Rafał Filipów Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki
Definicja funkcji addytywnych Definicja Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne Cauchy ego tzn. gdy dla wszystkich x, y R. f (x + y) = f (x) + f (y) Przykład na TAK Funkcja liniowa f (x) = ax jest funkcją addytywną. Dowód f (x + y) = a(x + y) = ax + ay = f (x) + f (y)
Definicja funkcji addytywnych Definicja Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne Cauchy ego tzn. gdy dla wszystkich x, y R. f (x + y) = f (x) + f (y) Przykład na NIE Funkcja liniowa f (x) = 2x + 3 nie jest funkcją addytywną. Dowód f (1 + 1) = f (2) = 2 2 + 3 = 7 f (1) + f (1) = (2 1 + 3) + (2 1 + 3) = 5 + 5 = 10 Czyli f (1 + 1) f (1) + f (1)
Własności funkcji addytywnych Definicja Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne Cauchy ego tzn. gdy dla wszystkich x, y R. f (x + y) = f (x) + f (y) Jeżeli f jest funkcją addytywną, to f (0) = 0. Dowód. f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) Odejmując od obu stron równości liczbę f (0), dostajemy 0 = f (0).
Własności funkcji addytywnych Jeżeli f jest funkcją addytywną, to f (x 1 + x 2 + + x n ) = f (x 1 ) + f (x 2 ) + + f (x n ). Dowód indukcyjny Sprawdzamy dla n = 1. f (x 1 ) = f (x 1 ) Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n tzn. f (x 1 + x 2 + + x n ) = f (x 1 ) + f (x 2 ) + + f (x n ) Mamy pokazać, że twierdzenie jest prawdziwe dla n + 1 f ( x 1 + x 2 + + x n + x n+1 ) = f ((x 1 + x 2 + + x n ) + x n+1 ) = f (x 1 + x 2 + + x n ) + f (x n+1 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ) + + f (x n ) + f (x n+1 )
Własności funkcji addytywnych Jeżeli f jest funkcją addytywną, to dla dowolnego n N i x R Dowód f (nx) = nf (x). f (nx) = f (x + x + + x) = f (x) + f (x) + + f (x) = nf (x) }{{}}{{} n razy n razy Jeżeli f jest funkcją addytywną, to dla dowolnego n N i x R f ( nx) = nf (x). Dowód 0 = f (0) = f ( nx + nx) = f ( nx) + f (nx) Odejmując od obu stron równości f (nx) otrzymujemy f (nx) = f ( nx)
Własności funkcji addytywnych Wniosek Jeżeli f jest funkcją addytywną, to dla dowolnego k Z i x R f (kx) = kf (x). Wniosek Każda funkcja addytywna jest nieparzysta tzn. f ( x) = f (x) dla każdego x R.
Własności funkcji addytywnych Jeżeli f jest funkcją addytywną, to dla dowolnego x R oraz dowolnej liczby wymiernej q Q mamy f (qx) = qf (x) Dowód Niech n Z i k N takie, że q = n k f (nx) = f (k n k x) = kf ( n k x) f (nx) = nf (x) Porównując te dwie równości otrzymujemy nf (x) = kf ( n k x) dzieląc obie strony równości przez k otrzymujemy ( n ) f k x = n k f (x)
Definicja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie f (x + y) = f (x) + f (y) dla wszystkich x, y R. Funkcje liniowe f (x) = ax są funkcjami addytywnymi. (Hamel, 1905) Istnieją funkcje addytywne, które nie są postaci f (x) = ax.
Baza Hamela Definicja Zbiór H R nazywamy bazą Hamela, gdy dla dowolnej liczby x R istnieją h 1,..., h n H oraz liczby wymierne q 1,..., q n Q takie, że x = q 1 h 1 + + q n h n oraz przedstawienie to jest jednoznaczne. Przykład na NIE Zbiór H = {1} nie jest bazą Hamela. Dowód nie wprost Przypuśćmy, że H = {1} jest bazą Hamel. Wówczas istnieje taka liczba wymierna q, że 2 = q 1 = q, czyli 2 jest liczbą wymierną, sprzeczność, bo 2 jest liczbą niewymierną.
