które możoy jest sygał mogą mieć róże postacie. Powyżej przedstawioa została tylko jeda z możliwych realizacji. Ogólie fukcje te azywa się okami i ozacza przez w(t). Na ogół są to fukcje parzyste, aby ich widmo j f t w( f ) w( t) e dt (.7) było rzeczywiste. Staje się oo zespoloe, gdy przesuiemy oko względem sygału. Często postuluje się, aby oka miały ośiki zwarte, tz. w(t)= dla t (.8) gdzie T w jest wtedy azywae rozmiarem oka. Zarówo w( t) jak i t w( t) są fukcjami całkowalymi w kwadracie. W przypadku braku symetrii, moża środek oka obliczać ze wzoru a wartość oczekiwaą cw t w t dt w ( ) (.9) a szerokość oka zdefiiować jako podwóje odchyleie stadardowe w w t c w w ( t) dt (.) gdzie orma oka jest obliczaa w przestrzei L ( ). Wzorami tymi moża się posługiwać zarówo gdy ośiki okie są ieograiczoe, jak i dla ośików zwartych. Dodatkowymi wymagaiami są postulaty w dziedziie częstotliwości. Oko powio być zormalizowae w taki sposób, że T w w( ) w( f ) df. (.) Czasami wymaga się, aby oko miało widmo ze zwartym ośikiem. Często jedak zadawalamy się stwierdzeiem, że widmo w( f ) posiada "krótki zasięg", tz. poza pewym przedziałem dostateczie szybko zmierza do zera. Oczywiście spełieie postulatu (.8) wyklucza zwartość ośików widma. Kłopoty z tym 3

związae prowadzą często do odrzuceia założeia (.8). Dopuszcza się wtedy małe wartości bezwzględe oka poza wymagaym przedziałem, a tyle małe, że moża je pomiąć. Ideale byłoby oko posiadające oba ośiki zwarte. Niestety byłoby to sprzecze z zasadą ieokreśloości Heiseberga i dlatego tylko jede z ośików, albo w dziedziie czasu albo w dziedziie częstotliwości, może być zwarty. Środek oka ie musi zajdować się w zerze, czyli fukcja w( t b) jest rówież okem. Przesuięcie "w prawo" ie zmieia charakterystyki amplitudowej oka. Zmiaie ulega atomiast jego charakterystyka fazowa, bowiem w( t b) w( f ) e j f b (.) Poieważ zabieg te jest często stosoway, moża waruek (.) uogólić j f c w( c ) w( f ) e w df w gdzie c w jest środkiem oka w( t) zdefiiowaym przez (.9). Sygał s(t) pomożoy przez oko w(t) posiada widmo j f t s ( f ) s( t) w( t) e dt w (.3) (.4) które jest trasformatą Fouriera iloczyu dwóch fukcji sw( t) s( t) w( t) (.5) Korzystając ze splotu w dziedziie częstotliwości, otrzymujemy j f t * sˆ w ( f ) sw( t) e dt sˆ( f g) wˆ ( g) ˆ * dg (.6) gdzie w ( g) ozacza fukcję sprzężoą do widma w ˆ( g). Powyższa własość ułatwia obliczaie widma sygału s(t) a które "patrzymy" przez oko w(t). Spojrzeie to moża skupić a wybraym fragmecie sygału. W tym celu oko w( t) ależy odpowiedio przesuąć. Rozmiar przesuięcia ozaczymy przez b, przy czym b iech ozacza przesuięcie w prawo a b iech będzie przesuięciem w lewo. Widmo sygału s( t), a który patrzymy przez oko przesuięte o b obliczamy przy pomocy astępującej trasformacji j f t s ( f, b) s( t) w( t b) e dt w (.7) Trasformata sˆ w ( f, b) jest fukcją zespoloą dwóch argumetów: częstotliwości f i przesuięcia b. Umożliwia zatem lokalą aalizę częstotliwościową w otoczeiu chwili czasowej t b. 3

Najczęściej wykorzystuje się astępujące oka:. Oko prostokąte dla t T w( t) dla t T środek oka zajduje się w zerze cw T T (.8) w dt T (.9) a szerokość oka zgodie z przyjętą defiicją (.) wyosi w T T T T T T t dt t dt (.) T 3 (.) czyli jest róża od T. Charakterystyka częstotliwościowa tego oka ma postać si( f T) w( f ) (.) f Time-domai Represetatio Frequecy-domai Represetatio Rys..4. Oko prostokąte i jego widmo.. Oko trójkąte zwae okem Bartletta t dla t w( t) T dla t w T t t dt T T T T T dt T 3 środek tego oka rówież zajduje się w zerze, co moża łatwo policzyć (.3) (.4) 33

T 3 t c t T T dt t t w dt T (.5) T Szerokość oka wyosi T 6 t t w t dt t dt T T T T (.6) T 5 a jego charakterystyka częstotliwościowa si ( f T) w( f ). (.7) T f Time-domai Represetatio Frequecy-domai Represetatio Rys..5. Oko Bartletta i jego widmo. 3. Oko Haa, 5 cos( t T) dla t T w( t) dla t T T (.8) t 3 w dt T 4 T 4 T cos.9) bo cos ( at) dt t si( at) (.3) 4a Charakterystyka częstotliwościowa ma postać si( f T) w( f ) (.3) ( 4T f ) f 34

Time-domai Represetatio Frequecy-domai Represetatio Rys..6. Oko Haa i jego widmo. 4. Oko Hammiga, 54, 46cos( t / T) dla t T w( t) dla t T posiada trasformatę Fouriera (, 8, 64T f )si( T f ) w( f ) f ( 4T f ) (.3) (.33) Time-domai Represetatio Frequecy-domai Represetatio Rys..7. Oko Hammiga i jego widmo. 5. Oko Parzea ma postać t t t T / 3 T 6 6 dla T t w( t) dla T / t T T dla t T i trasformatę Fouriera (.34) 35

4 w( f ) si T f / 4 3 4. (.35) T f Time-domai Represetatio Frequecy-domai Represetatio Rys..8. Oko Parzea i jego widmo. 6. Oko parabolicze 3 / w( t) T 4 t T dla t T dla t T Time-domai Represetatio Frequecy-domai Represetatio (.36) 7. Oko Kaisera I w( t) I gdzie Rys..9. Oko parabolicze i jego widmo. I t T k k! (.37) k (.38) jest zmodyfikowaą fukcją Bessela pierwszego rzędu, atomiast 36

t (.39) T Time-domai Represetatio - beta = 3 Frequecy-domai Represetatio 8. Oko Gaussa posiada trasformatę Fouriera wˆ Rys... Oko Kaisera i jego widmo. t 4a wa ( t) e a a 4 af (.4) ( f ) e (.4) Time-domai Represetatio Frequecy-domai Represetatio Rys... Oko Gaussa i jego widmo. Przykład.7. Day jest sygał s( t) cos( f t) (.4) który ma widmo sˆ ( f ),5 ( f f) ( f f) (.43) Jakie jest widmo po wymożeiu sygału przez wybrae oko? 37

Ze wzoru (.6) dla trasformaty Fouriera sygału zmodulowaego wyika, że dla sygału s( t) cos( f t) i dowolego oka o charakterystyce widmowej w( f ) spełioy jest waruek ( ) s f w ( f f ) w ( f f ) w (.44). Oko prostokąte T s ( f ), ( f f ) ( f f ) si( T ) w 5 d (.45) czyli T si ( ) s w ( f ) T( f f ) T f f si T( f f ) T( f f ) (.46).5 -.5 - -.5 -.4 -.3 -. -....3.4.5 6 4-6 -4-4 6 Rys... Sygał siusoidaly wycięty przez oko prostokąte i jego widmo.. Oko Bartletta T si s w ( f ) T (f - f ) T(f - f ) si T(f + f ) + T (f + f ) (.47) 38

.5 -.5 - -.5 -.4 -.3 -. -....3.4.5 3-6 -4-4 6 Rys..3. Sygał siusoidaly wycięty przez oko Bartletta i jego widmo. 3. Oko Haa si T( f f ) si T( f f ) s w ( f ) 4 ( f f )[ T ( f f ) ] ( f f )[ T ( f f ) ] (.48).5 -.5 - -.5 -.4 -.3 -. -....3.4.5 3-6 -4-4 6 Rys..4. Sygał siusoidaly wycięty przez oko Haa i jego widmo. 4. Oko Parzea 4 3 si s w ( f ) T 4 4 4 8 T ( f f ) / 6 4 T ( f f ) / si T( f f ) / 4 4 4 T ( f f ) / 6 (.49) 39

.5 -.5 - -.5 -.4 -.3 -. -....3.4.5 5 5 5-6 -4-4 6 Rys..5. Sygał siusoidaly wycięty przez oko Parzea i jego widmo. Ze wzorów tych wyika, że postać widma lokalego zależy od rodzaju oka i jego szerokości zdetermiowaej współczyikiem T..4. Trasformacja Gabora Okem o szczególie korzystych własościach jest fukcja Gaussa (.4) gdzie a jest stałą decydującą o szerokości oka w t wa ( t) dt a (.5) wa Trasformata Fouriera dla fukcji Gaussa ma postać (.4). Porówaie wzorów (.4) i (.4) wykazuje, że fukcja Gaussa ie ulega zmiaie podczas trasformacji Fouriera. Trasformata jest rówież fukcją rzeczywistą. Zmiaie ulega tylko wysokość i szerokość fukcji Gaussa. Dla malejących współczyików a, fukcja wa ( t) zmiejsza swoją szerokość a jej trasformata w a ( t) ulega rozszerzeiu. Trasformacja Gabora opiera się a fukcji Gaussa i jest zdefiiowaa astępująco s ( f, a, b) s( t) w ( t b) e a, 5 j f t dt (.53) Trasformacja ta wyzacza lokale widmo sygału s( t) w otoczeiu puktu t b i przy szerokości oka a. Fukcja Gaussa posiada szczególe własości związae z przesuięciem. Wartość średia z wszystkich przesuięć 4

wa ( t b) db (.54) jest stała, czyli ie zależy ai od współczyika a ai od czasu t. Pociąga to za sobą specyficzą własość trasformaty Gabora s, b ( f ) db sˆ( f ) (.55) Własość tę moża zapisać astępująco: wartość średia ze wszystkich przesuięć b dla trasformaty Gabora s( f, a, b ) jest rówa trasformacie Fouriera s( f ). Jądrem trasformacji Gabora jest czteroargumetowa fukcja zespoloa ( tb) a a b f t a e 4, (, ) Trasformatę Gabora moża zatem zapisać w postaci s j f t ( f, a, b) s( t) a, b ( f, t) dt (.56) (.57) Jest oa fukcją zespoloą posiadającą trzy argumety: częstotliwość f, współczyik szerokości oka a i przesuięcie b. Jej wadą jest brak automatyczego dopasowaia szerokości oka do aalizowaej częstotliwości f. Powio oo samoczyie ulegać zmiejszeiu dla wysokich częstotliwości a poszerzeiu dla iskich częstotliwości. Dopasowaie to moża dobierać poprzez zmiaę współczyika a, od którego zależy charakterystyka częstotliwościowa jądra (.56) trasformacji Gabora. 4

. Podstawy teorii falek.. Od metod Fouriera do metod falkowych W klasyczej aalizie częstotliwościowej opartej o szeregi Fouriera występują tylko dwie fukcje ( t) i ( t) si( t) (.) które służą do geerowaia rodziy fukcji tworzących bazę w przestrzei L (,). Sygał przedstawiay jest wtedy w postaci szeregu gdzie s( t) a a cos( t) b si(t) (.) a s( t) dt (.3) a s( t) cos( t) dt b s( t) si( t) dt Fukcje rozwijae w szereg (.) moża rozumieć dwojako: albo jako określoe a pewym odciku (dla uproszczeia w powyższym zapisie przyjęto odciek, ) albo jako fukcje okresowe (wtedy długość okresu przyjęto tutaj rówą ). Na uwagę zasługuje fakt, że Fourier do utworzeia bazy wykorzystał tylko dwie fukcje elemetare (.) oraz posłużył się dwoma operacjami: przesuięciem i skalowaiem. W stosuku do fukcji stałej, zabiegi te ie zmieiają jej postaci, są zatem iezauważale we wzorze (.). Natomiast fukcja sius po odpowiedim przesuięciu staje się fukcją kosius. Koleje dalsze przesuięcie powoduje powrót do fukcji sius. Sesowe jest zatem tylko jedo przesuięcie. Skalowaie odbywa się przez zmiaę współczyika. Fukcje sius i kosius w języku potoczym reprezetują fale siusoidale a ich ośiki są duże, bo wypełiają całą dziedzię,. Lokale własości mogą dobrze reprezetować tylko fukcje, które szybko zaikają do zera, a ajlepiej jeśli mają małe ośiki. Falki (ag. wavelets, fra. odelettes) są fukcjami zakozmieymi, czyli falującymi i w sposób istoty różiącymi się od zera tylko a małym odciku. Na szczególą uwagę zasługują 4

falki posiadające zwarte ośiki. Sposób ich kostrukcji przedstawiła w roku 989 Igrid Daubechies [,]. Istieje wiele fukcji falkowych, ale zawsze podstawą są też tylko dwie fukcje, które staowią ściśle określoa parę. Jeda z fukcji ma wartość średią różą od zera a druga rówą zeru. Falki tworzące bazę w przestrzei L ( ) są fukcjami, które powstają z fukcji podstawowych rówież tylko dzięki tym samym dwóm operacjom: przesuięciu i skalowaiu. Drugim podstawowym arzędziem dla klasyczych metod Fouriera jest trasformacja s ˆ( f ) s( t) exp( jft ) dt (.4) Jej odpowiedikiem jest trasformacja falkowa, która jest rówież przekształceiem całkowym, ale jej jądro jest w postaci fukcji falkowej... Falki Rodzia falek tworzoa jest w oparciu o falkę podstawową. Zmiaa częstotliwości realizowaa jest przez parametr skalujący a>, atomiast przesuięcie przez parametr b. Najczęściej rodzię falek geeruje się przy pomocy wzoru zapropoowaego przez Grossmaa i Morleta t t b a, b ( ) (.5) a a gdzie możeie przez stałą a / ormalizuje falki. Strömberg zapropoował bazę opartą a systemie dwójkowym, to zaczy a m oraz b m, gdzie m oraz są odpowiedio dobraymi liczbami całkowitymi. Dyskretą zmieą m azywa się rozdzielczością a zmieą dyskretym przesuięciem. Falki mają wtedy postać m m ( t) t (.6) m, W te sposób z jedej falki (t) otrzymuje się rodzię falek ( ) posługując m, t się biarym wydłużeiem m (ag. biary dilatio) i diadyczym przesuięciem m (ag. dyadic traslatio). Elemety tej rodziy są podwójie ideksowae. Rodziy falek o powyższych własościach reprezetują z dowolą dokładością wszystkie sygały ależące do L ( ). Zauważmy, że m m m t dt,5 (.7) 43

