4. Aproksymacja Wprowadzeie (4.1) Aproksymacja ozacza przybliżaie fukcji y= f x za pomocą prostszej, ależącej do określoej klasy fukcji y=f x. Przyczyy strosowaia aproksymacji: - fukcja aproksymowaa y= f x wyrażoa jest za pomocą skomplikowaej, iepraktyczej zależości aalityczej, - zay jest tylko skończoy zbiór wartości fukcji y= f x, p. odczytaych w trakcie pomiaru. Fukcji aproksymującej (przybliżającej) y=f x poszukuje się zwykle w określoej rodziie fukcji p. wśród wielomiaów. Przybliżaie jedej fukcji przez ią powoduje pojawiaie się błędów, zwaych błędami aproksymacji (przybliżeia).
Wprowadzeie (4.1) W zależości od sposobu mierzeia błędu aproksymacji rozróżia się dwa rodzaje: - aproksymację jedostają - aproksymację średiokwadratową Aproksymacja jedostaja (4.1.1) Zakłada się, że fukcje y= f x oraz y=f x są określoe i ciągłe w przedziale [a ;b]. Błąd aproksymacji jest mierzoy za pomocą ormy Czebyszewa f F = s up f (x) F (x). a x b Aproksymacja średiokwadratowa (4.1.2) Wyróżia sie dwa przypadki: - aproksymacja ciągła - fukcja y= f x jest określoa i ciągła w przedziale [a;b]. Błąd aproksymacji wyraża zależość gdzie y=w x b f F = a w(x)[ f (x) F (x)] 2 dx, to ieujema, rzeczywista fukcja wagowa.
Wprowadzeie (4.1) Aproksymacja średiokwadratowa (4.1.2) - aproksymacja dyskreta - fukcja y= f x jest fukcją dyskretą tz. Jej zae wartości moża przedstawić za pomocą tabeli. Tabela 4.1. Zae wartości fukcji dyskretej Błąd aproksymacji wyraża zależość f F = i=0 w x i [ f x i F x i ] 2. Fukcję aproksymującą wybiera się ajczęściej w postaci wielomiau uogólioego F x = 0 x a 1 1 x a m m x w którym fukcje 0 x, 1 x,, m x są wybraymi a priori fukcjami bazowymi m 1 wymiarowej przestrzei liiowej. W takim przypadku zadaie aproksymacji sprowadza się do określeia współczyików,a 1,, a m.
Wprowadzeie (4.1) Aproksymacja średiokwadratowa cd. (4.1.2) W charakterze fukcji bazowych wybiera się ajczęściej - jedomiay 1, x, x 2,, x m (baza jedomiaów), gdyż zgodie z twierdzeiem Weierstrassa, dla każdej fukcji y= f x określoej i ciągłej a domkiętym i ograiczoym odciku [a ;b] istieje taki wielomia W m = +a 1 x+a 2 x 2 +,a m x m, który przybliża jedostajie fukcję y= f x a odciku [a ;b]. - fukcje trygoometrycze 1,cos x, si x,cos2x,si 2x,, cos mx,si mx (baza trygoometrycza), gdyż zgodie z twierdzeiem Weierstrassa, dla każdej fukcji y= f x określoej i ciągłej a R oraz okresowej o okresie 2 istieje taki wielomia trygoometryczy S m (x)= 2 + (a k cos kx+b k si kx), k=1 który przybliża jedostajie fukcję y= f x. m
Aproksymacja średiokwadratowa dyskreta (4.2) Zakłada się, że zae wartości fukcji aproksymowaej y= f x zostały zestawioe w tabeli 4.1. Fukcja y= f x będzie aproksymowaa wielomiaem uogólioym F (x)= φ 0 (x)+a 1 φ 1 ( x)+ +a m φ m ( x). Błąd aproksymacji jest obliczay z wzoru f F = i=0 w x i [ f x i F x i ] 2. Zadaiem aproksymacji średiokwadratowej dyskretej jest wyzaczeie takich współczyików, a 1,a 2,, a m wielomiau F (x), przy których błąd aproksymacji f F jest ajmiejszy. Zagadieie to moża rozwiązać stosując metodę ajmiejszych kwadratów. W tym celu odległość f F rozpatruje się jako fukcję m 1 zmieych iezależych, a 1,a 2,, a m : )[ m D m (, a 1,..., a m )= f F = w(x y i i a k φ k (x i )]2. i=0 k=0 Korzystając z waruku koieczego istieia miimum fukcji wielu zmieych D m (, a 1,..., a m ) a j = i=0 2 w(x i )[ m y i k =0 )] a k φ k (x φ (x )=0 i j i dla j=0,1,...,m.
