Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5 IV Wielomiany i funkcje wymierne 7 V Macierze i wyznaczniki 8 VI Układy równań liniowych 11 VII Geometria analityczna w R 12 VIII Iloczyn skalarny i odległość w R n 14 IX Przestrzenie i przekształcenia liniowe 15 X Powtórzenie 17 1

XI Pierwsze kolokwium 20 Zestaw A 20 Zestaw B 20 Zestaw C 21 Zestaw D 21 Zestaw E 22 Zestaw F 22 Zestaw G 2 Zestaw H 2 XII Drugie kolokwium 2 Zestaw A 24 Zestaw B 24 Zestaw C 25 Zestaw D 25 Zestaw E 26 Zestaw F 26 Zestaw G 27 Zestaw H 27 XIII Egzamin 28 Zestaw A 28 Zestaw B 29 Zestaw C 0 2

Część I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 1. Uprość wyrażenie a b ( a ) (a) a 2 2ab + b 2 b 1, ( ) b a b (b) a 2 b 2 a + 1, (c) a4 + a b + a 2 b 2 a b ( ) b 2 a 2 1. 2. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f(x) wyznacz współczynnik przy x m, jeśli ( (a) f(x) = x 5 + 1 ) 10, m = 9, x (b) f(x) = k=0 ( x 4 1 x 2 ) 9, m = 24.. Zapisz w prostszej postaci liczbę n ( ) n (a) k, k k=0 n ( ) n (b) ( 2) k. k 4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij, że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n N + : (a) 1 2 + 2 2 + 2 +... + n 2 = (b) 4 n 1 n 2, n(n + 1)(2n + 1), 6 (c) liczba 7 n 4 n jest podzielna przez. 1. (a) 1 b, (b) 1 a, (c) a b.

2. (a) a 2 = ( 10 2 ) = 45, (b) a 2 = ( 9 2) = 6.. (a) 4 n, (b) ( 1) n. 4. Najpierw przez podstawienie sprawdź, że teza zachodzi dla n = 1; prawdziwe zatem jest twierdzenie T 1. Następnie z prawdziwości twierdzeń T 1, T 2,..., T n (może wystarczyć użycie tylko T n ) wywnioskuj prawdziwość twierdzenia T n+1, gdzie n N +. Część II Geometria analityczna w R 2 1. Wyznacz w mierze łukowej kąt pomiędzy wektorami u, v, jeśli ( (a) u = 1, ) (, v = 1, ), ( (b) u = ) (, 1, v = 1, ), ( ) ( (c) u = 2, 2, v = 1, ), ( (d) u = 2, ) ( ) 2, v =, 1. Wskazówka: dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów. 2. Wyznacz kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (1, 1), B = (, 2 + ), C = (1 +, 2).. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkącie o wierzchołkach A = (, 5), B = (0, 6) oraz C = (2, 2). 4. Wyznacz punkt przecięcia oraz { kąt, pod jakim przecinają { się proste, określone przez układy równań oraz x = 2 t, x = s, y = 5 + t y = 1 s, gdzie t, s R. 5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (4, 6), (5, 5) i ( 2, 2). 6. Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odległość od punktu A = (1, 2) jest dwa razy większa od odległości od punktu B = (4, 5). 7. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli 4

(a) S = (1, ), A = ( 1, 2), B = (2, 4), (b) S = ( 2, 1), A = (1, 2), B = (4, 1). 8. Napisz równania tych stycznych do okręgu o równaniu x 2 +2x+y 2 = 0, które przecinają się z prostą x y + 1 = 0 pod kątem π. 1. (a) π, 2. π 2. (b) π 6, (c) 11 12 π, (d) 7 12 π.. 10. 4. Proste przecinają się pod kątem π 6 w punkcie (, 4). 5. (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25. 6. okrąg (zwany okręgiem Apoloniusza), o równaniu (x 5) 2 + (y 6) 2 = 8. 7. (a) (x 1) 2 + (y + ) 2 = 192 1, (b) (x + 2) 2 + (y + 1) 2 = 122 10. 8. y = 2, y = 2, y = x + + 14, y = x + 14. Część III Liczby zespolone 1. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a) z = 1 + i 2 i, (b) z = 2 + i 4 + 5i. 2. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a) Re( 2iz + 4) 0, (b) Im(z i) = Im((2 i)z + i), (c) Re ( z 2) = [Im(iz)] 2 4, 5

