3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej. Nie będziemy więc dowodzić czy wyprowadzać ich własności. Ceem niniejszego rozdziału jest po prostu zebranie informacji istotnych i pożytecznych w praktycznych zagadnieniach mechaniki kwantowej. D. Wieomiany Legendre a Wieomiany Legendre a stanowią zupełny zbiór funkcji ortogonanych na odcinku (, ). Każdą funkcję na tym odcinku można więc przedstawić jako (na ogó nieskończoną) kombinację iniową wieomianów Legendre a. Wieomiany te są zdefiniowane za pomocą tzw. wzoru Rodriguesa P n (x) 2 n n! d n ( ) n n x 2 ( ) n 2 n n! d n ( n x 2) n. (D.) Wzór Rodriguesa pozwaa łatwo obiczyć kika pierwszych wieomianów Legendre a P 0 (x), P (x) x, P 2 (x) 2 ( 3x2 ), P 3 (x) 2 ( 5x3 3x ), P 4 (x) 8 ( 35x4 30x 2 + 3 ). (D.2) Można też znaeźć wyrażenie jawne P n (x) 2 n n! n m m min ( ) n m ( ) n (2m)! m (2m n)! x2m n, (D.3) gdzie dona granica sumy m min n 2 da n parzystego i m min n+ 2 da n nieparzystego. Z formuły tej wynikają następujące wnioski. Da n2k (parzystego) wieomian P 2k (x) zawiera wyraz wony (m m min k) i parzyste potęgi x jest funkcją parzystą P 2k ( x) P 2k (x). (D.4) Jego wartość w zerze jest równa wyrazowi wonemu i w/g (D.3) wynosi ( ) 2k (2k)! P 2k (x) 2 2k (2k)! ( )2k k k (2k 2k)! ( ) k (2k)! k (2k )!! (2 k k!) 2 ( ). (D.5) (2k)!! S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 25
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 26 Da n 2k + (nieparzystego) brak wyrazu wonego, bo m min k +. Ponadto w P 2k+ (x) występują jedynie nieparzyste potęgi x. Jest to więc funkcja nieparzysta P 2k+ ( x) P 2k+ (x) P 2k+ (0) 0. (D.6) Wieomiany Legendre a na odcinku (, ) są ortogonane, ecz nieunormowane, bowiem P n (x)p m (x) 2 2n + δ nm. (D.7) Wieomiany P n (x) pojawiły się w iteraturze matematycznej jako rozwiązania równania różniczkowego ( x 2) d 2 f(x) 2 2x df(x) które można także zapisać w postaci równoważnej d [ ( x 2) df(x) + n(n + )f(x) 0, (D.8) + n(n + )f(x) 0. (D.9) Wieomiany P n (x) nie są jedynymi rozwiązaniami równania (D.8). Inne rozwiązania nie są jednak wieomianami. Wieomiany Legendre a mają funkcję tworzącą 2sx + s 2 n0 n0 P n (x)s n da s <, P n (x) Weźmy s < i połóżmy x ±, wówczas s n+ da s >. (D.0) 2s + s 2 s n0 P n (±)s n. (D.) Ponieważ z rozwinięcia tayorowskiego wiadomo, że s n0 (±) n s n, (D.2) więc porównując dwa powyższe szeregi stwierdzamy, że P n (+), oraz P n ( ) ( ) n. (D.3) Wieomiany te spełniają także szereg, często pożytecznych, reacji rekurencyjnych. I tak, na przykład P n+ (x) 2n + n + x P n(x) x P n (x) + x2 n + (2n + )P n (x) d P n+(x) n n + P n (x) (D.4a) d P n (x), (D.4b) d P n (x). (D.4c) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 26