Aproksymacja średiokwadratowa dyskreta cd. (4.2) Po uporządkowaiu składików względem a k, k=0,1,, m otrzymuje się Ozaczając przez (iloczy skalary) sprowadza się zagadieie zalezieia optymalych współczyików a k, k=0,1,, m do rozwiązaia układu rówań liiowych: oszącego azwę układu ormalego (układu rówań ormalych).
Aproksymacja średiokw. dyskreta za pomocą wielomiaów (4.3) Jeśli w charakterze fukcji bazowych przyjmie się ciąg jedomiaów 1, x, x 2,, x m, fukcja aproksymująca przybierze postać wielomiau a układ ormaly będzie rówy gdzie: F x = a 1 x a 2 x 2 a m x m s 0 + s 1 a 1 +...+s m a m =t 0, s 1 + s 2 a 1 +...+s m+1 a m =t 1,..., s m +s m+1 a 1 +...+s 2m a m =t m, s k = i=0 t k = i =0 x i k y i x i k dla k=0,1,..., dla k=0,1,... Moża wykazać, że jeżeli argumety x 0, x 1, x 2,, x są róże i m, wyzaczik układu ormalego jest róży od zera układ ma jedozacze rozwiązaie. Rozwiązując powyższy układ wyzacza się współczyiki, a 1, a 2,,a m.
Aproksymacja średiokw. dyskreta za pomocą wielomiaów cd. (4.3) Przykład: W poiższej tabeli zostały odotowae wyiki przeprowadzoego doświadczeia Przeprowadzający doświadczeie stwierdził, że badaa fukcja jest zbliżoa do fukcji kwadratowej oraz wartość f (2,5) jest obarczoa zbyt dużym błędem. Wyzaczyć wartość fukcji y= f x dla x=2,5. Rozwiązaie: Poieważ wartość fukcji f (2,5)=1,55 jest obarczoa błędem grubym, ie będzie uwzględiaa w obliczeiach. Zostaą oe oparte a astępującej fukcji tabelaryczej: Zgodie z uwagą poczyioą przez przeprowadzającego eksperymet fukcja będzie przybliżaa parabolą F 2 x = a 1 x a 2 x 2. Współczyiki, a 1,a 2 zostaą wyzaczoe poprzez rozwiązaie układu rówań liiowych s 0 +s 1 a 1 +s 2 a 2 =t 0, s 1 +s 2 a 1 +s 3 a 2 =t 1, s 2 +s 3 a 1 +s 4 a 2 =t 2.
Aproksymacja średiokw. dyskreta za pomocą wielomiaów cd. (4.3) W tabeli poiżej zestawioo obliczeia prowadzące do wyzaczeia współczyików s i i t i, i=0,1, 2. Tabela 4.3. Proces obliczaia współczyików s i i t i.
Aproksymacja średiokw. dyskreta za pomocą wielomiaów cd. (4.3) Rozwiązując uklad rówań Otrzymuje się: =1,124, Wielomia aproksymacyjy [ 7,000 11,500 28,750 11,500 28,750 82,375 a 1 30,810 28,750 82,375 253,188][a0 a 2]=[11,920 96,235] a 1 = 1,495, a 2 =0,739. F 2 x ma postać F 2 (x)=1,124 1,495 x+0,739 x 2. Rozwiązaie zadaia otrzyma się podstawiając x=2,5 F 2 (2,5)=1,124 1,495 2,5+0,739 2,5 2 =2,0.
