Mechanika ogólna Wykład nr 7 Obliczanie sił wewnętrznych w układach rętowych. Kratownice. 1 Kratownica Układ rętów w rostoliniowych: ołą łączenia rzegubowe w węzłach; w obciąż ążenia w ostaci sił skuionych rzyłożonych onych w węzłach. w 1k 2k,5m 2
Konsekwencje Węzeł doznaje rzesuwu (dwie składowe), obrót t jest nieistotny; W rętach dwustronnie rzegubowych, nieobciąż ążonych orzecznie wystęuje jedynie siła a osiowa (normalna). azwy rętów Pas dolny (D) Pas górny g (G) Krzyżulce (K) Słuki (S) G 1 G 2 S 1 K 1 S 2 K S 2 D 1 D 2 4
Statyczna wyznaczalność ajrostsza kratownica złożona z ona z trzech rętów w ołą łączonych rzegubowo jest statycznie wyznaczalna. Każda kratownica budowana rzez dostawianie ól l zamkniętych tworzonych za omocą kolejnych dwóch rętów w jest statycznie wyznaczalna. 5 Stoień statycznej wyznaczalności ci Statyczna wyznaczalność ść: zewnętrzna możliwo liwość oliczenia reakcji: nz r wewnętrzna możliwo liwość oliczenia sił w rętach: całkowita: n 2 w+ w n r+ 2 w 6
Przykłady ady (1) Kratownice statycznie wyznaczalne 7 Przykłady ady (2) Kratownice statycznie niewyznaczalne 8
Przykłady ady () Kratownice geometrycznie zmienne 9 Metody rozwiązywania zywania Metoda równowar wnoważenia węzłów. w w. Metoda Rittera. Inne: wykreślna metoda Cremony; metoda Culmana; metoda Hanneberga (wymiany rętów). 1
Metoda równowar wnoważenia węzłów Każdy z węzłów w w oddzielony zostaje od rętów w za omocą rzekroju rzywęzłowego. W węzłach w otrzymuje się układy sił zbieżnych, w których można zaisać dwa równania r równowagi r sumy rzutów w sił na dwie osie. 11 Zalety i wady metody równoważenia węzłóww Zalety: łatwość zaisania równar wnań sumy rzutów sił; kontrola wyników: w: ostatnie trzy równania r są srawdzeniami; Wady: roagacja błęb łędu; duży y nakład ad racy wymagany do oliczenia siły y w wybranym ręcie. 12
Metoda Rittera Kratownicę należy y rzeciąć rzekrojem takim, aby można było o zaisać równanie, w którym jedyną niewiadomą będzie szukana siła a w ręcie. Otrzymany układ sił jest niezbieżny. ny. Równanie równowagi r to zazwyczaj suma momentów w (czasem suma rzutów sił). 1 Zalety i wady metody Rittera Zalety: szukana siła a może e zostać wyznaczona za omocą tylko jednego równania; r brak roagacji błęb łędu; Wady: konieczność zaisania równar wnań sum momentów; brak kontroli błęb łędów w (możliwa n.. za omocą metody równowar wnoważenia węzłów). w w). 14
Przykład kratownica z asami równolegr wnoległymi 1k 2k,5m 15 Przykład Reakcje sin cos,77 ( ) + ( ) sin,651 ( ) + (,5m),5m cos,759 ( ) + (,5m) 1k 2k 2 4 H 1 X : H + 1k Y : V + R 2k M : R 6,5m 1k 2k V H V R,5m 1k R 6,154k 1,846k 16