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 27 Da przykładu udowodnimy ostatnią z rekurencji, tj. (D.4c). Ze wzoru Rodriguesa mamy d P n+ (x) d n+2 ( ) n+ 2 n+ (n + )! n+2 x 2 d n+ [ 2 n n! n+ d n [ ( ) n ( n 2 n n! n x 2 + 2nx 2 x 2 ) P n (x) + 2 n (n )! d n n Ponieważ x 2 ( x 2 ) n ( x 2 ) n + ( x 2 ) n, więc d P n+ (x) P n (x) + skąd od razu wynika teza (D.4c). 2 n (n )! d n n ( ) n x x 2 [ ( ) n x 2 x 2. (D.5) [ ( n ( ) n x 2 ) + x 2 P n (x) + 2nP n (x) + d P n (x), (D.6) D.2 Stowarzyszone funkcje Legendre a Stowarzyszone funkcje Legendre a okreśone na przedziae (, ) są zdefiniowane za pośrednictwem zwykłych wieomianów P (x) wzorem P m (x) ( x 2 ( x 2 2! ) m d m m P (x) ) m d +m ( +m x 2 ), (D.7) gdzie przyjmujemy 0 m. Oczywiście da m 0 stowarzyszone funkcje Legendre a pokrywają się z wieomianami Legendre a P 0 (x) P (x). (D.8) Zwróćmy uwagę, że tak zdefiniowane funkcje P m (x) nie są na ogół wieomianami, bowiem da m nieparzystego zawierają pierwiastek. Argument x (, ), więc x 2 0 i obiczanie pierwiastka nie nastręcza probemów. Jednak nie ustaony jest znak pierwiastka. Funkcje P m (x) często stosuje się da x cos θ (przy θ (0, π), jak we współrzędnych sferycznych). Wówczas można ustaić znak pierwiastka, wybierając x 2 cos 2 θ sin 2 θ sin θ, (D.9) który w przedziae θ (0, π) jest zawsze nieujemny. Przy takim założeniu często pisze się P m (cos θ) ( ) 2 (sin θ) m! d +m d(cos θ) +m (sin θ)2, (D.20) co kojarzy się z harmonikami sferycznymi. Do dyskusji tego skojarzenia jeszcze wrócimy, a na razie pozostańmy przy funkcjach P m (x). Wybór x cos θ okreśa jednocześnie parzystość stowarzyszonych funkcji Legendre a. Parzystość okreśamy bowiem jako własność związaną z odbiciem przestrzennym r r. Odpowiada temu zmiana kątów sferycznych θ π θ, oraz ϕ π + ϕ. (D.2) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 27
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 28 W takim przypadku cos θ cos(π θ) cos θ, sin θ sin(π θ) sin θ, (D.22) A zatem przy odbiciu cos θ zmienia znak, zaś sin θ nie. W takim razie z (D.20) wynika, że P m ( cos θ) ( ) 2 (sin θ) m! d +m d( cos θ) +m (sin θ)2 ( ) +m P m (cos θ),. (D.23) co da m 0 jest zgodne z własnościami parzystości zwykłych wieomianów Legendre a. Ze wzoru (D.7) da m > 0 przykładowo mamy P (x) x 2 sin θ, P 2 (x) 3x x 2 3 sin θ cos θ, P 2 2 (x) 3( x2 ) 3 sin 2 θ 3( cos 2 θ). (D.24) Wyiczenie daszych P m (x) jest nieco żmudne, ae proste. Stowarzyszone funkcje Legendre a są na odcinku (, ) ortogonane, w następującym sensie P m (x)p m k (x) 2 2 + ( + m)! ( m)! δ k. (D.25) Funkcje P m (x) spełniają równanie różniczkowe ( x 2) d 2 2 P m (x) 2x d [ P m (x) + ( + ) x 2 P m (x) 0. (D.26) D.3 Harmoniki sferyczne D.3. Związek ze stowarzyszonymi funkcjami Legendre a Wyprowadziiśmy uprzednio harmoniki sferyczne (patrz (C.67)) w następującej postaci Y m (θ, ϕ) ( )+m 2! 