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielomiaami ortogoalymi (4.4) Układ wielomiaów φ 0 (x), φ 1 (x),, φ m (x) azyway jest układem ortogoalym z fukcją wagową y=w x a zbiorze X ={x 0, x 1,, x } wtedy i tylko wtedy gdy j, k = i =0 w x i j x i k x i { =0 dla j k, 0 dla j=k.} Układ ortogoaly wielomiaów jest układem fukcji liiowo iezależych. Moża zatem układ taki potraktować jako bazę pewej podprzestrzei fukcyjej i aproksymować fukcję y= f x za pomoca liiowej kombiacji wielomiaów tej bazy. W przypadku, gdy fukcje bazowe tworzą układ ortogoaly, tz. j, k =0 dla j,k=0,1,, m ; j k układ rówań ormalych przyjmuje postać (φ 0,φ 0 ) =(φ 0, f ), (φ 1,φ 1 )a 1 =(φ 1, f ),, (φ m, φ m )a m =(φ m, f ).
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielomiaami ortogoalymi cd. (4.4) Rozwiązaie powyższego układu rówań określają wzory a j =, f j j, j = i =0 Błąd aproksymacji moża wyzaczyć korzystając z zależości D mi m = f F = i=0 w x i j x i f x i i =0 w x i j 2 x i m w x i f 2 x i k=0 dla i=0 j=0,1,,m. w x i k x i f x i 2 i =0 w x i k 2 x i. Jak moża zauważyć: D mi 0 D mi 1 D mi 2, co ozacza, że odchyleie średiokwadratowe maleje mootoiczie wraz ze wzrostem stopia wielomiau aproksymującego.
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielomiaami ortogoalymi cd. (4.4) Układ wielomiaów ortogoalych p 0, p 1, p 2,, p m moża otrzymać p. ortogoalizując ciąg jedomiaów x 0, x 1, x 2,, x m za pomocą metody Grama-Schmidta: i 1 p 0 =x 0 =1, p i =x i ( x i, p k ) k=0 ( p k, p k ) p, i=1,,m. k Moża pokazać, że wielomiay ortogoale spełiają prostą zależość rekurecyją tzw. regułę trójczłoową, która po uproszczeiach przyjmuje postać: p 1 (x)=0, p 0 (x)=1, p k 1 x = x k 1 p k x k p k 1 x, k=0,1,, gdzie k = 0 i =0 i=0 dowole oraz p k 2 x i 2 p k 1 x i k=1, 2,, k 1 = Wielomiay p 0, p 1, p 2,, p m tworzą a zbiorze X ={x 0, x 1, x 2,, x } układ ortogoaly z fukcją wagową y=w(x) 1. Fukcję y= f (x) moża teraz przybliżać za pomoca wielomiau i =0 i=0 x i p k 2 x i p k 2 x i F (x)= p 0 (x)+a 1 p 1 (x)+ +a m p m (x). k=0,1,,.
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielomiaami ortoormalymi (4.5) Układ wielomiaów φ 0 (x), φ 1 (x),, φ m (x) azyway jest układem ortoormalym z fukcją wagową y=w(x) 1 a zbiorze X ={x 0, x 1,, x } wtedy i tylko wtedy gdy (φ j, φ k )= i=0 w(x i )φ j (x i )φ k (x i )= i=0 φ j (x i )φ k (x i ) { =0 dla j k, =1 dla j=k. Układ rówań ormalych redukuje się rówczas do zestawu rówań pozwalających a bezpośredie wyzaczeie wektora parametrów, a 1,a 2,, a m. =(φ 0, f )= i=0 φ 0 ( x i ) f (x i ), a 1 =(φ 1, f )= φ 1 (x i ) f ( x i ), i=0, a m =(φ m, f )= i=0 φ m (x i ) f (x i ).
