1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym lub nieskończonym), jeśli F () = f() dla każdego P. Przykłady. Funkcja sin jest funkcją pierwotną funkcji cos, bo (sin ) = cos. Również funkcja sin + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest funkcją pierwotną funkcji cos. Funkcją pierwotną dla e jest ta sama funkcja e. Jeśli funkcja f jest określona w przedziale domkniętym a b, to funkcję F nazywamy jej funkcją pierwotną, jeśli F () = f() dla a < < b oraz zachodzi: F +(a) = f(a) i F (b) = f(b). Tw. Jeśli dwie funkcje F i G są funkcjami pierwotnymi funkcji f w przedziale P (otwartym lub domkniętym), to te dwie funkcje różnią się między sobą o stałą. Dow. Ponieważ zachodzi: F () = G (), to na mocy twierdzenia które było przy pochodnych (wniosek z wz. Lagrange a o wart. średniej) funkcje te różnią się o stałą: F () = G() + C. I odwrotnie, funkcja, która powstaje przez dodanie stałej do funkcji pierwotnej funkcji f, jest też funkcją pierwotną funkcji f. Tak więc wyrażenie: F () + C jest ogólną postacią funkcji pierwotnej funkcji f. CBDO To ostatnie wyrażenie oznaczamy symbolem f(), czytamy: "całka f() po " i nazywamy je całką nieoznaczoną funkcji f. Mamy więc: f() = F () + C, gdzie F () = f(), (1) d f() = f(), () df () = F () + c. (3) Znajdowanie całki nieoznaczonej danej funkcji f lub innymi słowy znajdowanie funkcji pierwotnej funkcji f nazywamy całkowaniem funkcji f. Całkowanie jest więc procesem (prawie) odwrotnym 1 do różniczkowania. 1. Funkcje pierwotne funkcji elementarnych Jak wynika z samej definicji całki nieoznaczonej, każdy wzór na pochodną jakiejś funkcji daje automatycznie wzór na całkę funkcji otrzymanej po zróżniczkowaniu. Mamy np.: Z wzoru (sin ) = cos 1 Dlaczego prawie? Otóż jeśli weźmiemy jakąś funkcję f, scałkujemy ją, a następnie zróżniczkujemy to otrzymamy tę samą funkcję f. Natomiast jeśli najpierw funkcję f zróżniczkujemy, a potem scałkujemy, to otrzymamy funkcję f plus dowolna stała więc coś bardzo podobnego, ale jednak nie to samo. 1

otrzymujemy cos = sin + C. Ze znanych wzorów na pochodne otrzymujemy następujące wzory na funkcje pierwotne: 0 = C, (4) a = a + C, (5) n = 1 n + 1 n+1 + C, n N, (6) cos = sin + C, (7) sin = cos + C, (8) 1 = tg + C; cos (9) 1 sin = ctg + C, (10) e = e + C (11) = ln + C, (1) = arcsin + C, (13) 1 = arctg + C, 1 + (14) a = 1 a + 1 a+1 + C, a R, a 1 (15) 1.3 Ogólne wzory na całkowanie Załóżmy, że funkcje f i g są ciągłe. Zachodzą wówczas następujące wzory. Tw. (f() + g()) = f() + g(). Dow. Mamy bowiem ( d f() + ) g() = f() + g(). Tw. af() = a f(), gdzie a stała. CBDO Dow. ( d a ) f() = a d f() = af().

