ARKADIUSZ KWIECIEŃ, paweł latus, BOGUSŁAW ZAJĄC * PRÓBA BUDOWY MODELU REOLOGICZNEGO DLA POLIMERU pm I ANALIZA DOKŁADNOŚCI TEGO MODELU NA PODSTAWIE BADAŃ DOŚWIADCZALNYCH CONSTITUTION EFFORT OF THE POLYMER PM RHEOLOGICAL MODEL AND ANALYSIS OF ITS ACCURACY BASING ON EXPERIMENTS Streszczeie Abstract W artykule przeaalizowao wpływ miar odkształceia oraz defiicji błędu a wartości parametrów stadardowego modelu reologiczego, zastosowaego do opisu pełzaia i relaksacji polimeru tworzącego złącze podate. Aalizie poddao wyiki badań przeprowadzoych a próbkach polimeru w testach jedoosiowego rozciągaia przy trzech poziomach początkowego aprężeia i odkształceia. Słowa kluczowe: stadardowy model reologiczy, pełzaie, relaksacja, polimerowe złącze podate, jedoosiowe rozciągaie Ifluece of strai measures ad error defiitios o parameters of the rheological stadard model describig creep ad relaxatio of polymer costructig flexible joits were aalyzed. Specimes of polymer were tested i the uiaxial tesio tests, uder coditios of three levels of iitial stress ad strai. Keywords: rheological stadard model, creep, relaxatio, polymer flexible joit, uiaxial tesio * Dr iż. Arkadiusz Kwiecień, dr iż. Paweł Latus, dr iż. Bogusław Zając, Istytut Mechaiki Budowli, Wydział Iżyierii Lądowej, Politechika Krakowska.
94 1. Wstęp Jedym z elemetów podatych a uszkodzeia w budowlach hydrotechiczych są płyty betoowe a skarpie odwodej (rys. 1). Uszkodzeia te w postaci pękięć o rozwartości dochodzącej do kilkudziesięciu milimetrów (ierzadko z wzajemym przemieszczeiem płyt) wymagają wykoaia trwałej aprawy. Powia się oa cechować możliwością przeoszeia obciążeń, przy dopuszczeiu przemieszczeń termiczych i zapewieiu szczelości połączeń. Waruki te powiy spełiać także połączeia pomiędzy płytami (dylatacje). Jedą z metod aprawy pękięć w budowlach hydrotechiczych jest ich uszczelieie [1]. Powszechie używae są masy bitumicze, którymi wypełia się pękięcia w celu zabezpieczeia przed peetracją wody. Niestety, materiały bitumicze ie zapewiają prawidłowego uszczelieia w dłuższym czasie, gdyż ulegają degradacji termiczej i mechaiczej []. Dużo korzystiejsze jest zastosowaie złączy podatych wykoaych z mas poliuretaowych (p. polimeru PM), które spełiają powyższe waruki. Polimerowe złącze podate, wykoae z takiej masy pomiędzy elemetami betoowymi, dopuszcza powstawaie dużych deformacji połączeia, przy zachowaiu żądaych parametrów złącza (rys. 1). Rys. 1. Płyty betoowe a skarpie zapory (po lewej), polimerowe złącze podate pomiędzy elemetami betoowymi i obraz deformacji złącza w trójpuktowym zgiaiu (po prawej) Fig. 1. Cocrete plates at a dam slop (left had side), polymer flexible joit betwee cocrete elemets ad the view of the joit durig the three poit bedig test (right had side) Charakterystyka pracy takiej masy jest zbliżoa do elastomerów. Polimery tworzące złącza podate zaliczamy do materiałów sprężysto-lepko-plastyczych, wykazujących własości lepkie zarówo w obszarze sprężystym, jak i plastyczym. W ich opisie istoty jest wpływ prędkości obciążeia a charakterystykę wykresu aprężeie odkształceie. Wzrost prędkości obciążeia powoduje podiesieie się krzywej aprężeie odkształceie, co odpowiada wzmocieiu plastyczemu. Materiały te cechują się także właściwościami reologiczymi (płyięcie i relaksacja), które powiy być uwzględiae w ich opisie. Polimery w zakresie swojej pracy mogą być opisywae modelami hipersprężystymi. Zakłada się w ich, że dla materiału izotropowego występuje potecjał sprężysty, który moża przedstawić jako liiową kombiację iezmieików tesora deformacji lub odkształceia