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielom. ortoormalymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomiaów Grama (4.5.1): Zakłada się, że węzły fukcji aproksymowaej, ozaczoe przez u 0, u 1,,u, są puktami podziału odcika [ 1 ;1] a rówych części tj.: u i = 2 i 1, i=0,1,,. W puktach tych fukcja aproksymowaa f (x) przyjmuje wartości: Wielomiay Grama są określoe zależościami rekurecyjymi: G G 0 (u)=α 0 = 1 (+1), 1 u =0, G k u = k u G k 1 u k G k 2 u dla k=1,2,, 1, α k = k y i = f (u i ), i=0, 1,,. 4k 2 1 (+1) 2 k 2 dla k=1,2,, 1, 1 jest dowole, k = k k 1 dla k=1, 2,, 1.
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielom. ortoormalymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomiaów Grama cd. (4.5.1): Wielomiay Grama G k (u)=0, k=0,1,, 1, tworzą układ ortoormaly a zbiorze: X ={u 0, u 1,, u }={ 1, 2 1, 4 1,, 1 } z fukcją wagową y=w( x) 1. Fukcję y= f (x) a odciku [ 1;1] moża przybliżać stosując wielomia: Q m (u)= G 0 (u)+a 1 G 1 (u)+,,+a m G m (u ) dla m 1. Przykład: Dokoać aproksymacji daych pomiarowych zamieszczoych w poiższej tablicy za pomocą wielomiau aproksymacyjego rzedu m=2 zbudowaego z wielomiaów Gramma. Q 2 (u)= G 0 (u)+a 1 G 1 (u)+a 2 G 2 (u ). Stosując wielomia Q 2 (u) oszacować wartość fukcji f (x) dla x=2,125.
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielom. ortoormalymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomiaów Grama cd. (4.5.1): Rozwiązaie: Do rozwiązaia powyższego zadaia moża użyć wielomiaów Grama, poieważ węzły są rozmieszczoe rówomierie - h=0,25 oraz =6. W pierwszej kolejosci ależy przekształcić przedział zmieości fukcji f (x) rówy [1,0 ; 2,5] a odciek [ 1 ;1], w którym to przedziale wielomiay Grama G i (u), i=0,1,, są ortogoale. Przekształceia proste i odwrote wyrażają zależości: u= 4 3 x 7 3, x= 3 4 u+ 7 4. gdzie: 1,0 x 2,5 oraz 1 u 1. Wielomia aproksymacyjy przyjmuje postać: Q 2 (u)= G 0 (u)+a 1 G 1 (u)+a 2 G 2 (u ). Q 2 ( x)= G 0( 4 3 x 7 3) +a G 1( 4 1 3 x 7 3) +a G 2( 4 2 3 x 7 3) =a G ' 0 0(x)+a 1 G ' 1 (x)+a 2 G ' 2 (x). Aby skostruować wielomiay Grama G 0 (u ), G 1 (u), G 2 (u), koiecze jest wyzaczeie wartości zmieych pomociczych: α 0,α 1,α 2,γ 2, przy czym przyjmuje się, że G 1 (u)=0 oraz γ 1 jest dowole.
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielom. ortoormalymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomiaów Grama cd. (4.5.1): Rozwiązaie cd.: G ' 0 (x)=g 0 (u)=α 0 = 1 (+1) = 1 (6+1) =0,378, α 1 = 6 4 1 1 1 (6+1) 2 1 =1,500, 2 α 2 = 6 4 22 1 2 (6+1) 2 2 =1,7321, 2 γ 2 = α 2 =1,1547. α 1 Wielomiay G 1 (u) oraz G 2 (u) wyzacza się rekurecyjie otrzymując zależości: G 1 (u)=α 0 α 1 (u ) G ' 1 (x )=α 0 α 1( 4 3 x 7 3) =0,7559 x 1,3229, G 2 (u)=α 0 α 1 α 2 (u) 2 α 0 γ 2 G 2 ' (x)=α 0 α 1 α 2( 4 3 x 7 3)2 α 0 γ 2 =1,7457 x 2 6,1101 x+4,9099. Współczyiki wagowe,a 1,a 2 wielomiau aproksymacyjego Q 2 ( x) oblicza się rozwiązując ''zredukoway'' układ rówań ormalych:
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielom. ortoormalymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomiaów Grama cd. (4.5.1): Rozwiązaie cd.: =(G ' 0 (x), f (x))= G ' 0 (x i ) f (x i )= 0,378 f (x i )= 0,0038, 6 a 1 =(G ' 1 (x), f (x))= i=0 Ostateczie wielomia aproksymacyjy przyjmuje postać: A po uporządkowaiu: 6 i=0 Oszacowaie wartość fukcji f (x) dla x=2,125 wyosi Q 2 (2,125)=0,6426. 6 6 i=0 G ' 1 (x i ) f (x i )= (0,7559 x i 1,3229) f (x i )= 0,0493, i=0 a 2 =(G ' 2 (x), f ( x))= G ' 2 (x i ) f (x i ) 6 i=0 6 = i=0 (1,7457 x i 2 6,1101 x i +4,9099) f (x i )= 3,4460. Q 2 ( x)= 0,0038 0,378 0,0493 (0,7559 x 1,3229)+ 3,446 (1,7457 x 2 6,1101 x+4,9099). Q 2 ( x)= 16,8556+21,0180 x 6,0158 x 2.