Tw. : (Wzór na całkowanie przez części:) Dla f, g takich, że f, g są ciągłe zachodzi f()g () = f()g() f ()g() Dow. Zrózńiczkujmy obie strony powyższej równości. Mamy: f()g () = f ()g() + f()g () f ()g(). Przykł. e = (e ) = e e = e e = e e. CBDO Przykł. ln = ln = ln (ln ) = ln 1 = ln + C. Tw. (wzór na całkowanie przez podstawienie, lub na zamianę zmiennych w całce): g(f()) df() = g(y)dy y=f() Uwaga. Krócej ten wzór możemy zapisać, oznaczając y = f() i z = g(y). Wtedy mamy: z dy = Dow. Dowód opiera się na odwróceniu wzoru na różniczkowanie funkcji złożonej. Oznaczmy G(y) = g(y)dy. Mamy: zdy. [G(f())] = G (f()) f () = g(f()) f (); biorąc teraz funkcję pierwotną od obu stron, mamy g(f()) f () = [G(f())] = G(f()) = G(y) y=f() = g(y)dy y=f() Przykł. g(a) = 1 a g(y)dy, gdzie y = a. CBDO Przykł. f( + a) = f(y)dy, gdzie y = + a. Przykł. Obliczmy całkę: 1 +. Zrobimy to za pomocą podstawienia y =. Mamy: 1 + = y =, = 1dy = 1 3 dy 1 + y = 1 ln(1 + y) = 1 ln(1 + ).

Przykł. W następującej całce podstawimy = sin t, zakładając, że t [ π, π]: 1 = = sin t, = cos tdt = cos tdt; tę całkę liczymy całkując przez części: cos tdt = (sin t) cos tdt = sin t cos t sin t(cos t) dt = sin t cos t + sin tdt skąd mamy 1 = = sin t cos t + dt cos tdt, cos tdt = 1 (sin t cos t + t) = 1 ( 1 + arcsin ). Uwaga. Poprawność całkowania możemy sprawdzić, różniczkując wynik; po zrobieniu tego powinniśmy otrzymać funkcję podcałkową. Uwaga. Funkcją elementarną nazywamy funkcję wymierną, trygonometryczną, wykładniczą, lub jedną z odwrotności tychże. Rozpatrzmy teraz zbiór funkcji, powstałych z elementarnych przez branie ich sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia albo kombinacji tychże. Pochodną każdej z tych funkcji można znaleźć, posługując się wzorami na pochodną sumy, iloczynu, ilorazu bądź złożenia funkcji. Z całkami jest inaczej: Gdy musimy znaleźć funkcję pierwotną funkcji z powyższej klasy, to taka pochodna może się już nie dać wyrazić przez funkcje elementarne. Tak jest np. z całkami: e czy 1 + k sin, k 1. Podkreślmy, że obie te funkcje pierwotne istnieją zgodnie z powyższym twierdzeniem, że każda funkcja ciągła posiada funkcję pierwotną. Powyższe funkcje pierwotne istnieją, tyle że się nie wyrażają przez funkcje elementarne: Pierwsza całka to tzw. funkcja błędu, a druga to całka eliptyczna. Tak więc nie dla każdej funkcji da się funkcję pierwotną wyrazić przez funkcje elementarne. W pozostałej części tego rozdziału będziemy rozważać te klasy funkcji, dla których da się to zrobić. 1.4 Rekurencyjne metody obliczania całek Załóżmy, że mamy jakiś ciąg funkcji {f n ()} i że chcemy obliczyć całki I n = f n () Metoda rekurencyjna polega na obliczeniu całki dla n = 1 (lub n = 0) i na umiejętności sprowadzenia liczenia n tej całki do całki o numerze n 1 (lub wcześniejszej). To był ogólny (tak ogólny, że ogólnikowy) przepis; przyjrzyjmy się, jak to się przekłada na praktykę. Przykł. Obliczyć całkę I n = e n. We wzorze na I n wykonajmy całkowanie przez części w następujący sposób: I n = e n = ( )(e ) n = e n ( ) e n n 1 = e n + ni n 1 ; aby sfinalizować liczenie całki, potrzebujemy jeszcze wyrażenia na I 0 : I 0 = e = e. 4