(d) iz + 2 = iz 2i, (e) 2z = 4z 4.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a) z = (1 + i) 20 (1 i) 40, (b) z = (c) z = (1 + i)40 ( i) 20, ( i) 24 (1 i) 14 (1 i) 20. 4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a) 0 arg(1 + iz) π/2, (b) Im ( z 4) < 0. 5. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a) z = 1, (b) z = i, (c) z = 2 + 2i, (d) z = 1 + i. 6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie (a) z 2 2z + 4 = 0, (b) z 4 = ( 1 + 2z) 4. 7. Wyznacz pole figury F = {z C : Im ( z ) 0 1 Im(z) < 0}. 1. (a) z = 1 5 + 5 i, (b) z = 2 41 + 2 41 i. 2. (a) półpłaszczyzna y 2, (b) prosta y = 1 x 2, (c) proste y = 2, y = 2, (d) prosta y = x, (e) okrąg o środku w punkcie ( 4, 0) i promieniu 2. 6

. (a) 1 2 + 2 i, (b) 1 2 2 i, (c) 1 2 2 i. 4. (a) Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, określonych przez warunki Re(z) 0 Im(z) 1 z i (przesunięta o wektor (0, 1) czwarta ćwiartka układu współrzędnych, z brzegiem i bez punktu (0, 1)), (b) arg(z) ( π 4, ) ( π 2 π 4, π) ( 5π 4, ) ( π 2 7π 4, 2π), co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz czterech kątów. 5. (a) w 0 = 1 2 + 2, w 1 = 1, w 2 = 1 2 2, (b) w 0 = 2 + 1 2 i, w 1 = 2 + 1 2 i, w 2 = i, (c) w 0 = 1 + i, w 1 = 1 ( 2 2 + 1 ) 2 + i, w 2 = 1 2 2 + 2 + ( 1 ) 2 i, 2 (d) w 0 = 1 + 1 2 2 + Wskazówka: cos ( π 1 2 2. 6. (a) z { 1 + i, 1 i }, (b) z { 1, 2 5 1 5 i, 1, 2 5 + 1 5 i}. 2 2 i, w 1 = 1 + 1 2 2 i, w 2 = 1 ) 1+cos(2 12 = 12) π 2 = 2 2 1 + 2 2 i. 2+ 2 = 1+ 2 2, sin ( π 12) = 7.. Część IV Wielomiany i funkcje wymierne 1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli (a) P (x) = x 5 x 4 + x + x + 7, Q(x) = x + x + 1, (b) P (x) = x 4 + 2x + x 2 + x + 1, Q(x) = x 2 + x +. 2. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W (x) = x 4 + x x 2 4x 4.. Nie wykonując dzielenia, wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x 4 + x + x 2 + x + 1 przez x 2 1. 7

4. Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolony W (z) = z 2z 2 + 4z 8. 5. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą x 2 + (a) f(x) = x + 2x 2 + 5x + 4, x + 2 (b) f(x) = x + x 2 + 4x + 4, (c) f(x) = 2x + 4x 2 + 5x + 5 x 4 + x + x 2 + x + 2. 6. Rozłóż na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = x4 5x + 5x 2 19x 1 x 5x 2. + 4x 20 1. (a) I(x) = x 2 x + 2, R(x) = 5, (b) I(x) = x 2 + x, R(x) = x + 10. 2. W (x) = (x + 2)(x 2) ( x 2 + x + 1 ).. R(x) = 2x +. 4. W (z) = (z 2)(z + 2i)(z 2i). 5. (a) f(x) = 1 x 2 +x+4 + 1 x+1, (b) f(x) = x x 2 +x+2 + 1 x+2, (c) f(x) = 1 x+1 + 1 x+2 + 1 x 2 +1. 6. f(x) = x + 1 x 5 + 1 x 2 +4. Część V Macierze i wyznaczniki 1. Wyznacz macierz A wymiaru, której wyrazy określone są za pomocą wzoru a ij = i 2j. 2. Podaj przykład dwóch macierzy wymiaru 2 2 dowodzący, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.. Rozwiąż równanie macierzowe 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 + 2 A T = 0 1 0 1 0 1 2 2 1 8