W(I 1, I, I 3 ). W przypadku badaia materiału hipersprężystego moża założyć ieściśliwość badaego materiału (polimeru), co prowadzi do związku: I 3 = 1. Wyika stąd, że potecjał sprężysty będzie wyrażoy w postaci kombiacji liiowej pierwszych dwóch iezmieików: W(I 1, I ). Dla szerokiej gamy materiałów elastomerowych założeie o ieściśliwości materiału jest uzasadioe fizyczie i prowadzi do uproszczeń w modelach opisujących te materiały. Potecjał sprężysty eergii odkształceia może być też wyrażoy za pomocą wartości własych tesora deformacji lub odkształceia w postaci W(λ 1, λ, λ 3 ). 95. Podstawy zagadieia w opisie teoretyczym W opisie materiałów hipersprężystych wygodie jest posłużyć się wartościami własymi λ i prawego tesora rozciągięcia U (gdzie = L/L 0 jest azywae rozciągięciem i wyraża stosuek długości elemetu w kofiguracji aktualej L do długości elemetu w kofiguracji początkowej L 0 oraz jest elemetem F 11 gradietu deformacji F, a tesor deformacji Greea C wyraża się zależością C = F T F = U T U = U ). Niezmieiki moża przedstawić w postaci (1). Wykorzystując współosiowość tesora U z klasą tesorów deformacji E (m) (gdzie m jest liczbą całkowitą) wprowadzoą przez Hilla [3] uogólioej defiicji (), moża iezmieiki wyrazić w postaci (3), gdzie κ i (m) są wartościami własymi tesora E (m) zdefiiowaymi formułą (4). I1 = λ1+ λ + λ3 I = λλ 1 + λλ 1 3 + λλ 3 (1) I = λλλ E 3 1 3 1 m U m = ( 1) dla m 0 ; gdzie E 0 = l U dla m = 0 ; () ( m) ( ) ( ) I1 = κ1+ κ + κ3 I = κκ + κκ + κκ I = κκκ 1 1 3 3 3 1 3 ( m) 1 ( m) ( ) κi = ( λi 1) dla m 0 ; gdzie κ 0 i = l λi dla m = 0 ; (4) m Defiicja () podaje zbiór materialych tesorów odkształceia, w którym dla wybraego m otrzymuje się: E () = E = 1/(U 1) = 1/(C 1) tesor odkształceń Greea-Lagragea; E (1) = T = (U 1) tesor odkształceń Biota; E (0) = H = lu tesor odkształceń logarytmiczych Hecky ego. Podawae w literaturze opisy teoretycze materiałów hipersprężystych, według wymieioych powyżej miar odkształceia, uzyskują róże dokładości dopasowaia do wartości otrzymaych z eksperymetu (przy uwzględieiu eergetyczego sprzężeia miar odkształceń i aprężeń) [4]. Bardzo dobre dopasowaie przy badaiu polimerów podczas jedo- i wieloosiowych sposobów obciążeia próbki (jedoosiowe i dwuosiowe rozciągaie, czyste ściaie) otrzymywao dla miary logarytmiczej w zakresie rozciągięć λ = 0,7 1,3 [5], atomiast zadowalające dopasowaie uzyskiwao dla miary odkształceń Lagragea jedyie w zakresie rozciągięć λ = 0,9 1,1 [6]. (3)
96 Uwzględiając róże miary odkształceia, otrzymuje się róże postacie potecjału sprężystego W, z którego budowae są róże modele materiałów hipersprężystych (Mooeya- Rivlia, Ogdea i ie), lepiej lub gorzej opisujące rzeczywiste zachowaie polimeru [7]. Potecjały te w klasyczym ujęciu są formułowae jako iezależe od czasu, temperatury i historii obciążeia, gdy tymczasem polimery pracujące w złączach podatych mają charakterystyki sprężysto-lepko-plastycze [8]. W takim przypadku potecjał eergii odkształceia W może być wyrażoy w postaci (5) jako iloczy potecjału eergii odkształceia w klasyczym ujęciu W 0 i pewej fukcji złożoej ξ, która opisuje zmiay wyikające z zachowań polimeru zależych od czasu t (reologia), temperatury T, historii obciążeia χ (efekt Mullia), wielkości rozciągięć λ i grupy iych czyików ω. 0 W( I, I, I ) W ( I, I, I ) ξ tt,, χ, λϖ, (5) 1 3 = ( ) 1 3 Biorąc pod uwagę fakt, że dopasowaie modeli hipersprężystych (opierających się a W 0 ) do wyików badań eksperymetalych różych polimerów zależy od doboru miary odkształceia, zasade jest postawieie pytaia, czy podobie zależa jest fukcja złożoa ξ? W iiejszym artykule została przebadaa zależość fukcji ξ(t, λ) od wymieioych miar odkształceia dla polimeru PM, przy uwzględieiu zależości od czasu w fukcji pełzaia i relaksacji (przy stałej prędkości odkształceia) oraz od zadaej wielkości rozciągięcia polimeru. 