Ostatecznie więc I n = e n + ni n 1 = e n ne n 1 n(n 1)I n =... ( ) = e [ n +n n 1 +n(n 1) n + +n!]+i 0 = n!e 1 + +! + + n +C. n! Przykł. Weźmy teraz: Mamy: Teraz policzmy: I n = (1 + ) = n (1 + ) n I n = I 1 = (1 + ) n. = arctg. 1 + ( ) 1 = (1 + ) n (1 + ) ( n) n (1 + ) n+1 skąd mamy = (1 + ) + n + 1 1 n (1 + ) = n+1 (1 + ) + ni n n ni n+1, I n+1 = n 1 n I n + 1 n (1 + ). (16) n 1.5 Całki z funkcji wymiernych Nazywamy w ten sposób całkę, gdzie funkcją podcałkową jest funkcja wymierna: f() = P () Q() gdzie P (), Q() wielomiany. Liczenie całki wykonujemy w kilku krokach. Będziemy zakładać, że stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika. Gdyby tak nie było, to I. wykonujemy dzielenie wielomianów (z resztą) i możemy zapisać: P () = w() Q() + r(), gdzie w() wynik dzielenia, a r() reszta, przy czym deg r < deg Q. Mamy w ten sposób: P () Q() = w() + r() Q(), gdzie w() jest wielomianem, który umiemy scałkować, zaś w r() stopień licznika Q() jest mniejszy od stopnia mianownika tak jak dalej potrzeba. 5

II. Rozkładamy mianownik na czynniki. Niedługo poznamy twierdzenie z algebry, które mówi, że: Tw. Dowolny wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się na czynniki stopnia co najwyżej drugiego, tzn. postaci: a (czynniki liniowe) oraz + b + c (kwadratowe), dla których < 0. Uwaga. Liczba a z czynnika liniowego jest pierwiastkiem wielomianu; z tw. Bézout mamy, że jeżeli a jest pierwiastkiem wielomianu Q(), to wielomian Q() dzieli się przez a bez reszty, tzn. można zapisać: Q() = Q()( a), gdzie Q() jest wielomianem stopnia o 1 niższego niż Q(). Oraz dokładniej: Jeśli a jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu Q(), to wielomian Q() dzieli się przez ( a) k bez reszty, tzn. można zapisać: Q() = Q()( a) k, gdzie Q() jest wielomianem stopnia o k niższego niż Q(). Dla trójmianów kwadratowych nierozkładalnych jest podobnie, ale zagłębienie się w temat wymaga znajomości liczb zespolonych, więc odkładamy to do czasu, gdy się z nimi zaznajomimy. III. Trzecim krokiem jest rozkład na ułamki proste. Def. Ułamkiem prostym nazywamy wyrażenie postaci gdzie A, a; C, D, α, β R. A ( a) k lub C + D (( α) + β ) m, Uwaga: W mianowniku ostatniego wyrażenia występuje postać kanoniczna trójmian kwadratowego, który nie ma pierwiastków rzeczywistych. I teraz!! IV. Tw. Funkcja wymierna P ()/Q() jest sumą ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami wielomianu Q(). Tw. (o rozkładzie na ułamki proste): Każda funkcja wymierna: P (), gdzie deg P < Q() deg Q, daje się zapisać jako suma ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami wielomianu Q(). Dokładniej: Jeżeli w rozkładzie Q() na czynniki pojawia się wyrażenie ( a) k, to wśród ułamków prostych znajdują się wyrazy: A 1 a, A ( a),..., A k ( a) k ; jeżeli zaś w rozkładzie Q() na czynniki pojawia się (( α) + β ) m, to wśród ułamków prostych znajdą się wyrazy: C 1 + D 1 ( α) + β, C + D (( α) + β ),... C m + D m (( α) + β ) m. Wyznaczenie konkretnych wartości współczynników stojących przy ułamkach prostych odbywa się przez porównanie obu postaci funkcji wymiernej: Postaci wyjściowej: f() =, oraz otrzymanej z rozkładu na ułamki proste. P () Q() Gdy wszystkie ułamki proste są odwrotnościami wielomianów pierwszego stopnia, to współczynniki można wyznaczyć znacznie prościej. 6