4. Wyznacz iloczyn A = ( x y 1 ) a h g h b f x y, a następnie g f c 1 z jego pomocą, w notacji macierzowej zapisz równanie okręgu x 2 + y 2 + 4x + 6y 12 = 0. Zaznacz ten okrąg na płaszczyżnie. 5. Rozłóż na iloczyn cykli rozłącznych, a następnie transpozycji permutację ( ) 1 2 4 5 6 (a) σ =, 2 4 6 1 5 ( ) 1 2 4 5 6 7 (b) σ =. 7 5 4 1 2 6 Określ parzystość i znak permutacji σ. W rozkładach zastosuj zapis cykliczny. 6. Za pomocą permutacyjnej definicji wyznacznika wyprowadź wzory na wyznaczniki macierzy stopnia 2 i (wzór Sarrusa). 7. Dwoma sposobami, za pomocą rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, a dodatkowo w podpunkcie (a) ze wzoru, w podpunkcie (b) ze wzoru Sarrusa, oblicz wyznacznik (a) 1 2 5, (b) (c) 1 1 1 1 2 2 1 2 4, 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2. 8. Dla jakich wartości parametru a R macierz ( ) a a (a) A =, 2 a a 1 1 (b) A = 1 1 a, 1 a 1 a 1 1 1 (c) B = 1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 jest nieosobliwa? 9

9. Dwoma sposobami, za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową, wyznacz macierz odwrotną do macierzy ( ) 1 1 (a) A =, 1 4 (b) B = (c) C = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1. A = 1 5 0 2 4 1 1 ( ) 1 1 2. np. 0 1 ( ) 1 1. 0 1 ( 0 1 1. A = 1 1 1 ( 1 1 0 0 ). ), = ( 1 1 0 0 ) ( 1 2 0 0 4. A = ( ax 2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2fy + c ), ( x y 1 ) ) = ( 1 1 0 0 ) 1 0 2 0 1 2 12 x y = ( 0 ) ; równanie przedstawia okrąg o środku w punkcie ( 2, ) 1 i promieniu 5. 5. (a) Przykładowy zapis: σ = (1 2 4) ( 6) = (1 4) (1 2) ( 6), permutacja nieparzysta, znak sgn(σ) = 1, (b) przykładowy zapis: σ = (1 7 4) (2 5) = (1 4) (1 ) (1 7) (2 5), permutacja parzysta, znak sgn(σ) = 1. 6. Dla n = 2 są dwie permutacje, zatem dwa składniki w sumie. Permutacji zbioru trzyelementowego jest 6. 7. (a) 1, (b) 2, (c) 1. 10

8. (a) a R \ {0, 2}, (b) a R \ { 2, 1}, (c) a R \ {, 1}. 9. (a) A 1 = ( 4 5 1 5 (b) B 1 = (c) C 1 = ), 1 1 5 5 1 1 2 2 0 1 1 2 0 2 1 1 0 2 2, 1 1 1 1 0 1 0 1 Część VI Układy równań liniowych 1. Metodą eliminacji Gaussa rozwiąż układ równań { x + y = (a) x y = 5, (b) (c) (a) x + y + z = 0 x y + z = 0 x + y z = 2, x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = 2 x + y + z + t = 2. Dodatkowo, układ (a) rozwiąż za pomocą wzorów Cramera oraz metodą macierzy odwrotnej. 2. Rozwiąż układ równań (b) x y + z + t = 4 x y z + t = 0 x y z t = 8, x + y + z = 1 2x + y + 2z = 1 x + 2y + z =.. Dla jakich wartości parametru a R układ równań x + y + az = 1 x + ay + z = a ax + y + z = a 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań? 11

1 dla x (, 0) 4. Niech sgn(a) = 0 dla x = 0 1 dla x (0, ) Wyznacz te wartości a, dla których układ równań x + 2y + z = 2 x + y + 2z = sgn(a) 1 2x + y + z = 2 2y + 2z = 0 nie ma rozwiązań. 1. (a) x = 1, y = 2, (b) x = 1, y = 0, z = 1, (c) x = 1, y = 1, z = 2, t = 2. 2. (a) y = 2, t = 4, z = x + 2, z dowolne, (b) układ sprzeczny (brak rozwiązań).. a = 2. 4. a (, 0]. oznacza znak liczby a R. Część VII Geometria analityczna w R 1. Dla jakich wartości parametru a R równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = ( 5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (, a 2, ) i wierzchołku E = ( a 5, 4, 18) nad A, jest prostopadłościanem? 2. Dla jakich wartości parametru a R kąt pomiędzy wektorami u = (a, 16, 4) oraz v = (2a, 1, 4) jest prosty?. Za pomocą iloczynu wektorowego wyznacz te wartości parametru a R, dla których wektory u = (1, a 2, 1), v = (, 12, ) są równoległe. 4. Podaj przykład równania ogólnego płaszczyzny (a) przechodzącej przez punkty A = ( 1, 1, 1), B = (0, 1, 2), C = (, 0, 5), x = 1 + t + s (b) o równaniu parametrycznym y = 2 + t s gdzie t, s R. z = 1 + t + s, 5. Podaj przykład równania parametrycznego płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + 2z + 1 = 0. 12

