Temat: Ciągi i szeregi funkcyjne

Podobne dokumenty
1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka

EGZAMIN, ANALIZA 1A, zadań po 5 punktów, progi: 30=3.0, 36=3.5, 42=4.0, 48=4.5, 54=5.0

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1).

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Funkcje analityczne. Wykład 12

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Matematyka II Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

Opis przedmiotu: Matematyka II

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Funkcje. Granica i ciągłość.

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Układy równań i równania wyższych rzędów

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności

Ciągi liczbowe wykład 3

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

2. Definicja pochodnej w R n

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ (CZEŚĆ 1)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 3 w języku angielskim Mathematical Analysis 3 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW

EGZAMIN, ANALIZA 1A, zadań po 5 punktów, progi: 20=3.0, 24=3.5, 28=4.0, 32=4.5, 36=5.0

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31

Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

1 Relacje i odwzorowania

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3

ANALIZA MATEMATYCZNA

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

Ciągłość funkcji f : R R

Analiza Matematyczna MAEW101

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 60 45

Matematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego.

MNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

Elementy metod numerycznych

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

1 Macierze i wyznaczniki

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU

Transkrypt:

Emilia Domińczyk Aleksandra Chrzuszcz Temat: Ciągi i szeregi unkcyjne 1.Co to jest ciąg unkcyjny? Co to jest szereg unkcyjny? Podać przykłady. Deinicja ciągu unkcyjnego Niech X c R, X Ø. Funkcję określoną na zbiorze N o wartościach w zbiorze unkcji R nazywamy ciągiem unkcyjnym i oznaczamy (n). Ciąg unkcyjny jest to taki ciąg, którego wyrazami są unkcje. Ciągi unkcyjne są oznaczane w następujący sposób: (n) (n) n:x R,n=1,2, (n) c R (n) c R (x)= (x)= x + Deinicja szeregu unkcyjnego Niech (n) c R będzie ciągiem unkcyjnym. Ciąg unkcyjny S = + +, n = 1, 2,... nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu(n). Szeregiem unkcyjnym nazywamy parę uporządkowana((n),(sn) ) i oznaczamy n. Wtedy ciąg (Sn) nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu n. x ( ) 2. Co to jest zbieżność punktowa? Co to jest zbieżność jednostajna? Jak jest zależność między tymi zbieżnościami (podać własność i przykład). Zbieżność punktowa Mówimy, że ciąg ( ) jest zbieżny punktowo do unkcji : X -> R na zbiorze X, gdy!"# $%& ( * +,(. + (!).(!) <$ Piszemy:. + (!).(!). Zbieżność jednostajna Mówimy, że ciąg (n) jest zbieżny jednostajnie do unkcji na zbiorze X, gdy: $%& ( * +%(! #. + (!).(!) <$

Piszemy:. + (!).(!). Zależność między tymi zbieżnościami: Zauważmy, że deinicje różnią się jedynie kolejnością kwantyikatorów. W pierwszej deinicji dobieramy m do x i, a d w drugiej zaś dobieramy m do dla wszystkich x. Stąd oczywiście implikacja: (x) (x) (x) (x). Własności: Analogiczne jak dla ciągu liczbowego. sup 6 (x) (x) 0 Deinicja Mówimy, że szereg unkcyjny (x), gdzie : X -> R dla n ϵ N jest zbieżny jednostajnie, gdy ciąg sum częściowych tego szeregu jest zbieżny jednostajnie. Deinicja Mówimy, że szereg unkcyjny (x), gdzie : X -> R, n ϵ N jest zbieżny punktowo do unkcji : X -> R na zbiorze x, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny punktowo do. (x)= x dla x ϵ [0,1] lim (x)= limx =; 1, dla x=1 0, dla x [0,1)? Zatem ciąg { } jest zbieżny punktowo do unkcji (x)= ; 1, dla x=1 0, dla x [0,1)? Zbadajmy zbieżność jednostajną. Oczywiście (@ A ) może być zbieżny jednostajnie jedynie do unkcji @. Zauważmy, że BCD E [&,] @ A (G) @(G) =1, więc ciąg { } nie jest zbieżny jednostajnie. 3. Sormułować kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej. Tw. (kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu unkcyjnego). Niech (n) c R będzie ciągiem unkcyjnym. Jeśli istnieje ciąg liczbowy (Mn) taki, że dla każdego n ϵ N zachodzi n (x) Mn dla x ϵ X oraz szereg liczbowy Mn jest zbieżny, to szereg n jest jednostajnie zbieżny. ( ), xϵ R Zauważmy, że dla każdego x ϵ R mamy 1 J n (1+n x ) J= 1 n (1+n x ) 1 n