"Jak to działa", zobaczmy na przykładach. Przykł. Rozłóżmy na ułamki proste funkcję wymierną f() = 1 ( ) ( 3) (17) Zgodnie z powyższym twierdzeniem, rozkład na ułamki proste będzie miał postać: 1 ( ) ( 3) = A + B ( ) + C 3. Współczynniki A, B, C wyznaczamy, sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika. Mamy: 1 A( )( 3) + B( 3) + C( ) ( ) = ( 3) ( ) ( 3) = (A + C) + ( 5A + B 4C) + (6A 3B + 4C) ( ), ( 3) co daje równania: A + C = 0; 5A + B 4C = 1; 6A 3B + 4C = 1. Rozwiązanie tego układu równań daje: Przykł. Weźmy teraz: f() = A =, B = 1, C =. ++13 ( )( +1). Rozkład na ułamki proste ma postać: f() = + + 13 ( )( + 1) = A + B + C + 1 + D + E ( + 1). (18) Współczynniki A, B, C, D, E wyznaczamy z porównania obu stron po sprowadzeniu prawej do wspólnego mianownika, co daje: + + 13 = A( + 1) + (B + C)( )( + 1) + (D + E)( ) skąd otrzymujemy układ równań na współczynniki: Rozwiązując ten układ równań, dostajemy: co daje rozkład na ułamki proste: wsp. przy 4 : A + B = 0 wsp. przy 3 : B + C = 0 wsp. przy : A + B C + D = wsp. przy 1 : B + C D + E = wsp. przy 0 : A C E = 13. A = 1, B = 1, C =, D = 3, E = 4 f() = + + 13 ( )( + 1) = 1 + + 1 3 + 4 ( + 1). (19) Twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste sprowadza całkowanie funkcji wymiernej do całkowania ułamków prostych. Zobaczymy zaraz, jak obliczać funkcje pierwotne z takich ułamków prostych. 1. Zacznijmy od ułamków prostych postaci A ( a) k. Podstawiając y = a, mamy { A dy A ln( a) dla k = 1, ( a) = A k y = k A 1 dla k > 1. 1 k ( a) k 1 7

. Gdy mamy ułamek prosty: C+D (( α) +β ) m, to całka nieoznaczona z tego wyrażenia sprowadza się do obliczenia dwóch całek: (( α) + β ) oraz m ( α) (( α) + β ) m..1. Przy pierwszej całce podstawiamy y = α i otrzymujemy całkę dy, (y +β ) m w której z kolei podstawiamy y = βz i po tym podstawieniu dostajemy całkę dz. Dla m = 1 funkcją pierwotną jest arctg z, zaś dla m > 1 wyprowadziliśmy już na tę całkę wzór rekurencyjny (z +1) m (16)... Przy całce drugiego typu, podstawiamy: y = ( α). Mamy: dy = ( α), skąd otrzymujemy: ( α) (( α) + β ) = 1 m { dy 1 (y + β ) = ln(( α) + β ) dla m = 1, m 1 1 dla k > 1. (k 1) (( α) +β ) k 1 Tymi to sposobami zawsze możemy obliczyć całkę z funkcji wymiernej. (Oczywiście, jeśli znamy pierwiastki mianownika Q()). Obliczmy teraz dla naprzykładu całki z f. wymiernych (17) i (18). Przykł. (17), cd: Przykł. (18), cd: = 1 ( ) ( 3) = ( ) + = ln + ln 3 + + C. + + 13 ( )( + 1) = + 1 ( + ) + 1 + 1 3 = ln 1 ln( + 1) arctg + 3 ( + 1) 4 1 + 1 4 3 (3 + 4) ( + 1) ( + 1) ( + 1). Ostatnią całkę liczymy wykorzystując wzór rekurencyjny (16); dla n = mamy: I = (1 + ) = 1 1 + + 1 I 1 = 1 1 + + 1 arctg. Ostatecznie + + 13 ( )( + 1) = 1 3 4 + 1 + 1 ( ) ln 4arctg + C. + 1 Uwaga. Analizując metodę całkowania funkcji wymiernych widzimy, że całka z funkcji wymiernej jest postaci: R() + A ln U() + Barctg V (), gdzie A, B stałe, zaś R(), U(), V () są funkcjami wymiernymi. 8