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielom. ortoormalymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomiaów Grama cd. (4.5.1): Rozwiązaie cd.: Dae pomiarowe f (x i ) oraz wielomia aproksymacyjy Grama Q 2 ( x).
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielomiaami ortogoalymi (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomiaów trygoometryczych: Zakładamy, że fukcja aproksymowaa y= f (ν ) jest fukcją ciągłą, okresową o okresie głowym 2π oraz, że zae są jej wartości w węzłach ν 0, ν 1,,ν będących puktami odcika [0 ; 2 π ] (okres główy f (ν )) określoych wzorami. ν i = 2π i dla i=0,1,,. +1 Ciąg fukcji 1,cos(ν ),si(ν ),cos(2ν ),si(2ν ),,cos(2ν ),si (2ν ),, zway układem trygoometryczym jest układem fukcji ortogoalych a zbiorze V ={ν 0, ν 1,,ν }={ 0, 2π +1, 4 π 2 π,, +1 +1} z fukcją wagową y=w(ν ) 1. Fukcję y= f (ν ) moża przybliżać stosując wielomia trygoometryczy rzędu m: m S m (ν )= 2 + (a k cos(kν )+b k si(kν )). k=1 Optymale w sesie aproksymacji średiokwadratowej współczyiki a k, k=0,1,, b k, k=1, 2,, wyraża się wzorami:
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielomiaami ortogoalymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomiaów trygoometryczych: a k = 2 +1 i=0 f (ν i )cos(kν i )= 2 +1 i=0 f ( 2 π +1 i ) cos ( 2k π +1 i ) dla k=0,1,, b k = 2 +1 i=0 f (ν i )si(kν i )= 2 +1 i=0 f ( 2π +1 i ) si ( 2k π +1 i ) dla k=1, 2,. Noszą oe azwę współczyików Fouriera. Wielomia trygoometryczy ze współczyikami Fouriera azywa się wielomiaem Fouriera. Dla fukcji y= f (ν ) ciągłej, parzystej i okresowej o okresie z okresem głowym [0 ; 2 π ], współczyiki Fouriera b k =0, dla k=1,2,. Wielomia aproksymacyjy upraszcza siędo postaci: S m (ν )= a m 0 2 + a k cos(kν ). k=1 Dla fukcji y= f (ν ) ciągłej, ieparzystej i okresowej o okresie 2π z okresem głowym [0 ; 2 π ], współczyiki Fouriera a k =0, dla k=0,1,. Wielomia aproksymacyjy upraszcza się do postaci: m S m (ν )= k=1 b k si(k ν ). 2π
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielomiaami ortogoalymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomiaów trygoometryczych: Przykład: W tabeli poiżej podao wybrae wartości fukcji y= f (t) dla <t<, okresowej o okresie 2 z okresem głowym [ 1;1]. ciągłej Zbudować i wykreślić wielomia aproksymacyjy Fouriera stopia 5. Rozwiązaie: Fukcja y= f (t) jest ciągła i okresowa, węzły są rozmieszczoe ze stałym krokiem h=0.2 (=9). Poieważ okres głowy fukcji jest rówy [ 1 ;1] a wielomiay trygoometrycze są ortogoale a odciku [0 ; 2 π ], koiecze jest wyzaczeie przekształceia odcika [ 1;1] a [0 ; 2 π ]. Przekształceie takie (wraz z przekształceiem odwrotym) ma postać: ν =π t+π, t= ν π 1, gdzie: 1 t 1 oraz 0 ν 2 π. Jak moza zauważyć y= f (t) jest fukcją parzystą, stad do jej aproksymacji moża wykorzystać uproszczoą wersję wielomiau: S m (ν )= a m 0 2 + a k cos(kν ). k=1