3. Opis przeprowadzoych badań Przed wykoaiem właściwych badań reologiczych: pełzaia (obejmujących 3 próbki z różym poziomem aprężeia początkowego σ 0 ) i relaksacji (obejmujących 3 koleje próbki z różym poziomem odkształceia początkowego ε 0 ), przeprowadzoo quasi-statycze badaia materiału do ziszczeia. Badaie polimeru PM wykoao a maszyie wytrzymałościowej Zwick 1455 0 kn w testach jedoosiowego rozciągaia ze stałą prędkością przemieszczeia wyoszącą 0,5 mm/mi (odpowiadającą prędkości odkształceia iżyierskiego dε N /dt = 10 [1/mi]). Odkształceia polimeru były mierzoe za pomocą ekstesometru a bazie pomiarowej o długości 50 mm (rys. ) wyzaczoej w środku próbek wiosełkowych (wg ormy ISO 57 [9]). Podczas próby jedoosiowego rozciągaia do ziszczeia, przeprowadzoej a 6 próbkach wiosełkowych polimeru PM ze stałą prędkością przemieszczeia 0,5 mm/mi, uzyskao ieliiową zależości σ N ε N (przedstawioą fragmetaryczie a rys. 3 w zakresie odkształceia do 40%). Naprężeia omiale σ N i odkształceia iżyierskie ε N defiiowae są astępująco: σ N = P/A 0 (gdzie P siła obciążająca, A 0 powierzchia przekroju w kofiguracji początkowej) i ε N = ΔL/L 0 (gdzie ΔL wydłużeie odcika pomiarowego, L 0 = 50 mm początkowa długość odcika pomiarowego). Czas osiągięcia odkształceia a poziomie 40% (rys. 3) wyosił 40 miut. Wyzaczoe w badaiach statyczych 3 poziomy odkształceń ε N = ε 0 = 10%, 0% i 30% przyjęto jako początkowe odkształceia ustaloe w przeprowadzoych 3 próbach relaksacji. Odpowiadające im 3 poziomy aprężeń σ N = σ 0 = 0,3575 MPa, 0,5893 MPa i 0,7579 MPa (rys. 3) przyjęto jako początkowe aprężeia ustaloe w przeprowadzoych 3 próbach peł-
zaia. Czas trwaia każdego z badań reologiczych wyosił 4 h. Czas osiągięcia 3 poziomów par odkształceń początkowych ε 0 i aprężeń początkowych σ 0 wyosił odpowiedio 10, 0 i 30 miut i był zacząco miejszy od czasu trwaia każdej próby reologiczej (rys. 4). 97 Rys.. Próbki polimeru PM badae w maszyie wytrzymałościowej z ekstesometrem Fig.. Specimes of polymer PM tested i the uiversal machie with extesometer Rys. 3. Wykresy σ N ε N podczas 6 prób rozciągaia polimeru PM z prędkością 0,5 mm/mi Fig. 3. Graphs σ N ε N of the six tesile tests of the PM polymer with rate 0.5 mm/mi
98 Rys. 4. Zapis aprężeń i odkształceń polimeru PM otrzymay podczas relaksacji i pełzaia (t = 4 h) Fig. 4. Curves of stress ad strai of polymer PM obtaied durig relaxatio ad creep tests (t = 4 h) Teoretycza próba pełzaia (relaksacji) wymagałaby atychmiastowego zwiększeia aprężeia (odkształceia) a początku jej trwaia [10]. Sta taki jest trudy do osiągięcia w warukach laboratoryjych (bez wprowadzaia zaburzeń w badaym materiale o charakterystyce sprężysto-lepko-plastyczej, wyikających z bardzo dużych różic w prędkości odkształceia) i praktyczie ie występuje w kostrukcjach rzeczywistych, stąd przyjęto tzw. prędkość dojazdu do aprężeia σ 0 (lub odkształceia ε 0 ), jak w próbie rozciągaia do ziszczeia. Skutkiem tego jest wystąpieie pewych procesów reologiczych w fazie początkowej odkształcaia polimeru, co odpowiada większości przypadków rzeczywistej pracy złącza podatego. Z otrzymaych wykresów σ 0 t dla relaksacji i ε 0 t dla pełzaia (rys. 4) wybrao po 9 puktów pomiarowych (rówomierie rozłożoych w czasie) dla każdej z sześciu prób do idetyfikacji parametrów przyjętego do aalizy porówawczej stadartowego modelu reologiczego [10].