6. Podaj{ przykład równania parametrycznego prostej o równaniu krawędziowym x + y + z 1 = 0 x + 2y + z 2 = 0. 7. Podaj przykład równania krawędziowego prostej o równaniu parametrycznym y = 2 t gdzie t R. x = 1 + t z = 4 + t, 8. Podaj przykład równania parametrycznego prostej prostopadłej do prostych o równaniach y = 1 y = 2 + s gdzie t, s R. w punkcie x = t x = s z = 1 + t, z = 1 s, ich przecięcia. 9. Wyznacz kąt pomiędzy płaszczyznami π 1, π 2, jeśli π 1 jest określona równaniem parametrycznym y = t s gdzie t, s R, a π x = 1 + t + s 2 równaniem z = t + s, ogólnym y z 1 = 0. { x + y + z + 2 = 0 10. Wyznacz kąt pomiędzy prostą l : x y + z + = 0 i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0. 11. Wyznacz pole (a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = (2, 2, 4), B = (0, 2, 2), C = (2, 1, 2), (b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego z boków A = (2, 2, 4), B = (0, 2, 2), (c) trójkąta o wierzchołkach A = ( 2, 2, 4), B = (0, 2, 2), C = ( 2, 1, 2). 12. Wyznacz objętość (a) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C = (1, 2, 2) i D = ( 1, 1, 1), (b) równoległościanu rozpietego na wektorach u = (1, 1, 1), v = (1, 1, 2) oraz w = ( 1, 1, ) (1, 2, ). 1. a =. 2. a = 4 lub a = 4.. a = 2 lub a = 2. 4. (a) x z + 2 = 0, 1

5. (b) x z = 0. x = 1 + t + 2s y = t z = s. x = 1 + t 6. y = 1 2t z = 1 + t. { x + y 4 = 0 7. y + z 6 = 0. x = 1 + t 8. y = 1 z = 2 t. 9. π. 10. π 6. 11. (a) 2 6, (b) 4 5, (c) 6. 12. (a) 1, (b) 15. Część VIII Iloczyn skalarny i odległość w R n 1. Wyznacz odległość pomiędzy punktami P, Q R n, jeśli (a) n = 4, P = (1, 2,, 2), Q = (2, 1, 4, ), (b) n = 8, P = (5,, 2, 7, 9, 11, 1, 2), Q = (, 4,, 5, 9, 9, 2, 1). 2. Wyznacz kosinus kąta pomiędzy wektorami u, v R n, jeśli (a) n = 5, u = (1, 0, 2, 2, 0), v = ( 1, 1, 1, 1, 0), (b) n = 7, u = (1, 2, 0,, 1, 0, 1), v = 2 (1, 1, 1, 1, 1, 2, 5) ( 1, 1, 0, 0, 0,, 10). 14

1. (a) 2, (b) 4. 2. (a) 1 6, (b) 9 20. Część IX Przestrzenie i przekształcenia liniowe 1. Zbadaj liniową niezależność układu złożonego z wektorów (a) (1, 2), (, 4) R 2, (b) (1, 2, ), (, 4, 5) R, (c) (1, 2, ), (, 4, 5), (4, 6, 8) R, (d) (1, 0, 2, 2, 0), ( 1, 1, 1, 1, 0), (1, 2, 0, 5, 7) R 5, (e) (1, 2, 0,, 1, 0, 1), (, 1, 2, 2, 2,, 0), (1, 1, 1, 1, 1, 2, 5), ( 1, 1, 0, 0, 0,, 10) R 7. 2. Zbadaj, czy układy niezależne w poprzednim zadaniu tworzą bazy danej przestrzeni, a jeśli nie, to uzupełnij do bazy.. Załóżmy, że przekształcenie liniowe f : R n R m jest określone wzorem (a) f(x, y, z, t) = (x y, x + y + z + 2t), (b) f(x, y, z) = (x y, x + y + z, x + y, x z), gdzie x, y, z, t R. Wyznacz n, m N +, a następnie zapisz w standardowych bazach macierz A f przekształcenia f. 4. Wyznacz jądro, obraz i rząd przekształceń f z poprzedniego zadania. 5. Załóżmy, że macierz A f przekształcenia liniowego f : R n R m ma postać ( ) 5 1 1 0 0 (a) A f =, 8 4 1 1 2 1 1 0 (b) A f = 1 2 1 4 6 1 5 7 15