Baza Hamela Przykład na NIE Zbiór H = {1, 2} nie jest bazą Hamela. Dowód nie wprost Przypuśćmy, że H = {1, 2} jest bazą Hamel. Wówczas istnieją takie liczby wymierne q 1, q 2, że 3 = q1 1 + q 2 2. Mamy 3 przypadki: (1) q 1 = 0 (2) q 2 = 0 (3) q 1, q 2 0 3 = q2 2 3 = q1 1 = q 1 ( 3) 2 = (q 1 2 + q2 1) 2 3/2 = q2 Sprzeczność 3 = 2q1 2 + 2q 1q 2 2 + q 2 2 Sprzeczność 3 2q 2 2 = 1 q2 2 2q 1 q 2 Sprzeczność
Baza Hamela (Hamel, 1905) Istnieje baza Hamela. Dowód indukcyjny ( indukcja pozaskończona) Niech h 1 = 1. Niech h 2 będzie elementem, który nie jest postaci qh 1 dla q Q (np. h 2 = 2). Niech h 3 będzie elementem, który nie jest postaci q 1 1 + q 2 2 (np. h 3 = 3). Niech h 4 będzie elementem, który nie jest postaci q 1 1 + q 2 2 + q 3 3. i tak dalej, aż do momentu, gdy już nie będzie można wybrać nowego elementu h tzn. do momentu, gdy każda liczba będzie kombinacją jakichś liczb wybranych wcześniej. Zbiór wszystkich liczb h wybranych powyżej jest bazą Hamela.
Konstrukcja funkcji addytywnej gorszego sortu (Hamel, 1905) Istnieje funkcja addytywna, która nie jest postaci f (x) = ax. Dowód Niech H będzie bazą Hamela. Niech x R. Niech h 1,..., h n H oraz q 1,..., q n Q takie, x = q 1 h 1 + + q n h n Definiujemy f (x) = q 1 + + q n Musimy pokazać dwie rzeczy: 1 f (x) ax dla dowolnego a. 2 f jest funkcją addytywną Dowodzimy (1) nie wprost. Przypuśćmy, że istnieje a takie, że f (x) = ax Niech h 1, h 2 H takie, że h 1 h 2 Wówczas f (h 1 ) = f (1 h 1 ) = 1 oraz f (h 2 ) = f (1 h 2 ) = 1. Z drugiej strony, f (h 1 ) = ah 1 i f (h 2 ) = ah 2, czyli ah 1 = 1 = ah 2, czyli h 1 = h 2, sprzeczność
Konstrukcja funkcji addytywnej gorszego sortu (Hamel, 1905) Istnieje funkcja addytywna, która nie jest postaci f (x) = ax. Dowód Niech H będzie bazą Hamela. Niech x R. Niech h 1,..., h n H oraz q 1,..., q n Q takie, x = q 1 h 1 + + q n h n Definiujemy f (x) = q 1 + + q n Musimy pokazać dwie rzeczy: 1 f (x) ax dla dowolnego a. 2 f jest funkcją addytywną Dowodzimy (2) Niech x = q 1 h 1 + + q n h n oraz y = p 1 h 1 + + p n h n. Wówczas f (x + y) = f ((q 1 h 1 + + q n h n ) + (p 1 h 1 + + p n h n )) = f ((q 1 + p 1 )h 1 + + (q n + p n )h n ) = (q 1 + p 1 ) + + (q n + p n ) = (q 1 + + q n ) + (p 1 + + p n ) = f (q 1 h 1 + + q n h n ) + f (p 1 h 1 + + p n h n ) = f (x) + f (y)
Ciągłość funkcji addytywnych Definicja Funkcja f : R R jest ciągła w punkcie x, gdy dla dowolnego ciągu x 1, x 2,... zbieżnego do x ciąg wartości f (x 1 ), f (x 2 ),... jest zbieżny do wartości f (x). Funkcja jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie. Geometrycznie ciągłość funkcji oznacza, że można narysować jej wykres bez odrywanie ołówka od papieru. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 0.5 1 1.5 1 0.5 0 1 0.5 0 0.5 1
Ciągłość funkcji addytywnych (Cauchy, 1821) Jeżeli funkcja addytywna f jest ciągła, to istnieje a R takie, że dla wszystkich x R mamy f (x) = ax Dowód Niech a = f (1) Z poprzedniego twierdzenia f (q) = f (q 1) = qf (1) = qa = aq Niech x R. Pokażemy, że f (x) = ax. Niech q 1, q 2,... będzie ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do x Z ciągłości f wynika, że ciąg f (q 1 ), f (q 2 ),... jest zbieżny do f (x) Ale f (q 1 ) = aq 1, f (q 2 ) = aq 2,..., czyli ciąg aq 1, aq 2,... jest zbieżny do f (x) Z drugiej strony ciąg aq 1, aq 2,... jest zbieżny do ax, więc f (x) = ax
Ciągłość funkcji addytywnych Jeżeli funkcja addytywna jest nieciągła w chociaż jednym punkcie, to jest automatycznie nieciągła w każdym punkcie. Dowód nie wprost Przypuśćmy, że f jest ciągła w jakimś punkcie x Niech a = f (1). Tak jak w dowodzie tw. Cauchy ego pokazujemy, że f (x) = ax Niech y R będzie punktem nieciągłości f Niech y 1, y 2,... będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do y Wówczas y n y + x x f ciągła w x, czyli f (y n y + x) f (x) ale f (y n y + x) = f (y n ) f (y) + f (x) czyli f (y n ) f (y) + f (x) f (x), czyli f (y n ) f (y), czyli f jest ciągła w y, sprzeczność
Wykres funkcji addytywnych Wniosek Jeżeli funkcja addytywna nie jest postaci f (x) = ax, to jest nieciągłą w każdym punkcie. Przykład (Funkcja Dirichleta jest nieciągła w każdym punkcie) f (x) = { 1 dla x Q 0 dla x / Q Jeżeli funkcja addytywna jest nieciągła, to jej wykres jest gęsty na całej płaszczyźnie tzn. w dowolnym prostokącie na płaszczyźnie znajduje się co najmniej jeden punkt wykresu.
