Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,

Podobne dokumenty
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

METODY KOMPUTEROWE 11

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Sformułowanie zagadnienia. c c. Analiza zagadnienia dla przypadku m = 4 i n = 3. B 2. c A. c A

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Rozpraszania twardych kul

Metoda prądów obwodowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

MACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 2 Analiza popytu. Optymalna polityka cenowa. 1 ANALIZA POPYTU. OPTYMALNA POLITYKA CENOWA.

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Diagonalizacja macierzy kwadratowej

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Zaawansowane metody numeryczne

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Wymagania edukacyjne z matematyki

Równania różniczkowe. y xy (1.1) x y (1.2) z xyz (1.3)

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Matematyka stosowana i metody numeryczne

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Podstawy teorii falek (Wavelets)

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Proces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury.

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

Pierwiastek z liczby zespolonej

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra

V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1

Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe

ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Fuzja danych nawigacyjnych w przestrzeni filtru Kalmana

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

a a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

DOBÓR LINIOWO-ŁAMANEGO ROZDZIAŁU SIŁ HAMUJĄCYCH W SAMOCHODACH DOSTAWCZYCH

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

Pierwiastek z liczby zespolonej

Translacja jako operacja symetrii. Wybór komórki elementarnej wg A. Bravais, połowa XIX wieku wybieramy komórkę. Symetria sieci translacyjnej

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

WYBRANE ZAGADNIENIA Z DYNAMIKI GAZÓW

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

Transkrypt:

utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem lnowym neednorodnym w przypdku gdy w równne T(v) nzywmy równnem lnowym ednorodnym Równne lnowe ednorodne m zwsze rozwązne Kżdy wektor v Ker Ker T est oczywśce rozwąznem równn ednorodnego (czyl T(v Ker )) Jądro est (nepustą) podprzestrzeną przestrzen V zwerącą przynmne wektor zerowy przestrzen V czywste est że równne neednorodne T(v)w m rozwązne wtedy tylko wtedy gdy w Im T Pondto eżel v s est szczególnym rozwąznem równn neednorodnego czyl T(v s )w to równeż v s v Ker est rozwąznem równn neednorodnego czyl T(v s v Ker ) T(v s ) T(v Ker )w Z druge strony dw różne rozwązn v v równn ednorodnego różną sę od sebe o element z ądr Ker T Rzeczywśce gdy T(v )w T(v )w to T(v )-T(v )w-w stąd T(v -v ) węc v - v Ker T Wobec tego v v v Ker Powyższe rozwżn podsumuemy w forme twerdzen Tw Równne lnowe T(v)w m rozwązne wtedy tylko wtedy gdy w Im T Kżde rozwązne est postc vv s v Ker gdze v Ker Ker T Jeżel ądro est podprzestrzeną o skończonym wymrze z bzą e e k to rozwązne równn T(v)w możn przedstwć w postc v v s α e α k e k gdze v s est dowolnym rozwąznem szczególnym równn neednorodnego stłe α α k są dowolne W przypdku gdy przestrzene V W są skończene wymrowe przeksztłcene lnowe T m przy zdnych bzch reprezentcę mcerzową Korzystąc z zomorfzmu przestrzen V wymru n przestrzen współrzędnych K n (które elementm są cąg n elementowe zpsywne ko mcerze kolumnowe) orz przestrzen W wymru m przestrzen współrzędnych K m możemy problem rozwązn równn lnowego T(v)w sprowdzć do problemu rozwązn ukłdu równń b gdze n m mn n b b b m

utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl dm Vn V dm Wm W v T Im T Ker T w (e e n ) bz V (f f n ) bz W K n K m Ker Im b Ukłd równń lnowych b możn zpsć w postc rozwnęte n n b m mn n b m cerz nzywmy mcerzą współczynnków mcerz kolumnową nzywmy wektorem newdomych mcerz kolumnową b kolumną wyrzów wolnych ntomst mcerz u m n b mn b m nzywmy mcerzą uzupełnoną ożemy węc eszcze rz wypowedzeć podstwowe twerdzene dotyczące ukłdów równń Tw Równne lnowe b m rozwązne wtedy tylko wtedy gdy b Im Kżde rozwązne est postc s Ker gdze Ker Ker Jeżel ądro est podprzestrzeną o skończonym wymrze z bzą k to rozwązne ukłdu b możn przedstwć w postc s α α k k gdze s est dowolnym rozwąznem szczególnym równn neednorodnego stłe α α k są dowolne

utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl zncząc przez -tą kolumnę mcerzy ; n m ukłd równń b możn zpsć w postc nn b Ponewż Im spn{ n } węc b Im spn { n} spn{ n b} Ponewż spn } spn{ } węc wrunek spn } spn{ } est { n n b { n n b równowżny wrunkow dm spn { n} dm spn{ n b} który ozncz że lczb lnowo nezleżnych kolumn mcerzy est równ lczbe lnowo nezleżnych kolumn mcerzy uzupełnone u Kluczowym est podne sposobu sprwdzn powyższego wrunku ef Rzędem mcerzy nzywmy lczbę lnowo nezleżnych kolumn mcerzy czyl rz dm spn{ n} ef Wyzncznkem stopn l mcerzy prostokątne nzywmy wyzncznk mcerzy kwdrtowe stopn l powstłe z mcerzy przez skreślene odpowedne lczby kolumn werszy ef norem bzowym mcerzy nzywmy nezerowy wyzncznk nwyższego stopn który możn uzyskć z mcerzy emt o mnorze bzowym Rząd mcerzy est równy stopnow e mnor bzowego Nech r będze stopnem mnor bzowego mcerzy Bez strty ogólnośc złóżmy że mnor bzowy zmue lewy górny róg mcerzy r m r mr k rk mk n r n mn Pokżemy że wszystke kolumny mcerzy możn wyrzć ko lnowe kombnce perwszych r kolumn mcerzy odpowdących kolumnom mnor bzowego

utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl r m r r mr k rk k mk Ustlmy dowolne k > r rozwżmy dowolny wersz powedzmy -ty (>r) Ponewż kżdy mnor stopn r (o le stnee) est równy to rozwąc wyzncznk r r r k rk k względem osttnego wersz mmy r r k k zncząc dopełnen lgebrczne osttnego wersz przez r które ne zleżą od wyboru numeru (osttnego dodtkowego) wersz orz zuwżąc że r r r r my k r gdze k est ustlone przebeg wszystke wrtośc od r do m Zuwżmy że powyższ równość est też prwdzw dl r Wówczs osttn r -wszy wersz est dentyczny z - tym werszem k r stteczne węc r mk m mr czyl k-t kolumn est kombncą lnową r perwszych kolumn mcerzy Wszystke operce ne zmenące wyzncznk ne zmeną tkże rzędu mcerzy w szczególnośc rząd mcerzy ne zmen sę eśl do dnego wersz dodmy lnową kombncę pozostłych werszy Rząd ne zmen sę gdy wykreślmy zerowy wersz lub zerową kolumnę tkże gdy przestwmy dw wersze lub dwe kolumny rz rz T Korzystąc z udowodnonego wcześne twerdzen dm V dm Ker T dm Im T które w tym przypdku możn zpsć równowżne dm Ker n r gdze r rz dostemy

utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Twerdzene Kronecker-Cpellego Ukłd równń lnowych b m rozwązne wtedy tylko wtedy gdy rzrz u Jeżel rzrz u n (n-lość newdomych) to ukłd m dokłdne edno rozwązne Jeżel rzrz u k<n (n-lość newdomych) to ukłd m neskończene wele rozwązń zleżnych od n-k prmetrów Jeżel mn to ukłd b nzywmy ukłdem Crmer Wówczs - b Pondto prwdzwe są wzory Crmer gdze est mcerzą w które -tą kolumnę zstąpono kolumną wyrzów wolnych (wektorem) b Rzeczywśce zpsuąc ukłd Crmer w postc b n n oblcząc mmy ] [ n mesce te n Wnosek Ukłd ednorodny m zwsze rozwązne Jeżel rzn to edynym rozwąznem est Przykłd etod elmnc Guss 9 9 rzrz u < Przymuąc t otrzymuemy rozwązne postc t t R czyl ukłd m neskończene wele rozwązń zleżnych od prmetru Uwg o odwrcnu mcerzy metodą elmnc ednoczesne rozwązywne welu ukłdów równń z tą smą mcerzą współczynnków [ ] [ ] E E operce elementrne n werszch (uzsdnene lgorytmu)