4. Dobór modelu materiału 99 Zarejestrowae podczas pomiarów krzywe relaksacji i pełzaia polimeru PM (rys. 4) mają charakter ograiczoy, któremu odpowiada reologiczy model stadardowy [10]. Te liiowo-lepko-sprężysty trójparametrowy model strukturaly moża przedstawić graficzie za pomocą dwu rówoważych ilustracji. Pierwsza możliwość to model będący rówoległym połączeiem ciała Hooke a i Maxwella, a druga to model będący szeregowym połączeiem ciała Hooke a i Kelvia (rys. 5). Moduły E 1 i E (jedostka: Pa) odpowiadają modułom Youga dla ciała Hooke a, a parametr η odpowiada lepkości dla ciała Newtoa (jedostka: Pa s). Związek pomiędzy odkształceiem i aprężeiem, czyli rówaie fizycze, dla przedstawioego modelu moża zapisać w postaci (6). W rówaiu (6) występuje prędkość aprężeń σ i prędkość odkształceń ε oraz aprężeie σ i odkształceie ε. Widocze parametry (jedostka: s), E (jedostka: Pa) oraz E (jedostka: Pa) moża wyrazić poprzez wcześiej zdefiiowae moduły dla modelu Kelvia-Hooke a za pomocą rówaia (7). Rys. 5. Iterpretacja graficza reologiczego modelu stadardowego [10] model Kelvia-Hooke a Fig. 5. Graphical iterpretatio of the rheological stadard model [10] the Kelvi-Hooke model σ() t + σ () t = Eε() t + E ε () t (6) = E η + E 1 EE 1, E =, E + E 1 E = E Rówaie opisujące, jak zmieiają się aprężeia w czasie dla próby relaksacji, wyzacza się przez podstawieie w rówaiu (6) wartości: ε(t) = ε 0 = cost t. Otrzymuje się wtedy rówaie różiczkowe zwyczaje, rzędu pierwszego, liiowe i iejedorode w postaci (8). Fukcję określającą zmiaę aprężeń w czasie σ(t), opisaą rówaiem (9), otrzymuje się po podstawieiu do całki ogólej rówaia (8) i waruku początkowego σ(t = 0) = ε 0 E. Wykres fukcji σ(t), określoej wzorem (9), przedstawioo a rys. 6. 1 (7) σ() t + σ() t = ε 0 E (8) σ() t = ε E + t ( E E )exp 0 (9)
100 Zaraz po wywołaiu odkształceia początkowego ε 0 pojawia się aprężeie atychmiastowe σ(t = 0), którego wartość pozwala określić moduł E. Poziom aprężeń, do którego asymptotyczie zmierza aprężeie opisae rówaiem (9), pozwala określić moduł czasowy E. Wartości parametrów porówawczych modelu stadardowego E, E i, dla trzech badaych poziomów odkształceia początkowego ε 0, zostały wyzaczoe a podstawie 9 wybraych puktów pomiarowych tak, aby wartości fukcji opisaej wzorem (9) rys. 6 zajdowały się jak ajbliżej wartości pomiarowych (rys. 4). Rys. 6. Zmiaa aprężeń σ(t) przy stałym odkształceiu początkowym ε 0 reologiczy model stadardowy Fig. 6. Chage of stress σ(t) obtaied for the costat iitial strai ε 0 the rheological stadard model Rówaie opisujące, jak zmieiają się odkształceia w czasie dla próby pełzaia, wyzacza się przez podstawieie w rówaiu (6) wartości: σ(t) = σ 0 = cost t. Otrzymuje się wtedy rówaie różiczkowe zwyczaje, rzędu pierwszego, liiowe i iejedorode w postaci (10). Fukcję określającą zmiaę odkształceń w czasie ε(t), opisaą rówaiem (11), otrzymuje się po podstawieiu do całki ogólej rówaia (10) waruku początkowego ε(t = 0) = σ 0 /E. Wykres fukcji ε(t), określoej wzorem (11), przedstawioo a rys. 7. E ε() t + ε() σ E t = 1 0 (10) E ε() t = 1 E σ exp E + 1 E 1 E E t 0 Zaraz po przyłożeiu aprężeia początkowego σ 0 pojawia się odkształceie atychmiastowe ε(t = 0), którego wartość pozwala określić moduł atychmiastowy E. Poziom odkształceń, do którego asymptotyczie zmierza odkształceie opisae rówaiem (11), pozwala określić moduł czasowy E. Wartości parametrów porówawczych modelu stadardowego E, E i, dla trzech badaych poziomów aprężeia σ 0, zostały wyzaczoe a podstawie 9 wybraych puktów pomiarowych tak, aby wartości fukcji opisaej wzorem (11) rys. 7 zajdowały się jak ajbliżej wartości pomiarowych (rys. 4). (11)