Wyznacz n, m N +, a następnie zapisz przekształcenie f za pomocą wzoru. 6. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz f g w bazach standardowych, jeżeli f : R R 5 oraz g : R 4 R są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z) = (x, x+y, x+y +z, x+z, y +z), g(s, t, u, v) = (u + v, t + u + v, s + t + u + v). 7. Wyznacz wartości własne i odpowiadające im wektory własne przekształcenia liniowego f : R 2 R 2, jeśli (a) f(x, y) = ( y, 6x 5y), (b) f(x, y) = ( x + y, 2x). 1. (a) liniowo niezależny, (b) liniowo niezależny, (c) liniowo zależny, (d) liniowo niezależny, (e) liniowo zależny. 2. Bazą jest tylko układ z pierwszego podpunktu. ( ) 1 1 0 0. (a) n = 4, m = 2, A f =, 1 1 1 2 1 1 0 (b) n =, m = 4, A f = 1 1 1 1 1 0 1 0 1 4. (a) Ker(f) = {(x, x, 2t 2x, t) : x, t R} = {x(1, 1, 2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : x, t R}(jedna z możliwości zapisu), Im(f) = R 2, Rz(f) = 2, (b) Ker(f) = {(0, 0, 0)}, Im(f) = {x(1, 1, 1, 1) + y( 1, 1, 1, 0) + z(0, 1, 0, 1) : x, y, z R}, Rz(f) =. 5. (a) n = 5, m = 2, f(x, y, z, t, u) = (5x y z, 8x 4y + z + t + u), (b) n =, m = 4, f(x, y, z) = (x y, x + y + 2z, x + 4y + 6z, x + 5y + 7z). 6. Złożenie g f nie istnieje. Macierz złożenia f g ma postać 1 0 0 1 1 0 M f g = M f M g = 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 = 0 0 1 1 0 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 16

7. (a) Wartości własnej a 1 = 2 odpowiadają wektory własne postaci v 1 = α(1, 2), wartości własnej a 2 = odpowiadają wektory własne postaci v 2 = α(1, ), gdzie α R \ {0}, (b) wartości własnej a 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci v 1 = α(1, 2), wartości własnej a 2 = 2 odpowiadają wektory własne postaci v 2 = α(1, 1) dla α R \ {0}. Część X Powtórzenie 1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = ( 1, 5), B = (2, 4) oraz C = (1, 1). 2. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku ( C w trójkącie o wierzchołkach A = (2, 1), B = (, 2) oraz C = 2, 1 + ).. Wyznacz punkt przecięcia oraz kąt, pod jakim przecinają { się proste na x = t, oraz y = t płaszczyźnie, określone równaniami parametrycznymi { x =, gdzie t, s R y = 1 + s, 4. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 1 2 1 1 1 1 2 2 5. Zbadaj, dla jakich rzeczywistych parametrów a R istnieje macierz odwrotna 1 1 1 A 1 do macierzy A = 1 2 1, 1 1 a a następnie wyznacz ogólny wzór na A 1. 6. Dla jakich wartości parametru a R układ równań 2x + (1 + a)y + (1 + a)z = 1 + a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1 7. W zależności od rzeczywistego parametru a R, rozwiąż układ równań 2x + y z = 1 x ay + 2z = 2x ay + z = 5. 8. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 + t + s y = t + s gdzie t, s R. z = 1 t + 2s, 17

x = 1 + t x = s 9. Wyznacz punkt przecięcia prostych y = 1 oraz y = s z = 1 + t z = 5 s, a następnie napisz równanie ogólne płaszczyzny zawierającej te proste. 10. Wyznacz odległość punktu P = (1, 2, 1) od płaszczyzny π, zadanej w x = 1 + s + t postaci parametrycznej y = 2 + s z = 1 + s t. 11. Opisz oraz zaznacz na płaszczyżnie zbiór liczb zespolonych z spełniających warunek (a) 0 arg(2 iz) π 2, (b) Im ( z 4) > 0. 12. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a) z = ( + i) 12 (1 i) 24, (b) z = (1 i ) 700 ( 1 + i) 1400. 1. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = 2 2. 14. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W (x) = x 4 + 2x x 2. 15. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = x2 + 5x + 1 x + x 2 + x + 2. 16. Wyznacz jądro, obraz i rząd przekształcenia f : R 4 R 2, określonego wzorem f(x, y, z, t) = (z y, x + y + z + 2t), gdzie x, y, z, t R. 17. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R R 2 oraz g : R 2 R 5 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z) = (x 2y, x + y + z), g(u, v) = (u + v, v, u 2v, u, u). 1. 10. π 2. 6.. P 0 = (, 1 ), ϕ = 2 π. 18