A Ponieważ jest zbieżny jako harmoniczny rzędu α =2, to na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szereg ten jest zbieżny jednostajnie. 4. Czy granica ciągu unkcji ciągłych musi być ciągłą. Podać kontrprzykład i sormułować odpowiednie twierdzenie. Odp. Nie Kontrprzykład: n(x) = G A 0,LMN G [0,1) dla x ϵ [0,1] zbieżny punktowo do unkcji (x) = ; 1, LMN G=1? Aby granica ciągu unkcji ciągłych była ciągła trzeba założyć zbieżność jednostajną. Mamy: Twierdzenie Jeśli ciąg (@O) A P Q E, gdzie X c R, unkcji ciągłych jest zbieżny jednostajnie do unkcji : X -> R to jest unkcją ciągła. 5. Sormułować deinicję szeregu potęgowego oraz przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Deinicja szeregu potęgowego. Niech (N A ) A& będzie ciagiem liczbowym oraz G & ϵ R. Szereg postaci A& N A ( G G & ) A, gdzie x ϵ R, nazywamy szeregiem potęgowym o środku G & lub szeregiem Taylora o środku G &. Przyjmujemy tutaj 0 & = 1. Liczby N A, n = 0, 1,... nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego. Deinicja przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego N A (G G & ) A nazywamy zbiór R { GU Q BWXYXZ N A (G G & ) A [XB\ W]^XżO_ }. Można pokazać, że zbiór R jest rzeczywiście przedziałem. Jest on bowiem postaci:(g & Y,G & +Y) albo :(G & Y,G & +Y] albo :[G & Y,G & +Y) albo [G & Y,G & +Y] albo :(,), gdzie Y>0 jest pewną liczbą. 6.Sormułować twierdzenie Cauchy ego-hadamarda. Zilustrować je na przykładzie. Twierdzenie (Cauchy ego-hadamarda) Szereg potęgowy A& N A (G G & ) A jest zbieżny w przedziale otwartym (G & Y,G & + Y), gdzie Jeśli M^d A e N A =M^d c A e N A. =0, przyjmujemy Y=. Jeśli zaś M^d A e N A =, przyjmujemy Y=0. Liczbę Y nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego. Mamy więc

? k, M^d e N A =0 A i 1 Y= jm^d e N, 0< M^d e N A <+ A A A i h 0, M^d e N A = A A& A (G 5)A ma promień zbieżności Y=1, bolim A m e N A =lim A m =1. Z twierdzenia Cauchy ego Hadamarda wynika więc, że szereg jest zbieżny w przedziale (4,6). Oczywiście dla G=4 szereg jest zbieżny, ma bowiem postać A& A ( 1)A oraz dla G=6 jest rozbieżny, stąd przedziałem zbieżności jest przedział [4,6). 7. Co to jest szereg Taylora? Co to jest szereg Maclaurina? Podać przykłady. Szereg Taylora Niech P będzie przedziałem oraz niech : P -> R będzie unkcją klasy p. Niech G & U R. q r (E s ) Szereg potęgowy t& (G G & ) t nazywamy szeregiem potęgowym lub szeregiem Taylora unkcji o środku w punkcie G &. t! Deinicja rozwinięcia unkcji w szereg potęgowy Jeśli unkcja w pewnym otoczeniu punktu G & U Q jest sumą szeregu potęgowego o środku G &, postaci A& N A ( G G & ) A, to znaczy szereg postaci ten jest zbieżny punktowo do unkcji @ w pewnym otoczeniu punktu G &, to mówimy, że unkcja @ rozwija się w otoczeniu punktu G & w szereg potęgowy lub szereg Taylora. Wtedy szereg ten nazywamy rozwinięciem unkcji @ w szereg potęgowy w otoczeniu G & lub rozwinięciem Taylora. Twierdzenie Jeżeli unkcja @ rozwija się w pewnym otoczeniu pkt. G & w szereg potęgowy @(G)= A& N A ( G G & ) A, to rozwinięcie to jest określone jednoznacznie, ponadto N A = q (E s ), dla O=0,1,. A! W szczególności rozwinięcie unkcji w szereg Taylora jest szeregiem Taylora tej unkcji. Twierdzenie (wzór Taylora II) Niech @ [N,]] Q będzie unkcją klasy p Av posiadającą O tą pochodną w przedziale (a,b) oraz niech G & ϵ [a, b]. Wówczas dla każdego x ϵ [a, b] takiego, że x G & istnieje punkt c leżący miedzy G & i x taki, że

Avq @(G)= (r) (E s ) t& (G G & ) t + q() (w) (G G & ) A. t! Szereg Maclaurina Szereg Taylora w punkcie G & = 0 nazywamy szeregiem Maclaurina. A! Przykłady rozwinięć X E = B^OG= PxBG= @(G)= @(G)= m E A, A! m (v) A (A)! GA m (v) A (A)! GA = ve A& GA dla G ( 1,1) (wzór na sumę szeregu geometrycznego) E =G =G =G ve ve yev yev v(vye) v(v z E)= v z E= A& {y G A = ve A& {y A G A = A&. Oczywiście powyższe zachodzi dla y G<1 czyli dla x ϵ ( ; ). y y y }~GA