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielomiaami ortogoalymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomiaów trygoometryczych: Wyzaczaie współczyików wielomiau Fouriera: = 2 9 9+1 i=0 a 1 = 2 9 9+1 i =0 a 2 = 2 9 9+1 i=0 a 3 = 2 9 9+1 i=0 a 4 = 2 9 9+1 i=0 a 5 = 2 9 9+1 i =0 f ( 2 π 9 i ) cos (0)=0,2 (0,0+0,4+0,8+1,2+1,6+2,0+ +0,8+0,4)=2,0000, f ( 2 π 9 i ) cos ( 2π 9 i ) =0,2 (0,0+0,3236+0,2472+ +0,3236)= 0,8378, f ( 2π 9 i ) cos ( 4π 9 i ) =0,2 (0,0+0,1236 0,6472+ +0,1236)=0,0000, f ( 2 π 9 i ) cos ( 6π 9 i ) =0,2 (0,0 0,1236 0,6472+ 0,1236)= 0,1222, f ( 2 π 9 i ) cos ( 8π 9 i ) =0,2 (0,0 0,3236+0,2472+ 0,3236)=0,0000, f ( 2 π 9 i ) cos ( 10π 9 i ) =0,2 (0,0 0,4000+0,8000+ 0,4000)= 0,0800, Trygoometryczy wielomia aproksymacyjy ma postać: S 5 (t)=1,0000 0,8378 cos(π t+π ) 0,1222 cos(3 (π t+π )) 0,0800cos(5(π t+π )).
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielomiaami ortogoalymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomiaów trygoometryczych: Fukcja aproksymowaa Fouriera S 5 (t). f (t) oraz aproksymacyjy wielomia
Aproksymacja średiokw. dyskreta wielomiaami ortogoalymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomiaów trygoometryczych: Aproksymacja wielomiaem Fouriera 5 rzędu aproksymacja przechodzi w iterpolację. F 5 (t) jedeastu węzłow f (t)
Aproksymacja średiokwadratowa ciągła (4.7) Zakłada się, że fukcja aproksymowaa y= f x jest określoa i ciągła w przedziale [a;b]. Fukcja ta zostaje poddaa aproksymacji za pomocą wielomiau uogólioego Zagadieie aproksymacji średiokwadratowej ciągłej polega a zalezieiu takich współczyików c 0,c 1,, c m, dla których odległość sesie metryki średiokwadratowej jest ajmiejsza. Zagadieie to rozwiązuje sie stosując metodę ajmiejszych kwadratów. Miimalizowaa fukcja celu m 1 zmieych iezależych c 0,c 1,, c m ma postać: Korzystając z waruku koieczego istieia miimum fukcji wielu zmieych otrzymuje się
Aproksymacja średiokwadratowa ciągła (4.7) Po przekształceiach wyrażeia polegających między iymi a zamiaie kolejości sumowaia i całkowaia oraz uporządkowaiu zależości względem otrzymuje się Ozaczając przez (iloczyy skalare) powyższe wyrażeie moża zapisać w postaci układu ormalego rówań liiowych Rozwiązując te układ rówań zajdujemy optymale współczyiki c 0, c 1,, c m (przyjęte ogóle założeia odośie bazowych fukcji aproksymujących ie dają gwaracji istieia rozwiązaia).