Wyika stąd, że pomożeie falek (.6) przez stałą m uczyiło je uormowaymi, tz. orma każdej falki jest rówa. Symbol Kroeckera określoy a Z Z zdefiiujemy astępująco dla m l m, l (.8) dla m l Defiicja.. Rodzię falek m, azywamy ortoormalą, jeśli dla zdefiiowaych powyżej falek spełioe są waruki, m,, k, l Z (.9) m, k, l m, k, l Spełieie waruków (.9) prowadzi do utworzeia ortoormalej bazy w przestrzei L ( ), w której każdy sygał może być zapisay jako s( t) am, m, ( t) (.) m, przy czym zbieżość powyższego szeregu w L ( ) ozacza, że lim Md, M g, Nd, N g s M g N g am, m, (.) m Md Nd Dzięki ortogoalości (.9) współczyiki szeregu (.) oblicza się przy pomocy prostych wzorów a s, (.) m, m, Najprostszym przykładem falki, z której moża zbudować ortoormaly zbiór (.6) jest fukcja Haara dla t <,5 ( t) dla,5 < t (.3) dla pozostalych t.3. Fukcje skalujące Aby zdefiiować podstawowe pojęcia związae z aproksymacją fukcji przy pomocy falek, trzeba wprowadzić fukcje skalujące. Są oe ściśle związae ze zdefiiowaymi powyżej falkami. Każda falka podstawowa (t) posiada określoą fukcję skalującą (t), której wartości średie są róże od zera. Niech 44

zbiór V m zawiera aproksymacje fukcjami skalującymi o rozdzielczości m, czyli iech jego bazą będą m m, m ( t) t m, Z (.4) Fukcje skalujące tworzoe są, podobie jak falki, z jedej fukcji przy pomocy dwóch operacji: skalowaia i przesuięcia..4. Ortoormale falki Dabechies Daubechies [] podała kostrukcję ortoormalych baz falkowych ze zwartymi ośikami. Przykłady tych falek są przedstawioe a rys.. a odpowiadające im fukcje skalujące a rys... Falki Daubechies rzędu pierwszego ( M ) są fukcjami Haara przestawioymi a rys... Wraz ze wzrostem rzędu M wzrasta gładkość falek, są oe bowiem elemetami przestrzei C. Widma częstotliwościowe fukcji skalujących i falek przedstawioe są a rys..3 i rys..4. Wyika z ich, że falki, w przeciwieństwie do fukcji skalujących, ie zawierają składowych stałych. Wraz ze wzrostem rzędu maleją zafalowaia widm..5.5 -.5 - ψ(t) rzędu drugiego.75.5.5 -.5 -.5 -.75 ψ(t) rzędu dwuastego - -.5.5.5-6 -4-4 6 Rys... Falki Daubechies. φ(t) rzędu drugiego φ(t) rzędu dwuastego.5.8.6.75.4.5..5 -. -.5 -.4.5.5.5 3 4 6 8 4 Rys... Fukcje skalujące Daubechies. 45

.8.6.4. -3 - - 3.8.6.4. -5 - -5 5 5 Rys..3. Widmo amplitudowe fukcji skalujących rzędu drugiego (z lewej stroy) i rzędu dwuastego (z prawej stroy)..8.6.4. -3 - - 3.8.6.4. -5 - -5 5 5 Rys..4. Widmo amplitudowe falek rzędu drugiego (z lewej stroy) i rzędu dwuastego (z prawej stroy)..5. Zastosowaie falek do wieloskładikowej aalizy sygałów Niech zbiór S m zawiera aproksymacje sygałami o rozdzielczości m a jego bazą iech będą fukcje skalujące m m m, ( t) t gdzie m, Z (.5) Niech fukcje geerują zbiory m, Vm spa m, : Z (.6) Załóżmy, że spełioe są postulaty sformułowae przez Mallata i Mayera: ) S S S ) S L ( ) m mz S m mz (.7) 3) 4) Sm Sm Vm dla m Z 5) s( ) Sm s( ) S dla m Z m Zbiory S m są geerowae przez fukcje skalujące m, i zawierają Z aproksymacje sygałów a m-tym poziomie rozdzielczości. Im wskaźik m ma 46

wyższą wartość, tym zbiór jest obszeriejszy, zatem aproksymacja może być dokładiejsza. Waruek drugi ozacza, że moża uzyskać dowolie dokładą aproksymację w przestrzei L ( ). Waruek trzeci, stwierdza że jedyym elemetem wspólym dla wszystkich zbiorów S m jest tylko elemet zerowy. Z waruku czwartego wyika, że V m jest ortogoalym uzupełieiem zbioru S m do zbioru S m. Zbiory V m są geerowae przez falki m,. Waruek piąty Z ozacza, że skalując przez dwa argumet fukcji reprezetującej sygał, przemieszczamy go do sąsiediego poziomu rozdzielczości. Fukcje i tworzą pary w oparciu o które budujemy rodzię fukcji skalujących m, i rodzię falek Z m,. Z zależości V Z m S m wyika, że falki o rozdzielczości m są kombiacją liiową fukcji skalujących z poziomu wyższego. Muszą zatem istieć współczyiki g ~ k takie, że spełioe są waruki m m m m t m / t k g~ m k (.8) m k co moża zapisać w postaci t) g~ ( ) (.9) m, ( k m, k t k Warto zauważyć, że ilość wyrazów powyższego szeregu może być ieskończoa. W praktyce obliczeiowej jest to poważa iedogodość. W przypadku, gdy falki i fukcje skalujące mają ośiki zwarte, ilość sumowaych elemetów jest skończoa. Z waruku S takie, że m Sm wyika, że muszą istieć współczyiki h ~ k ~ ( t) h ( t) (.) m, k m, k k czyli fukcje skalujące poziomu iższego są kombiacjami liiowymi z fukcji skalujących poziomu wyższego. Porówaie wzorów (.9) i (.) wskazuje, że zarówo falki jak i fukcje skalujące z poziomu iższego mogą być rozłożoe a szereg utworzoy z fukcji skalujących wyższego poziomu rozdzielczości. Dla ustaloego t wzory (.9) i (.) różią się od dyskretego splotu tylko współczyikiem przy ideksie. Ta wydawałoby się iezbyt duża różica, pociąga za sobą bardzo istote kosekwecje. Aby to lepiej zrozumieć, przekształcimy wzory (.9) i (.) posługując się podstawieiem, które umowie owe stare zapiszemy w postaci k k m, ( t) g~ k m, k ( t) (.) k 47

~ ( t) h ( t) (.) m, k m, k k Wzory te późiej wykorzystamy, a a razie zauważmy, że z waruku Sm Sm Wm wyika istieie współczyików h k i g k spełiających rówaie ( t) h ( t) g ( t) (.3) m, k m, k k m, k k Zdefiiowaliśmy zatem dwie pary jedozaczie wyzaczoych ciągów: g h ~ ~ g, h, k które wykorzystamy do dekompozycji sygałów i k k k które wykorzystamy do rekostrukcji sygałów. Zajmijmy się ajpierw dekompozycją sygału. Dowoly sygał sm Sm (.4) może być przedstawioy w postaci szeregu sm( t) cm, m, ( t) (.5) gdzie m Z, geeruje zbiór S m. Z własości 4) zawartej w postulatach (.7) wyika, że sygał s m moża rozłożyć a dwa sygały sm ( t) sm( t) vm( t) (.6) gdzie sm Sm i vm Vm. Zatem obie składowe sygału moża przedstawić jako szeregi s ( t) c ( t) (.7) m m, m, m( t) dm, m, ( t v ) (.8) gdzie c m, i d m, są odpowiedio dobraymi współczyikami, atomiast m, geeruje zbiór S Z m a m, geeruje zbiór V Z m. Podstawiając do wzoru (.6) zależości (.5), (.7) i (.8) otrzymujemy c ( t) c ( t) d ( t) (.9) m, m, m, m, m, m, Uogóliając wzór (.3) otrzymujemy ( t) h ( t) g ( t) (.3) m, k m, k k m, k m Z c m, k hk m, ( t) gk m, ( t) k Posługując się wzorem (.3) rugujemy, z (.9) i otrzymujemy 48

m t) m, c ( t) (.3), ( dm, m, Zmieiając kolejość sumowaia otrzymujemy h c t) g c ( t) k k m, k m, ( k m, k m, m t) m, c ( t) (.3), ( dm, m, Powyższy wzór jest spełioy dla każdego t tylko wtedy, gdy są jedakowe współczyiki przy tych samych fukcjach skalujących, tz. cm, hk cm, k dla każdego m, Z (.33) k i tych samych falkach, czyli dm, gk cm, k dla każdego m, Z (.34) k Waruki (.33) i (.34) wyikają z liiowej iezależości falek i fukcji skalujących. Bardzo ciekawa jest iterpretacja powyższych wzorów. W zbiorze S m sygał s m jest jedozaczie reprezetoway przez współczyiki c m, Z, które moża iterpretować jako pewie sygał dyskrety. Zgodie ze wzorem (.33) sygał te przy dekompozycji poddaway jest cyfrowej filtracji. Na wyjściu tego filtru pojawia się sygał dyskrety c m, który jedozaczie, Z reprezetuje sygał (.7). Sygał te może zawierać składową stałą bo takie własości mają fukcje skalujące m, ( t). Charakterystyki częstotliwościowe filtru (.33) wskazują, że jest o filtrem doloprzepustowym. Filtr cyfrowy (.34) geeruje sygał d m, będący jedozaczą reprezetacją sygału (.8)., Z Sygał te ie zawiera składowej stałej, bo takie są własości falek m, ( t). Filtr te ma góroprzepustowe charakterystyki częstotliwościowe. Oba filtry mogą być ieprzyczyowe, co wyika z graic sumowaia we wzorach (.33) i (.34). Okazuje się, że ich charakterystyki amplitudowe są symetrycze względem pewej częstotliwości graiczej i spełiają waruek H ( f ) G( f ) (.35) dzięki czemu azywa się je zwierciadlaymi filtrami kwadraturowymi. d M g d M g d M d c M g c M g c M g c M d c M d 49

Rys..5 Schemat dekompozycji sygału. W wyiku przedstawioej powyżej dekompozycji sygału otrzymaliśmy dwa sygały: podstawowy c m dekompoować i jego uzupełieie d m, Z, Z c m, Z, który moża dalej zawierające detale o m-tej rozdzielczości. Kotyuując proces dekompozycji otrzymujemy stopiowo zbiór detali o rozdzielczościach M m M, tz. oraz jede sygał podstawowy d g Mg d m, Z m M d c M d, Z który w skrajym przypadku reprezetuje główie składową stałą (.36) (.37) s ( t) dt (.38) Prześledźmy teraz proces odwroty, tz. proces rekostrukcji sygału. Niech będzie day zbiór (.36) reprezetujący detale sygału i sygał podstawowy (.37). W oparciu o tę iformację ależy odtworzyć wyjściową reprezetację sygału c M g, Z (.39) W tym celu z zależości (.9) wyrugujemy fukcje skalujące i falki m-tej rozdzielczości posługując się odpowiedio wzorami (.) i (.). Po podstawieiach otrzymujemy c ( m, m, t) ~ ~ cm hk m, ( t) dm, k g k m, ( ) (.4) k, k t k Zmieiając kolejość sumowaia dostajemy c ( t) k m, m, ~ h ~ ( t) (.4) kcm, k m, ( t) g kd m, k m, k Aby zależość ta była spełioa dla wszystkich t, muszą być spełioe waruki ~ c h c g~ d (.4) m, k m, k k m, k k k 5

Rekostrukcja sygału polega zatem a sumowaiu sygałów z wyjść dwóch ieprzyczyowych filtrów cyfrowych. Na wejście jedego z tych filtrów (o współczyikach ~ h k ) podaa jest reprezetacja sygału z iższą rozdzielczością, a a wejście drugiego filtru (o współczyikach ~ g k ), reprezetacja detali sygału. d M d d Md d M g c M d c M d c M d c M g c M g Rys..6. Schemat rekostrukcji sygału. H c m H ~ c c m m d m G G ~ Rys..7. Spektakulara prezetacja dekompozycji (.33), (.34) i rekostrukcji (.4). Dla rzędu Dla rzędu.8.8.6.6.4.4.. -3 - - 3-3 - - 3 Rys..8. Charakterystyki amplitudowe filtrów H geerujących fukcje skalujące. 5

Dla rzędu Dla rzędu.8.8.6.6.4.4.. -3 - - 3-3 - - 3 Rys..9. Charakterystyki amplitudowe filtrów G geerujących falki..6. Trasformacja falkowa Dla otrzymaia iformacji spektralej a temat wysokich częstotliwości zawartych w sygale, wystarczy relatywie wąski przedział czasu. Odwrotie jest dla małych częstotliwości. Otrzymaie kompletej iformacji wymaga zajomości sygału a względie dużym przedziale. Dla badaia własości spektralych sygałów iestacjoarych istieje potrzeba spojrzeia a ie w odpowiedio szerokim przedziale czasu i dodatkowo obszar te powiie być przesuwaly. Iymi słowy aaliza iestacjoarych własości spektralych sygałów wymaga posługiwaia się okami, które automatyczie zwężają się przy aalizie wysokich częstotliwości i ulegają automatyczemu rozszerzeiu przy aalizie iskich częstotliwości. Własości te posiadają trasformacje całkowe oparte a falkach. Zarówo falki jak i ich widma mogą być fukcjami szybko zaikającymi i dzięki temu falki są bardzo wygodymi okami dla trasformacji całkowych. Jeżeli L ( ) to trasformacja falkowa ma postać ~, s a b s a ( t ) t b dt a (.43) gdzie s L ( ), b i a. Trasformację (.43) moża iterpretować jako spojrzeie a sygał s(t) przez oko falkowe t b (.44) a Przekształceie (.43) jest odwracale, a wzór odtwarzający sygał ma postać t b s( t) c ~ s ( a, b ) dbda a (.45) a gdzie 5

c ( ) d (.46) Założeie c prowadzi do wiosku, że trasformata Fouriera ( ) z falki ( t ) musi (poza bardzo szczególymi przypadkami) spełiać waruek ( ) co jest rówoważe ( t ) dt (.47) Iterpretacja tego wiosku jest bardzo prosta: wartość średia falki musi być rówa zeru a to implikuje przyajmiej jedą zmiaę jej zaku, czyli ( t ) musi "falować". Poieważ trasformacja Fouriera zachowuje wartość iloczyu skalarego, możemy trasformację falkową (.43) zapisać w ieco odmieej postaci gdzie ~ (, ) ( ) jb s a b a s ( a ) e d (.48) j s( ) s( t) e dt (.49) jest widmem sygału s( t) czyli jego trasformatą Fouriera, atomiast j ( ) ( t) e dt (.5) jest widmem falki ( t ). Poiżej udowodimy twierdzeie, które umożliwia wyzaczeie wzoru (.45) dla trasformaty odwrotej. Aby je udowodić wykorzystamy astępujące podstawowe własości trasformaty Fouriera: ) zachowaie iloczyu skalarego * s ( t) s ( t) dt sˆ ( f )ˆ s ( f ) df (.5) ) skalowaie w dziedziie czasu s( t / a) a sˆ( af ) (.5) 3) przesuięcie w dziedziie czasu j f s( t ) sˆ( f ) e (.53) 53