1.6 Całki z funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych Niech R(u, v) oznacza funkcję trygonometryczną dwóch zmiennych u, v. Rozważmy całkę: R(sin, cos ). Okazuje się, że całkę tego typu można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej poprzez podstawienie trygonometryczne. Podstawieniem, które działa zawsze (aczkolwiek często nie jest sposobem optymalnym ze względu na ilość rachunków) jest podstawienie uniwersalne: t = tg. Musimy wyrazić sin, cos, przez t. Mamy: Mamy dalej Ponadto: co daje sin + cos = 1, skąd tg + 1 = 1 cos cos = cos 1 = 1 + t 1 = 1 t 1 + t. sin = 1 cos = sin = sin cos =, co daje cos = 1 1 + t t 1 + t, t 1 + t. Wreszcie, z równości: = arctg t mamy dt = 1 + t. Ostatecznie mamy wszystko co jest potrzebne do podstawienia: sin = t 1 t, cos = 1 + t 1 + t, = 1 + t dt. Przykł. 1 + t I = sin = dt t 1 + t dt = t = ln t = ln tg. Uwaga. Powyższe podstawienie uniwersalne działa zawsze. Prowadzi jednak często do funkcji wymiernej o dużych stopniach licznika i mianownika. Z tego względu należy je stosować tylko w ostateczności, jeśli inne podstawienia trygonometryczne nie dadzą się zastosować. Te inne podstawienia to: t = sin, t = cos t = tg. Istnieją przepisy, kiedy takie podstawienia stosować. Nie będziemy ich tu wypisywać (zainteresowany Czytelnik znajdzie je np. w książce Fichtenholza, t. II). 1.7 Całki z wyrażeń typu R(, n α+β γ+δ ) Rozpatrzmy teraz całki postaci R(, n α + β γ + δ ), 9

(zakładamy tu, że α+β const, bo inaczej problem byłby trywialny), gdzie R(u, v) jest γ+δ funkcją wymierną swoich argumentów. Okazuje się, że takie całki można sprowadzić do całek z funkcji wymiernych. Realizuje się to za pomocą następującego podstawienia: t = n α + β γ + δ. tzn. tn = α + β γ + δ, co znaczy, że wyraża się wymiernie przez t i w ten sposób otrzymujemy w zmiennej t całkę z funkcji wymiernej, którą liczymy znanymi nam już metodami. Konkretnie, mamy tutaj: = β δtn γt n α, = n(αδ βγ) t n 1 (γt n α) dt Przykł. I = ( 1)( + 1) = 3 3 + 1 1 + 1. Zgodnie z powyższym przepisem, podstawiamy: i nasza całka przyjmuje postać t = 3 + 1 1, = t3 + 1 t 3 1, = 6t dt (t 3 1) I = 3dt t 3 1. Powyższe podstawienie sprowadziło więc całkę do całki wymiernej. Zachęcam Czytelnika, aby powyższą całkę policzył dalej. Wynik jest następujący: I = 1 ln t + t + 1 (t 1) + 3 arctg t 1 3 + C. 1.8 Całki z wyrażeń typu R(, a + b + c); podstawienia Eulera Ostatnią z omawianych teraz klas całek będą całki R(, a + b + c), (0) gdzie R(u, v) jest funkcją wymierną. Całki powyższego rodzaju także wyrażają się przez funkcje elementarne. Istnieje kilka sposobów obliczania całek (0); my omówimy tu podstawienia Eulera. Odnośnie trójmianu kwadratowego a + b + c zakładamy, iż nie jest on pełnym kwadratem, gdyż w tym przypadu moglibyśmy wyciągnąć zeń pierwiastek i mieć całkę wymierną. 1. Pierwsze podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy a > 0. Podstawiamy wówczas: a + b + c = t a (1) 10

