10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1 10. 10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10.1. Zastosowanie funkcji Airy'ego =0 (10.1) Zakładamy, że istnieje funkcja F(x,y) spełniająca następujące warunki (przy założeniu p x =0 oraz istnienia siły masowej skierowanej przeciwnie do osi Y): = F y (10.) = F x (10.3) y = F x y x (10.4) 4 F, y =0 (10.5) 4 4 x 4 4 x y 4 y 4 (10.6) y x y p x=0 (10.7) Sprawdzamy czy funkcja Airy'ego spełnia te warunki. y x y p y=0 (10.8) 3 F y x 3 F =0 (10.9) x y 3 F x y 3 F x y =0 (10.10) Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI Zadanie 1. Znaleźć stan naprężeń w dowolnym punkcie tarczy. p y p x x p x p y l y l 1 Rys.10.1. Rysunek do zadania 1. Przyjmujemy taką funkcję by spełniała równania biarmoniczne warunek konieczny. Warunek dostateczny: Warunki brzegowe: F, y =ax bxy cy (10.11) = F = c (10.1) y = F = a (10.13) x y = b (10.14) 1 x=l (10.15) = p x y = p (10.16) c= p b= p (10.17) Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 3 c= p x b= p (10.18) x= l y (10.19) = p x y = p (10.0) Warunki zgodne. 3 y= l x (10.1) = p y y = p (10.) a= p y b= p (10.3) F = 1 p y x p xy p x y (10.4) Zadanie. Zginanie belki y l l l l l x b=1 l l Rys.10.. Rysunek do zadania. przyjmujemy funkcję F(x,y) Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 4 Warunek jest spełniony. F, y =a x b 3 x y d 5 y 3 y5 (10.3) 5 F =0 (10.4) 4 F =0 (10.5) 4 x 4 F y 4 = 4 d 5 y (10.6) 4 F x y =4 d 5 y (10.7) 1 = F y =d 5 6 x y 4 y 3 (10.8) = F x = a b 3 y d 5 xy 3 (10.9) 3 y = F y x = b 3 x 6 d 5 xy (10.30) Warunki brzegowe (wyrażone w naprężeniac). 1 y=± l x l y =0 (10.31) y= l x l = (10.3) 3 y= l x l =0 (10.33) 4a x= l xy dy1=l (10.34) 4b x= l xy dy1= l (10.35) Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 5 5 x=±l dy1=0 (10.36) 6 x=±l ydy1=0 (10.37) = y= (10.38) Po podstawieniu do wzoru (10.9) otrzymamy: =0 y= (10.39) { a b3 d 5 8 = a b 3 d 3 5 8 =0 3 (10.40) Z układu otrzymamy: a = 4 (10.41) y =0 y= (10.4) Po podstawieniu do wzoru (10.30) otrzymamy: x b 3 6 d 5 4 =0 (10.43) Z równań (10.40) i (10.43) otrzymujemy: d 5 = 3 10.44) b 3 = 3 4 4 (10.45) Zatem Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 6 = 3 6 x y 4 y 3 (10.46) = 3 y = 3 y 3 y3 (10.47) x 6 x 3 y (10.48) I z =I = 13 1 (10.49) Zatem = 1 I = 1 I y = 1 I 3 y (10.50) 3 3 4 Sprawdźmy warunki brzegowe (10.34)-10.37): Warunek spełniony. Warunek spełniony. 3 y (10.51) 1 4 y x (10.5) y dy=±l (10.53) dy=0 (10.54) ydy= 1 I l 3 1 10 0 (10.55) Warunek nie jest spełniony czyli źle przyjęto funkcję F do przyjętej funkcji dodajemy F 1 F=F F 1 (10.56) gdzie F 1 =d 3 y 3 (10.57) Zatem Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 7 1 =6 d 3 y (10.58) 1 =0 (10.59) 1 xy =0 (10.60) Po zmodyfikowaniu σ x Wprowadźmy zmienione σ x wszystkie dotycczasowo spełnione warunki brzegowe są spełnione. = 1 I 3 y y 6 d 3 y (10.61) do ostatniego warunku brzegowego, którego spełnienie prowadzi do relacji: Ostatecznie σ x ma postać: d 3 = I l 10 (10.6) = I l x I 3 y 10 y (10.63) Rys. 10.3. Naprężenia = M I y (10.64) M = l x (10.65) σ x jest krzywą trzeciego stopnia. Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8 przybl. dokł. Rys. 10.4. Naprężenia σ x Porównajmy maksymalne naprężenia w włóknac skrajnyc: d x p max = d (10.67) 1 3 =0,1 0,3 promil (10.68) 1l =0,5 1,7 promil (10.69) l =0,5 6,7 promil (10.70) Przyjęte do rozważań wzory określające zginanie belki są wystarczająco dokładne. Rys. 10.5. Naprężenia σ y, τ xy Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 9 Ekstremalne wartości σ y = << σ x zatem możemy je zaniedbać w obliczeniac. τ xy liczymy z wzoru znanego z wytrzymałości materiałów: g T = x (10.71) y = TS Ib (10.7) Płaski stan naprężeń: 9. Wyznaczenie przemieszczeń w belce. d y = 1 E = 1 E = u x = v y (10.73) (10.74) y = 1 G y y = 1 u y v x (10.75) W celu otrzymania u i v wykonujemy obustronne całkowanie nieoznaczone: = u x u, y = dx=... f 1 (10.76) Dla x w środku belki ze względu na symetrię geometryczną i obciążenia: u 0, y =0 f 1 =0 (10.77) = v y v x, y = dy=... f 1 (10.78) Wyznaczenie stałej całkowania: y = 4 EI 4 y y = 4 EI [ l x x3 3 x= 1 u y v 10 y x 4 x ] 1 df 1 dx (10.79) df 1 = dx EI [ 8 5 4 4 x l xi x3 (10.80) 3 ] f 1 =... f 0 (10.81) Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10 v x, y = { y4 EI 1 4 EI [ l x x4 1 0 x y 3 1 y [ l x 4 6 1 ]} 0 y ] 4 x f 0 (10.8) przyjmijmy następujące warunki: x=±l y=0 } v=0 (10.83) Wówczas otrzymamy: f 0 = l [ 5 EI 1 4 5 3 ] 4 (10.84) 4 W wyniku podstawienia f 0 do f 1 otrzymamy wzory na ugięcie w dolnyc punktac belki (tylko w poziomie). v= 5 l 4 4 EI (10.85) 9.3 Płaskie zadania osiowo symetryczne (współrzędne biegunowe) Zadanie osiowo symetryczne to zadanie tak skonstruowane, że funkcja miejsca i obciążenia są zależne tylko od jednej zmiennej ( promień). Φ=Φ(r) funkcja naprężeń 1 r = 1 r d dr (10.86) = d dr (10.87) r =0 (10.88) = d d r 1 r = 4 d 4 dr 4 r d 3 dr 3 1 d r dr 1 r 3 d (10.89) dr d (10.90) dr 4 r =0 (10.91) Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 11 Istnieje tylko jedna funkcja która spełnia to równanie. r =Aln r Br ln r Cr D (10.9) Stan naprężeń i odkształceń łatwo możemy określić z definicji. r = A r B [1 ln r ] C (10.93) = A B [3 ln r ] C (10.94) r r =0 (10.95) Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciecowski M.