Twierdzeie.. (Daubechies) Dla dowolych s, s L ( ) spełioa jest tożsamość ~ (, ) ~ da db s a b s ( a, b) c s, s (.54) a Dowód. Przekształcać będziemy astępujący iloczy ~ ) ~ dadb s ( a, b s ( a, b) a t b t b s( t) dt s ( t) dt (.55) a a a a Poieważ trasformacje falkowe są iloczyami skalarymi, to trasformaty są rówe iloczyom skalarym trasformat Fouriera. Pamiętając dodatkowo o własościach trasformaty Fouriera dla fukcji przeskalowaej i przesuiętej, otrzymujemy * fb a * fb dadb ˆ ( af ) e df sˆ ( f ) ˆ( af ) e df (.56) a a a sˆ ( f ) a Pod całkami wewętrzymi otrzymujemy wzory a trasformacje Fouriera, zatem zowu możemy się posłużyć zależościami pomiędzy iloczyami skalarymi ˆ( af ) ˆ( ) * * sˆ ( f )ˆ s ( f ) dadf sˆ ˆ ( f ) s ( f ) d df a gdzie dokoao podstawieia a / f, atomiast c s( t) s ( t) dt (.57) c ( ) d (.58) Z powyższego twierdzeia wyika, że dla dowolego sygału s L ( ) i dowolej fukcji próbej p L ( ) otrzymujemy ~ t b da db s ( a, b) p( t) dt c s( t) p( t) dt (.59) a a a Z powyższej zależości wyika wzór w "sesie słabym" a odwrotą trasformację falkową 54

c ~ t b da db s ( a, b) p( t) dt a a a s( t) p( t) dt (.6) Poieważ powyższa zależość jest spełioa dla wszystkich p L (), możemy apisać t b dadb s t ~ ( ) s ( a, b) c (.6) a a a Trasformacja falkowa posiada astępujące własości: ) zachowuje eergię sygału s s ( t) dt sˆ ( a, b) dadb (.6) a ) zachowuje skalowaie w dziedziie czasu s( t / a ) ˆ s ( a / a, b/ a) (.63) a 3) zachowuje przesuięcie w dziedziie czasu s t t ) sˆ ( a, b ) (.64) ( t 55

. Aalyzed sigal.. lev el 5 4 3 Discrete Trasform, absolute coefficiets. Absolute Values of Ca,b Coefficiets for a = 3 4 5 3... sc 5 ale9 s a3 7 3 4 5 time (or space) b Rys... Przykład dyskretej i ciągłej trasformaty falkowej ~ s ( a, b). 56

3. Trasformacja falkowa-fouriera Trasformata falkowa ie jest multiplikatywa. Nie moża zatem zdefiiować trasmitacji w sposób podoby jak to zostało zrobioe dla trasformacji Fouriera i trasformacji Laplace'a. Istotą jedak własością trasformaty falkowej jest to, że ma oa postać operatora korelacji. Dzięki temu moża [49] zastosować trasformację Fouriera do trasformat falkowych sygałów i zdefiiować pewe zależości pomiędzy sygałem wejściowym i wyjściowym filtru. 3.. Porówaie trasformacji Fouriera i trasformacji ttttttttttfalkowej Trasformacja Fouriera jft s( f ) s( t) e dt ma bardzo ważą własość: zamieia kowolucję dwóch fukcji s wyj (3.) wej ( t) h( ) s ( t ) d (3.) a iloczy ich trasformat wyj wej sˆ ( f ) H( f ) sˆ ( f ) (3.3) Zmiee we wzorach (3.) i (3.3) są zdefiiowae astępująco: s wej (t) - zależy od czasu sygał wejściowy, s wyj (t) - sygał wyjściowy, h (t) - odpowiedź impulsowa filtru aalogowego, H ( f ) - trasmitacja, ˆ s wej ( f ) - widmo sygału wejściowego, sˆ wyj ( f ) - widmo sygału wyjściowego. Kowolucja (3.) uległa trasformacji a iloczy (3.3) dzięki specyficzej własości ( t ) ( t) ( ) (3.4) które posiadają jądro 57

t ( t) e (3.5) przekształceia całkowego (3.). Własość ta jest rówież charakterystycza dla trasformaty Laplace'a. Niestety jądra trasformacji falkowych ie posiadają tej cechy. Trasformacja falkowa ( a, b) s( t) a ~ t b s dt a (3.6) ma formę operatora korelacji, gdzie a, b. Ograiczymy asze rozważaia do falek o wartościach rzeczywistych, :. Na rys.3. przedstawioe są przykładowo dwie falki ze zwartymi ośikami. Wartości trasformaty falkowej (3.6) wyzaczają itesywość z jaką fukcja ( t / a b / a) jest zawarta w sygale s (t) dla "częstotliwości" wyzaczoej przez a i lokalizacji daej przez przesuięcie b. Trasformacja (3.6) ma prostą fizyczą iterpretację: fukcja aalizująca ( t / a b/ a) jest przesuwaym i elastyczym okem, które automatyczie zwęża się dla wysokich i rozszerza dla iskich częstotliwości. Poieważ trasformacja Fouriera zachowuje iloczy skalary, ze wzoru (3.6) otrzymujemy ~ a s ( a, b) ˆ * ( a) sˆ( ) e jb d (3.7) gdzie ˆ *( a ) jest fukcją sprzężoą do ˆ ( a ), to zaczy części urojoe obu tych fukcji mają przeciwe zaki. Wzór (3.7) defiiuje sposób trasformacji widma Fouriera s ˆ( ) a widmo falkowe ~ s ( a, b ) i umożliwia zastosowaie szybkiej trasformaty Fouriera (FFT od ag. Fast Fourier Trasform) do obliczeia trasformaty falkowej (3.6). Algorytm jest prosty i składa się z trzech główych etapów: ) Przy pomocy FFT ależy obliczyć dyskrete trasformaty Fouriera s ˆ( ) i ˆ( ). ) Dla wybraych wartości skalujących a,,4,8,, obliczyć dyskretą reprezetację iloczyów s ˆ( ) ˆ *( a ). 3) Posługując się odwrotą trasformacją FFT, przekształcić dyskrete reprezetacje iloczyów s ˆ( ) ˆ *( a ) w dyskrete aproksymacje trasformaty falkowej ~ s ( a, b ). 58

Rys.3.. Falki Daubechies drugiego i dwuastego rzędu oraz ich widma amplitudowe i fazowe. 3.. Własości trasformacji falkowej-fouriera Rozpatrzmy złożeie dwóch trasformacji. Niech dla sygału s (t) ajpierw będzie obliczaa trasformata ~ s ( a, b ) a astępie z iej iech będzie obliczaa trasformata Fouriera po to, aby otrzymać t b s ˆ~ j b ( a, ) s( t) dt e db a a (3.8) Trasformata Fouriera jest tutaj obliczaa względem zmieej b a współczyik a odgrywa tylko rolę stałego parametru. Trasformacja falkowa-fouriera (3.8) jest odwzorowaiem liiowym, które posiada astępujące własości: ) Zachowuje eergię sygału ˆ~ da d s s ( t) dt s ( a, ) (3.9) a gdzie 59

ˆ( ) d (3.) j ) Sygał przesuięty s ( t ) ma trasformatę s ˆ~ ( a, ) e, 3/ 3) Sygał przeskaloway s( t) ma trasformatę sˆ~ ( a, / ). Bezwzględie całkowaly sygał s (t) może być prawie wszędzie odtworzoy z jego trasformaty (3.8) przy pomocy trasformacji odwrotej ˆ~ j b t b d da db s( t) s ( a, ) e (3.) a a Zakładając, że występujące we wzorze (3.8) fukcje są bezwzględie całkowae, moża zmieić kolejość całkowaia b t s ˆ~ jb ( a, ) s( t) e db dt a (3.) Obie całki w (3.) mogą być zastąpioe prze trasformaty Fouriera ˆ~ jt s ( a, ) a s( t) ˆ( a) e dt aˆ( a) sˆ( ) (3.3) Dla falek (t) posiadających rzeczywiste wartości, ich trasformaty Fouriera mają własość * ˆ ( a) ˆ ( a) (3.4) Dzięki temu, przekształceie (3.) przyjmuje ostateczie postać s ˆ~ (, ) ˆ * a a ( a) sˆ( ) (3.5) gdzie a ˆ *( a) jest trasmitacją pomiędzy widmem s ˆ( ) i widmem s ˆ~ ( a, ). Jeżeli porówamy (3.7) i (3.5), zauważymy, że (3.7) jest odwrotą trasformacją Fouriera dla (3.5). Wzór (3.5) pokazuje, że algorytm FFT moża wykorzystać do szybkiego obliczeia WFT zdefiiowaego przez (3.). 3.3. Filtracja widma WFT Trasformacja falkowa (3.6) dla kowolucji (3.) prowadzi do wzoru 6

~ wyj wej t b s ( a, b) h( ) s ( t ) d dt a a (3.6) Zakładając raz jeszcze, że zamiaa kolejości całkowaia jest dopuszczala dzięki twierdzeiu Fubii, otrzymujemy ~ wyj wej t b s ( a, b) h( ) s ( t ) dt d a a (3.7) Uwzględiając (.64) mamy ~ wyj wej s ( a, b) h( ) ~ s ( a, b ) d (3.8) Podobe przekształceia prowadzoe dla trasformacji Fouriera (3.), zamieiają splot (3.) a iloczy (3.3). Splot (3.8) opisuje aalogową filtracje widma falkowego ~ s wej ( a, b ). Trasformacja Fouriera zamieia (3.8) a iloczy ˆ~ wyj ˆ~ wej s ( a, ) H( ) s ( a, ) (3.9) Jeżeli jądra trasformacji falkowej dla sygału wejściowego i wyjściowego są róże, wtedy z (3.5) otrzymujemy ˆ~ wyj (, ) ˆ * wyj s wyj a a ( a) sˆ ( ) (3.) wyj ˆ~ wej (, ) ˆ * wej s wej a a ( a) sˆ ( ) (3.) wej Dzieląc obustroie (3.) przez (3.), po uporządkowaiu otrzymujemy ˆ~ wyj ˆ~ wej s (, ) ( ) ( ) (, a H a H s a ) (3.) wyj wej gdzie * ˆ wyj ( a) H ( a) (3.3) * ˆ ( a) wej jest trasmitacją, która przekształca s ˆ~ wyj ( a, ) a widmo s ˆ~ wyj ( a, ), czyli (3.3) przekształca falkowe jądro całkowaia z wej a wej. wyj wyj Rys.3.. Schemat filtracji spektrum falkowego-fouriera. 6

- Rys.3.3. Przykład charakterystyki amplitudowej i fazowej dla trasmitacji (3.). Na rys.3.3 przedstawioe są przykładowe charakterystyki trasmitacji (3.3). Falka Daubechies drugiego rzędu została przyjęta jako falka wejściowa a falka Daubechies dwuastego rzędu jako falka wyjściowa wyj. Widma tych falek są przedstawioe a rys.3.. wej 6

4. Zastosowaie metod falkowych w defektoskopii magetyczej 4.. Badaia magetycze li stalowych zasady ogóle Jedymi z podstawowych elemetów systemu trasportu pioowego każdej kopali są liy stalowe. Z puktu widzeia fukcji jakie spełiają w systemie, mogą oe służyć do przeoszeia obciążeń wyikających z trasportu ładuku i aczyń wydobywczych (liy ośe), wyrówywaia zmieych w czasie ciągieia mometów ruchu maszyy wyciągowej (liy wyrówawcze) lub też mogą służyć jako jede z elemetów prowadzeia aczyia w szybie zezwalający a zachowaie bezpieczych odległości pomiędzy mijającymi się aczyiami w szybie (liy prowadicze i odbojowe). W strukturze iezawodościowej systemu trasportowego każda z ich pełi bardzo ważą rolę, a od ich zdatości techiczej zależy przede wszystkim bezpieczeństwo pracy urządzeń i ludzi. Z tego też powodu przepisy góricze akładają a właścicieli urządzeń wyciągowych obowiązkowe wykoywaie okresowych kotroli ich stau techiczego [46]. Zgodie z imi każda lia poddawaa jest rewizjom i badaiom w okresach uzależioych od roli, jaką pełi w systemie trasportu pioowego, jej stau techiczego oraz rodzaju urządzeia wyciągowego. W praktyce ruchowej rewizjami określae są kotrole okresowe przeprowadzae przez uprawioe osoby ruchu z wykorzystaiem ispekcji wizualej z ewetualym wykorzystaiem podstawowych arzędzi metrologii warsztatowej (p. liiał, suwmiarka itp.). Z kolei badaiami określa się działaia mające a celu rozpozaie stau techiczego liy z określeiem jej stopia zużycia. Badaia wykoywae są zwykle przez specjalistów posiadających odpowiedią wiedzę i doświadczeie diagostycze z wykorzystaiem specjalistyczej aparatury pomiarowej. Stosowaa aktualie w kraju aparatura pomiarowa do badań li bazuje a metodzie magetyczej, która zezwala a wykrycie i rozpozaie większości uszkodzeń spotykaych w praktyce eksploatacyjej. Metoda ta wykorzystuje zjawiska towarzyszące przemieszczaiu się ferromagetyka (stalowa lia) w polu magetyczym wytworzoym przez głowicę pomiarową i rejestrację tych zmia. Schemat głowicy pomiarowej oraz sposób magesowaia przedstawioy jest a rys.4.. Strumień magetyczy wytworzoy przez magesy głowicy pomiarowej przeika przez zabudowaą w iej lię oraz przez szczelię powietrza i dla poruszającego się względem głowicy ferromagetyka o stałym przekroju poprzeczym układa się w przybliżeiu rówolegle do osi liy. W przypadku, gdy astąpi zmiaa przekroju metaliczego a skutek uszkodzeia, liie pola magetyczego ulegają odkształceiom i powoduje to zmiaę składowej promieiowej i styczej atężeia pola magetyczego. Zmiay te przetwarzae są a sygał elektryczy przez zabudowae w głowicy czujiki pomiarowe. 63