Aproksymacja średiokwadratowa ciągła (4.7) Aproksymacja za pomocą wielomiaów (4.7.1) Jeśli w charakterze fukcji bazowych wykorzysta się ciąg jedomiaów 1, x, x 2,, x m, fukcja aproksymująca przybierze postać wielomiau F (x)= +a 1 x+a 2 x 2,,a m x m, Układ rówań ormalych przyjmie postać: s 0 + s 1 a 1 +...+s m a m =t 0, s 1 + s 2 a 1 +...+s m+1 a m =t 1,... s m +s m+1 a 1 +...+s 2m a m =t m, gdzie: Rozwiązując powyższy układ rówań wyzaczamy współczyiki,a 1,, a m.
Aproksymacja średiokwadratowa ciągła (4.7) Aproksymacja za pomocą wielomiaów (4.7.1) Przykład: Zaleźć wielomia drugiego stopia alepiej przybliżający, w sesie metryki średiokwadratowej fukcję f x = x w przedziale [0 ; 2].
Aproksymacja średiokwadratowa ciągła (4.7) Aproksymacja za pomocą wielomiaów (4.7.1) Przykład: Zaleźć wielomia drugiego stopia alepiej przybliżający, w sesie metryki średiokwadratowej fukcję f x = x w przedziale [0 ; 2]. Rozwiązaie: Poszukiwae są współczyiki F 2 x = a 1 x a 2 x 2.,a 1,a 2 m=2 wielomiau Dla ich zalezieia koiecze jest rozwiązaie astępującego układu rówań: s 0 +s 1 a 1 +s 2 a 2 =t 0, s 1 +s 2 a 1 +s 3 a 2 =t 1, s 2 +s 3 a 1 +s 4 a 2 =t 2, gdzie:
Aproksymacja średiokwadratowa ciągła (4.7) Aproksymacja za pomocą wielomiaów (4.7.1) Rozwiązaie (cd): Ostateczie układ rówań przyjmuje postać Jego rozwiązaiem są współczyiki = 6 35 2, a 1 = 24 35 2, a 2 = 2 7. Wielomia aproksymacyjy wyraża zalezość: F 2 x = 6 35 2 24 35 2 x 2 7 x2. Tablica wartości fukcji f x = x oraz wielomiau aproksymującego F 2 x
Aproksymacja średiokwadratowa ciągła (4.7) Aproksymacja za pomocą wielomiaów (4.7.1) Rozwiązaie (cd): Wykresy fukcji f x oraz wielom. aproksymującego F 2 x
Aproksymacja średiokwadratowa ciągła (4.7) Aproksymacja za pomocą wielomiaów ortogoalych (4.7.2) Układ wielomiaów 0 x, 1 x,, k x, azyway jest układem ortogoalym z fukcja wagową y=w x a odciku [a ;b] wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyy skalare g jk = j x, k x spełiają waruki: Układ ortogoaly jest układem fukcji liiowo iezależych. Układ 0 x, 1 x,, k x, moża zatem potraktować jako bazę pewej przestrzei fukcyjej i aproksymować fukcję f x za pomocą liiowej kombiacji fukcji bazy. W przypadku, gdy fukcje 0 x, 1 x,, k x, tworzą bazę ortogoalą, wówczas układ rówań ormalych upraszcza sie do postaci
Aproksymacja średiokwadratowa ciągła (4.7) Aproksymacja za pomocą wielomiaów ortogoalych (4.7.2) Poieważ a mocy defiicji ortogoalości g jj 0 dla j=0,1,, m, powyższy układ rówań ma jedozacze rozwiązaie określoe zależościami: Odchyleie średiokwadratowe fukcji aproksymowaej aproksymującej F x wyraża się wzorem: f x od Z zależości wyika, że ze wzrostem stopia wielomiau aproksymującego maleje mootoiczie odchyleie średiokwadratowe tj.: I 0 mi I 1 mi I 2 mi.