101 Rys. 7. Zmiaa odkształceń ε (t) przy stałym aprężeiu początkowym σ 0 reologiczy model stadardowy Fig. 7. Chage of strai ε(t) obtaied for the costat iitial stress σ 0 the rheological stadard model Wyzaczoe w iiejszym artykule wartości parametrów E, E i rozważaego modelu stadardowego są traktowae wyłączie jako porówawcze, a ie rzeczywiste, przydate jedyie dla określeia wpływu miar odkształceia a zmieość otrzymaych z aalizy wyików odpowiedzi reologiczej polimeru przy dwóch różych defiicjach błędu. Ze względu a ograiczeia zakresu pracy rozpatrywae jest w obliczeiach jedyie aprężeie omiale σ N, które ie jest sprzężoe eergetyczie ze wszystkimi aalizowaymi tesorami odkształceia E (m), dlatego otrzymae wartości parametrów ie mogą być traktowae jako rzeczywiste dla badaego polimeru PM. Zagadieie to będzie rozwijae bardziej szczegółowo w kolejych pracach. 5. Wpływ różych miar odkształceia a wielkość porówawczych parametrów modelu stadardowego przy różych defiicjach błędu Aby zaleźć wartości porówawcze parametrów modelu reologiczego, miimalizowao sumę kwadratów różic pomiędzy wyikami pomiarów a wartościami wyikającymi ze wzoru (9) w przypadku prób relaksacji albo wzoru (11) w przypadku prób pełzaia. W każdym doświadczeiu relaksacji dla 9 trójek pomiarowych (t i, ε 0, σ pi ) obliczoo błąd bezwzględy δ 1 rówaie (1) oraz błąd względy δ rówaie (13). W każdym doświadczeiu pełzaia dla 9 trójek pomiarowych (t i, σ 0, ε pi ) obliczoo błąd bezwzględy δ 3 rówaie (14) oraz błąd względy δ 4 rówaie (15). 9 δ1 = σ σ ε wzór, i() t pomiar, i 0 E ( E E )exp i= 1 i= 1 { } = + 9 ti σ pi (1)
10 δ = 9 i= 1 ( σ σ ) wzór, i() t pomiar, i σ pomiar, i = 9 i= 1 ε 0 ti E + ( E E )exp σ pi 1 9 9 1 1 1 E δ3 = { εwzór, i() t εpomiar, i} = σ0 + exp i= 1 E E E E t i i ε = 1 pi (13) (14) δ 4 = 9 i= 1 ( ε ε ) wzór, i() t pomiar, i ε pomiar, i 1 1 1 E σ0 + E E E E t exp i 9 = (15) i= 1 ε pi 1 W przeprowadzoym teście jedoosiowego rozciągaia polimeru, obejmującym zachowaia reologicze, rozważoo róże miary odkształceia, ze względu a jak ajdokładiejsze dopasowaie modelu do krzywych eksperymetalych, gdyż przy występowaiu dużych deformacji w badaych polimerach ie jest możliwe stosowaie uproszczeia zakładającego małe odkształceia (ε N < 1%) i wyikającej stąd rówoważości różych miar odkształceia. Rówaie fizycze reologiczego modelu stadardowego zależy od zmieej odkształceia ε, dlatego właściwy dobór miary deformacji przy dużych deformacjach jest iezbędy. Na podstawie zbioru materialych tesorów odkształceia E (m) moża przedstawić elemety macierzy E 11 (m), które odpowiadają odkształceiom polimeru a kieruku obciążeia siłą osiową P w teście jedoosiowego rozciągaia. Elemety macierzy E 11 (), E 11 (1) i E 11 (0) reprezetują odkształceie Lagrage a (Greea), odkształceie Biota (iżyierskie, względe) i Hecky ego (logarytmicze, prawdziwe), odpowiedio (16). Przyjęcie w aalizie wartości odkształceia: ε = ε L lub ε = ε C lub ε = ε H jest rówozacze z zastosowaiem różych miar odkształceia, azywaych miarami: Lagrage a, Cauchy ego i Hecky ego, odpowiedio. Odkształceia w mierze Cauchy ego są związae z odkształceiami w mierze Lagrage a i Hecky ego zależościami (17). Dla małych odkształceń (ε < 1%) wszystkie trzy miary dają zbliżoe wyiki. E E E ( ) 11 () 1 11 ( 0) 11 λ 1 = εl = L L L0 L = εc = εn = = = 1= λ 1 L L L = ε H 0 0 0 L + 0 L L = l = l = l λ L0 L0 (16)