4. A 1 = 4 2 1 1 1 0 1 0 1 5. Macierz odwrotna istnieje dla a R \ {1}, 2a 1 1 wtedy A 1 a 1 1 a 1 = 1 1 0 6. a = 2. 1 1 a 1 0 a 1 7. Dla a R\{1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 1, y = 0, z = 1, x = 2 z, a dla a = 1 nieskończenie wiele rozwiązań postaci y = 1 + z, z R. 8. x + y 2z + 1 = 0. 9. Punktem wspólnym prostych jest P = (2, 1, 4) (dla t = i s = 1), a płaszczyzna ma równanie x + z 2 = 0. 10. Równaniem ogólnym płaszczyzny jest x + 2y z 4 = 0, a odległość 2 d(p, π) =. 11. (a) Jest to zbiór {z C : Rez 0 Imz 2 z 2i}, ( (b) arg(z) 0, π ) ( π 4 2, π ) ( π, 5π ) ( π 4 4 4, 7π ), co na płaszczyźnie jest sumą wnętrz czterech 4 kątów. 12. (a) z = 1, 1. (b) z = 1 2 + 2 i. 2 6 2 6 2 + i 2, 2, 2 i 2. 14. W (x) = (x 1)(x + 2)(x 2 + x + 1). 15. f(x) = 2x x 2 + x + 1 + 1 x + 2. 16. Ker(f) = {(z, z, 2t 2z, t) : z, t R} = {z(1, 1, 2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : z, t R}(jedna z możliwości zapisu), Im(f) = R 2, Rz(f) = 2. 17. Złożenie f g nie istnieje. Macierz złożenia g f mapostać 2 1 1 1 ( ) M g f = M g M f = 1 2 1 2 0 0 1 1 = 1 1 1 4 6 6 0 1 0 1 2 0 19

Część XI Pierwsze kolokwium Zestaw A 1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = ( 2, 2), B = (2, 4) oraz C = (7, 1). 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( + i) 25 (1 i) 50.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = 2x2 + 5 x + 4x 5. 1. h = 22 4. 2. z = 1 2 2 i.. f(x) = 1 x 1 + Zestaw B x x 2 +x+5. 1. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku ( C w trójkącie o wierzchołkach A = (2, 6), B = (, 7) oraz C = 2, 6 + ). 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 i ) 50 ( 1 + i) 100.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = x2 + 6x + x + x 2 + x + 2. 1. π 6. 2. z = 1 2 + 2 i.. f(x) = 1 x+2 + 2x+1 x 2 +x+1. 20

Zestaw C 1. { Wyznacz kąt pomiędzy prostymi { na płaszczyźnie, o równaniach x = t, y = x = s, t + 2 oraz y = gdzie t, s R. s 7, 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( i) 25 ( 1 + i) 50.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = 2x2 2x + 2 x 2x 2 + x 2. 1. π. 2. z = 1 2 + 2 i.. f(x) = 1 x 1 + Zestaw D x x 2 x+2. 1. Wyznacz kąt pomiędzy prostą y = 1 x 5, a prostą o równaniu { x = t, y = gdzie t R. t + 11, 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( 1 + i ) 50 (1 i) 100.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = 2x2 + x + 1 x + x 2 x + 2. 1. π 6. 2. z = 1 2 + 2 i.. f(x) = 1 x+2 + x x 2 x+1. 21

Zestaw E 1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f(x) = wyznacz współczynnik przy 1 x 5. ( x 2 + 1 x ) 20 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( + i) 21 (1 i) 42.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną x 2 + x + 10 f(x) = x + 2x 2 + 6x + 5. 1. 190. 2. z = 1.. f(x) = 2 x+1 + x x 2 +x+5. Zestaw F 1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f(x) = wyznacz współczynnik przy 1 x 18. ( x 5 1 ) 0 x 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 i ) 15 ( 1 + i) 0.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną x 2 x 4 f(x) = x 2x 2 + 5x 4. 1. 45. 2. z = i.. f(x) = 1 x 1 + 2x x 2 x+4. 22

Zestaw G 1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f(x) = wyznacz współczynnik przy x 27. ( x + 1 x ) 0 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 i) 21 (1 + i) 42.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = 2x2 + 7 x + 6x + 7. 1. 45. 2. z = i.. f(x) = 1 x+1 + x x 2 x+7. Zestaw H 1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f(x) = wyznacz współczynnik przy x 17. ( ) x 40 1 + x 2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 + i) 15 (1 i) 0.. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x) = 2x2 + 5 x + 4x 5. 1. 780. 2. z = i.. f(x) = 1 x 1 + x x 2 +x+5. 2