2 + ( m)! ( + m)! e imϕ (sin θ) m d +m (sin θ)2 (D.27) d(cos θ) +m Porównując to okreśenie ze stowarzyszonymi funkcjami Legendre a (D.20) Otrzymujemy Y m (θ, ϕ) ( ) m 2 + ( m)! ( + m)! e imϕ P m (cos θ) (D.28) gdzie (przypominamy) 0 m, jak to wynika z definicji funkcji P m m < 0 otrzymamy przez reację sprzężenia zespoonego Y, m ( ) m Y m P m (x) P m (x) sprzęgamy i dostajemy (x). Harmoniki z indeksami. Pisząc w (D.28) Y, m (θ, ϕ) 2 + ( m)! ( + m)! e imϕ P m (cos θ), (m 0). (D.29) Zamieniając po obu stronach m na m otrzymujemy Y m (θ, ϕ) 2 + ( + m)! ( m)! e imϕ P m (cos θ), (m < 0). (D.30) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 28
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 29 D.3.2 Parzystość harmonik sferycznych Zwróćmy uwagę na własności parzystości harmonik sferycznych. Przy odbiciu przestrzennym naeży dokonać zamian (D.2), a w konsekwencji (D.22) oraz e imϕ e im(π+ϕ) ( ) m e imϕ. (D.3) Korzystając z parzystości (D.23) stowarzyszonych funkcji Legendre a, z (D.28) dostajemy D.3.3 Y m (θ, ϕ) odbicie Y m (π θ, ϕ + π) 2 + ( ) m 2 + ( m)! ( + m)! ( m)! ( + m)! ( ) m e imϕ P m ( cos θ) e imϕ ( ) +m P m (cos θ) ( ) Y m (θ, ϕ). (D.32) Harmoniki sferyczne to funkcje własne L 2 i L z Sprawdzimy, że harmoniki sferyczne dane w (D.28) i (D.30) są rzeczywiście funkcjami własnymi (w reprezentacji położeniowej) operatorów L z i 2 (orbitanego momentu pędu). Zapiszmy więc Y m (θ, ϕ) A m e imϕ P m (cos θ), (D.33) gdzie stała normaizacyjna wynika z równania (D.28) da m 0 ub z (D.30) da m < 0. Równanie własne da operatora L z (w reprezentacji położeniowej, patrz (3.34b) ma postać L z Y m i ϕ Y m. Po wstawieniu harmoniki (D.33) od razu otrzymujemy L z Y m i A m ϕ eimϕ P m (cos θ) (D.34) m A m e imϕ P m (cos θ) m Y m, (D.35) tak jak być powinno. Odpowiednie równanie da operatora L 2 jest bardziej złożone (patrz (3.34a)) [ ( L 2 Y m 2 A m sin θ ) 2 + sin θ θ θ sin 2 θ ϕ 2 e imϕ P m (cos θ). (D.36) Różniczkowanie po ϕ jest trywiane L 2 Y m 2 A m e imϕ [ sin θ ( d sin θ d ) dθ dθ sin 2 θ P m (cos θ). (D.37) W pozosta.ej części równania podstawiamy x cos θ. Wobec tego, zgodnie z (C.26) otrzymujemy [ ( L 2 Y m 2 A m e imϕ sin θ d ) ( sin 2 θ d ) sin θ x 2 P m (x) [ ( d 2 A m e imϕ ( x 2 ) d ) x 2 P m (x) [ 2 A m e imϕ ( x 2 ) d2 2 2x d x 2 P m (x) (D.38) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 29
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 30 Z równania spełnianego przez stowarzyszone funkcje Legendre a wynika, że L [ 2 Y m 2 A m e imϕ ( + )P m (x) 2 ( + ) Y m. (D.39) A więc wszystko jest tak jak być powinno. Harmoniki sferyczne istotnie są funkcjami własnymi orbitanego momentu pędu. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 30