(lub, aby t występowało tylko po jednej stronie równości: t = a + b + c + a. Po podniesieniu do kwadratu równości (1) wyraz a skasuje się po obu stronach i zostanie b + c = t at skąd mamy = t c b + at, at + bt + c a a + b + c =, at + b at + bt + c a = (b + dt. at) Widać, że przy tym podstawieniu zarówno (oraz oczywiście, jak i a + b + c wyrażają się wymiernie przez t; w ten sposób doprowadziliśmy całkę (0) do całki z funkcji wymiernej.. Drugie podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy c > 0. Wówczas bierzemy: a + b + c = t + c. () Jeśli podniesiemy obie strony równości () do kwadratu, odejmiemy po obu stronach c i podzielimy przez, to otrzymamy: i mamy: a + b = t + ct = ct b ct bt + ca, a + b + c =, a t a t ct bt + ca = dt. (a t ) Znów więc, oraz a + b + c wyrażają się wymiernie przez t; w ten sposób znowu doprowadziliśmy całkę (0) do całki z funkcji wymiernej. 3. Wreszcie, trzecie podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy trójmian kwadratowy a + b + c ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste; oznaczmy je λ oraz µ. Wiemy, że w takim przypadku trójmian ten rozkłada się na czynniki liniowe: a + b + c = a( λ)( µ). (3) Wtedy podstawiamy: a + b + c = t( λ). (4) Podnosząc równość (4) do kwadratu i korzystając z (3), skracamy przez wspólny czynnik ( λ) i otrzymujemy znów równanie pierwszego stopnia na : a( µ) = t ( λ) skąd dostajemy: = λt aµ t a, = a + b + c = ta(µ λ) (t a) dt a(λ µ)t t a, 11

Uwaga. Może się zdarzyć, że do jakiejś całki można zastosować więcej niż jedno podstawienie Eulera! Pokażemy teraz, w dowolnej całce postaci (0) można zastosować któreś z podstawień Eulera (konkretnie, pierwsze lub trzecie). Otóż jeśli trójmian kwadratowy a + b + c ma pierwiastki rzeczywiste, to można zawsze zastosować podstawienie trzecie. Jeśli natomiast trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, tzn. b 4ac < 0, to Przykł. I. Obliczmy całkę I I = + 4 4 za pomocą pierwszego podstawienia Eulera. Zgodnie z (1) mamy + 4 4 = t, skąd wyliczamy = t + 4 t + 4, = t + 8t 8 (t + 4) dt, i wstawiając do całki wyjściowej, mamy I I = + 4 4 = t = t + 4t 4 t + 4 dt t + 4. Tę całkę już łatwo policzyć, dostając (zachęcam Czytelnika, aby uzupełnił te rachunki) I I = arctg [( + + 4 4)] + C. Przykł. II. Obliczmy całkę I II = + 1 za pomocą drugiego podstawienia Eulera. Zgodnie z () mamy + 1 = t + 1; skąd i w zmiennej t całka przybiera postać = t + 1 1 t, = (t + t + 1) (t 1) dt, (t + t + 1) I II = t t dt + 1 = t + t + 1 1 t, a więc otrzymaliśmy jak trzeba całkę z wyrażenia wymiernego. Czytelnika zachęcam do dokończenia i sprawdzenia rachunku. Przykł. III. Przetestujmy wreszcie trzecie podstawienie Eulera na całce Zgodnie z (4) bierzemy skąd wyliczamy I III = ( 3) 4. 4 = t, = 4 t + 1, = 8 tdt (t + 1), 4 = t = 4t t + 1, i w zmiennej t całka przyjmuje postać I III = dt 3t 5 5 3t 3 = t + 1 więc znów w postaci wymiernej, tak jak powinno być. Znów wykładowca zachęca Czytelnika do dokończenia i sprawdzenia rachunków. 1

Całka Riemanna 13