Rys 4.. Rozkład liii pola magetyczego wewątrz głowicy pomiarowej w przypadku liy ieuszkodzoej (a) i z uszkodzeiem (b). - lia, - uszkodzeie, 3 czujik skokowych zmia przekroju metaliczego, 4 czujik powolych zmia przekroju, 5 magesy głowicy,6 abieguik, 7 zwora, 8- liie pola magetyczego. W defektoskopii magetyczej li stalowych stosowae są dwa typy czujików. Pierwsze, czujiki idukcyje typu LF (Local Fault) zezwalają a wykrywaie skokowych zmia przekroju metaliczego w postaci pękięć drutów i ich skupisk, karbów i wgieceń drutów, skupisk korozji, błędów produkcyjych w postaci deformacji splotek, zaplotów i błędów lutowań drutów itp. Czujiki tego typu reagują a zmiay strumieia magetyczego, a wykrywaie poszczególych wad jest uzależioe od przyrostu tego strumieia w okolicy uszkodzeia. Drugą grupę czujików pomiarowych staowią czujiki mierzące bezpośredio zmiaę idukcji magetyczej, która jest dobrym parametrem do wykrywaia powolych zmia przekroju metaliczego takich jak: starcia drutów zewętrzych czy arastająca korozja. Czujiki te wykorzystują zjawisko Halla i zwae są też czujikami LMA (Loss of Metallic Area). W pracy wykorzystywao sygały modelowe i rzeczywiste z badań magetyczych pochodzące z czujików 64

idukcyjych, dla których mechaizm geerowaia sygału pomiarowego przedstawioo a rys.4.. Rys.4.. Schemat geeracji sygału uszkodzeia w czujiku idukcyjym bifilarym głowicy do badań magetyczych li stalowych. W przypadku czujika bifilarego lub czujika z ferromagetyczym rdzeiem sygał uszkodzeia jest sumą dwóch składików: składika pochodzącego od lewego uzwojeia (lub od jedej połówki w czujiku z ferromagetyczym rdzeiem) oraz od prawego uzwojeia (drugiej połówki czujika). W przypadku pojedyczego uszkodzeia, każdy ze składików posiada dwa ekstrema: maksimum i miimum przeciwych zaków spowodowae idukowaiem się siły elektromotoryczej od różoimieych bieguów magetyczych powstałych w miejscu uszkodzeia [7]. Poieważ cewki są połączoe przeciwsobie a wyjściu otrzymujemy sygał uszkodzeia o charakterystyczym kształcie pokazaym a przebiegu w dolej części rysuku. Wyiki badań magetyczych zapisywae są a taśmie papierowej w postaci defektogramu lub w owych rozwiązaiach rówież w postaci cyfrowej w pamięci przyrządu lub a pamięciach wymieych p. kartach PCMIA. W każdym 65

przypadku zapis jest puktem wyjścia do obliczeń stopia osłabieia badaej liy. W tym celu wykorzystuje się odpowiedie wytycze [ 34,46], których podstawą jest przebieg czasowy sygału. Badaie zależości amplitudowych w dziedziie czasu jest proste i jedozacze dla przypadków, gdy poziom sygał w stosuku do poziomu zakłóceń jest odpowiedio duży. Problemy zaczyają się pojawiać, gdy poziom zakłóceń przekroczy pewą wartość. Przeprowadzoe aalizy wykazały [46], że: - ajtrudiej rozpozać sygał uszkodzeia w postaci skokowej zmiay przekroju metaliczego w sygale zakłócoym szumem okresowym, gdy częstotliwość szumu jest bliska częstotliwości środkowej trasformaty Fouriera impulsu uszkodzeia. Dla tego przypadku, gdy stosuek poziomu sygału do poziomu szumu jest miejszy iż idetyfikacja impulsu może być truda lub iemożliwa, - rozpozaie pękięć drutów w sygale zakłócoym szumem losowym uzależioe jest od struktury czasowej szumu losowego tj. od ilości próbek losowych przypadających a jedostkowy odciek sygału. Najbardziej iekorzysty przypadek występuje dla szumu losowego, gdy ilość próbek pomiędzy przejściem przez zero (PPZ) dla szumu jest bliska ilości próbek PPZ impulsu z badań magetyczych, a ich amplitudy są porówywale, - dla ajbardziej iekorzystego przypadku szumu losowego i dla stosuku sygał/szum rozpozaie impulsu jest możliwe bez popełieia błędu dla S los >. Rys.4.3 i rys.4.4 potwierdzają powyższe stwierdzeia. Symbolami S los i S okr ozaczoo max{ E( t)} S los (4.) max{ ( t)} gdzie: S los - stosuek maksymalej amplitudy sygału do maksymalej amplitudy szumu losowego, max{e(t)} maksimum siły elektromotoryczej idukowaej w czujiku pomiarowym, max{(t)} maksimum wartości zmieej losowej w przedziale N, t - zmiea iezależa czasowa,. max{ E( t)} S okr (4. ) max{si( ft} gdzie: S okr - stosuek maksymalej amplitudy sygału do amplitudy szumu okresowego, max{e(t)} maksimum siły elektromotoryczej idukowaej w czujiku pomiarowym, max{si(ft)} maksimum fukcji harmoiczej, t - zmiea iezależa czasowa, 66

f - częstotliwość fukcji harmoiczej. Biorąc pod uwagę powyższe ograiczeia w rozpozaiu symptomów uszkodzeń, uzasadioe jest poszukiwaie metod aalizy sygału pomiarowego w dziedziie iej iż amplituda sygału. Rys.4.3. Maskowaie impulsu w sygale złożoym z szumu losowego i impulsu dla różych wartości S lo. Szum losowy Gaussa decymoway co trzy próbki [34]. 67

Rys.4.4. Możliwości rozpozaia w dziedziie amplitud impulsu w sygale zakłócoym szumem okresowym dla różych wartości stosuku sygału do szumu [34]. Sygał pomiarowy z badań magetyczych li stalowych zawsze zawiera w swojej strukturze składik okresowy, składik losowy oraz w przypadku wystąpieia uszkodzeia składik impulsowy skokowych zmia przekroju liy [ 46 ]. Z puktu widzeia modelowaia sygału moża stwierdzić, że fukcja ta ma charakter stochastyczo-zdetermioway. Stochastyczy charakter sygału wyika z losowego rozkładu występujących uszkodzeń a długości liy, losowej amplitudy sygału diagostyczego, występowaiem zakłóceń pomiarowych atury elektryczej (zakłóceia sieci zasilającej) oraz mechaiczej (drgaia poprzecze i wzdłuże głowicy pomiarowej w czasie badaia). Oprócz sygału pochodzącego od uszkodzeń i szumu pomiarowego w cewce idukuje się składik harmoiczy związay z helikoidalą budową liy. Obecość tego składika wyika z faktu okresowego powtarzaia się przy przesuwaiu liy względem głowicy pomiarowej stałych elemetów kostrukcyjych liy takich jak: skok splotek, ierówości a powierzchi liy w postaci garbów splotek, drutów itp. Na skutek błędów produkcyjych, zużycia liy w czasie eksploatacji oraz iedoskoałości zabudowaia głowicy względem badaej liy w ogólym przypadku amplituda i częstotliwość tego sygału może mieć zmiey charakter. 68

Zdetermioway charakter sygału kojarzoy jest z przebiegiem idukowaego w czujiku sygału uszkodzeia, którego przebieg czasowy zależy jest od rodzaju uszkodzeia, jego wielkości oraz położeia względem osi symetrii liy. Moża zatem apisać, że w ogólym przypadku sygał pomiarowy z badań magetyczych ma postać sumy sygałów wg wzoru [46] m ( x) ( x) 3( x) k( x i ) Ai si( i x i ) 3( x) i i E( x) (4.3) Składik sygału pomiarowego zawierający opis uszkodzeń w postaci skokowej zmiay przekroju metaliczego jest zmieą losową (x) modelowaą w postaci szumu śrutowego [46], będącego sumą sygałów impulsowych o kształcie impulsu k(x) opisaego w [46], [37] k( x) a a 3 ( x c l) b ( x c l) b a 3 3 ( x c l) b ( x c l) b a a 3 (4.4) a wielkości a, a, b, c są stałymi zależymi od kostrukcji cewki pomiarowej i obwodu magetyczego, atomiast l jest odległością między bieguami magetyczymi powstałymi w pobliżu końców pękiętych drutów. Zmiea losowa m ( x) A i si( i x i ) i (4.5) reprezetuje w sygale szum okresowy związay z kostrukcją liy jako suma m fukcji harmoiczych o amplitudach A i, częstotliwościach i oraz kątach fazowych i. Liczba m zależa jest od kostrukcji badaej liy. Biorąc pod uwagę fakt, że oprócz opracowaych procedur obliczeiowych ocea stau badaej liy zależy rówież od subiektywych oce badającego. Miimalizacja popełieia błędu diagozy zależy w istotym stopiu od poprawego przetwarzaia sygału przez układ pomiarowo-rejestrujący. Pierwszoplaowe zaczeie abiera więc opracowaie takiego sposobu obróbki sygału diagostyczego, aby ze złożoego zapisu wyodrębić składik odpowiedzialy za występujące uszkodzeia. Sygał opisay wzorem (4.3) w ogólym przypadku jest iestacjoary lub przy pewych założeiach quasistacjoary, stąd jego przetwarzaie wymaga stosowaia specjalych metod. Z uwagi a idetyfikację uszkodzeń liy a jej długości, koiecze jest zapewieie 69

dobrej lokalizacji czasowej, stąd przy wyborze metody przetwarzaia to kryterium przyjęto za ajważiejsze. W pracy [34] wykazao, że spośród różych metod aktualie stosowaych w przetwarzaiu sygałów iestacjoarych ajlepsze rezultaty a potrzeby badań magetyczych daje zastosowaie trasformacji falkowej. Podstawą tej tezy była aaliza wyików przetwarzaia sygału modelowego zawierającego składik uszkodzeia za pomocą trzech metod: krótkoczasowej trasformaty Fouriera (STFT), trasformacji falkowej oraz trasformacji Wigera-Ville a. Kierując się kryteriom czytelości otrzymaych wyików, łatwości iterpretacji oraz czasu wykoywaia obliczeń spośród tych trzech metod trasformacja falkowa daje ajlepsze rezultaty. 4.. Algorytm falkowego przetwarzaia sygału z badań magetyczych Dla trasformacji falkowej spełioa jest zasada ieozaczoości Heiseberga, dzięki czemu moża badać strukturę aalizowaego sygału korzystając z rozkładu eergii jego składików. Zasada ta mówi, że eergia sygału opisaa jedocześie w dziedziach czasu i częstotliwości skupioa jest wokół puktu o współrzędych t i wyzaczających położeie czasowe i częstotliwość środkową pasma. Rozkład eergii w dziedziie czasu wyzaczoy jest przez rozpiętość falki cetrowaej wokół puktu t, atomiast w dziedziie częstotliwości przez rozpiętość trasformaty Fouriera falki scetrowaej wokół puktu. Boki prostokąta Heiseberga wyzaczają wariacje zmieej czasowej i częstotliwościowej według wzorów ( t t b) a, b ( t) dt (4.6) a a ( ) ˆ a, b ( ) d (4.7) W rozpatrywaych przypadkach posługiwao się gęstością eergii defiiowaą jako kwadrat trasformaty falkowej ~ dadb s s ( t) dt s ( a, b) (4.8) a gdzie jest stałą zależa od dobraej falki. Różice w rozkładzie eergii we współrzędych czas-skala różych typów sygałów były puktem wyjścia do opracowaia metody idetyfikacji impulsów. Wykorzystao tutaj fakt, że dla sygału impulsowego, rozkład eergii we współrzędych czas-skala jest odmiey iż dla iych sygałów, p. harmoiczego. Poiżej pokazao, przykładowe wyiki obliczeń eergii za pomocą ciągłego przekształceia falkowego sygału harmoiczego i sygału typu impulsowego. Rys.4.5 pokazuje w górym rzędzie przebiegi czasowe, a poiżej 7

wyiki trasformaty falkowej sygału ciągłego i sygału impulsowego. Różice występujące między imi wygodie jest obserwować jako przekrój przez wyiki trasformaty wzdłuż współrzędej skali przekształceia dla daego umeru próbki czasowej. Taki sposób prezetacji pokazao w dolym rzędzie a rys.4.5. Rys.4.5. Sygały okresowe i impuls (u góry), trasformaty falkowe we współrzędych czas-skala (w środku) oraz przebiegi trasformat falkowych we współrzędych skala-amplituda dla próbek czasowych odpowiadających maksymalym amplitudom przebiegów czasowych (u dołu). Dla rozpozaia impulsów wprowadzoo umowe parametry opisujące jedozaczie wyiki przetwarzaia we współrzędych skala amplituda [??] i pokazao je a rys.4.6, gdzie poszczególe symbole ozaczają: C max a,b - wartość maksymala współczyika falkowego, C k a,b - wartość współczyika staowiąca k-procet (p.5%) wartości maksymalej dla zbocza arastającego i zbocza opadającego, a max wartość skali odpowiadająca C max a,b, a wartość skali odpowiadająca C k a,b dla arastaia zbocza, a o wartość skali odpowiadająca C k a,b dla opadaia zbocza, a = a max a przyrost skali dla arastaia zbocza, a o = a max a o przyrost skali dla opadaia zbocza, tg=(c a,b max -C a,b k )/a stromość arastaia współczyików falkowych, tg=(c a,b max -C a,b k )/a o stromość spadku współczyików falkowych, 7