Przykład metoda równoważenia węzłóww 1k 2-2- 2 2k 2-2- -2-4 4-4- 4-2 -4 2-1 4-4-1-1 4-1 4-2-1-1 H -2-2 -1-1 1-2 1-2 1-1- 1-1 1-1- 1-4 1-4 1- -1-1 -4-4 V R 17 Węzeł H -2-1 X : H + 1 1 H 1k V Y : V + 2 2 V 6,154k 18
Węzeł 2 1k 2 2-2- 2-1 Y : + sin 2 2 1,77 2 2 1 8,74 k X : + cos + 1k 2 2 1 2 1k 8,74k,77 16,154k 19 Węzeł 2k -2-4 Y : + 1 2k 1 2 k -1 X 2 4 : 4 2 16,154k 2
Węzeł 1 Y : sin + + sin 1-1-2 1 2 1 1 4 1-4 1 1-1- 1 4 8,74k,77 2k 21,269k,651 X : cos + cos + 1 1 2 1 4 1 1 1k + 8,74k,77 21,269k,759,11k 21 Węzeł 4 4-4 4-4-1 X : + cos 4 4 1 4 + 4 1,759 16,154k + 21,269k,759,11k Srawdzenie: Y : + sin 4 4 1 4 21,269k,651 1,846k 22
Węzeł -1-4 R Srawdzenie: X 1 : 1,11k Srawdzenie: Y : R + 4 + 4 R 1,864 + 1,864 2 Przykład metoda Rittera rzekrój j 1 (z lewej) l Y : V sin 2 1 M : V + 1k + l 1 2 M : H + l 2 1 1k 2k - 4 H 1-1 1- V 2-1 1-2 -2,5m R 6,154k 2 1 8,74k,77 2 6,154k 1k 16,154k 1 1k 24
Przykład metoda Rittera rzekrój j 1 (z rawej) Y : R + sin 2k 1 2 M : R,5m+ 1 2 M : R 6,5m 2k 2 1 1k 2k - 4-2 1 2 2k 1,846k 8,74k,77 H 1-1 1- V 2-1 1-2,5m R 2 1 1,846k,5m 16,154k 1,846 6,5m 2k 1k 25 Przykład metoda Rittera rzekrój j 2 Y : R sin 4 1 M : R,5m+ 1 4 M4 : 1 1k 2k 2 4-4 -4 1,846k 4 1 21,269k,651 H 1 1- -1 V 1-4,5m 4-1 R 4 1,846k,5m 16,154k 1 26
Przykład Wyniki: zestawienie sił 1k -16,154k 2k -16,154k -6,154k 8,74k -2k 21,269k -1,846k -1k 1k 6,154k 1,846k 27 Przykład kratownica trójk jkątna 2k 4,5m 28
Przykład reakcje 4,5m 2k H 5 V 4 1 2 R 1,5m 1,5m 1,5m 1,5m sin,447 ( 1,5m) + ( ) cos,894 ( 1,5m) + ( ) sin cos,77 ( ) + ( ) X : H + 2k Y : V + R M : R 6m 2k 4,5m H V R 2k 15k 15k 29 Węzeł 2 2-2 2- Y : 2 sin 2 X : + cos 2 2 2
Węzeł -1 - R -2 X : 2 1 Y : R + 1 15k 1 Węzeł 5 2k 5 5 4 5-5-4 X :2k + cos 5 4 Y : + sin 5 5 4 2k 22,71k,894 5 22,71k,447 1k 2
Węzeł H -5-4 -1 Y : + sin + V 5 4 4 1k + 15k 7,72k,77 V X : + cos + H 1 4 1 2k 7,72k,77 15k Węzeł 4 X : cos cos cos 4 4 4 5 4-5 4 4-4- 4-1 4 7,72k,77 22,71k,894,894 16,778k Y : sin sin + 4 5 4 sin 4 1 4 4 1 22,71k,447 7,72k,77+ 16,778k,447 7,5k 4
Węzeł 4- -1-2 - Srawdzenie: X : cos cos cos 2 1 1 1 16,778k Y : sin sin sin 4 1 2 16,778k,447 16,778k,447+ 15k 5 Węzeł 1 1-4 1-1- 1 1- Srawdzenie: X : cos + 1 1 1 16,778k,894 15k Srawdzenie: Y : sin 7,5k+ 16,778k,447 1 4 1 6
4,5m Przykład metoda Rittera rzekrój j 1 (z lewej) 2k H l M: cos 4,5m + 2k 4,5m 5-4 V 5-4 4-5 4-5 4 M : V H + 2k 1,5m l 4 1 M : V 9m+ 2k 4,5m+ sin 9m l 2 4 4 1 2-1 1- R 1,5m 1,5m 1,5m 5 4 2k 22,71k,894 1 15k + 2k + 1k 15k 15k 9m 2k 4,5m 4,77 9m 7,72k 7 4,5m Przykład metoda Rittera rzekrój j 1 (z rawej) 2k H M : cos + sin + R 6m 5-4 V 5-4 4-5 4-4 5 4 5 M : R 4 1 M : R sin 6m cos 2 4 4 4 1 2-1 1- R 1,5m 1,5m 1,5m 4 5 15k 6m,894 +,447 22,71k 1 15k 15k 4,77 6m+,77 7,72k 8