103 ε ε L H εc = εc + = l ε + 1 ( ) C (17) W dalszej części przeaalizowao sześć możliwości doboru parametrów porówawczych modelu: E, E i, wyikające z multiplikacji dwóch możliwości defiiowaia błędu: δ 1 lub δ i trzech możliwych miar odkształceia: Lagrage a (ε L ), Cauchy ego (ε C ) i Hecky ego (ε H ). W aalizie relaksacji wykorzystao wzory: (1), (13) i (16), a w aalizie pełzaia wzory: (14) (16). 6. Wyzaczeie wartości parametrów porówawczych modelu Wartości porówawcze parametrów modelu stadardowego E, E i zostały wyzaczoe a drodze aalizy umeryczej, w wyiku miimalizacji błędu δ. Wyiki tej aalizy przedstawioo w tab. 1 i. Pogrupowao je w bloki odpowiadające trzem poziomom odkształceia początkowego ε 0 i aprężeia początkowego σ 0. W każdym bloku wyodrębioo trzy grupy wartości parametrów E, E i, przyporządkowae zastosowaym w obliczeiach miarom odkształceia Lagrage a, Cauchy ego i Hecky ego. Z aalizy otrzymaych wyików, iezależie od defiiowaia błędu (1) (15), parametry E, E i przyjmują odpowiedio zbliżoe wartości. Błąd względy (δ, δ 4 ) jest zawsze większy od błędu bezwzględego (δ 1, δ 3 ), poieważ różice wartości odkształceń teoretyczych i pomierzoych są dzieloe przez wartości odkształceń pomierzoych, które są dodatie i miejsze od 1. Z tego względu, do aaliz porówawczych przyjęto miarę błędu bezwzględego δ 1. Porówaie wpływu zastosowaych miar odkształceń a wyiki obliczeń błędu pokazało, że błędy zdefiiowae w przypadku zastosowaia miary odkształceń Hecky ego miały ajmiejsze wartości w każdej przeaalizowaej sytuacji iż w przypadkach zastosowaia miar odkształceń Cauchy ego albo Lagrage a (zazaczoe w tabelach zacieiowaymi polami) w przypadku pełzaia (tab. ). W przypadku relaksacji (tab. 1) różice błędów z zastosowaiem różych miar są iewielkie. Zastosowaie logarytmiczej miary odkształceń przekłada się a większą dokładość dopasowaia parametrów w przypadku badaia polimerów. Wyiki zaprezetowae w tab. 1 i wskazują a dobrą zgodość zapropoowaego modelu reologiczego z wyikami przeprowadzoych badań. Najdokładiejsze dopasowaie modelu stadardowego do daych eksperymetalych uzyskao dla logarytmiczej miary odkształceń Hecky ego ε H oraz przy miimalizowaiu błędu bezwzględego δ 1 i δ.
104 Tabela 1 Parametry modelu stadardowego w zależości od defiicji błędu i miary odkształceia dla prób relaksacji δ 1 δ Jedostka Miara odkształceń E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy),58 3,41 740 305,,71 3,58 70 305,4,84 3,75 7360 306,1,58 3,39 7460 388,8,71 3,56 740 398,4,84 3,73 7560 385,8 Lagrage a ε L = 0,5 (λ 1) Cauchy ego ε C = λ 1 Hecky ε H =l λ δ 1 δ jedostka miara odkształceń 1,96,59 9780 195,7,16,86 940 198,8,37 3,13 9500 1930,5 1,96,55 10580 7350,,15,8 1100 7337,8,36 3,07 10960 733,6 Lagrage a ε L = 0,5 (λ 1) Cauchy ego ε C = λ 1 Hecky ε H = l λ δ 1 δ jedostka miara odkształceń 1,45,13 1340 4575,3 1,66,44 14000 4566, 1,90,79 1390 4560, 1,44,08 1560 10133,8 1,66,4 14840 10169,6 1,89,74 15400 10164,4 Lagrage a ε L = 0,5 (λ 1) Cauchy ego ε C = λ 1 Hecky ε H = l λ
105 Tabela Parametry modelu stadardowego w zależości od defiicji błędu i miary odkształceia dla prób pełzaia E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) δ 1 δ Jedostka Miara odkształceń,91 3,8 6560 40,47 3,08 3,97 6560 33,541 3,5 4,14 680 7,61,91 3,83 660 388 3,08 4,01 6180 3011,3 3,5 4,17 6500 789,5 Lagrage a ε L = 0,5 (λ 1) Cauchy ego ε C = λ 1 Hecky ε H = l λ δ 1 δ jedostka miara odkształceń 1,90,7 1440 00,5,16,97 1560 137,3,44 3,4 13160 94,435 1,90,7 1060 3314,4,16,98 1340 808,7,45 3,8 11900 380,9 Lagrage a ε L = 0,5 (λ 1) Cauchy ego ε C = λ 1 Hecky ε H = l λ δ 1 δ jedostka miara odkształceń E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) E (atychmiastowy) 1,16,3 1690 1899 1,47,56 170 109,8 1,83,93 17360 65,7 1,18,3 14760 11179,6 1,49,63 15080 8964,3 1,84,97 16140 7034,3 Lagrage a ε L = 0,5 (λ 1) Cauchy ego ε C = λ 1 Hecky ε H = l λ