Rys.4.6. Falkowe parametry impulsu [3]. Wykorzystując falkowe parametry impulsu zaprojektowao algorytm umożliwiający filtrację zakłóceń i rozpozaie impulsów w przetwarzaym sygale. Algorytm realizoway był w astępujących krokach: - Geerowaie (dla sygału modelowego) lub rejestracja przebiegu czasowego (dla sygału rzeczywistego), - Wybór fukcji bazowej do aalizy, - Przetwarzaie sygału z wykorzystaiem CWT, - Wyzaczeie gęstości eergii składików sygału z wykorzystaiem wyików aalizy falkowej, - Wyzaczeie parametrów falkowych impulsu, - Obliczaie korelacji pomiędzy parametrami impulsu a współczyikami falkowymi dla kolejych próbek czasowych, - Wyzaczeie progu filtracji i wskaźika obecości impulsu w sygale. Korzystając z podobych zasad, jakie obowiązują w aalizie częstotliwościowej a wstępie ustalae są parametry rejestracji zapewiające odpowiedią szybkość próbkowaia oraz ustalay jest bufor pamięci dla 7

przetwarzaego sygału. Wybór fukcji bazowej, będący kolejym krokiem algorytmu, zależy był od poszukiwaego składika, jedak dla potrzeb rozpozaia impulsów większą dokładość czasową uzyskao dla falek symetryczych lub prawie symetryczych i ta grupa zalazła w pracach ajwiększe zastosowaie. Kolejym etapem były obliczeia współczyików falkowych oraz gęstości eergii wykoae w środowisku MATLAB z wykorzystaiem stadardowych fukcji WaveletToolbox [35], a astępie obliczeie korelacji pomiędzy charakterystyczymi parametrami impulsu a współczyikami falkowymi dla kolejych próbek czasowych. Otrzymao w efekcie zbiór współczyików określających podobieństwo pomiędzy wzorcem impulsu a wyikami aalizy, który odpowiedio przetworzoy pozwolił a wyzaczeie wskaźika obecości impulsu w sygale. Dla odcików sygału z występującymi impulsami wskaźik te przybierał wartości większe od zera, atomiast w przypadku sygału wyłączie harmoiczego współczyik był rówy zero. 4.3. Badaie sygałów modelowych Wspomiao wcześiej, że w sygał pomiarowy jest sumą kilku składików wśród, których wyselekcjoować moża [4]: - szum okresowy - uszkodzeia o charakterze lokalym, będące wyikiem skokowej zmiay przekroju metaliczego, - szum losowy. W celu weryfikacji przedstawioego wyżej algorytmu przeprowadzoo badaia a sygałach modelowych. Sygał diagostyczy E(x) opisay był fukcją impulsową opisaą wzorem (4.4) i przyjęto, że o będzie poszukiwaym sygałem użyteczym i celem symulacji będzie odseparowaie tego składika od zakłóceń. W zależości od odległości pomiędzy bieguami magetyczymi l w pobliżu końców pękiętych drutów, fukcja E(x) posiada jedo lub dwa maksima. Wyika to z faktu, że sumują się dwa przebiegi ieparzyste o przeciwych zakach, atomiast każdy z ich składa się z dwóch fukcji impulsowych rozłożoych rówież ieparzyście. Dla małych wartości l występuje jedo maksimum, po czym po przekroczeiu pewej szczeliy między końcami złomów pojawiają się dwa maksima o amplitudach malejących w miarę zwiększaia się l. Dalsze zwiększaie l powoduje ustaleie się amplitudy a poziomie stałym i odpowiada to sytuacji dwóch iezależych różoimieych bieguów magetyczych. W modelu sygału diagostyczego założoo pojedycze ekstremum. Zakłóceia Z(x) Modelami zakłóceń był szum losowy Gaussa o różej liczbie próbek przypadającej a jedostkowy odciek modelu badaej liy. Taki sposób 73

modelowaia szumów miał symulować róże, czasami trude do przewidzeia waruki pomiarowe. W poiższych rozważaiach model sygału pomiarowego ie był skoreloway z żadą rzeczywistą kostrukcją liy, stąd brak daych odośie szumu okresowego. Założoo, że zakłóceia będą modelowae tylko przez szum losowy. Takie założeie ie ograicza możliwości propoowaej metody obróbki, a jedyie ułatwiło zbudowaie modelu sygału. Sygał modelowy S(x) był sumą sygału diagostyczego i zakłóceń S(x)=E(x)+Z(x) (4.9) gdzie: S(x),E(x),Z(x) jak wyżej. Obliczeia i wizualizację wyików przeprowadzoo w środowisku MATLAB, korzystając ze stadardowych fukcji oraz biblioteki WaveletToolbox. W celu uzyskaia różych sytuacji pomiarowych zakłóceia pomiarowe były geerowae z różą kocetracją wokół modelu sygału diagostyczego, którego ekstremum składika impulsowego przypadało w każdym modelu a -ą próbkę. W te sposób w zależości od szumu impuls był bardziej lub miej maskoway. Poadto modeloway sygał spełiał bardzo ostre założeia odośie geerowaego szumu. Założoo miaowicie, że amplituda czystego składika losowego zakłóceń będzie razy większa iż amplituda poszukiwaego składika użyteczego. Spełieie takiego założeia iezwykle utrudia bezbłęde rozpozaie uszkodzeia metodami klasyczymi. Poiższe rysuki przedstawiają wyiki zastosowaia filtracji z wykorzystaiem trasformaty falkowej dla modeli sygałów o różych rozkładach zakłóceń. Przebieg góry przedstawia model sygału z czujika pomiarowego, a poiżej iego widocze są współczyiki falkowe we współrzędych czas-skala dla zastosowaej specjalej falki aalizującej. Przebieg doly każdego z przykładów przedstawia wyiki idetyfikacji. 74

Rys.4.7. Przykład r. filtracji zakłóceń o dużym zagęszczeiu wokół sygału impulsowego z badań magetyczych li stalowych. Od góry: sygał orygialy zawierający impuls diagostyczy w pobliżu próbki, współczyiki falkowe sygału dla wybraej fukcji bazowej (w środku), obraz współczyików falkowych sygału po filtracji zakłóceń (u dołu) []. 75

Rys.4.8. Przykład r. filtracji zakłóceń o średim zagęszczeiu wokół sygału impulsowego z badań magetyczych li. Opis tak ja a rys.4.7 []. 76

Rys.4.9. Przykład r.3 filtracji zakłóceń o małym zagęszczeiu wokół sygału impulsowego z badań magetyczych li stalowych. Opis tak ja a rys.4.7 []. 4.4. Badaie sygałów rzeczywistych Zastosowaie w praktyce opisaej wyżej metody wymagało weryfikacji a obiektach rzeczywistych. W tym celu przeprowadzoo czyy eksperymet diagostyczy a staowisku laboratoryjym do badań magetyczych li stalowych w Katedrze Trasportu Liowego Akademii Góriczo-Huticzej w Krakowie. Przedmiotem badań był odciek liy stalowej współzwitej trójkątosplotkowej o średicy 6 mm. Wybray fragmet pochodził z liy zdjętej z urządzeia wyciągowego po ok. latach eksploatacji w szybie Maczki a tereie KWK Kazimierz-Juliusz. Sygał pomiarowy z czujika idukcyjego rejestroway był za pomocą zestawu pomiarowego składającego się z głowicy magetyczej GPS oraz rejestratora MD produkcji firmy Meraster. Dla ustaleia relacji sta-sygał a powierzchi badaej liy wykoao uszkodzeia w postaci pękiętych drutów oraz w postaci karbów. Rys.4., rys.4. i rys.4. pokazują defektogramy z badań odcików z uszkodzeiami oraz porówaie z sygałem odiesieia. Poiżej przebiegów czasowych pokazao 77

wyiki falkowego przetwarzaia. W lewej kolumie pokazao zapis dla badaego odcika przed wykoaiem uszkodzeia, atomiast w kolumie prawej zamieszczoo wyiki badań tego samego odcika po uszkodzeiu jedego drutu a zewątrz liy. Rys.4. pokazuje defektogram z uszkodzoym jedym drutem zewętrzym, rysuek 4. zawiera wyiki przetwarzaia odcika ze skupiskiem uszkodzeń trzech, a rys.4. ze skupiskiem czterech drutów obok siebie. Uszkodzeia były tak modelowae, aby szczeliy pomiędzy pękiętymi końcówkami drutów były jak ajmiejsze. Praktyczie ie były oe większe iż,7 mm. Taki typ uszkodzeń jest charakterystyczy dla uszkodzeń w postaci karbów lub w postaci pękięć wewątrz splotki, gdzie pękięte druty ie mają możliwości rozsuwaia się. Rys.4.. Trasformata falkowa sygału odiesieia(z lewej) i sygału z pojedyczym uszkodzeiem w pobliżu 5-tej próbki oraz wyiki filtracji z wykorzystaiem falek (u dołu). 78

Rys. 4.. Trasformata falkowa sygału odiesieia (z lewej) i sygału ze skupiskiem trzech pękiętych drutów w pobliżu 5-tej próbki oraz wyiki filtracji z wykorzystaiem falek (u dołu). 79

Rys. 4.. Trasformata falkowa sygału odiesieia (z lewej) i sygału ze skupiskiem trzech pękiętych drutów w pobliżu 5-tej próbki i jedego pękiętego drutu w pobliżu próbki oraz wyiki filtracji z wykorzystaiem falek (u dołu). 8

5. Zastosowaie metod falkowych w systemach moitorigu wibroakustyczego 5.. Detekcja częstotliwości rezoasowych Klasycze metody Fouriera ie mogą być stosowae do aalizy procesów iestacjoarych. Nie dają oe iformacji a temat lokalych rozkładów częstotliwościowych. Niedogodość tę moża jedak omiąć [4] posługując się metodami bazującymi a teorii falek. Zamiast klasyczej trasformaty Fouriera stosuje się wtedy trasformację falkową ~, s a b s a ( t ) t b dt (5.) a gdzie współczyik skalujący a reprezetuje częstotliwość (mówiąc iezbyt precyzyjie a jest odwrotie proporcjoale do częstotliwości, tz. a ~ / f ), atomiast b lokalizuje fragmet sygału poddaway aalizie częstotliwościowej. Trasformacja falkowa (5.) jest przekształceiem, które zachowuje eergię w sesie zdefiiowaym przy pomocy wzoru gdzie s s ( t) dt ~ da db s ( a, b) a (5.) ( ) d (5.3) Całkę z kwadratu sygału często utożsamiamy z eergią. Zatem podwóją całkę we wzorze (5.) rówież możemy azywać eergią sygału. Całka jest podwója bo trasformata falkowa ma dwie zmiee. Jest to całka ważoa, poieważ fukcję całkowaą dzielimy przez a. Iżyierska iterpretacja tej matematyczej prawidłowości jest dość oczywista. Wpływ małych częstotliwości a rozmiary eergii jest miejszy iż dużych częstotliwości. Zatem przy całkowaiu trzeba kwadrat trasformaty falkowej dzielić przez duże wartości liczbowe gdy do obliczeń bierzemy trasformatę reprezetującą iskie częstotliwości. Odwrotie jest dla dużych częstotliwości, wtedy to kwadrat trasformaty falkowej ależy 8

dzielić przez małe wartości. We wzorze (5.) jest to automatyczie osiągae dzięki zależości / a ~ f. Dla aszych potrzeb moc sygału zdefiiujemy astępująco ~ s ( a, b) p( b) da (5.4) a Ze wzoru (5.) wyika s p( b) db (5.5) co usprawiedliwia azwaie fukcji p (b) mocą, bo całka z iej po czasie jest eergią. Przeprowadzoe powyżej rozważaia sugerują możliwość wyzaczeia częstotliwości rezoasowych w oparciu o trasformatę falkową. Zgodie z tą metodą ależy zarejestrować drgaia wymuszae przez arastające w czasie częstotliwości. Muszą oe obejmować cały baday zakres częstotliwości. Następie dla zarejestrowaych przebiegów ależy obliczyć trasformatę falkową zgodie ze wzorem (5.). Posługując się wzorem (5.4) moża będzie wtedy obliczyć przebieg mocy w aalizowaym sygale, pamiętając że zmiea b ozacza czas bieżący. W kolejym etapie ależy zaleźć chwile czasowe b, b,, b dla których przebiegi mocy I osiągają wyraźe maksyma lokale. Wreszcie aalizując trasformaty falkowe ~ s ( a, ) (gdzie i,, I ) moża będzie odczytać wartości częstotliwości, które b i powodują lokalą maksymalizację mocy (5.4). Przedstawioą powyżej metodę przetestowao posługując się przebiegami wygeerowaymi w laboratorium a eksperymetalej maszyie rotacyjej. Składała się oa z silika elektryczego (rys.5.) apędzającego wał z rozłożoym a im i odpowiedio dobraym obciążeiem. Wał był w dwóch miejscach łożyskoway. Na jedym z łożysk zaistalowao dwa bezstykowe czujiki pomiaru prądów wirowych w drgającym żelazym wale. Osie czujików tworzyły kąt prosty. Sygały zostały zarejestrowae zarówo podczas rozbiegu jak i wybiegu maszyy. Zmiea częstotliwość wirowaia daje bowiem możliwość obserwowaia zjawisk rezoasowych. Główa idea przeprowadzoych badań polega a wyszukiwaiu ajitesywiejszych drgań wału występujących wtedy, gdy częstotliwości wirowaia są zbliżoe do częstotliwości rezoasowych urządzeia. Zmiay własości rezoasowych mogą być powodowae przez uszkodzeia, dlatego opisywaa metoda może być wykorzystywaa do diagozowaia stau maszyy. Na rys.5. przedstawioy jest przykład drgań wału zarejestroway podczas trzydziestosekudowego rozbiegu maszyy. Częstotliwość próbkowaia wyosiła khz. Dae te zostały wykorzystae do obliczeia trasformaty falkowej (5.) a wyiki przedstawioo a rys.5.3. Posłużoo się falkami Daubechies dwuastego rzędu. Następie zgodie ze wzorem (5.4) obliczoy został przebieg mocy sygału a jego wykres jest przedstawioy a rys.5.4. Niemal cała moc sygału mieści się między drugą a piętastą sekudą przebiegu. Wyraźie dla jedej chwili czasu moc ma 8

domiujący charakter, ale dla trzech iych moża rówież zauważyć lokale zwiększeia mocy. Dla tych chwil czasu aalizuje się widmo falkowe i wyzacza częstotliwości rezoasowe. Przykładowo, dla chwili czasu dla której otrzymao ajwiększą moc, wartości widma falkowego są przedstawioe a rys.5.5. Widać z iego, że podstawowa częstotliwość drgań rezoasowych mieści się w zakresie wartości zmieej a pomiędzy a 3. Idetycze badaia moża przeprowadzić podczas wybiegu maszyy. Na rys.5.6 przedstawioe są drgaia wału zarejestrowae dla tego samego zestawu, ale podczas jego wybiegu. Dae te zostały poddae trasformacji falkowej (rys.5.7) a astępie obliczoo dla iej rozkład mocy drgań wału i wyiki przedstawioo a rys.5.8. Łatwo moża zauważyć zarówo symetrie przebiegów jak i prawie idetycze reakcje wału przy przechodzeiu przez częstotliwości rezoasowe. BRAK!!!! Rys.5.. Staowisko laboratoryje do badaia drgań układu apędowego. Rys.5.. Drgaia wału maszyy podczas rozbiegu. 83

3 4 5 6.5.5.5 x 4 Rys.5.3. Trasformata falkowa drgań wału podczas rozbiegu. Rys.5.4. Zmiay mocy drgań wału podczas rozbiegu. 84