Aproksymacja za pomocą wzorów empiryczych (4.8) Czasami do aproksymacji używa się jedej fukcji aalityczej (lub kilku różych fukcji). Jej postać dobiera się a podstawie aprioryczej wiedzy o przebiegu przybliżaej zależości lub w oparciu o oceę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczoych w prostokątym układzie współrzędych. Do często stosowaych fukcji ależą: Charakteryzują się oe małą liczbą parametrów i oraz często łatwą iterpretacją fizyczą.
Aproksymacja za pomocą wzorów empiryczych (4.8) Dobór postaci aalityczej fukcji aproksymującej w oparciu o oceę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczoych w prostokątym układzie współrzędych (4.4.1) y y 0 x 0 x y=ax+b y=ba x lub y=b x a (dla a>1) lub y= +a 1 x+a 2 x 2 (dla a 2 >0)
Aproksymacja za pomocą wzorów empiryczych (4.8) Dobór postaci aalityczej fukcji aproksymującej w oparciu o oceę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczoych w prostokątym układzie współrzędych (4.4.2) y y 0 x 0 y= +a 1 x+a 2 x 2 y=b+a log x lub y=b x a (0<a<1) lub y= a x x+b x
Aproksymacja za pomocą wzorów empiryczych (4.8) Dobór postaci aalityczej fukcji aproksymującej w oparciu o oceę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczoych w prostokątym układzie współrzędych (4.4.3) y y 0 y= k x 0 x y= +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 1+b e ax
Aproksymacja za pomocą wzorów empiryczych (4.8) Dobór postaci aalityczej fukcji aproksymującej w oparciu o oceę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczoych w prostokątym układzie współrzędych (4.4.4) y y 0 y=b x a lub x 0 y= 1 ax+b lub y= x ax+b y=b a x y=b x a y= +a 1 x+a 2 x 2 y=b x
Aproksymacja za pomocą wzorów empiryczych (4.8) Przykład: W trakcie badań pewego zjawiaka fizyczego zebrao astępujacy zestaw daych: Zebrae pomiary wykeśloo w prostokątym układzie współrzędych. y= f x W wyiku ocey wzrokowej rozrzutu ich wartości zdecydowao, że ajlepszym przybliżeiem daych będzie fukcja: F x =e x 2 x (kształt fukcji gęstości rozkładu ormalego (prawdopod.)). Należy wyzaczyć parametry, i.
Aproksymacja za pomocą wzorów empiryczych (4.8) Rozwiązaie: Wybraa fukcja jest ieliiowa (rowież względem wspólczyików, i ) stąd, rozwiązaie takiego zadaia aproksymacyjego jest trude. Zastosowaie do powyższej zależości przekształceia w postaci obustroego logarytmowaia, sprowadza zagadieie do aproksymacji za pomocą jedomiaów Stosując podstawieia a 2 =, a 1 =, =, otrzymuje się postać wielomiau drugiego stapia ajlepiej przybliżającego (w sesie ajmiejszych kwadratów) fukcję g x =l f x. Tabela fukcji G x =l F x = x 2 x. g x G(x)=a 2 x 2 +a 1 x+. ma postać:
Aproksymacja za pomocą wzorów empiryczych (4.8) Rozwiązaie (CD): Współczyiki a 2, a 1 i wyzaczy się rozwiązując układ rówań ormalych s 0 +s 1 a 1 +s 2 a 2 =t 0, s 1 +s 2 a 1 +s 3 a 2 =t 1, s 2 +s 3 a 1 +s 4 a 2 =t 2. gdzie : s k = i=0 x i k dla k=0,1,..., t k = i =0 y i x i k dla k=0,1,...
Aproksymacja za pomocą wzorów empiryczych (4.8) Rozwiązaie (CD): Powyższy układ rówań przyjmuje postać 7,000 +12,250a 1 +23,188 a 2 = 0,010, 12,250 +23,188 a 1 +46,703 a 2 = 0,083, 23,188 +46,703a 1 +98,574 a 2 = 2,236. Rozwiązaiem układu są wartości: a 2 = 6,015, a 1 =21,016, = 16.854. Poszukiwae parametry fukcji aproksymującej są rówe: =6,015, = 21,016, =16,854. F (x)=e (6,015 x2 21,016 x+16,854)