4,5m Przykład metoda Rittera rzekrój j 2 2k 5 4 4-4- H M : cos 1,5m+ sin + R 1 4 4 M : R 4 1 M : R 6m 2 1 4 V 4-1 1-4 -1 1 2 1- R 1,5m 1,5m 1,5m 4 15k,894 1,5m+,447 16,779k 1 15k 1 4 15k 7,5k 6m 9 4,5m Przykład metoda Rittera rzekrój j 2k H M : cos 1,5m+ sin + R 1 4 4 M : 5 1 1,5m M : V 9m+ 2k 4,5m+ sin 6m l 2 1 5 V 4 4-4- -1 1-1 1-2 -1 R 1,5m 1,5m 1,5m 4 51 1 15k,894 1,5m+,447 16,779k 15k 9m 2k 4,5m,447 6m 16,779k 4
Przykład metoda Rittera rzekrój j 4 M : 1,5m 1 M : 2 sin M : R + 2 2k 5 4,5m H V 4-2 - 2- - 1 2 1- -1 R 1,5m 1,5m 1,5m 1 2 15k 41 Przykład wyniki: zestawienie sił 2k -2k 1k 7,72k 15k -7,5k -22,71k -16,778k 16,778k -15k -15k 15k 42
Przykład C kratownica z asami zbieżnymi 15k 2m 5m 1k 2k 4m 4 Przykład C wymiary R 15k 4 5 6 γ δ C 5m 2 1k,9m 2m H 1 2k x 1m+ x x 6,667m 2m 5m,9m 1,2m V 4m sin,287 ( 1m) + ( ),8m sin,689 (,8m) + ( 4m) 4m cos,725 (,8m) + ( 4m) 1m cos,958 ( 1m) + ( ) 2,9m sinγ,695 ( 2,9m) + ( ) cosγ,719 ( 2,9m) + ( ) x 2m sinδ,555 ( 2m) + ( ) cosγ,82 ( 2m) + ( ) 44
Przykład C - reakcje R X : H + R + 15k cosγ Y : V 2k 1k 15k sinγ M : R 5m+ 2k 4m+ 1k 1m+ + 15k sinγ 4m+ 15k cosγ 5m γ 15k 4 5 6 5m H V 4m 1 2k 2 1k,9m 2m,9m 1,2m H V R 44,4k 4,425k 55,125k 45 Przykład C metoda Rittera rzekrój j 1 M1 : 4,8m 15k cosγ,8m 1k 6m l M : 1 cos 5m + H 5m 4 26,574k 1 46,284k M : V 16,667m H 5m sin 16,667m l C 1 4 9,66k R 15k -4 γ 4-4 5 6 γ δ C 5m -1 1-4- 2 1k,9m 2m 1,9m H -1 1-2k 1,2m V 4m 6,667m 46
Przykład C metoda Rittera rzekrój j 2 M2 : 5 4 2,9m 1k M : cos 2,9m+ sin + 1k 5 2 2 MC : 5 2 9,667m + 1k 6,667m 5 4 1,45k 2 1,8k 5 2 6,897k R γ 15k 4-5 5-4 4 5 6 γ δ C 5m 1 5-2 2-5 2-2 2-1k,9m 2m,9m H 2k 1,2m V 4m 6,667m 47 Przykład C wyniki: zestawienie sił 15k -55,125k 26,574k 1,45k -27,12k 9,66k -15,689k 2k 44,4k 7,57k -6,897k 12,4k -46,284k -16,485k -1,8k 1k 4,425k 48
Przykład D kratownica tyu K 1k 2,5m 2,5m 2m 15k 1,5m 1,5m 49 Przykład D reakcje 2,5m 2,5m 2m 1k H 7 V 8 15k 4 6 5 2 1 1,5m 1,5m 9 R X : H + 1k Y : V + R 15k M : R 15k 1,5m 1k 7m 1,5m sin,514 R H V 2k 15,8k,8k 2,5m cos,857 ( 1,5m) + ( 2,5m) ( 1,5m) + ( 2,5m) 1,5m sin,6 2m cos,8 ( 1,5m) + ( 2m) ( 1,5m) + ( 2m) 5
Przykład D metoda Rittera rzekrój j 1 2,5m 2,5m 2m 1k 7 1- -1 H 8 15k 4 6 5 1-2 2-1 2- -2 2 1 9 - - M : + 15k 1,5m+ 1k 4,5m g 1 22,5k g M : 1 + 15k 1,5m 1k 4,5m 7,5k V 1,5m 1,5m R 51 Przykład D metoda Rittera rzekrój j 2 2,5m 2,5m 2m 1k H 7 8 15k 4 6 5 2 1 1- - 2-2- -1-2 -2 - H 9 g X : sin sin 1k 2 2 2 2 1k sin V 1,5m 1,5m R 52
Przykład D metoda równoważenia węzłóww 2-1 2 2-2- 2- -1-2 H V -1 Y : cos + cos 2 2 1k 2 2 22 sin 1k 1k 2 9,728k 2sin 2,514 2 9,728k X : sin + + H 2 1 1 1k 9,728k,514 5k 5 Przykład D wyniki: zestawienie sił 1k -1k 8,k -5k -8,k 15k 5k 6,667k,972k -18,465k 7,5k -22,5k -6,667k -,5k 9,5k 9,728k -9,728k -1k 26,574k -15,8k,8k 54