Rys.5.5. Rozkład trasformaty falkowej dla chwili o ajwiększych drgaiach własych. Rys.5.6. Drgaia wału maszyy podczas wybiegu. Rys.5.7. Trasformata falkowa drgań wału podczas wybiegu. 85

Rys.5.8. Zmiay mocy drgań wału podczas wybiegu. 5.. Diagostyka łożysk w urządzeiach wyciągowych Przetwarzaie sygałów pomiarowych z wykorzystaiem trasformacji falkowej zalazło szerokie zastosowaie w diagostyce wibroakustyczej. Falki stosowae są diagostyce wielu maszy i urządzeń p. silików spaliowych [4,5], przekładi zębatych [44], czy też podzespołów p. łożysk [,,45]. Dobrymi przykładami zastosowań możliwości filtracyjych i aproksymujących sygałów jest użycie trasformacji falkowej w diagostyce łożysk urządzeń pracujących w krótkotrwałych cyklach. Urządzeiami takimi są maszyy wyciągowe góriczych wyciągów szybowych. Te przykład jest odmiey od pozostałych, ze względu a pracę przerywaą. Z powodu problemów z przetwarzaiem sygałów metodami klasyczymi i trudościami w iterpretacji wyików, metody diagostyki wibroakustyczej ie są powszechie stosowae. Badaia stau łożyskowaia kół liowych w praktyce eksploatacyjej urządzeń wyciągowych ograiczają się do metod wizualych i osłuchiwaia w czasie pracy urządzeia, a także okresowych pomiarów luzów między elemetami toczymi a bieżią zewętrzą po ieobciążoej stroie łożyska w czasie postoju. Z uwagi a charakter pracy węzła łożyskowego (krótki czas trwaia cyklu; mała prędkość obrotowa poddaa dodatkowo zmiaom w czasie rozpędzaia, jazdy ustaloej i hamowaia; zmiee waruki obciążeia, zależe od ilości trasportowaego urobku; licze zakłóceia towarzyszące pomiarom i ie) sygały pomiarowe mają charakter iestacjoary. Dyamikę zmia prędkości ruchu maszyy wyciągowej moża opisać układem rówań: 86

87 3 dla dla dla ) ( t t t t t t t t t t t t t (5.6) lub przedstawić wykreślie (rys.5.9). Rys.5.9. Przebieg prędkości kątowej w ruchu obrotowym przerywaym. W rozważaym przypadku prędkość jest wielkością zmieą, a rówaie opisujące drgaia ma postać: t t )] ( ) ( Asi[ y t d o (5.7) gdzie: A - amplituda drgań, (t) - częstość drgań, (t) - faza drgań; (t)=. Dla waruków rozruchu i hamowaia argumet fukcji sius występującej w rówaiu (5.7) jest zmiey i moża go wyzaczyć go według wzoru 3 3 dla ) ( dla ) ( ) ( t t t d t t d t t t t (5.8) Dla liiowego arastaia prędkości kątowej rówaie (5.7) ma postać 3 t t t dla )] si(.5 ) [si( t t t dla ) si( t t dla ) si(.5 ) ( t t A t A t A t y (5.9) a przyspieszeie moża wyzaczyć z zależości

A cos(.5t t si(.5t ) a( t) A si( t) Acos(.5 t t si(.5t ) dla dla dla t t t t t t t t 3 (5.) 5... Idetyfikacja uszkodzeia elemetu łożyska koła liowego urządzeia wyciągowego Do typowych defektów łożysk toczych ależą uszkodzeia bieżi zewętrzej, bieżi wewętrzej, elemetów toczych i kosza. Uszkodzeia puktowe bieżi zewętrzej geerują sygał o częstotliwości (Ball-Pasig Frequecy Outer-race BPFO): d BPFO[ Hz] f r cos (5.) D uszkodzeia bieżi wewętrzej (Ball-Pasig Frequecy Ier-race BPFI) d BPFI [ Hz] f r cos (5.) D a uszkodzeia elemetu toczego (Ball Spi Frequecy BSF) d d BSF[ Hz] f r cos (5.3) D D gdzie: - liczba elemetów toczych, f r - częstotliwość względa pomiędzy bieżią wewętrzą a zewętrzą, d- średica elemetu toczego, D średica łożyska. Powyższe wzory są proste do zastosowaia w przypadku stacjoarego ruchu obrotowego maszyy, gdy do obliczaia częstotliwości moża stosować klasyczy aparat matematyczy przekształceia Fouriera. Dla takich przypadków jak łożyska wirika wetylatora, pompy, silika elektryczego itp., mamy do czyieia ze stałą prędkością wirowaia, a więc i częstotliwość względa f r pomiędzy bieżiami wewętrzą a zewętrzą jest stała. Jeżeli wartość ta jest zaa i zae są parametry kostrukcyje łożyska, to wyzaczeie częstotliwości uszkodzeia jest zagadieiem łatwym. Jedakże metodyka ta zawodzi, gdy założeie iezmieości prędkości obrotowej w czasie pracy ie jest spełioe tak jak to jest w przypadku urządzeń wyciągowych, gdzie załadowae aczyie a podszybiu jest ajpierw rozpędzae, a po krótkim odciku jazdy ze stałą prędkością jest hamowae i zatrzymae do rozładuku a adszybiu. Peły cykl wydobywczy trwa w zależości od głębokości szybu i prędkości jazdy od kilkudziesięciu sekud do co ajwyżej dwóch, trzech miut. Krótkie cykle pracy i małe prędkości obrotowe, rzędu kilkudziesięciu obrotów w ciągu miuty są dodatkowymi problemami, gdyż dla tych waruków istieją aturale ograiczeia w obliczaiu widm FFT, techiki powszechej w większości współczesej aparatury cyfrowej. 88

Przy dodatkowym utrudieiu w postaci silych zakłóceń towarzyszących pomiarom, a pochodzących od pracy urządzeia wyciągowego wszystkie klasycze metody diagozowaia łożysk ie zajdują zastosowaia. Jedym z problemów w rozpozaiu uszkodzeń elemetów badaych łożysk było odseparowaie, z silie zakłócoego sygału pomiarowego, składików zawierających symptomy uszkodzeń. Z uwagi a powyższe problemy diagostycze, trudo było wydzielić z przebiegu czasowego odciek, dla przeprowadzeia klasyczej jedowymiarowej aalizy częstotliwościowej. Rys.5. zawiera przykład sygału pomiarowego zarejestroway a obiekcie rzeczywistym oraz jego widmo. W sygale zawarty jest sygał uszkodzeia bieżi zewętrzej, lecz jego obraz w klasyczej trasformacie Fouriera jest kompletie ieczytely. Rys.5.. Sygał drgań bezwzględych łożyska jedoliowego koła zabudowaego a wieży szybowej oraz jego widmo FFT. Dla rozwiązaia problemu zastosowao ciągłą trasformację falkową CWT (Cotious Wavelet Trasfrm) z wykorzystaiem falki Morleta [] opisaą wzorem t / ( t) Ce cos(5t ) (5.4) Wyiki przetwarzaia sygału z wykorzystaiem trasformacji falkowej przedstawioe są a rys.5.. Prezetowaa metoda zezwala a obserwację zmia poszukiwaego symptomu zarówo przy okresach zmieej prędkości obrotowej dla rozruchu i hamowaia, jak rówież dla okresu stałej prędkości. Widocze jest to wyraźie a płaszczyźie czas-skala w postaci obecości współczyików falkowych w postaci zbioru grzbietów w kształcie litery u. W obrazie współczyików widocze są rówież obszary podwyższoych współczyików 89

falkowych ieskorelowaych ze zmieą prędkością obrotową, które z puktu widzeia diagostyki łożyska są zakłóceiami pochodzącymi prawdopodobie od drgań kostrukcji wieży szybowej, losowego pobudzaia do drgań związaego z prowadzeiem aczyie w szybie, parcia wiatru a kostrukcję wieży, współpracy koła, liy stalowej i iych. Zajomość rozkładu poszukiwaych częstotliwości a płaszczyźie czas-skala zezwala a odfiltrowaie sygału. Rys.5.. Sygał drgań z rys.5. oraz rozkład współczyików falkowych a płaszczyźie czasskala. 5... Aproksymacja sygału drgań łożysk Sygał drgaiowy rejestroway podczas badaia urządzeń wyciągowych charakteryzuje się dużą zmieością amplitudy sygału oraz obecością silych zakłóceń. Zmiaa dyamiki wyika z rówań (5.6)-(5.), a o przyczyach zakłóceń wspomiao wcześiej. Dla potrzeb opracowaia systemów moitorowaia stau istiała potrzeba pozyskaia jedorodej bazy odiesień pomiarowych dla okresowych kotroli stau łożyskowaia. Baza taka powia zapewić dobrą korelację pomiędzy staem techiczym urządzeia a sygałem pomiarowym i zapewić powtarzalość przebiegu iezależie od występujących zakłóceń. Sygał pomiarowy s (), gdzie jest zmieą dyskretą, moża rozpatrywać jako sumę sygału diagostyczego f () oraz zakłóceń z () s( ) f ( ) W( ) (5.5) sygał (5.5) możemy zdekompoować względem bazy ortogoalej {g m } <m<n s, g f, g z, g (5.6) m m m 9

Celem rozważań jest wyzaczeie estymatora Y ~ sygału f takiego, aby błąd aproksymacji był jak ajmiejszy. W przypadku determiistyczego podejścia do modelowaia sygałów wygodie jest zastosować ieliiową estymację w bazach sygałów [ i ]. W tym przypadku zamiast rozważać całą klasę sygałów jako pojedyczą realizację procesu Y, badae są iezależie od siebie każde realizacje f, bez wykorzystywaia własości probabilistyczych obliczoych poprzez uśrediaie kilku realizacji. Nieliiowe estymatory są zależe od sygału i ich zachowaie jest róże w każdej realizacji. Z puktu widzeia obliczeń te przypadek jest trudiejszy do rozważań iż podejście z wykorzystaiem klasyczej filtracji Wieera sygałów losowych za pomocą optymalych estymatorów liiowych, lecz wykorzystaie trasformaty falkowej trudości te skuteczie omija. Dla estymacji ieliiowej estymator sygału diagostyczego ma postać N ~ Y s, g [ m] (5.7) m m g m gdzie (m) jest pewą fukcją zależą od każdej realizacji f procesu Y i przybiera wartości ze zbioru dwuelemetowego ( m),. Średi błąd kwadratowy jest day wyrażeiem N ~ E f Y E f, g s, g ( m) (5.8) m m m Poieważ s=f+w oraz z faktu, że wartość oczekiwaa szumu jest rówa wariacji E W, g m, rówaie (5.8) możemy zapisać w postaci f, gm s, gm ( m) f, gm ( m) ( m) E (5.9) Aby obliczyć ajmiejszą wartość błędu przyrówajmy pochodą E f, g m ( m) ( m) ( m) do zera i po uproszczeiach możemy apisać (5.) f, g m ( m ) (5.) f, g Jeżeli uwzględimy wartości [m], to prawdziwa jest relacja m dla f, g m ( m ) (5.) dla f, g m 9

Zatem jeżeli wartość zdekompoowaego sygału w bazie ortogoalej będzie większa iż wariacja szumu, to fukcja (m) przyjmie wartość rówą jede, co spowoduje, że estymator Y ~ będzie obliczay ze wzoru (5.7). W przeciwym przypadku przyjmie wartość rówą zero. Rozwiązaiem problemu estymacji sygału diagostyczego jest wyzaczeie błędu będącego miimum fukcji N ~ E f Y mi f,, (5.3) g m m Idea obliczaia błędu estymacji wg powyższych wzorów jest ituicyjie prosta w iterpretacji, jedak w praktyce truda do zastosowaia, poieważ jak wspomieliśmy powyżej, każda realizacja procesu jest iezależa i ie zamy wartości f. Wyjście z sytuacji zapropoowali Dooho i Johstoe [ ii ] wprowadzając estymację za pomocą estymatorów progowych, które tłumią każdy z obarczoych szumem współczyików Z, g za pomocą pewej fukcji ieliiowej, tz. Z, g m, takiej że (5.7) ma postać m Y ~ Z, g m g (5.4) m N m Idea estymacji za pomocą współczyików progowych jest podoba do rozważań powyższych i w przypadku zastosowaia dekompozycji w bazach falkowych sprowadza się do porówaia wartości współczyików falkowych względem progu estymacji. Jeżeli więc wartość współczyika falkowego jest większa od wartości progu, to ta część iformacji o sygale zostaie zachowaa. W przeciwym przypadku współczyik falkowy przyjmuje wartość zero i ta iformacja w sygale traktowaa jest jako zakłóceie. Ze względu a sposób estymacji fukcja ieliiowa może być defiiowaa jako estymacja twarda x dla x T h( x) (5.5) dla x T lub estymacja miękka x T dla x T ( ) x T dla x T s x (5.6) dla x T gdzie: T - współczyik estymacji progowej. Wykreślie fukcje (5.5) i (5.6 ) przedstawioe są a rysuku 5.. 9

Rys.5.. Estymacja wartości współczyików falkowych za pomocą estymatorów progowych. Moża powiedzieć, że estymacja progowa twarda jest przeprowadzaa według zasady przepuszczaia lub odcięcia estymowaych wartości fukcji (lewy rysuek 5.), podczas gdy estymacja miękka jest zasadą zbliżaia się do estymowaych wartości lub ich odcięcia (prawy rys.5.). Dooho i Johstoe [3] udowodili, że dla h błąd średiokwadratowy estymacji z wykorzystaiem współczyików progowych zależy od długości wektora sygału i jest ie większy względem błędu (5.7) iż l N+ razy, jeżeli próg T jest rówy T l N. Estymator progowy miękki wyzaczoy dla tego samego T dostarcza często większy błąd średiokwadratowy, iż estymator twardy. Zdarza się jedak, że w przypadku estymacji sygałów zawierających składiki ieustaloe i przejściowe estymacja miękka daje miejszy błąd. Wybór sposobu estymacji zależy zatem od rodzaju przetwarzaych sygałów. Estymacja progowa w bazach falkowych dokoywaa jest w trzech krokach:. dekompozycja względem dyskretej ortogoalej bazy falkowej w przedziale [ N-}: (5.7) j, j, m J m J jj,mn, m N Operacja ta ozacza rzutowaie sygału pomiarowego a koleje pary podprzestrzei V j i Wj dla j=,,..., J. W wyiku sygał jest reprezetoway przez N -j detali s dla każdego j=,,...,j oraz N -j współczyików aproksymacji j, m, s a poziomie J. J, m,. Estymacja progowa detali przekształceia falkowego Dla każdego ze współczyików falkowych wyzaczaa jest wartość fukcji (x), co prowadzi do estymatora astępującej postaci 93