106 Rys. 8. Zmiaa wartości parametrów modelu stadardowego E, E i przy relaksacji Fig. 8. Values chage of the rheological stadard model E, E i durig relaxatio Rys. 9. Porówaie aprężeń podczas relaksacji dla miar odkształceia Cauchy ego i Hecky ego Fig. 9. Compariso of stress values durig relaxatio for the strai measure of Cauchy ad Hecky
107 Rys. 10. Zmiaa wartości parametrów modelu stadardowego E, E i przy pełzaiu Fig. 10. Values chage of the rheological stadard model E, E i durig creep Rys. 11. Porówaie odkształceń podczas pełzaia dla miar odkształceia Cauchy ego i Hecky ego Fig. 11. Compariso of strai values durig creep for the strai measure of Cauchy ad Hecky
108 Rys. 1. Porówaie wartości parametrów modelu E, E i dla prób pełzaia i relaksacji Fig. 1. Compariso of model parameter values E, E i of creep ad relaxatio tests W przypadku procesu relaksacji polimeru PM wyzaczoe wartości parametrów modelu reologiczego E, E i dla trzech poziomów odkształceia początkowego ε 0 zależą od poziomu odkształceń, więc ie moża ich uzać za stałe materiałowe. Zmiaę ich wartości w zależości od poziomu odkształceia ε 0 przedstawioo graficzie a rys. 8. Uzyskaa zależość wyzaczoych parametrów od wielkości odkształceia ε 0 jest bliska liiowej, gdy zastosowao miarę odkształceń Hecky ego, co potwierdza fukcja regresji liiowej (rys. 8). Wielkości aprężeń zmiee w czasie dla różych poziomów ε 0, w przypadku zastosowaia miary Cauchy ego i Hecky ego, przedstawioo a rys. 9. Porówaie pokazuje, że różice pomiędzy wielkościami aprężeń σ(t) opisae różymi miarami deformacji praktyczie ie różią się od siebie, podobie jak wartości pomiarowe i wartości wyliczoe z zapropoowaych wcześiej wzorów są sobie bliskie. W przypadku procesu pełzaia polimeru PM wyzaczoe wartości parametrów modelu reologiczego E, E i dla trzech poziomów aprężeia początkowego σ 0 zależą od poziomu aprężeń, więc ie moża ich uzać za stałe materiałowe. Zmiaę ich wartości w zależości od poziomu aprężeia σ 0 przedstawioo graficzie a rys. 10. Uzyskaa zależość wyza-
109 czoych parametrów od wielkości aprężeia σ 0 jest bliska liiowej, gdy zastosowao miarę odkształceń Hecky ego, co potwierdza fukcja regresji liiowej (rys. 10). Wielkości odkształceń zmiee w czasie dla różych poziomów σ 0, w przypadku zastosowaia miary Cauchy ego i Hecky ego, przedstawioo a rys. 11. Porówaie pokazuje, że różice pomiędzy wielkościami odkształceń ε(t) opisae różymi miarami deformacji różią się od siebie, atomiast wartości pomiarowe i wartości wyliczoe z zapropoowaych wcześiej wzorów są sobie bliskie. Uzyskae fukcyje zależości liiowe parametrów modelu (rys. 8 i 10) od różych wielkości aprężeia i odkształceia dowodzą, że model ie jest adekwaty do rzeczywistych własości materiału. Zależości te pozwalają jedak a wyzaczeie parametrów reologiczego modelu stadardowego przyjętego dla polimeru PM w każdym zakresie deformacji rozciągającej, przewidziaej pracą złącza podatego (dla λ < 1,3). Parametry te są opisae pewymi fukcjami, a ie są stałymi materiałowymi. Parametry modelu reologiczego E, E i jako stałe materiałowe polimeru PM, przyjmujące stałe wartości przy różych poziomach aprężeia i odkształceia, będą mogły być prawdopodobie wyzaczoe, gdy do aalizy zostaą przyjęte pary sprzężoych eergetyczie miar odkształceia i aprężeia. Zagadieie to będzie przedmiotem przyszłych aaliz. Stałe materiałowe moża by także wyzaczyć z zastosowaiem bardziej zaawasowaych wieloparametrowych modeli reologiczych, ale ich wykorzystaie może być zbyt skomplikowae dla przeciętego iżyiera wykorzystującego polimerowe złącze podate w praktyce iżyierskiej. Wybrae w artykule trzy poziomy wytężeia polimeru PM w próbie quasi-statyczego rozciągaia: 1, i 3 składają się z trzech par σ 0 ε 0, złożoych z aprężeń σ 0 : 0,3575 MPa, 0,5893 MPa i 0,7579 