Ograniczoność funkcji addytywnych Jeżeli funkcja addytywna jest ograniczona z góry lub z dołu na jakimś odcinku, to jest postaci f (x) = ax. Dowód Załóżmy, że f jest ograniczona z góry na odcinku (c; d) przez M. Niech a = f (1). Definiujemy g(x) = f (x) ax. g jest okresowa o dowolnym okresie wymiernym: g(x +q) = f (x +q) a(x +q) = f (x)+f (q) ax aq = (f (x) ax)+ (f (q) aq) = g(x)+(f (q 1) aq)) = g(x)+(qf (1) f (1)q) = g(x) g jest ograniczona z góry na całej prostej. Niech x R i q Q takie, że x + q (c; d). Wówczas g(x) = g(x + q) = f (x + q) a(x + q) M + a max( c, d ) = K g(x) 0 dla dowolnego x. Dla dowolnego n N mamy ng(x) = g(nx) K, czyli ng(x) K,więc g(x) K n n 0. Ale g jest funkcją nieparzystą, czyli g(x) = 0, czyli f (x) ax = 0, czyli f (x) = ax.
Wykres funkcji addytywnych Jeżeli funkcja addytywna jest nieciągła, to jej wykres jest gęsty na całej płaszczyźnie tzn. w dowolnym prostokącie na płaszczyźnie znajduje się co najmniej jeden punkt wykresu. Dowód Weźmy dowolny prostokąt (a; b) (c; d). f nie jest ograniczona ani z góry ani z dołu na (a; b), czyli istnieją x 1, x 2 (a; b) takie, że f (x 1 ) < c i f (x 2 ) > d Wówczas istnieje q Q (0; 1) takie, że x = qx 1 + (1 q)x 2 (a; b) oraz y = f (x) = f (qx 1 + (1 q)x 2 ) = qf (x 1 ) + (1 q)f (x 2 ) (c; d) f (x 2 ) d c f (x 1 ) f (x 2 ) d f (x) c f (x 1 ) a a x 1 x 1 x x 2 x 2 b b
Własność Darboux funkcji addytywnych Definicja Funkcja f : R R ma własność Darboux (własność przyjmowania wartości pośrednich), gdy dla dowolnych a < b oraz dowolnego y (f (a); f (b)) istnieje x (a; b) taki, że f (x) = y. f (b) y f (a) a x b (Darboux) Każda funkcja ciągła ma własność Darboux. 1 Istnieje nieciągła (w każdym punkcie) funkcja addytywna mająca własność Darboux. 2 Istnieją nieciągłe funkcje addytywne bez własności Darboux.
Mierzalność funkcji addytywnych Jeżeli funkcja addytywna jest mierzalna w sensie Lebesgue a, to jest postaci f (x) = ax. (Zamiast mierzalności w sensie Lebesgue a można zakładać własność Baire a lub borelowskość.) (Dorais-Filipów, 2004) Jest niesprzeczne, że istnieje mierzalna w sensie Marczewskiego funkcja addytywna, która nie jest postaci f (x) = ax. Problem Czy taka funkcja istnieje zawsze (tzn. bez dodatkowych założeń teoriomnogościowych).