~ Y J j j N m j N j, m, s j, m j, m, s (5.8) Estymator Y ~ zastępujący współczyiki falkowe zaszumioego sygału diagostyczego pełi rolę podobą do wygładzaia adaptacyjego. W wyiku tej operacji wartość zero przyjmują wszystkie współczyiki falkowe o wartościach bezwzględych miejszych od progu estymacji. Gdy współczyik falkowy (iloczy skalary sygału i falki) jest większy od progu estymacji, to z dużym prawdopodobieństwem przeosi istote iformacje diagostycze w sygale. Duże wartości współczyików falkowych występują przy małych skalach w otoczeiu ostrych zmia sygału. Natomiast tam, gdzie współczyiki falkowe mają małe wartości, ozacza to, że sygał jest gładki. 3. Rekostrukcja Powrót do jedowymiarowego sygału w dziedziie czasu astępuje za pomocą odwrotego przekształceia falkowego. m j, m Przedstawioa powyżej metoda filtracji zakłóceń z badań łożysk kół liowych urządzeń wyciągowych jest przedmiotem publikacji [,9,,,33]. Przykład 5.. Przedmiotem badań diagostyczych były łożyska zabudowae w jedoliowym kole kierującym maszyy wyciągowej usytuowaej a zrębie. Zestaw pomiarowy składał się z przeośego aalizatora dźwięku i drgań typu SVAN 9 firmy SVANTEK i przetworika ICP 393A3 firmy PCB o zakresie częstotliwości od.3 - Hz. Przebieg zarejestrowaych a korpusie łożyska drgań za cykl wydobywczy trwający około 9 s przedstawioo a rys.5.5. 94

Rys.5.3. Przebieg wartości skuteczej przyspieszeia drgań łożyska w cyklu wydobywczym. Zmieość dyamiki mierzoego sygału, przy obecości widoczych zakłóceń była przesłaką poszukiwań takich metod estymacji, które zabezpieczałyby pozyskiwaie jedorodej bazy odiesień pomiarowych. Uwagę skierowao a trasformację falkową zapewiającą ścisłe odwzorowaie iestacjoarych sygałów, rodzią fukcji bazowych o określoej postaci. W rozpatrywaym przypadku zastosowao fukcję aalizującą db z rodziy falek Daubechies []. Do aaliz wykorzystao oprogramowaie Wavelet Toolbox firmy MathWorks [35] pracujące w środowisku MATLAB. Dekompozycję sygału orygialego a składowe przedstawioo a rys.5.4. 95

Rys.5.4. Dekompozycja sygału z rys.5.3 z wykorzystaiem baz falkowych. Dla estymacji sygału przyspieszeia zastosowao algorytm bazujący a twierdzeiu Dooho i Johsoa [3] o wyzaczaiu estymatorów progowych z wykorzystaiem estymacji miękkiej. Rys.5.5 przedstawia otrzymae wyiki, które mogą astępie służyć do wyzaczaia statystyk staowiących bazę odiesieia dla kolejych pomiarów w czasie eksploatacji badaego łożyska. 96

Rys.5.5. Wyiki procedury odszumiaia z wykorzystaiem estymatorów progowych. 97

6. Zastosowaie trasformacji falkowej do elimiacji zaburzeń w systemach moitorigu drgaiowego hydrodyamiczych węzłów łożyskowych 6.. Opis potrzeby realizacyjej Nieodłączym elemetem wykoawczym wielokaałowych systemów adzoru stau maszy wirikowych są układy moitorujące drgaia węzłów łożyskowych. Schematycze przedstawieie ich realizacji dla systemu moitorującego sta turbozespołów jest przedstawioe a rys.6.. Ich wykoawczą realizację (rys.6.), określa realizoway czujikami wiroprądowymi ciągły pomiar przemieszczeń czopa wału w pawi łożyska, a dwu wzajemie prostopadłych kierukach. Proces adzoru (rys.6.3) wyzacza odiesieie maksymalego promieia drgań czopa a jego trajektorii, bądź alteratywie większą wartość amplitudy międzyszczytowej z obu realizacji kotrolowaych drgań w okresie związaym z częstością obrotową wału. Następie porówuje się je z wartościami kryterialymi geerującymi sta alarmu w systemie, czy też sygał wyłączeń maszyy z ruchu. 98

Rys.6.. Schemat układu adzoru drgań turbozespołu. Rys.6.. Zabudowa czujików pomiarowych a łożyskach ślizgowych moitorowaej maszyy. m a x s s (, ) l u b m a x [ s, s ] p p (, ) p p s y g a l i z a c j a a l a r m u b ą d ź w y ł ą c z e i e m a s z y y w y p r o w a d z e i e s y g a ł u d o a a l i z y, r e j e s t r a c j i, w i z u a l i z a c j i s s Rys.6.3. Układ moitorujący drgaia ślizgowych węzłów łożyskowych. Poprawe fukcjoowaie takich systemów adzoru w warukach działających a ie zaburzeń, jest główą determiatą iezawodości fukcjoowaia turbozespołów. Diagostyka za bowiem przykłady ieuzasadioych zatrzymań dozorowaej maszyy, bądź kłopotów w uruchomieiu systemu moitorującego spowodowaych wysokim poziomem zakłóceń akładających się a kotrolowae sygały. Filtracja moitorowaych sygałów diagostyczych jest więc jedą z ważiejszych czyości w procesie przetworzeń i rozpozawaia zmia wartości kotrolowaych symptomów w procesie adzoru stau moitorowaego obiektu. Uwalia oa sygały od szumów pomiarowych. Ich źródłem mogą być róże mechaizmy geeracji p.: zewętrze zakłóceia środowiskowe działające a układy pomiarowe systemu moitorującego; 99

zakłóceia aparaturowe związae z jej szumami własymi geerowaymi przez ich elemety czye i biere; zakłóceia włase wywołae istotymi odstępstwami parametrów moitorowaego obiektu względem ich omialych wartości; Przykładowo, w odiesieiu do wspomiaego moitorigu drgań czopów wału, za pomocą czujików wiroprądowych zamocowaych w pawi łożysk w płaszczyźie prostopadłej do osi wału, takimi charakterystyczymi zakłóceiami są szumy o podłożu elektryczym, bądź mechaiczym zae pod azwą ru-out. Pierwsze, tzw. ru-out elektrycze, powodowae są iejedorodością struktury materiałowej czopa wału. Drugie, tzw. ru-out mechaicze, wyikają z chropowatości powierzchi czopa wału, bądź deformacji jego zarysu, spowodowaych błędami obróbki wału, bądź odkształceiami geometryczymi czopów wyikającymi z iewłaściwych waruków podparć wirika w czasie jego długotrwałego składowaia, względie z ierówomierego jego schładzaia w czasie odstawień maszyy. Uiemożliwiają oe poprawy proces kotroli drgań wału i odiesień zmierzoych wartości do przyjętych wartości kryterialych wyzaczających gradację stau maszyy. Fałszują rówież obraz krzywych Lissajou kreśloych przez czop wału w łożysku, będący dobrym symptomem możliwych ieprawidłowości w fukcjoowaiu moitorowaego węzła łożyskowego [39]. Literatura aukowa dotycząca rozwiązań filtrujących zakłóceia pomiarowe w systemach moitorujących jest szeroka. Prezetuje róże kocepcje wykoawcze, bazujące a różych formalizmach matematyczych ujęcia tego problemu. Najczęściej są to algorytmy filtracji zakłóceń oparte a różych wariatach realizacyjych [4]:. uśredień i aalizy sychroiczej sygałów [6., 6.9, 6.8],. filtracji pasmowej [6.8, 6.], 3. adaptacyjej filtracji sygałów [6., 6.], 4. aproksymacji symptomu diagostyczego sumą elemetarych sygałów z wybraej bazy [6.3], 5. formującego filtru sygałowego [6., 6.3], 6. sztuczych sieci euroowych [6.4]. Dla tych układów moitorigu drgaiowego stau hydrodyamiczych węzłów łożyskowych kierowae będą propoowae w tym rozdziale poszukiwaia owych metod separacji zaburzeń występujących w kotrolowaych sygałach pomiarowych. Ich kocepcję realizacyją oparto a procedurach przetworzeń sygałów pomiarowych z użyciem metod i algorytmów trasformacji falkowej.

6.. Własości trasformacji falkowej przydate dla przetworzeń moitorowaych sygałów drgaiowych Metodom aalizy sygału wykorzystującym dyskretą (DWT) jak i ciągłą (CWT) trasformację falkową poświecoo w literaturze wiele uwagi. Ich przydatość praktycza okazała się wszechstroa ie tylko w dziedziie techiki. Wyraźie zarysowuje się atomiast podział zastosowań obu odmia trasformacji falkowej (TF). Geeralie dyskreta trasformacja falkowa DWT umożliwia dekompozycję i selektywą rekostrukcję sygału użyteczego w całym przedziale aalizy. Ciągła trasformata falkowa CWT wydaje się atomiast szczególie predestyowaa dla badań procesów wewętrzych maszyy, których przejawem jest lokale zróżicowaie zmieości iformacyjej drgań zewętrzych, ie tylko w dziedziie czasu. Występująca przy estymacji CWT redudacja opisu [4] poprawia rozróżialość form symptomatyczych i ułatwia śledzeie ich przemieszczeń w obszarze skalogramu AB (rys.6.). Elemetare oko aalizy zachowuje stałą powierzchię, bowiem kompresja skali czasu odpowiada ekspasji w skali częstotliwości [6.] i chociaż CWT ie jest bezpośredio fukcją częstotliwości, może być iterpretowaa jako dwuwymiarowa aalogia widma proporcjoalego. Dopasowaie szerokości oka aalizy do jego średiej częstotliwości ujedolica iepewość estymacji współczyików c m w całym obszarze AB [35]. Odmieie jedak iż aaliza Fouriera, ciągła trasformacja falkowa CWT staowi w zakresie lokalizacji czasowo-czestotliwościowej kompromis wyważoy, ie faworyzujący żadej domey, co warukuje przydatość w badaiu zarówo sygałów poliharmoiczych, jak też losowych stacjoarych lub ie. Dla omawiaych dalej zastosowań waże jest poadto, że trasformacja ta poprawie odwzorowuje fazy (położeia) w badaiach łączych kilku sygałów. Projektat systemów diagozujących odajdzie, zatem w falkowej reprezetacji moitorowaych sygałów owe i iteresujące możliwości rozpozawaia zmieości sygałowej, pozwalającej a jej wartościowaie i upraszczaie przyporządkowaej jej reprezetacji. W rozdziale tym ograiczymy się do przykładów przetworzeń metodami aalizy falkowej diagostyczych obrazów trajektorii drgań czopów wału w pawiach łożysk, które staowią podstawowe źródło iformacyje rozpozań stau krytyczych maszy (p. turbozespołu eergetyczego) fukcjoujących w przemyśle.

Trajektoria ruchu środka czopa wyzaczoa a drodze pomiaru przemieszczeń x i x drgań względych wału w dwu różych kierukach (rys.6.) staowi dobrze teoretyczie umotywowaą charakterystykę zachowaia łożyska ślizgowego w skali czasu dyamiczego [,8]. Przyjmując jako potecjalie cee źródło iformacji diagostyczej zmiay: a. kształtu trajektorii ruchu środka czopa wału w pawi moitorowaego łożyska, b. średicy trajektorii, c. przestrzeej orietacji średicy, wypada stwierdzić [5], że śledzeie zmia symptomatyczych (a,b,c) w praktyce diagozowaia utrudiają przede wszystkim (choć ie w jedakowym stopiu): zakłóceia pomiarowe typu ru-out oraz zbyt szerokie pasmo składowych pierwotych sygału, komplikujące kształt trajektorii pierwotej (rys.6.9); brak sychroizacji składowych powodujący iestabilość obrazu TP [39]. Aalizę możliwości polepszeia rozpozań diagostyczych a drodze przetworzeń falkowych rozpatrywaych sygałów dokoao aalizując zmiay moitorowaych obrazów drgaiowych zaburzeń dyamiki łożyska ślizgowego wywołaych przemieszczeiami podpór łożyskowych. Daymi źródłowymi do aaliz były eksperymety badawcze wykoae w projekcie badawczym KBN 6/T7/98/4 przez zespół pracowików Istytutu Maszy Przepływowych w Gdańsku pod kierowictwem prof.j.kicińskiego [8,39]. 6.3. Wykorzystaie dyskretej trasformaty falkowej DWT w procesie filtracji zakłóceń 6.3.. Nieparametrycza redukcja zakłóceń pomiarowych Obecość silych i skorelowaych z sygałem zakłóceń typu ruout uiemożliwia, jak wspomiao, jedozaczą klasyfikację omówioych w puktach a, b, c rozdziału 6. symptomów diagostyczych. Okresowe i sychroizowae ruchem obrotowym wału oddziaływaia zaburzające ie mogą być wystarczająco zredukowae drogą zwykłej filtracji, której iteresującą alteratywę oferuje wykorzystaie trasformaty DWT. Opisae podejście do rozwiązaia problemu filtracji zakłóceń zakłada: dekompozycję sygału mierzoego x, dyskrymiację detali d j poiżej pewego poziomu (thresholdig) [], selektywą rekostrukcję a poziomie M wyjściowej reprezetacji sygału x D w oparciu o zależość (.47). Dyskreta trasformacja falkowa jest tu wykorzystaa jako filtr oktawowy w dziedzie skali. Stąd, jeśli rozkład zakłóceń wzdłuż skali pokrywa się z rozkładem składowej iformacyjej, zabieg może okazać sie bezużyteczy. Zajomość

sygału iezakłócoego staowi oczywiście przypadek o tyle pożąday, co w praktyce pomiarowej rzadki. Dla sygału łożyska ślizgowego pasmo skali szumu zaczie przekracza pasmo zmia iformacyjych i selektywa rekostrukcja z dyskrymiacją lub bez powia przyieść zaczącą poprawę czytelości trajektorii właściwej staowi łożyska. Etapy procedury Każda para (x, x ) sygałów zmierzoych w dwóch prostopadłych kierukach płaszczyzy łożyska przedstawia parametrycze rówaie trajektorii pierwotej (TP) zakłócoej szumem pomiarowym. Współrzęde TP moża aalizować oddzielie, lub wykorzystać procedury odszumiaia obrazów []. Przykłady dotyczą pierwszej ewetualości, agażującej miejsze moce obliczeiowe. Każdy z moitorowaych sygałów x(t) podlegał w okie aalizy T dekompozycji mającej postać M l x c M d i (6.) Detale d określa zależość (.34). Wartość M (głębokość dekompozycji) wyzacza w praktyce obecość użyteczych detali w sygale podstawowym c M.= x M. Dalsze zwiększeie głębokości aalizy ie zmieia zasadiczo kształtu trajektorii opartej o sumę detali. Rekostrukcja sygału opisaa formułami (.4) staowi podstawę dla odtworzeia iteresującego zakresu skali oraz elimiacji detali o domiującym udziale zakłóceia [6]. Rezultatem kompleksowej procedury, której etapy przedstawia rys.6.3 były dla obu kieruków: x D sygał rekostrukcji z odcięciem wartości progowej; x M sygał podstawowy maksymalego użyteczego poziomu dekompozycji M x A rezultat częściowej rekostrukcji bez odcięcia r oszacowaie ruoutu postaci x x A. 3