MPa oraz z odpowiadających im odkształceń ε 0 : 10%, 0% i 30%. Obliczoe wartości parametrów E, E i dla poszczególych poziomów wytężeia w teście pełzaia i relaksacji zostały porówae ze sobą a rys. 1. Moduły E i E różią się iezaczie od siebie a pierwszym poziomie wytężeia dla pełzaia i relaksacji, co może wyikać z rozrzutu właściwości materiału w każdej z pojedyczych próbek (brak aalizy statystyczej). Przy wyższych poziomach wytężeia parametry te przyjmują wielkości porówywale. Odmieie zachowuje się parametr czasowy, który a poziomie pierwszym przyjmuje zbliżoe wartości, a wraz ze wzrostem wytężeia polimeru zjawisko relaksacji szybciej osiąga sta rówowagi iż zjawisko pełzaia. 7. Wioski Zapropooway model reologiczy z dopasowaymi parametrami dla stałych poziomów aprężeia σ 0 i odkształceia ε daje dobrą zgodość wyików otrzymaych a drodze teoretyczej z uzyskaymi w trakcie pomiarów (rys. 9 i 11). Z powodu koieczości stosowaia 0 w modelu różych wartości parametrów w zależości od poziomu obciążeia zapropooway związek ie jest związkiem kostytutywym, lecz może posłużyć do zbudowaia zależości między aprężeiem i odkształceiem przy ustaloym obciążeiu. Zależości wszystkich trzech parametrów (E, E i ) od poziomu aprężeia σ 0 lub odkształceia ε 0 są praktyczie liiowe. Związki te umożliwiają wyzaczeie wartości wymieioych wcześiej parametrów (dla badaego polimeru PM) przy iych poziomach aprężeń σ 0 lub odkształceia ε 0
110 dzięki możliwości wykorzystaia iterpolacji liiowej (opisaej fukcjami przedstawioymi a wykresach, oddzielie dla każdego parametru), co przekłada się a ieskomplikowae wykorzystaie ich w praktyce iżyierskiej. Najmiejszy błąd czyli różica pomiędzy wartościami pomierzoymi i obliczoymi występuje, gdy dla prób pełzaia zastosowao miarę odkształceń Hecky ego. W związku z tym miara ta wydaje się być ajlepsza w przedstawioych przypadkach. Artykuł fiasoway jest w ramach Projektu Badawczego Nr N N506 071438. Literatura [1] O l s z a o w s k i Z., Naprawa budowli betoowych zapory Wisła Czare 1990 001, Raport, Hydroprojekt Kraków Sp. z o.o. [] K w i e c i e ń A., Z a j ą c B., K u b o ń P., Propozycja aprawy pękięć w budowlach hydrotechiczych przy użyciu polimerowych złączy podatych, XVIII Kof. Naukowa Metody Komputerowe w Projektowaiu i Aalizie Kostrukcji Hydrotechiczych, Korbielów 006. [3] F a r a h a i K., B a h a i H., Hyper-elastic costitutive equatios of cojugate stresses ad strai tesors for the Seth-Hill strai measures, Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 4, 004, 9-41. [4] D a r i j a i H., N a g h d a b a d i R., Costitutive modelig of solids at fiite deformatio usig a secod-order stress-strai relatio, Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 48, 010, 3-36. [5] X i a o H., C h e L.S., Hecky s elasticity model ad liear stress-strai relatios i isotropic fiite hyperelasticity, Acta Mechaica 157, 00, 51-60. [6] P l e š e k J., K r u i s o v á A., Formulatio, validatio ad umerical procedures for Hecky s elasticity model, Computers & Structures 84, 006, 1141-1150. [7] B e c h i r H., C h e v a l i e r L., C h a o u c h e M., B o u f a l a K., Hyperelastic costitutive model for rubber-like materials based o the first Seth strai measures ivariat, Europea Joural of Mechaics A/Solids 5, 006, 110-14. [8] D a l r y m p l e T., C h o I J., Elastomer Rate-Depedece: A Testig ad Material Modellig Methadology, Proceedigs of the Fall 17 d Techical Meetig of RDACS, Clevelad 007. [9] PN-EN ISO 57: 1998 Tworzywa sztucze Ozaczaie właściwości mechaiczych przy statyczym rozciągaiu. [10] B o d a r A., C h r z a o w s k i M., L a t u s P., Reologia kostrukcji prętowych, Wydawictwo PK, Kraków 006.