Część XII Drugie kolokwium Zestaw A 1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 2 5 2 1 1 1 2 2 2. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 5 + t + 2s y = 2 + t gdzie t, s R. z = t + s,. Dla jakich wartości parametru a R układ równań x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a x + ay + z = a nie ma rozwiązań? ax + y + z = a 1 1. A 1 = 4 6 1 1 2 0 1 1 1 2. x + y 2z 11 = 0.. a = 1. Zestaw B 1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 2 5 2 1 1 1 2 2 2. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 5 + t + 2s y = 2 gdzie t, s R. z = t + s,. Dla jakich wartości parametru a R układ równań x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1 24

1. B 1 = 2. y = 2.. a = 2. Zestaw C 8 2 1 1 0 1 0 1 1. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 t + 2s y = 2 t gdzie t, s R. z = t + s, 2. Dla jakich wartości parametru a R układ równań x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a x + ay + z = a nie ma rozwiązań? (1 + a)x + (1 + a)y + 2z = 1. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R R 2 oraz g : R 2 R 5 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z) = (x 2y, x y z), g(u, v) = (u v, v, u 2v, u, u). 1. x y 2z + 5 = 0, 2. a = 1,. Istnieje wyłącznie złożenie g f, o macierzy A g f = Zestaw D 0 1 1 1 1 0 6 6 0 1 2 0 1. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 + t + 2s y = 2 + s gdzie t, s R. z = t + s, 25

2. Dla jakich wartości parametru a R układ równań 4x + (1 + a)y + ( + a)z = 1 + a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R R 4 oraz g : R 2 R są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z) = (x 2y, x+y+z, x, y), g(u, v) = (u+v, v, u). 1. x y + z + 5 = 0, 2. a = 2,. Istnieje wyłącznie złożenie f g, o macierzy A f g = Zestaw E 1 1 4 2 1 1 0 1 1. Oblicz wysokość czworościanu, o wierzchołku nad podstawą D = (1, 2, 2) i podstawie trójkątnej, wyznczonej przez punkty A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C = (1, 2, ). 2. Rozwiąż układ równań x y + z + t = 4 2x 2y 2z = 8 x y z t = 8.. Zbadaj liniową niezależność układu wektorów u = (1, 1, 1, 1), v = (2, 1, 1, 1), w = (1, 2, 1, 1), m = (1, 1, 2, 1) R 4. 1. Równanie płaszyzny podstawy to x 2y + z = 0, wysokość h = 1 6. 2. x = z 2, y = 2, t = 4, z R.. Układ liniowo niezależny. Zestaw F 1. Wyznacz odległość punktu P = (1, 1, 1) od płaszczyzny x = 1 + t + 2s y = 1 + s gdzie t, s R. z = t + s, 26

x y z + t = 4 2. Rozwiąż układ równań x y z + t = 0 x y z t = 8.. Wyznacz rząd macierzy A = 1 1 1 1 2 2 4 4 1. Równanie ogólne płaszyzny to x y + z + 1 = 0, odległość d = 2 11. 2. x = z 2, y = 2, t = 4, z R.. Rząd wynosi 2. Zestaw G 1. Oblicz wysokość czworościanu, o wierzchołku nad podstawą D = (2, 1, 1) i podstawie trójkątnej, wyznczonej przez punkty A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 2), C = ( 1,, 1). 2. Rozwiąż układ równań x y z + t = 4 2x 2y 2z = 8 x y z t = 8.. Zbadaj liniową niezależność układu wektorów u = (1, 1, 1, 1), v = (5, 1, 1, 1), w = (1, 2, 1, 1), p = (1, 1, 2, 1) R 4. 1. Równanie ogólne płaszyzny podstawy to x + y z 1 = 0, wysokość h = 1. 2. x = z 2, y = 2, t = 4, z R.. Układ liniowo niezależny. Zestaw H 1. Wyznacz odległość punktu P = (1, 1, 1) od płaszczyzny x = 1 + t + 2s y = 1 + 5s gdzie t, s R. z = t + s, 27