Sygał czujika x Poziom graiczy Dekompozycja C M do poziomu M Typ i rząd falki Zakres dekompozycji Rekostrukcja do poziomu m Ręczy wybór progu Automatyczy wybór progu x A, x M a x A b Ocea porówawcza wy ików Rys.6.4. Etapy elimiacji ruoutu wykorzystującej DWT. Trafy wybór typu i rzędu fukcji falkowej wydaje się mieć zasadicze zaczeie dla efektywości odszumiaia. Niekiedy rekostrukcja wymaga wstępej elimiacji składowych detali poiżej pewej wartości progowej. Stosowae są ajczęściej dwa typy dyskrymiatorów o charakterystykach przedstawioych a rys.6.5. Rys.6.5. Charakterystyki dyskrymiujące: próg miękki (soft threshold) - lewy rysuek, próg twardy (hard threshold) prawy rysuek. Opisao wiele wariatów procedur dyskrymiacji [35], iemiej ich skuteczość w kokretych przypadkach wymaga dostosowaia do użyteczej składowej sygału, jak też rodzaju zakłóceń. Wadą dyskrymiacji jest iewątpliwie zubożeie składowych rekostrukcji (detali). 4

Dla falek różych typów rezultaty rekostrukcji różiły się zaczie. Przez wzgląd a dobre własości wygładzające wybrao fukcje Daubechies rzędu szóstego (db6). Porówaie rezultatów stosowaych metod (rys.6.6 rys.6.8) wskazuje, że sygał podstawowy x M (c) daje iekiedy bardziej regulare trajektorie iż rekostrukcja z odcięciem (b). Ta ostatia okazała się bardziej efektywa w wersji ręczego wyboru wartości progowych i miękkiej charakterystyki odcięcia, szczególie przy zakłóceiach impulsowych (rys.6.7) [6]. Reasumując, krytycze okazują się: typ i rząd falki, poziom dekompozycji M, rodzaj i wartość progu (w przypadku dyskrymiacji elemetów rekostrukcji). W badaych przypadkach użyteczy zakres dekompozycji określały zazwyczaj poziomy M = 5 6. a.. x. -. -. -.. x d. x. -. -. c... x. -. -. -.. x b.. x. -. -. -.. x -.. x I - porówaie trajektorii [x, x ] 5

. -. -. a..4.6 b.. d. -. -...4.6 -. -...4.6..4.6 II porówaie sygałów x, Rys.6.6. Rezultaty odszumiaia łożysko -7, falka db6 (I) trajektorie, (II) sygały w osi poziomej, a. sygały zmierzoe, b. rekostrukcja z odcięciem, wybór automatyczy progu, c. dekompozycja, poziom M = 5, d. ocea ruoutu... -... -. c a. b..3.3.... -. -. -. -..3.. -. -. -.. c,.3.. -. -. -.. d. - -.. -.. I - porówaie trajektorii [x, x ] 6

a. x b. x R... -. -. -. -. 3 3 c. r N d. x D... -. -. t[s]. -. II porówaie sygałów x, -. 3 Rys.6.7. Zakłóceia impulsowe łożysko 3-6, falka db6 (I) trajektorie, (II) sygały w osi poziomej, a. sygały zmierzoe, b. rekostrukcja z odcięciem, wybór automatyczy progu (Tab.6.. w. ), c. dekompozycja, poziom M = 5, d. ocea ruoutu..5..5 -.5 -. a.. -...5 c...5 -.5 -..5..5 -.5 -..5..5 -.5 -. b. -.. d. -.. I porówaie trajektorii [x, x ] -.. 7

a. x b. x R... -. -. -. 4 d. r N x D... -. -. t[s] -. 4. -. II porówaie sygałów x, -. 4 Rys.6.8. Wyższy poziom zakłóceń łożysko 3-6, falka db6 (I) trajektorie, (II) sygały w osi poziomej, a. sygały zmierzoe, b. rekostrukcja z odcięciem, wybór automatyczy progu (Tab.6.. w. ), c. dekompozycja, poziom M = 5, d. ocea ruoutu. 6.3.. Porówywaie charakterystyk Chociaż stabilość i regulary kształt trajektorii ie sprawiają trudości w klasyfikacji jakościowej, to obiektywe porówywaie rezultatów omawiaych metod wymaga ocey ilościowej. Poieważ a kształt i stabilość trajektorii wpływają zasadiczo zależości fazowe, za podstawę miary zróżicowaia składowych TP, bądź trajektorii fialych przyjąć moża iloczy skalary [3]. Wówczas postać aalityczą dla pary(x,x ) reprezetuje forma kwadratowa G G T [ x x ] [ x x ] G G G x x (6.) Formuła (6.) staowi zmodyfikowaą miarę Mahalaobis'a jej uproszczoą, "determiistyczą wersją w sesie zastąpieia iezaej macierzy kowariacji współrzędych oce x, x średią kwadratów ich orm. Wartość średia ocey G w przedziale realizacji traktowaa być może jako referecyja. W prezetowaych eksperymetach wartości z przedziału [,] traktowao jako brak wyraźego zróżicowaia, atomiast przy wartości >,5 8

skłaiao się do stwierdzeń poddających wątpliwość istieia podobieństwa. Dla wykoaych kwatyfikacji (Tabela 6.), przyjęto, że ajbardziej uprawioym sądem może być stwierdzeie o zmiejszeiu stopia podobieństwa aalizowaych obrazów trajektorii ze wzrostem wartości przyjętej miary. Zbiór uzyskaych oce zróżicowaia wybraych rezultatów odszumiaia drgań, dla wybraych plików daych wejściowych ( 3- pomiaru drgań: h poziomych, v-pioowych) opisaych a rys.6.6 rys.6.7, zestawia tabela 6.. Prezetuje oa wartości miary (6.) zróżicowaia rozpatrywaych rezultatów pomiarowych dla par = [x D,x M ], = [x, x A ], 3 = [x A,x D ], 4 = [r N,x M ] Tabela 6.. o Typ falki M 3 4 szum Uwagi db6 5.7.9.38.967 iezay ma,3-6 db6 5.36.638.8.966 iezay aut. F,.3-3 db6 6.65.394.49.8943 iezay aut.. F,,.3-4 db6 4.43.384.8.8368 iezay aut.. H,.3-5 db6 5.93.638.445.8 iezay aut.. H,.3-6 db6 6.888.394.65.7577 iezay aut.. H,.3-7 coif5 5.37.5448.399.737 iezay aut.. H,.-7 8 sym6 5.343.5863.353.6584 biały aut.. H,.-7 F stałe odcięcie, H metoda mieszaa wyboru wartości progowych SURE [3], [7] ma ręczy wybór wartości progowych 3- azwa pliku daych wejściowych, h drgaia poziome, v drgaia pioowe szum zakładay typ zakłóceń, dotyczy opcji metody 6.3.3. Uwagi podsumowujące Niezaa atura zakłóceń sygałowych, jak to ma miejsce w przypadku zakłóceń typu ruout w procesie moitorowaia stau węzłów łożyskowych maszy wirikowych, może być impulsem dla poszukiwań rozwiązań filtracyjych opartych a algorytmach aalizy falkowej. Dla przypadku, gdy zmiay stau moitorowaego węzła łożyskowego są główie odwzorowywae w zmiaach wartości symptomów, w zakresie obejmującym poliharmoicze częstotliwości obrotowej, realizacja procesu filtracji moitorowaych sygałów diagostyczych oparta a rozwiięciach falkowych jest kształtowaa główie składowymi o iższych skalach. Niekiedy ajbardziej użyteczy okazuje się zaczący sygał podstawowy x M, (por. 9

rys.6.6 rys.6.8). Dotyczy to szczególie problemu filtracji w procesie kotrolowaia zmia stau dyamik hydrodyamiczego węzła łożyskowego [] maszyy. Wyróżik powyższy sugeruje poszukiwaie bardziej subtelego arzędzia do rozpozań zmia symptomowych w obecości zaburzeń, jakim jest ciągła trasformata falkowa (CWT). W zastosowaiu do redukcji zakłóceń impulsowej atury miej przydate okazały się stadardowe metody odszumiaia z odcięciem, co ilustrują rys.6.6b rys.6.8b. 6.4. Trajektorie symptomatycze 6.4.. Uwagi wprowadzające Wyiki filtracji wskazują często, że brak lub usuięcie zakłóceń szumowych, w tym. charakterystyczych dla procesów moitorowaia drgań czujikami wiroprądowymi zakłóceń typu ruout, iekoieczie i ie zawsze elimiuje iestabilości i ieregularości kształtu trajektorii (por rys.6.6 6.8 oraz trajektorie pomiarowe TP a rys.6.9), co zaczie utrudia oceę zmia przyporządkowaych im symptomów iformacyjych, a także realizację porówań z wzorcami. Dla różorakich ieprawidłowości pracy łożyska [39], w szczególości związaych z powstaiem wiru olejowego zbiór wzorców przyporządkowaych im trajektorii może być bardzo liczy, co staowi istote utrudieie dla procesu rozpozań diagostyczych. Na odwzorowaie osobliwości w sygale przemieszczeń drgań względych czopa wału ma wpływ wyraźie lokalizacja częstotliwościowa zmia symptomowych wyzaczaa chwilową prędkością obrotową f (t). CWT kowertuje jedozaczie graice obszarów A S poszukiwań trajektorii symptomatyczej TS, poieważ dla daego rzędu i typu falki skala w sposób jedozaczy jest określoa częstotliwością przez przekształceie odwrote: a = /f - stała zależa od typu fukcji falkowej

I 3 II - - - - -4 - -3-4 - 4 Rys. 6.9.. Trajektorie pomiarowe drgań łożyska wyzaczoa : I. drgaiami bezwzględymi pawi łożyska II. drgaiami względymi czopa w pawi łozyska Celem procedury estymacji trajektorii symptomatyczej (TS) jest uzyskaie możliwie stabilej i regularej reprezetacji jej postaci dla realizacji rozpozań diagostyczych trajektorii pomiarowych 6 6.7;.TP (x,x ), o dystyktywych i mierzalych cechach (p. 6..a,b,c) Prostą i stabilą trajektorię moża w wielu przypadkach uzyskać poprzez przekroje płaskie skalogramu. Ciągła trasformacja falkowa (CWT) stwarza, bowiem możliwości lokalizacji maksymalych zmia symptomatyczych jedocześie w dziedziie czasu i skali, wyzaczaych współrzędymi lokalego maksimum fukcji CWT mocy. Zasadę tworzeia przekrojów sychroizujących przedstawia rys.6.. 6.4.. Eergetycza reprezetacja zmia moitorowaych sygałów Przebieg skalogramu kotrolowaych sygałów diagostyczych dla stałej traslacji b = cost ie odpowiada rozkładowi mocy sygału w fukcji skali. Poieważ stosuek mocy sygału użyteczego do mocy szumu SNR zależy od mocy składowej iformacyjej, w poszukiwaiu maksimum lokalego tej ostatiej bardziej przydata okazać się może zdefiiowaa dalej falkowa charakterystyka eergetycza I CWT. Może oa być bazą dla kostrukcji trajektorii symptomatyczej TS. Jak wspomiao w rozdziale 5 ciągła trasformacja falkowa CWT zachowuje eergię sygału, którą formalizuje zależość (5.). Rozważając elemet S ab dziedziy AB skalogramu lokala wartość eergii odiesioa do obszaru [a, a + a] [b, b + b] przyjmuje postać

ΔaΔb EΔ(a, b) s~ (a, b) (6.3) η a Rozkład mocy sygału w obszarze AB jest kwadratową fukcja CWT I CWT(a, b) s~ (a, b) S ~ P(a, b) (6.4) a A jego liiowa reprezetacja S ~ P(a, b) s~ (a, b) (6.5) a staowi modyfikację CWT odiesioą do jedostki skali (aalog widma o stałej szerokości pasma). Pewą aalogię staowić tu może także chwilowa wartość skutecza sygału. Rys.6.8 pozwala porówać postaci ~ s i czopa wału w łożysku ślizgowym. Widać, że (6.8.I), atomiast S ~ P góry (6.8.I). S ~ P drgań względych ~ s faworyzuje doly zakres skali Rys.6.. Porówaie CWT (I) i skalogramu mocy (II) dla moitorowaych drgań łożyska.

Przy ustaloej skali obrotów a o = cost., przekrój C Jm (a m,b) jest rówoległy do osi traslacji (czasu), a odpowiadająca mu charakterystyka liowa (6.5), może zostać wykorzystaa jako współrzęda parametryczego rówaia krzywej płaskiej azywaej dalej trajektorią symptomatyczą TS ~ ~ S P( am, b) S P ( am, b) u b, u b, (6.6) a a Obie składowe (6.6) ie są sygałami fizyczymi, a jedyie reprezetacją ich zmieości w przekrojach płaskich D i D skalogramu (por. rys.6.). Stąd w praktyce wymiar fizyczy współrzędych trajektorii symptomatyczej TS ie jest istoty, lecz iezmieość procedury estymacji (dobór typu i rzędu fukcji falkowej) w całym okresie moitorowaia. Jeśli przy ustaloej prędkości obrotowej występują ieregularości położeia i wartości ciągu, alteratywą podstawę lokalizacji przekrojów D lub D może staowić charakterystyka (6.5) uśredioa w całym przedziale traslacji B ~ M I ( a) SP ( a, b) db a B m CWT (6.7) Przekroje wybrae w oparciu o max MI CWT (a m ) pozwalają wówczas uzyskać bardziej regulare, stabiliejsze i prostsze w iterpretacji trajektorie TS, co ilustrują przykłady a rys.6.5 i rys.6.6. a I. 6 4 a 6 4 4 6 8 II. 4 6 8 b Rys.6.. Skalogramy modelowych przemieszczeń drgań łożyska. Przekroje D odpowiadają skali obrotów wału I. liiowy wzrost cyklu obrotów, II. stała prędkość obrotowa. m D D 3