2x 4y 2z + 4t = 4 2. Rozwiąż układ równań x y z + t = 0 x y z t = 8.. Wyznacz rząd macierzy A = 2 1 2 2 4 4 1. Równanie ogólne płaszyzny to 5x y + 5z 2 = 0, odległość d = 1 59. 2. x = z 2, y = 2, t = 4, z R.. Rząd wynosi 2. Część XIII Egzamin Zestaw A 1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z, spełniających warunek Im ( z ) < 2 z. 2. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 4 11 4 7 5 1 2 2 Sprawdź otrzymany wynik, wykonując mnożenie macierzy.. Oblicz wysokość (tzn. długość odcinka) w czworościanie o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2,, 4), C = (2, 5, 8), D = ( 1, 1, 1), opuszczoną z wierzchołka D. 4. Rozwiąż układ równań 5x 7y 5z + t = 20 2x 2y 2z = 8 x y z t = 8. 5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R 4 R oraz g : R R 6 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z, t) = (x 2y, x y z, x + t), g(u, v, w) = (u v, v, u 2v, u, u, u + v + w). 28

1. Otrzymujemy Im ( z ) = z sin(ϕ) < 2 z, stąd z 0 oraz sin(ϕ) < 2. Otrzymujemy ϕ ( 4 π, 1 π) ( 2 π, 7 π) ( 8 1 ( π, π), zatem ϕ 4 9 π, 1 9 π) ( 2 9 π, 7 9 π) ( 8 1 9π, 9 π), co przedstawia sumę wnętrz trzech kątów. 4 14 27 2. A 1 = 1 4 8 1 5. Równanie x 2y + z = 0 opisuje płaszczyznę podstawy, wysokość to odległość wierzchołka D od tej płaszczyzny i wynosi h = 2 2. 4. x = z 2, y = 2, z R, t = 4 nieskończenie wiele rozwiązań. 5. Istnieje tylko złożenie g f, jego macierzą w bazach standardowych jest 0 1 0 1 1 0 M g f = 1 0 6 0 6 0 0. 1 2 0 0 1 Zestaw B 1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z, spełniających warunek Re ( z ) 1 2 z. 2. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 4 11 4 1 1 1 2 2 Sprawdź otrzymany wynik, wykonując mnożenie macierzy.. Wyznacz odległość punktu P = ( 2, 1, 1) od płaszczyzny x = 1 + t + 2s y = 1 + 2s gdzie t, s R. z = 2 2t + s, 4x 6y 4z + 6t = 4 4. Rozwiąż układ równań x y z + t = 0 x y z t = 8. 5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R 4 R 5 oraz g : R R 4 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z, t) = (x 2y, x + y + z, x, y, t z), g(u, v, w) = (u + v, v, u, u w). 29

1. Otrzymujemy Re ( z ) = z cos(ϕ) 1 2 z, stąd z = 0 lub cos(ϕ) 2. W tym drugim przypadku, ϕ [ 1 π, 1 π] [ 5 π, 7 π] [ 11 1 π, π], zatem ϕ [ 1 9 π, 1 9 π] [ 5 9 π, 7 9 π] [ 11 1 9 π, 9 π]. Zbiór A jest sumą trzech kątów wraz z brzegami. 2. A 1 = 4 14 1 1 4 0 1 1. Równanie 4x 5y +2z = 0 jest równaniem ogólnym danej płaszczyzny, odległość d = 6 5. 4. x = z 2, y = 2, z R, t = 4 nieskończenie wiele rozwiązań. 5. Istnieje tylko złożenie f g, jego macierzą w bazach standardowych jest 1 1 0 4 2 0 M f g = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 Zestaw C 1. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z, spełniających warunek 0 arg(2 iz) π 2. x = 1 + t + s 2. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny µ o równaniu y = t + s z = 1 t + 2s, a następnie w mierze łukowej kąt pomiędzy płaszczyzną µ i prostą l o x = 2t równaniu y = 2 6t gdzie t, s R. z = 1 + 4t,. Rozwiąż równanie macierzowe X 1 = ( 1 0 1 0 1 1 ) gdzie X 1 oznacza macierz odwrotną do macierzy X. 4. Określ, dla jakich wartości parametru a R układ równań 2x + (1 + a)y + (1 + a)z = 1 + a x + ay + z = a ax + y + z = a 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań? 1 0 0 1 1 0, 0

5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jeżeli f : R R 2 oraz g : R 2 R 4 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f(x, y, z) = (x + y, y + z), g(u, v) = (u, v, u + v, u v). 1. Jest to (przesunięta) ćwiartka płaszczyzny bez wierzchołka, A = {z C : Re(z) 0 Im(z) 2} \ { 2i}. 2. x + y 2z + 1 = 0, α = π 2. ( 1 ). X = 2 0 1. 2 1 4. a = 2. 5. Istnieje tylko złożenie g f, jego macierzą w bazach standardowych jest 1 1 0 M g f = 0 1 1 1 2 1 1 0 1 1